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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1.1 任意角课堂教学ppt课件
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1.1 任意角课堂教学ppt课件，共41页。PPT课件主要包含了课时1任意角，情境导学，初探新知等内容，欢迎下载使用。
5. 能画出正弦函数、余弦函数、正切函数的图象,借助正弦函数、余弦函数、正切函数的图象,理解周期函数、函数的周期以及最小正周期的概念. 6. 结合正弦函数、余弦函数、正切函数的图象理解的正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值等性质,学会其应用. 7. 让学生经历推导两角差的余弦公式的过程,理解两角差的余弦公式的意义,并能运用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系.
8. 使学生能运用两角和与差的三角函数公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆),解决三角函数式的化简、求值和证明等问题. 9. 结合具体实例,引导学生了解函数y=Asin(ωx+φ)的实际意义,并能借助其图象理解参数ω,φ,A的意义,了解参数的变化对函数图象的影响,掌握其周期性、奇偶性、单调性、对称性和最大(小)值的研究方法.10. 让学生体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型,并学会运用和构建三角函数模型解决简单的实际问题.
高考对本单元的考查一般有两个方向:一是考查学生对三角函数的定义、图象、性质以及三角恒等变形等基础知识和基本方法的掌握情况;二是在三角函数、平面向量、解三角形以及实际应用的交汇处命题,考查学生综合运用三角函数的有关知识分析问题和解决问题的能力.其中,三角函数的图象和性质的研究、函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)模型的应用和三角函数式的恒等变形是考查的重点.具体如下:
1. 在考查内容上,以考查三角函数的图象和性质、函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)模型和三角函数式的恒等变形为主,突出对三角函数这一基本初等函数的基础知识、研究三角函数的图象和性质的一般方法和三角函数式的恒等变形的规律与技巧的考查.其中,三角函数式的恒等变形是每年高考必考的内容,常常是寓三角函数的图象和性质、三角函数的恒等变形、平面向量和解三角形于一体,进行综合考查,体现数学知识之间的有机联系和三角函数的广泛应用性,充分发挥出三角函数的工具作用.
2. 在能力要求上,突出对三角恒等变形的能力和三角函数模型的应用的考查,通过运用两角和与差的三角函数公式对给出的三角函数式进行恒等变形,实现三角函数式的化简、求值,研究三角函数的周期性、奇偶性、单调性和最大(小)值,或者以平面向量、解三角形和实际应用的背景呈现,从中建立起三角函数模型,再运用三角函数的知识来求解,考查学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力,对数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想方法的运用水平,以及数学运算、逻辑推理和数学建模等素养.
3. 在呈现方式上,可以是直接考查三角函数式的化简和求值,也可以是通过对三角函数进行恒等变形后再研究三角函数的图象和性质,或者是与平面向量、解三角形、实际问题等进行交汇考查.从题型上来讲,既有可能是选择题,又有可能是填空题,也有可能是解答题,一般地,必有一道是解答题,不排除三种题型都会出现的情况.
用数学的眼光从客观世界的周期性变化现象中抽象出圆周运动;利用单位圆直观理解任意角及弧度制的概念,并通过类比数的加减运算定义弧度制中角的运算;借助直角坐标系中单位圆上动点的坐标变化定义任意角的三角函数,理解诱导公式是单位圆特殊对称性的代数表示,进而形成利用数形结合思想探索三角函数相关性质的能力,把握研究数学对象的基本方法,提升数学抽象与逻辑推理能力.
通过运用三角函数模型描述周期现象,提高分析问题和解决问题的能力,在分析问题和解决问题的过程中体会类比、分类讨论、化归与转化思想和三角函数模型的应用,学会知识和方法的迁移,发展数学运算、数学建模素养.
