2025届高考数学一轮复习专练28 平面向量的概念及其运算（Word版附解析）

这是一份2025届高考数学一轮复习专练28 平面向量的概念及其运算（Word版附解析），共9页。

【基础落实练】
1.(5分)如图,在正六边形ABCDEF中,点O为中心,则下列错误的是( )
A.AB=OC B.AB∥DE
C.|AD|=|BE| D.AD=FC
【解析】选D.对于A,由正六边形的性质可得四边形OABC为平行四边形,故AB=OC,故A正确.对于B,因为AB∥DE,故AB∥DE,故B正确.
对于C,由正六边形的性质可得|AD|=|BE|,故|AD|=|BE|,故C正确.
对于D,因为AD,FC交于O,故AD=FC不成立,故D错误.
2.(5分)(多选题)(2023·郑州模拟)设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论中不正确的是( )
A.a与λ2a的方向相同
B.a与-λa的方向相反
C.λa=λa
D.-λa=-λa
【解析】选BCD.因为λ2>0,所以a与λ2a的方向相同,故A选项正确;
当λ<0时,a与-λa的方向相同,故B选项错误;
当λ<0时,λa<0,故C选项错误;当λ>0时,-λa<0,故D选项错误.
3.(5分)(2023·汕头模拟)在△ABC中,BD=13BC,若AB=a,AC=b,则AD=( )
A.23a+13b B.13a+23b
C.13a-23b D.23a-13b
【解析】选A.AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13(AC-AB)=23AB+13AC=23a+13b.
4.(5分)(2023·盐城模拟)在平行四边形ABCD中,E是线段BD的中点,若AB=mAD+nEC,则m+n的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
【解析】选C.由AB=AD+DB=AD+DC+CB=AD+DA+AC+DA=2EC-AD,所以m=-1,n=2,则m+n=1.
5.(5分)在四边形ABCD中,若AC=AB+AD,且|AB+AD|=|AB-AD|,则( )
A.四边形ABCD是矩形
B.四边形ABCD是菱形
C.四边形ABCD是正方形
D.四边形ABCD是平行四边形
【解析】选A.因为AC=AB+AD,所以四边形ABCD为平行四边形,又|AB+AD|=|AB-AD|,所以|AC|=|DB|,即对角线相等,所以四边形ABCD为矩形.
6.(5分)(多选题)(2023·哈尔滨模拟)在△ABC中,D为BC中点,AG=2GD,则下列等式中一定成立的是( )
A.AB+AC=2AD
B.AG=13AB+13AC
C.S△ABC=3S△GBC
D.AG=13AB+23AC
【解析】选ABC.对于A,由D为BC的中点,则AB+AC=2AD,故A正确;
对于B,D,由AG=2GD,则AG=23AD=23(12AB+12AC)=13AB+13AC,故B正确,D错误;
对于C,如图,AF⊥BC,GE⊥BC,
由AG=2GD,则ADGD=31,由AF⊥BC,GE⊥BC,则△AFD∽△GED,
即AFGE=ADGD=31,S△ABCS△GBC=12·AF·BC12·GE·BC=31,故C正确.
7.(5分)(2023·上海浦东模拟)设a,b是两个不共线向量,AB=2a+pb,BC=a+b,
CD=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p的值为__________.
【解析】由题意BD=BC+CD=2a-b,因为A,B,D三点共线,所以AB,BD共线,
所以存在实数λ,使得2a+pb=λ(2a-b),所以2=2λ,p=-λ,所以λ=1,p=-1.
答案:-1
8.(5分)(2023·菏泽模拟)已知a,b是两个不共线的向量,b-ta与12a-32b共线,则实数t=__________.
【解析】因为b-ta与12a-32b共线,所以b-ta=λ(12a-32b),
b-ta=λ2a-3λ2b,又a,b是两个不共线的向量,所以-t=λ21=-3λ2,解得t=13.
答案:13
9.(10分)设两个非零向量a与b不共线.
(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb反向共线.
【解析】(1)因为AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),
所以BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB,
所以AB,BD共线,又因为它们有公共点B,所以A,B,D三点共线.
