2025届高考数学一轮复习专练27 函数y=Asin（ωx φ）的图象及三角函数的应用（Word版附解析）

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【基础落实练】
1.(5分)(2023·北京模拟)已知函数f(x)=cs(2x-π6),g(x)=sin 2x,将函数f(x)的图象经过下列变换可以与g(x)的图象重合的是( )
A.向左平移π3个单位长度
B.向左平移π6个单位长度
C.向右平移π3个单位长度
D.向右平移π6个单位长度
【解析】选D.因为g(x)=sin 2x=cs(2x-π2),所以将f(x)=cs(2x-π6)向右平移π6个单位长度得到y=cs[2(x-π6)-π6]=cs(2x-π2)=g(x).
2.(5分)(2023·西安模拟)函数f(x)=2sin(x+5π6)sin(x+π3)图象的对称轴可以是( )
A.直线x=5π12 B.直线x=π3
C.直线x=π6 D.直线x=2π3
【解析】选A.f(x)=2sin(x+5π6)sin(x+π3) =2sin [(x+π3)+π2]sin(x+π3)
=2cs(x+π3)sin(x+π3)=sin(2x+2π3),令2x+2π3=π2+kπ(k∈Z),解得x=-π12+kπ2(k∈Z),
所以f(x)的对称轴为直线x=-π12+kπ2(k∈Z),当k=1时,x=5π12.
3.(5分)已知函数f(x)的一条对称轴为直线x=2,一个周期为4,则f(x)的解析式可能为( )
A.f(x)=sin πx2 B.f(x)=cs πx2
C.f(x)=sin πx4 D.f(x)=cs πx4
【解析】选B.若f(x)=sin πx2,则T=2ππ2=4,
令πx2=π2+kπ,k∈Z,则x=1+2k,k∈Z,显然x=2不是对称轴,不符合题意;
若f(x)=cs πx2,则T=2ππ2=4,令πx2=kπ,k∈Z,则x=2k,k∈Z,所以x=2是一条对称轴,符合题意;若f(x)=sin πx4,则T=2ππ4=8,不符合题意;
若f(x)=cs πx4,则T=2ππ4=8,不符合题意.
4.(5分)(2022·全国甲卷)将函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,则ω的最小值是( )
A.16B.14C.13D.12
【命题意图】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,三角函数的图象和性质.
【解析】选C.由题意知:曲线C为y=sin[ω(x+π2)+π3]=sinωx+ωπ2+π3,
又C关于y轴对称,则ωπ2+π3=π2+kπ,k∈Z,解得ω=13+2k,k∈Z,又ω>0,故当k=0时,ω最小,最小值为13.
5.(5分)(多选题)某次实验得交变电流i(单位:A)随时间t(单位:s)变化的函数解析式为i=Asin(ωt+φ),其中A>0,ω>0,|φ|≤π2且t∈[0,+∞),其图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.ω=100π B.φ=π4
C.当t=380时,i=0 D.当t=980时,i=10
【解析】选ABC.由题知T=2(0.022 5-0.012 5)=0.02,则ω=100π,又A=10,
则i=10sin(100πt+φ),所以当t=0时,10sin φ=52,则sin φ=22,
又|φ|≤π2,则φ=π4,因此i=10sin(100πt+π4),所以当t=380时,
i=10sin(100π×380+π4)=10sin 4π=0,当t=980时,i=10sin(100π×980+π4)=10sin 23π2=-10.
因此ABC正确,D错误.
6.(5分)(2023·陕西师大附中模拟)将函数f(x)=sin x+3cs x-1的图象向右平移π6个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列正确的是( )
A.直线x=2π3是g(x)图象的一条对称轴
B.g(x)的最小正周期为2π3
C.g(x)的图象关于点(11π6,-1)对称
D.g(x)在[π,2π]上单调递增
【解析】选C.由f(x)=sin x+3cs x-1=2(12sin x+32cs x)-1=2sin(x+π3)-1,
则f(x)图象向右平移π6个单位长度可得,g(x)=2sin(x-π6+π3)-1=2sin(x+π6)-1,因为2π3+π6=5π6,所以x=2π3不是g(x)图象的一条对称轴,A错误;
由2π1=2π,得g(x)的最小正周期为2π,B错误;
由11π6+π6=2π,得点(11π6,-1)是g(x)图象的一个对称中心,C正确;
由π≤x≤2π,得7π6≤x+π6≤13π6,所以g(x)在[π,2π]上有增有减,D错误.
7.(5分)已知函数f(x)=2cs(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(π2)=__________.