5.1 任意角和弧度制
1. 通过日常生活中的实例,引出定义任意角概念的必要性:需要推广角的范围用以描述客观世界.2. 运用运动的观点理解任意角的概念,利用单位圆和直角坐标系建立象限角以及终边相同的角的概念.3. 类比实数运算定义角的加减运算,并能用坐标系讨论象限角和对角的终边位置进行定性的讨论和表达.
跳水运动、车轮的转运应该是大家十分熟悉的现象,请观察下面的图片: 图1 图2图1,高台跳水中,“反身翻腾两周半”“向前飞身翻腾一周半”这些语句描述的都是超出0°~360°范围的角,而且它们的旋转方向也不相同.图2,在机械表芯中我们可以看到大小两个齿轮的联动,由示意图2可知被动轮随主动轮旋转,OA绕点O旋转所成角与O'B绕点O'旋转所成角的大小不同且方向也不同.我们知道,在实数集中有正数、负数和零,联系0°~360°范围的角和现实中的这些角,你能给出一种方法适当扩充角的范围使这些角都能被描述吗?
【问题1】如何用旋转的观点描述角的形成？需要给出哪些量？
【活动1】观察任意角的表述特征
【问题2】现实生活中是否所有的角都能在0°～360°范围内表示呢？
【问题3】类比实数的正、负表示，如何用符号表示任意角？并参考实数的分类体系对角进行分类．
【活动2】用数学符号表示任意角，并对任意角进行分类
【问题4】请你用自然语言描述图3中的角？
【问题5】类比实数的运算，如何定义角的加减运算使其与数的加减运算相统一？
【活动3】利用任意角的旋转理解角的加减运算，借助直角坐标系定义象限角
【问题6】实数可以借助数轴上对应点所在的正负半轴、原点等位置进行分类，那么，能否借助直角坐标系来讨论角？请举例说明．
【问题7】如图3，以射线OB1，OB2为终边的角是否唯一？如果不唯一，有多少个？从图中看，这些角的旋转方向是否一致？它们的共同特征是什么？
【活动4】对终边相同的角进行定性分析
【问题8】如图5，以射线OB为终边的角唯一吗？不唯一的话又有哪些？这些角从几何上看是经过怎样的变化得到的？从代数上看又有怎样的数量关系？
【活动5】对终边相同的角进行定量表示
【问题9】你能否用适当的集合语言描述图5中的角？该集合的表达是否唯一？
典例精析
【例1】[教材改编题](1) 如图,写出终边在x轴上的角的集合;(2)若角α=30°,请写出:① 角α按逆时针旋转45°后所在终边上所有角的集合;② 角α旋转75°后所在终边上所有角的集合;③ 角α关于y=x对称后所在终边上所有角的集合 例1
思路点拨：观察→以形分类→以数表达→数形对照.
【解】(1) 在0°~360°范围内,终边在x轴上的角有两个,即0°,180°角.所有与0°角终边相同的角构成集合S1={β|β=0°+k·360°,k∈Z},而所有与180°角终边相同的角构成集合S2={β|β=180°+k·360°,k∈Z}.于是,终边在x 轴上的角的集合S=S1∪S2={β|β=0°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=180°+k·360°,k∈Z}={β|β=0°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=n·180°,n∈Z}.
(2) ① 在0°~360°范围内,角α=30°时,角α按逆时针旋转45°后,所得角为75°.所有与75°角终边相同的角构成集合S1={β|β=75°+k·360°,k∈Z},因此,角α按逆时针旋转45°后所在终边上所有角的集合S={β|β=75°+k·360°,k∈Z}.② 角α=30°时,角α旋转75°后有两种情况:按逆时针旋转75°得到105°角,按顺时针旋转75°得到-45°角.在0°~360°范围内,角α旋转75°后所在终边上的角有两个角105°和315°(即360°-45°). 所有与105°角终边相同的角构成集合S1={β|β=105°+k·360°,k∈Z},所有与315°角终边相同的角构成集合S2={β|β=315°+k·360°,k∈Z}.因此,角α旋转75°后所在终边上所有角的集合S={β|β=105°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z}.③ 在0°~360°范围内,角α=30°时,角α关于y=x对称后所在终边上的角为45°+(45°-30°)=60°,所有与60°角终边相同的角构成集合S={β|β=60°+k·360°,k∈Z}.