(2)因为ka+b与a+kb反向共线,所以存在实数λ(λ<0),使ka+b=λ(a+kb),
即ka+b=λa+λkb,所以(k-λ)a=(λk-1)b.因为a,b是不共线的两个非零向量,
所以k-λ=0λk-1=0,所以k2-1=0,所以k=±1,因为λ<0,所以k=-1.
【能力提升练】
10.(5分)(2023·广州模拟)在△ABC中,M是AC边上一点,且AM=12MC,N是BM上一点,若AN=19AC+mBC,则实数m的值为( )
A.-13 B.-16 C.16 D.13
【解析】选D.由AM=12MC,得出AC=3AM,由AN=19AC+mBC得AN=19AC+m(AC-AB)= (19+m)AC-mAB=(13+3m)AM-mAB,
因为B,N,M三点共线,所以(13+3m)+(-m)=1,解得m=13.
11.(5分)(多选题)下列说法中正确的是( )
A.λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线
B.若a∥b(b≠0),则存在唯一实数λ使得a=λb
C.两个非零向量a,b,若a-b=a+b,则a与b共线且反向
D.若2OA+OB+3OC=0,S△AOC,S△AOB分别表示△AOC,△AOB的面积,则S△AOC∶S△AOB=1∶3
【解析】选BCD.对于A项,当λ=μ=0时,a与b可以为任意向量,满足λa=μb,但a与b不一定共线,故A项错误;
对于B项,若a∥b(b≠0),则存在唯一实数λ使得a=λb,故B项正确;
对于C项,两个非零向量a,b,若|a-b|=|a|+|b|,则a与b共线且反向,故C项正确;
对于D项,因为2OA+OB+3OC=0,整理得2OA+2OC=-(OB+OC),
分别取BC,AC的中点E,F,如图所示:
故4OF=-2OE,即2OF=-OE,所以O,E,F三点共线,故OE=2OF,OE=23EF,
所以OE=13AB,OF=16AB,S△AOC=16S△ABC,S△AOB=12S△ABC,
故S△AOC∶S△AOB=1∶3,故D项正确.
12.(5分)如图所示,在正方形ABCD中,点E为BC的中点,点F为CD上靠近点C的四等分点,点G为AE上靠近点A的三等分点,则向量FG用AB与AD表示为________________.
【解析】由题意可得:AE=AB+BE=AB+12AD,FE=FC+CE=14AB-12AD,
所以FG=FE+EG=FE-23AE=(14AB-12AD)-23(AB+12AD)=-512AB-56AD.
答案:FG=-512AB-56AD
13.(5分)如图,点G为△ABC的重心,过点G的直线分别交直线AB,AC于D,E两点,AB=3mAD(m>0),AC=3nAE(n>0),则m+n=________;1m+1n的最小值为________.
【解题指南】利用重心的性质以及平面的线性运算可知AG=mAD+nAE,设DG=λGE,由D,G,E三点共线可知AG=1λ+1AD+λλ+1AE,
故可知m+n=1,利用1的妙用以及基本不等式求出1m+1n的最小值.
【解析】由重心的性质可知AG=23×12(AB+AC)=13(3mAD+3nAE)
=mAD+nAE(m>0,n>0),设DG=λGE,由已知得AG=AD+DG,AG=AE+EG,
两式相加得2AG=AD+AE+(1-1λ)DG=AD+AE+(1-1λ)(AG-AD),
整理得AG=1λ+1AD+λλ+1AE,所以m=1λ+1,n=λλ+1,则m+n=1λ+1+λλ+1=1,
1m+1n=(1m+1n)(m+n)=2+nm+mn≥2+2nm·mn=4,
当且仅当nm=mn,即m=n=12时等号成立.
答案:1 4
14.(10分)(2023·沧州模拟)如图,在△ABC中,点D为BC的中点,点E在线段AB上,AD与CE交于点O.
(1)若AO=2OD,求证:OA+OB+OC=0;
(2)若AE=2EB,AO=λAD,求实数λ的值.