【解析】由题意可得,34T=13π12-π3=3π4,所以T=π,ω=2πT=2,
当x=13π12时,ωx+φ=2×13π12+φ=2kπ,k∈Z,所以φ=2kπ-136π(k∈Z).
令k=1可得φ=-π6,据此有f(x)=2cs(2x-π6),f(π2)=2cs(2×π2-π6)=2cs 5π6=-3.
答案:-3
8.(5分)(2023·镇江模拟)写出一个同时具有下列性质①②③,且定义域为实数集R的函数f(x)=__________.
①最小正周期为2;②f(-x)+f(x)=2;③无零点.
【解析】f(x)=12sin(πx)+1的定义域为R,最小正周期为T=2ππ=2;
f(-x)+f(x)=12sin (-πx)+1+12sin(πx)+1=-12sin(πx)+1+12sin(πx)+1=2;
因为-1≤sin(πx)≤1,所以12≤f(x)≤32,所以f(x)无零点,综上,f(x)=12sin(πx)+1符合题意.
答案:12sin(πx)+1(答案不唯一)
9.(10分)(2023·岳阳模拟)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的最小正周期及解析式;
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移π6个单位长度得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值.
【解析】(1)由题图可知y=f(x)的最大值为1,最小值为-1,故A=1;
又T4=2π3-5π12=π4=2π4ω,所以T=π,ω=2,将点(2π3,-1)代入y=f(x),
f(2π3)=sin(4π3+φ)=-1,所以4π3+φ=3π2+2kπ(k∈Z),φ=π6+2kπ(k∈Z),
因为|φ|<π2,所以φ=π6.
所以f(x)的最小正周期为π,解析式为f(x)=sin(2x+π6).
(2)将y=f(x)的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)=sin [2(x-π6)+π6]=sin(2x-π6).因为x∈[0,π2],所以(2x-π6)∈[-π6,5π6],所以当2x-π6=-π6,即x=0时,
g(x)min=-12;当2x-π6=π2,即x=π3时,g(x)max=1.
【能力提升练】
10.(5分)已知函数y=sin xcs x的图象向右平移π6个单位长度,则平移后图象的对称中心为( )
A. (kπ2+π6,0)(k∈Z)
B. (kπ2-π6,0)(k∈Z)
C. (kπ2+π12,0)(k∈Z)
D. (kπ2-π12,0)(k∈Z)
【解析】选A.将函数y=sin xcs x=12sin 2x的图象向右平移π6个单位长度,
得y=12sin[2(x-π6) ]=12sin(2x-π3),由2x-π3=kπ,得x=kπ2+π6,k∈Z,
即对称中心为(kπ2+π6,0),k∈Z.
11.(5分)(2024·长春模拟)已知函数f(x)=2cs(ωx-π3)+1(ω>0)的图象在区间(0,2π)内至多存在3条对称轴,则ω的取值范围是( )
A. (0,53] B. (23,53]
C. [53,76) D. [53,+∞)
【解析】选A.因为x∈(0,2π),ω>0,所以ωx-π3∈(-π3,2ωπ-π3),
画出y=2cs z+1的图象,
要想图象在区间(0,2π)内至多存在3条对称轴,则2ωπ-π3∈(-π3,3π],解得ω∈(0,53].
12.(5分)(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点(2π3,0)中心对称,则( )
A.f(x)在区间(0,5π12)上单调递减
B.f(x)在区间(-π12,11π12)有两个极值点
C.直线x=7π6是曲线y=f(x)的对称轴
D.直线y=32-x是曲线y=f(x)的切线
【解析】选AD.由题意得:f(2π3)=sin(4π3+φ)=0,所以4π3+φ=kπ,k∈Z,
即φ=-4π3+kπ,k∈Z,又0<φ<π,所以当k=2时,φ=2π3,故f(x)=sin(2x+2π3).
对于A,当x∈(0,5π12)时,2x+2π3∈(2π3,3π2),由正弦函数y=sin u图象知y=f(x)在(0,5π12)上单调递减,A正确;对于B,当x∈(-π12,11π12)时,2x+2π3∈(π2,5π2),由正弦函数y=sin u图象知y=f(x)只有1个极值点,由2x+2π3=3π2,解得x=5π12,即x=5π12为函数在此区间的唯一极值点,B错误;对于C,当x=7π6时,2x+2π3=3π,f(7π6)=0,直线x=7π6不是曲线y=f(x)的对称轴,C错误;对于D,由y'=2cs(2x+2π3)=-1得:cs(2x+2π3)=-12,
解得2x+2π3=2π3+2kπ或2x+2π3=4π3+2kπ,k∈Z,从而得:x=kπ或x=π3+kπ,k∈Z,
所以函数y=f(x)在点(0,32)处的切线斜率为k=y'|x=0=2cs 2π3=-1,切线方程为:y-32=-(x-0),即y=32-x,D正确.