【方法规律】1. 轴线角的集合表示: 2. 求某角旋转一定角度后的角时,应时刻抓住“旋转”二字,明确旋转方向和旋转角的大小,弄清角的始边.
【变式训练1】 (1) 若角α=30°,请写出角α按逆时针旋转1个30°后所在终边上所有角的集合、按逆时针旋转2个30°后所在终边上所有角的集合、按逆时针旋转m个30°后所在终边上所有角的集合.m为多少时,角α按逆时针旋转m个30°后所在终边上的所有角与角α终边重合?(2) 类比(1),若角α=45°,请写出角α按逆时针旋转m个45°后所在终边上所有角的集合,m为多少时与角α终边重合?
【解】(1) 若角α=30°,角α按逆时针旋转1个30°后所在终边上所有角的集合S={β|β=60°+k·360°,k∈Z},按逆时针旋转2个30°后所在终边上所有角的集合S={β|β=90°+k·360°,k∈Z},按逆时针旋转m个30°后所在终边上所有角的集合S={β|β=(m+1)·30°+k·360°,m∈N,k∈Z}.当m=12n,n∈N时,角α按逆时针旋转m个30°后所在终边上的所有角与角α=30°终边重合. (2) 由(1)知,若角α=45°,按逆时针旋转m个45°后所在终边上所有角的集合S={β|β=(m+1)·45°+k·360°,m∈N,k∈Z},当m=8n,n∈N时,与角α=45°终边重合.
【变式训练2】(多选)已知角2α的终边在x轴的上方,那么角α可能是( )A. 第一象限角 B. 第二象限角C. 第三象限角 D. 第四象限角
【解】因为角2α的终边在x轴的上方,所以k·360°<2α
思路点拨 观察→归纳任意角与0°~360°范围内角的位置关系→代数运算→得出答案.
【解】-1 190°30'=249°30'-4×360°,所以在0°~360°范围内,与-1 190°30'角终边相同的角是249°30'角,它是第三象限角.
【方法规律】角的概念推广以后,研究角不仅要考虑其大小,而且要注意其方向(正、负),所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可表示为集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.判断这些角在第几象限时,只需判断角α所在的象限即可.
思路点拨 结合象限角和任意角的概念逐个判断即可.
（备选例题）下列命题中正确的是( )A. 锐角是第一象限的角B. 大于90°的角是钝角C. 第一象限的角一定不是负角D. 第二象限的角一定大于第一象限的角
对于A,锐角是大于0°小于90°的角,显然锐角是第一象限角.故A正确;对于B,钝角是大于90°小于180°的角,而大于90°的角也可能是大于180°的角.故B错误;对于C,-359°显然是第一象限角.故C错误;对于D,135°是第二象限角,361°是第一象限角,但是135°<361°.故D错误.故选A.
【方法规律】正确理解锐角、钝角、任意角和象限角等概念是实现解题的基础和关键,对四个选项运用上述概念逐一进行判断,正确的必须给出充足的理由,错误的可列举反例加以说明,从而选出正确的答案.
通过本节课的学习，你学到了什么？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
1. 把－1485°化成k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是( )A. 315°－5×360° B. 45°－4×360°C. －315°－4×360° D. －45°－10×180°
2.角α与角β的终边关于y轴对称,则α与β的关系为( )A. α+β=k·360°,k∈ZB. α+β=k·360°+180°,k∈ZC. α-β=k·360°+180°,k∈ZD. α-β=k·360°,k∈Z3. (多选)已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则A，B，C的关系不正确的是( )A. B＝A∩C B. B∪C＝C C. A ⊆C D. A＝B＝C
4. [教材改编题]时间经过4h，时针、分针各转_________ _ __；当时针走了2h 40min，分针转过的角度是__________．
5. 能画出正弦函数、余弦函数、正切函数的图象,借助正弦函数、余弦函数、正切函数的图象,理解周期函数、函数的周期以及最小正周期的概念. 6. 结合正弦函数、余弦函数、正切函数的图象理解的正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值等性质,学会其应用. 7. 让学生经历推导两角差的余弦公式的过程,理解两角差的余弦公式的意义,并能运用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系.
