2025届高考数学一轮复习专练25 简单的三角恒等变换（Word版附解析）

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【基础落实练】
1.(5分)cs40°cs25°1-sin40°的值为( )
A.1B.3C.2D.2
【解析】选C.原式=cs220°-sin220°cs25°(cs20°-sin20°)=cs20°+sin20°cs25°=2cs25°cs25°=2.
2.(5分)已知x∈(-π2,0),cs(π-x)=-45,则tan 2x等于( )
A.724B.-724C.247D.-247
【解析】选D.因为x∈(-π2,0),cs(π-x)=-45,所以cs x=45,sin x=-1-cs2x=-35,由同角三角函数的关系得tan x=sinxcsx=-34.因此tan 2x=2tanx1-tan2x=2×(-34)1-(-34) 2=-247.
3.(5分)(2023·枣庄模拟)已知sin(π6-α)=23,则cs(2α-4π3)等于( )
A.-59B.59C.-13D.13
【解析】选A.cs(2α-4π3)=cs(-π+2α-π3)=-cs(2α-π3)=-cs(π3-2α)
=-[1-2sin2(π6-α) ]=-(1-2×29)=-59.
4.(5分)(2023•新高考Ⅰ卷)已知sin (α-β)=13,cs αsin β=16,则cs(2α+2β)=( )
A.79B.19C.-19D.-79
【解析】选B.因为sin (α-β)=sin αcsβ-sin βcs α=13,cs αsin β=16,所以sin αcs β=12,所以sin (α+β)=sin αcs β+sin βcs α=12+16=23,则cs(2α+2β)=1-2sin 2(α+β)=1-2×49=19.
5.(5分)(多选题)(2023·合肥模拟)下列计算结果正确的是( )
A.cs(-15°)=6-24
B.sin 15°sin 30°sin 75°=18
C.cs(α-35°)cs(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)=-12
D.2sin 18°cs 36°=12
【解析】选BD.对于A,cs(-15°)=cs 15°=cs(45°-30°)=cs 45°cs 30°+sin 45°sin 30°=6+24,所以A错误;对于B,sin 15°sin 30°sin 75°=sin 15°sin 30°cs 15°=12sin 15°cs 15°=14sin 30°=18,所以B正确;对于C,cs(α-35°)cs(25°+α)+
sin(α-35°)sin(25°+α)=cs[(α-35°)-(25°+α)]=cs(-60°)=cs 60°=12,所以C错误;
对于D,2sin 18°cs 36°=2cs 72°cs 36°=2×sin144°2sin72°×sin72°2sin36°=sin36°2sin36°=12,所以D正确.
6.(5分)(多选题)(2023·长沙模拟)若sin α2=33,α∈(0,π),则( )
A.cs α=13
B.sin α=23
C.sin(α2+π4)=6+236
D.sin(α2-π4)=23-66
【解析】选AC.因为sin α2=33,α∈(0,π),所以α2∈(0,π2),cs α2=1-sin2α2=63.
所以cs α=1-2sin2α2=1-2×(33)2=13,故A正确;
sin α=2sin α2cs α2=2×33×63=223,故B错误;
sin(α2+π4)=sin α2cs π4+cs α2sin π4=33×22+63×22=6+236,故C正确;
sin(α2-π4)=sin α2cs π4-cs α2sin π4=33×22-63×22=6-236,故D错误.
7.(5分)(2024·长春模拟)若csπ4-θ=12,则sin 2θ=________.
【解析】因为csπ4-θ=12,所以sin 2θ=cs(π2-2θ)=cs [2(π4-θ) ]=2cs2(π4-θ)-1
=2×122-1=-12.
答案:-12
8.(5分)(2023·青岛模拟)已知tan 2θ=-22,π4<θ<π2,则2cs2θ2-sinθ-12sin(θ+π4)=____________.
【解析】由tan 2θ=-22,即2tanθ1-tan2θ=-22,解得tan θ=2或tan θ=-22.