【解题指南】(1)由点D为BC的中点可得2OD=OB+OC,再结合已知条件即可证明;
(2)设AB=a,AC=b,OC=μEC,利用向量减法法则可得EC=b-23a,OC=(1-λ2)b-λ2a,
从而可得1-λ2=μ-λ2=-23μ,即可求解.
【解析】(1)因为点D为BC的中点,所以BD+CD=0,因为OD=OB+BD,
OD=OC+CD,两式相加得2OD=OB+OC,所以AO=2OD=OB+OC,
即OA+OB+OC=OA+AO=0.
(2)由AE=2EB,得AE=23AB,设AB=a,AC=b,OC=μEC,则EC=AC-AE=AC-23AB=b-23a,
又OC=AC-AO=AC-λAD=AC-λ(AB+AC)2=(1-λ2)b-λ2a.所以(1-λ2)b-λ2a=μ(b-23a),
因为a,b不共线,所以1-λ2=μ-λ2=-23μ,解得λ=45.
15.(10分)如图,在△ABC中,BC=4BD,AC=3CE,BE与AD相交于点M.
(1)用AB,AC表示AD,BE;
(2)若AM=mAB+nAC,求m+n的值.
【解析】(1)因为BC=4BD,所以BD=14BC=14(AC-AB)=14AC-14AB,
所以AD=AB+BD=AB+14AC-14AB=34AB+14AC.
因为AC=3CE,所以AE=23AC,所以BE=AE-AB=23AC-AB.
(2)因为A,M,D三点共线,所以AM=λAD=3λ4AB+λ4AC.
因为AM=mAB+nAC,所以m=3λ4n=λ4,即m=3n.因为B,M,E三点共线,
所以AM=kAB+(1-k)AE=kAB+2(1-k)3AC.
因为AM=mAB+nAC,所以m=kn=2(1-k)3.
因为m=3n,所以k=3×23(1-k),解得k=23,从而m=23,n=29,故m+n=89.
【素养创新练】
16.(5分)(多选题)(2023·枣庄模拟)数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,此直线被称为三角形的欧拉线,该定理则被称为欧拉线定理.设点O,G,H分别是△ABC的外心、重心、垂心,且M为BC的中点,则( )
A.OH=OA+OB+OCB.S△ABG=S△BCG=S△ACG
C.AH=3OMD.AB+AC=4OM+2HM
【解析】选ABD.A.因为OG=12GH,所以OG=13OH,因为G为重心,
所以GA+GB+GC=0,所以OA-OG+OB-OG+OC-OG=0,
所以OG=13(OA+OB+OC),所以13OH=13(OA+OB+OC),
所以OH=OA+OB+OC,所以该选项正确.
B.S△BCG=12×BC×h1,S△ABC=12×BC×h2,由于G是重心,所以h1=13h2,
所以S△BCG=13S△ABC,同理S△ABG=13S△ABC,S△ACG=13S△ABC,所以S△ABG=S△BCG=S△ACG,
所以该选项正确.
C.AH=AG+GH=2GM+2OG=2(OG+GM)=2OM,所以该选项错误.
D.因为OH=3OG,所以MG=23MO+13MH,所以GM=23OM+13HM,
所以AB+AC=2AM=6GM=6(23OM+13HM)=4OM+2HM,所以该选项正确.
17.(5分)(2023·长沙模拟)如图,在△ABC中,M为线段BC的中点,G为线段AM上一点,AG=2GM,过点G的直线分别交直线AB,AC于P,Q两点,AB=xAP(x>0),
AC=yAQ(y>0),则4x+1y+1的最小值为( )
A.34 B.94 C.3 D.9
【解析】选B.因为M为线段BC的中点,所以AM=12(AB+AC),
又因为AG=2GM,所以AG=23AM=13(AB+AC),
又AB=xAP(x>0),AC=yAQ(y>0),所以AG=x3AP+y3AQ,
又P,G,Q三点共线,所以x3+y3=1,即x+y=3,
所以4x+1y+1=14(4x+1y+1)[x+(y+1)]=14[4+xy+1+4(y+1)x+1]
≥14(5+2xy+1·4(y+1)x)=94,当且仅当xy+1=4(y+1)x,即x=83,y=13时取等号.