8. 使学生能运用两角和与差的三角函数公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆),解决三角函数式的化简、求值和证明等问题. 9. 结合具体实例,引导学生了解函数y=Asin(ωx+φ)的实际意义,并能借助其图象理解参数ω,φ,A的意义,了解参数的变化对函数图象的影响,掌握其周期性、奇偶性、单调性、对称性和最大(小)值的研究方法.10. 让学生体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型,并学会运用和构建三角函数模型解决简单的实际问题.
高考对本单元的考查一般有两个方向:一是考查学生对三角函数的定义、图象、性质以及三角恒等变形等基础知识和基本方法的掌握情况;二是在三角函数、平面向量、解三角形以及实际应用的交汇处命题,考查学生综合运用三角函数的有关知识分析问题和解决问题的能力.其中,三角函数的图象和性质的研究、函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)模型的应用和三角函数式的恒等变形是考查的重点.具体如下:
1. 在考查内容上,以考查三角函数的图象和性质、函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)模型和三角函数式的恒等变形为主,突出对三角函数这一基本初等函数的基础知识、研究三角函数的图象和性质的一般方法和三角函数式的恒等变形的规律与技巧的考查.其中,三角函数式的恒等变形是每年高考必考的内容,常常是寓三角函数的图象和性质、三角函数的恒等变形、平面向量和解三角形于一体,进行综合考查,体现数学知识之间的有机联系和三角函数的广泛应用性,充分发挥出三角函数的工具作用.
2. 在能力要求上,突出对三角恒等变形的能力和三角函数模型的应用的考查,通过运用两角和与差的三角函数公式对给出的三角函数式进行恒等变形,实现三角函数式的化简、求值,研究三角函数的周期性、奇偶性、单调性和最大(小)值,或者以平面向量、解三角形和实际应用的背景呈现,从中建立起三角函数模型,再运用三角函数的知识来求解,考查学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力,对数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想方法的运用水平,以及数学运算、逻辑推理和数学建模等素养.
3. 在呈现方式上,可以是直接考查三角函数式的化简和求值,也可以是通过对三角函数进行恒等变形后再研究三角函数的图象和性质,或者是与平面向量、解三角形、实际问题等进行交汇考查.从题型上来讲,既有可能是选择题,又有可能是填空题,也有可能是解答题,一般地,必有一道是解答题,不排除三种题型都会出现的情况.
用数学的眼光从客观世界的周期性变化现象中抽象出圆周运动;利用单位圆直观理解任意角及弧度制的概念,并通过类比数的加减运算定义弧度制中角的运算;借助直角坐标系中单位圆上动点的坐标变化定义任意角的三角函数,理解诱导公式是单位圆特殊对称性的代数表示,进而形成利用数形结合思想探索三角函数相关性质的能力,把握研究数学对象的基本方法,提升数学抽象与逻辑推理能力.
通过运用三角函数模型描述周期现象,提高分析问题和解决问题的能力,在分析问题和解决问题的过程中体会类比、分类讨论、化归与转化思想和三角函数模型的应用,学会知识和方法的迁移,发展数学运算、数学建模素养.
5.1 任意角和弧度制
1. 通过日常生活中的实例,引出定义任意角概念的必要性:需要推广角的范围用以描述客观世界.2. 运用运动的观点理解任意角的概念,利用单位圆和直角坐标系建立象限角以及终边相同的角的概念.3. 类比实数运算定义角的加减运算,并能用坐标系讨论象限角和对角的终边位置进行定性的讨论和表达.