因为π4<θ<π2,所以tan θ=2且cs θ≠0.则2cs2θ2-sinθ-12sin(θ+π4)=csθ-sinθcsθ+sinθ=1-tanθ1+tanθ=1-21+2=-3+22.
答案:-3+22
9.(10分)已知函数f(x)=sin(2x+π6)+sin(2x-π6)+cs 2x+a的最大值是1.
(1)求常数a的值;
(2)求使f(x)≥0成立的x的取值集合.
【解析】(1)根据三角函数的两角和与差公式可得:f(x)=sin(2x+π6)+sin(2x-π6)+cs 2x+a=32sin 2x+12cs 2x+32sin 2x-12cs 2x+cs 2x+a
=3sin 2x+cs 2x+a=2sin(2x+π6)+a,
由于函数的最大值是1,所以2+a=1,即a=-1.
(2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+π6)-1,由f(x)≥0得:2sin(2x+π6)-1≥0,
即sin(2x+π6)≥12,因此π6+2kπ≤2x+π6≤5π6+2kπ,k∈Z,
即kπ≤x≤π3+kπ,k∈Z,故x的取值集合是{x|kπ≤x≤π3+kπ,k∈Z}.
【能力提升练】
10.(5分)(2021·新高考Ⅰ卷)若tanθ=-2,则sinθ(1+sin2θ)sinθ+csθ=( )
A.-65B.-25C.25D.65
【解析】选C.由tanθ=-2,得sin2θ=45,sinθcsθ=-25,
故sinθ(1+sin2θ)sinθ+csθ=sinθ(sinθ+csθ)2sinθ+csθ= sin2θ+ sinθcsθ=25.
11.(5分)魏晋南北朝时期,祖冲之利用割圆术以正24 576边形,求出圆周率π约等于355113,和真正的值相比,其误差小于八亿分之一,这个记录在一千年后才被打破.若已知π的近似值还可以表示成4sin 52°,则1-2cs27°π16-π2的值为( )
A.-18B.-8C.8D.18
【解析】选A.将π=4sin 52°代入1-2cs27°π16-π2,可得1-2cs27°π16-π2=-cs14°4sin52°16-16sin252°
=-cs14°16sin52°cs52°=-cs14°8sin104°=-cs14°8sin(90°+14°)=-cs14°8cs14°=-18.
12.(5分)sin 20°=m,cs 20°=n,化简1+tan10°1-tan10°-2cs70°cs50°=( )
A.mnB.-mnC.nmD.-nm
【解析】选A.因为sin 20°=m,cs 20°=n,所以1+tan10°1-tan10°-2cs70°cs50°
=cs10°+sin10°cs10°-sin10°-2sin20°sin40°=cs10°+sin10°cs10°-sin10°-1cs20°
=(cs10°+sin10°)2cs210°-sin210°-1cs20°=1+sin20°cs20°-1cs20°=sin20°cs20°=mn.
13.(5分)已知cs(θ+π4)=1010,θ∈(0,π2),则sin(2θ-π3)=________.
【解析】由题意可得cs2(θ+π4)=1+cs(2θ+π2)2=110,cs(2θ+π2)=-sin 2θ=-45,
即sin 2θ=45.因为cs(θ+π4)=1010>0,θ∈(0,π2),所以0<θ<π4,2θ∈(0,π2),根据同角三角函数基本关系式,可得cs 2θ=35,由两角差的正弦公式,可得sin(2θ-π3)=sin 2θcs π3-
cs 2θsin π3=45×12-35×32=4-3310.
答案:4-3310
14.(10分)(2024·上海模拟)设f(x)=2sin xcs x-2sin2(x-π4).
(1)求f(x)的单调递增区间及对称中心;
(2)当x∈0,π2时,fx+π6=-13,求cs 2x的值.