13.(5分)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=12与曲线f(x)的两个交点,若|AB|=π6,则f(π)=__________.
【命题意图】本题设计了三角函数与直线的相交问题,通过对图象的分析,能够找到试题的本质,考查直观想象及数学运算的核心素养.
【解题指导】设A(x1,12),B(x2,12) ,依题可得,x2-x1=π6,结合sin x=12的解可得,
ω(x2-x1)=2π3,从而得到ω的值,
再根据f(23π)=0以及f(0)<0,即可得f(x)=sin(4x-23π),进而求得f(π).
【解析】设A(x1,12),B(x2,12),由|AB|=π6可得x2-x1=π6,
由sin x=12可知,x=π6+2kπ或x=5π6+2kπ,k∈Z,由题图可知,
ωx2+φ-(ωx1+φ)=5π6-π6=2π3,即ω(x2-x1)=2π3,所以ω=4.
因为f(2π3)=sin(8π3+φ)=0,所以8π3+φ=2kπ,即φ=-8π3+2kπ,k∈Z.
所以f(x)=sin(4x-8π3+2kπ)=sin(4x-2π3),所以f(π)=sin(4π-2π3)=-32.
答案:-32
14.(10分)(2023·哈尔滨模拟)已知函数f(x)=2sin ωxcs φ+2sin φ-4sin2ωx2sin φ(ω>0,|φ|<π),其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差π4,__________,从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中.①函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象关于y轴对称且f(0)<0;②函数f(x)的图象的一个对称中心为(π12,0)且f(π6)>0.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的1t(t>0),纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,若函数y=g(x)在区间[0,π3]上恰有3个零点,求t的取值范围.
【解析】(1)由题意可得f(x)=2sin ωxcs φ+2sin φ-4sin2ωx2sin φ
=2sin ωxcs φ+2sin φ-sin φ(2-2cs ωx)=2sin ωxcs φ+2cs ωxsin φ
=2sin (ωx+φ),由于其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差π4,
故T=4×π4=2πω,所以ω=2,故f(x)=2sin (2x+φ).
若选①,函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象对应的函数为
y=2sin [2(x+π3)+φ],
由题意知该函数为偶函数,故2π3+φ=π2+kπ,k∈Z,即φ=-π6+kπ,k∈Z,
由于|φ|<π且f(0)<0,即sin φ<0,故φ=-π6,故f(x)=2sin(2x-π6).
若选②,函数f(x)的图象的一个对称中心为(π12,0)且f(π6)>0,则π6+φ=kπ,
所以φ=-π6+kπ,k∈Z,由于|φ|<π且f(π6)>0,即sin (π3+φ)>0,故φ=-π6,
故f(x)=2sin(2x-π6).
(2)由题意可得g(x)=2sin(2tx-π6),x∈[0,π3],所以(2tx-π6)∈[-π6,2πt3-π6],
由于y=g(x)在区间[0,π3]上恰有3个零点,故2π≤2πt3-π6<3π,解得:134≤t<194.
【素养创新练】
15.(5分)若函数y=f(x)的定义域内存在x1,x2(x1≠x2),使f(x1)+f(x2)2=1成立,则称该函数为“互补函数”.函数f(x)=32cs(ωx-π3)-12sin(ωx+2π3)(ω>0),则当ω=3时,f (π3)=______
____;若f(x)在[π,2π]上为“互补函数”,则ω的取值范围为__________.
【解析】由函数f(x)=32cs(ωx-π3)-12sin(ωx+2π3)=cs(ωx-π3-π6)=sin ωx,
当ω=3时,f(x)=sin 3x,可得f(π3)=sin π=0.
由“互补函数”的定义得∃x1,x2∈[π,2π](x1≠x2),使得f(x1)+f(x2)=2,即f(x)=sin ωx在[π,2π]上至少存在两个极大值点,所以2T=2×2πω≤2π-π即ω≥4显然符合题意.
又T=2πω≤π⇒ω≥2.当2≤ω<4时,
①若ωπ≤5π22ωπ≥9π2合题意,94≤ω≤52.
②若5π2<ωπ<4π2ωπ≥13π2,所以134≤ω<4.
综上,ω的取值范围是[94,52]∪[134,+∞).
答案:0 [94,52]∪[134,+∞)