跳水运动、车轮的转运应该是大家十分熟悉的现象,请观察下面的图片: 图1 图2图1,高台跳水中,“反身翻腾两周半”“向前飞身翻腾一周半”这些语句描述的都是超出0°~360°范围的角,而且它们的旋转方向也不相同.图2,在机械表芯中我们可以看到大小两个齿轮的联动,由示意图2可知被动轮随主动轮旋转,OA绕点O旋转所成角与O'B绕点O'旋转所成角的大小不同且方向也不同.我们知道,在实数集中有正数、负数和零,联系0°~360°范围的角和现实中的这些角,你能给出一种方法适当扩充角的范围使这些角都能被描述吗?
【问题1】如何用旋转的观点描述角的形成？需要给出哪些量？
【活动1】观察任意角的表述特征
【问题2】现实生活中是否所有的角都能在0°～360°范围内表示呢？
【问题3】类比实数的正、负表示，如何用符号表示任意角？并参考实数的分类体系对角进行分类．
【活动2】用数学符号表示任意角，并对任意角进行分类
【问题4】请你用自然语言描述图3中的角？
【问题5】类比实数的运算，如何定义角的加减运算使其与数的加减运算相统一？
【活动3】利用任意角的旋转理解角的加减运算，借助直角坐标系定义象限角
【问题6】实数可以借助数轴上对应点所在的正负半轴、原点等位置进行分类，那么，能否借助直角坐标系来讨论角？请举例说明．
【问题7】如图3，以射线OB1，OB2为终边的角是否唯一？如果不唯一，有多少个？从图中看，这些角的旋转方向是否一致？它们的共同特征是什么？
【活动4】对终边相同的角进行定性分析
【问题8】如图5，以射线OB为终边的角唯一吗？不唯一的话又有哪些？这些角从几何上看是经过怎样的变化得到的？从代数上看又有怎样的数量关系？
【活动5】对终边相同的角进行定量表示
【问题9】你能否用适当的集合语言描述图5中的角？该集合的表达是否唯一？
典例精析
【例1】[教材改编题](1) 如图,写出终边在x轴上的角的集合;(2)若角α=30°,请写出:① 角α按逆时针旋转45°后所在终边上所有角的集合;② 角α旋转75°后所在终边上所有角的集合;③ 角α关于y=x对称后所在终边上所有角的集合 例1
思路点拨：观察→以形分类→以数表达→数形对照.
【解】(1) 在0°~360°范围内,终边在x轴上的角有两个,即0°,180°角.所有与0°角终边相同的角构成集合S1={β|β=0°+k·360°,k∈Z},而所有与180°角终边相同的角构成集合S2={β|β=180°+k·360°,k∈Z}.于是,终边在x 轴上的角的集合S=S1∪S2={β|β=0°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=180°+k·360°,k∈Z}={β|β=0°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=n·180°,n∈Z}.
(2) ① 在0°~360°范围内,角α=30°时,角α按逆时针旋转45°后,所得角为75°.所有与75°角终边相同的角构成集合S1={β|β=75°+k·360°,k∈Z},因此,角α按逆时针旋转45°后所在终边上所有角的集合S={β|β=75°+k·360°,k∈Z}.② 角α=30°时,角α旋转75°后有两种情况:按逆时针旋转75°得到105°角,按顺时针旋转75°得到-45°角.在0°~360°范围内,角α旋转75°后所在终边上的角有两个角105°和315°(即360°-45°). 所有与105°角终边相同的角构成集合S1={β|β=105°+k·360°,k∈Z},所有与315°角终边相同的角构成集合S2={β|β=315°+k·360°,k∈Z}.因此,角α旋转75°后所在终边上所有角的集合S={β|β=105°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z}.③ 在0°~360°范围内,角α=30°时,角α关于y=x对称后所在终边上的角为45°+(45°-30°)=60°,所有与60°角终边相同的角构成集合S={β|β=60°+k·360°,k∈Z}.