【解析】(1)由题意得,f(x)=sin 2x+cs(2x-π2)-1=2sin 2x-1,
由-π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ(k∈Z),可得-π4+kπ≤x≤π4+kπ(k∈Z);
所以f(x)的单调递增区间是-π4+kπ,π4+kπ(k∈Z);
令2x=kπ,k∈Z,解得x=kπ2,k∈Z,此时函数值为-1,所以对称中心为(kπ2,-1),k∈Z.
(2)因为f(x+π6)=2sin(2x+π3)-1=-13,所以sin(2x+π3)=13,
因为x∈(0,π2),所以2x+π3∈(π3,4π3),
因为当2x+π3∈(π3,π2)时,sin(2x+π3)>sinπ3=32>13,所以2x+π3∈(π2,π),
cs(2x+π3)=-1-sin2(2x+π3)=-223,
cs 2x=cs(2x+π3)-π3=cs(2x+π3)csπ3+sin(2x+π3)sinπ3=-223×12+13×32=3-226.
15.(10分)如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为π3的扇形,点A在PQ上(异于点P,Q),过点A作AB⊥OP,AC⊥OQ,垂足分别为B,C,记∠AOB=θ,四边形ACOB的周长为l.
(1)求l关于θ的函数关系式;
(2)当θ为何值时,l有最大值?并求出l的最大值.
【解析】(1)AB=OAsin θ=sin θ,OB=OAcs θ=cs θ,AC=OAsin(π3-θ)=sin(π3-θ),
OC=OAcs(π3-θ)=cs(π3-θ),所以l=sin θ+cs θ+sin(π3-θ)+cs(π3-θ)=sin θ+cs θ
+32cs θ-12sin θ+12cs θ+32sin θ=1+32sin θ+3+32cs θ=3+12(sin θ+3cs θ)
=(3+1)sin(θ+π3)(0<θ<π3).
(2)由0<θ<π3,得π3<θ+π3<2π3,当θ+π3=π2,即θ=π6时,sin(θ+π3)=1,
lmax=3+1,所以当θ=π6时,lmax=3+1.
【素养创新练】
16.(5分)(2023·武汉模拟)f(x)满足:∀x1,x2∈(0,1)且x1≠x2,都有x2f(x1)-x1f(x2)(x1-x2)<0.a=sin 7°sin 83°,b=tan8°1+tan28°,c=cs25π24-12,则f(a)a,f(b)b,f(c)c的大小顺序为( )
A.f(a)aB.f(a)aC.f(b)bD.f(c)c【解析】选C.a=sin 7°sin 83°=sin 7°cs 7°=12sin 14°,b=tan8°1+tan28°=sin8°cs8°cs28°+sin28°=12sin 16°,c=12cs 5π12=12sin π12=12sin 15°,所以a17.(5分)(2023·盐城模拟)已知由sin 2x=2sin xcs x,cs 2x=2cs2x-1,cs 3x=cs(2x+x)可推得三倍角余弦公式cs 3x=4cs3x-3cs x,已知cs 54°=sin 36°,结合三倍角余弦公式和二倍角正弦公式可得sin 18°=______;如图,已知五角星ABCDE是由边长为2的正五边形GHIJK和五个全等的等腰三角形组成的,则HE·HG=________.
【解析】因为cs 54°=cs(90°-36°)=sin 36°,所以4cs318°-3cs 18°=2sin 18°cs 18°,即4cs218°-3=2sin 18°,即4(1-sin218°)-3=2sin 18°,即4sin218°+2sin 18°-1=0,因为0在五角星ABCDE中,EG=EI,HG=HI,HE=HE,故△EHG≌△EHI,从而可得∠HEG=12∠CEB=18°,∠EHG=12∠IHG=54°,
过点H作HM⊥BE,垂足为点M,如图,则∠GHM=18°,于是cs∠GHM=HMGH,
从而有HM=GHcs∠GHM=2cs 18°,于是EH=HMsin∠HEG=2cs18°sin18°,所以HE·HG=|HE|·|HG|cs 54°=2×2cs18°sin18°×sin 36°=8cs218°=8-8sin218°=8-8×(5-14)2
=8-(3-5)=5+5.
答案:5-14 5+5