【方法规律】1. 轴线角的集合表示: 2. 求某角旋转一定角度后的角时,应时刻抓住“旋转”二字,明确旋转方向和旋转角的大小,弄清角的始边.
【变式训练1】 (1) 若角α=30°,请写出角α按逆时针旋转1个30°后所在终边上所有角的集合、按逆时针旋转2个30°后所在终边上所有角的集合、按逆时针旋转m个30°后所在终边上所有角的集合.m为多少时,角α按逆时针旋转m个30°后所在终边上的所有角与角α终边重合?(2) 类比(1),若角α=45°,请写出角α按逆时针旋转m个45°后所在终边上所有角的集合,m为多少时与角α终边重合?
【解】(1) 若角α=30°,角α按逆时针旋转1个30°后所在终边上所有角的集合S={β|β=60°+k·360°,k∈Z},按逆时针旋转2个30°后所在终边上所有角的集合S={β|β=90°+k·360°,k∈Z},按逆时针旋转m个30°后所在终边上所有角的集合S={β|β=(m+1)·30°+k·360°,m∈N,k∈Z}.当m=12n,n∈N时,角α按逆时针旋转m个30°后所在终边上的所有角与角α=30°终边重合. (2) 由(1)知,若角α=45°,按逆时针旋转m个45°后所在终边上所有角的集合S={β|β=(m+1)·45°+k·360°,m∈N,k∈Z},当m=8n,n∈N时,与角α=45°终边重合.
【变式训练2】(多选)已知角2α的终边在x轴的上方,那么角α可能是( )A. 第一象限角 B. 第二象限角C. 第三象限角 D. 第四象限角
【解】因为角2α的终边在x轴的上方,所以k·360°<2α
思路点拨 观察→归纳任意角与0°~360°范围内角的位置关系→代数运算→得出答案.
【解】-1 190°30'=249°30'-4×360°,所以在0°~360°范围内,与-1 190°30'角终边相同的角是249°30'角,它是第三象限角.
【方法规律】角的概念推广以后,研究角不仅要考虑其大小,而且要注意其方向(正、负),所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可表示为集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.判断这些角在第几象限时,只需判断角α所在的象限即可.
思路点拨 结合象限角和任意角的概念逐个判断即可.
（备选例题）下列命题中正确的是( )A. 锐角是第一象限的角B. 大于90°的角是钝角C. 第一象限的角一定不是负角D. 第二象限的角一定大于第一象限的角
对于A,锐角是大于0°小于90°的角,显然锐角是第一象限角.故A正确;对于B,钝角是大于90°小于180°的角,而大于90°的角也可能是大于180°的角.故B错误;对于C,-359°显然是第一象限角.故C错误;对于D,135°是第二象限角,361°是第一象限角,但是135°<361°.故D错误.故选A.
【方法规律】正确理解锐角、钝角、任意角和象限角等概念是实现解题的基础和关键,对四个选项运用上述概念逐一进行判断,正确的必须给出充足的理由,错误的可列举反例加以说明,从而选出正确的答案.
通过本节课的学习，你学到了什么？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
1. 把－1485°化成k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是( )A. 315°－5×360° B. 45°－4×360°C. －315°－4×360° D. －45°－10×180°
2.角α与角β的终边关于y轴对称,则α与β的关系为( )A. α+β=k·360°,k∈ZB. α+β=k·360°+180°,k∈ZC. α-β=k·360°+180°,k∈ZD. α-β=k·360°,k∈Z3. (多选)已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则A，B，C的关系不正确的是( )A. B＝A∩C B. B∪C＝C C. A ⊆C D. A＝B＝C
4. [教材改编题]时间经过4h，时针、分针各转_________ _ __；当时针走了2h 40min，分针转过的角度是__________．
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