2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习9函数的对称性（Word版附解析）

这是一份2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习9函数的对称性（Word版附解析），共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．函数f(x)＝eq \f(9x＋1,3x)的图象( )
A.关于直线x＝1对称B．关于y轴对称
C.关于原点对称D．关于x轴对称
2．[2024·辽宁丹东模拟]设函数f(x)＝eq \f(2,1＋2x)，则( )
A．f(x)是奇函数
B．f(x)是偶函数
C．f(x)的图象关于点(0，1)中心对称
D．f(x)的图象关于直线x＝1轴对称
3．若函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于( )
A．直线x＝0对称B．直线y＝0对称
C．直线x＝1对称D．直线y＝1对称
4．已知奇函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(m)＝3，则f(m－4)的值为( )
A．3B．0
C．－3D．eq \f(1,3)
5．已知定义域为R的函数f(x)的图象关于点(1，0)成中心对称，且当x≥1时，f(x)＝x2＋mx＋n，若f(－1)＝－7，则3m＋n＝( )
A．7B．2
C．－2D．－eq \f(1,2)
6．若函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝2，则下列函数是奇函数的是( )
A．f(x－1)－1B．f(x＋1)＋1
C．f(x)－1D．f(x)＋1
7．(素养提升)[2024·江苏扬州模拟]已知函数f(x)(x∈R)的导函数为f′(x)，且满足f(x)－f(2－x)＝0，则( )
A.函数f(x)的图象关于点(1，1)对称
B．函数f(x)的图象关于直线x＝2对称
C．函数f′(x)的图象关于直线x＝1对称
D．函数f′(x)的图象关于点(1，0)对称
8．(素养提升)已知函数f(x)的定义域为R，f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(3)＝0，且对任意的x1，x2∈(－∞，0)，x1≠x2，满足eq \f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)<0，则不等式(x－1)f(x＋1)≥0的解集为( )
A．(－∞，1]∪[2，＋∞)
B．[－4，－1]∪[0，1]
C．[－4，－1]∪[1，2]
D．[－4，－1]∪[2，＋∞)
二、多项选择题
9．[2024·河北衡水模拟]已知函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝3，则函数f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝x＋eq \f(1,x＋3)B．f(x)＝ex－3＋e3－x
C．f(x)＝x4－18x2D．f(x)＝|x2－6x|
10．(素养提升)已知函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，且f(1－x)＝f(1＋x)，则( )
A．f(0)＝f(2) B．f(－1)＜f(4)
C．f(2x＋1)＜f(1) D．f(x＋1)为偶函数
三、填空题
11．请写出一个图象关于点(1，0)对称的函数的解析式__________．
12．[2024·广东深圳模拟]定义在R上的函数f(x)，当－1≤x≤1时，f(x)＝x3.若函数f(x＋1)为偶函数，则f(3)＝______．
13．(素养提升)[2024·福建龙岩模拟]已知定义在R上的函数y＝f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，若方程f(x)＝0有且仅有三个根，且x＝0为其一个根，则其它两根为________．
四、解答题
14．已知函数f(x)＝eq \f(3,9x＋3).
(1)求证：函数f(x)的图象关于点(eq \f(1,2)，eq \f(1,2))对称；
(2)求S＝f(－2022)＋f(－2021)＋…＋f(0)＋…＋f(2022)＋f(2023)的值．
优生选做题
15．[2024·河南郑州模拟]对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，现给出定义：设f′(x)是函数f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g(x)＝eq \f(x3,3)－x2＋eq \f(5,3)，则g(eq \f(1,9))＋g(eq \f(2,9))＋g(eq \f(3,9))＋…＋g(eq \f(17,9))＝( )
A．eq \f(17,3)B．eq \f(17,2)
C．17D．34
16．我们知道，函数y＝f(x)的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．
(1)设函数f(x)＝x3－3x2＋1，求函数f(x)图象的对称中心．
(2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论．
课后定时检测案9 函数的对称性
1．解析：因为f(x)＝eq \f(9x＋1,3x)＝eq \f(（3x）2＋1,3x)＝3x＋eq \f(1,3x)＝3x＋3－x，f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称．故选B.
答案：B
2．解析：对于A，f(－x)＝eq \f(2,1＋2－x)≠－f(x)，则f(x)不是奇函数，故A错误；对于B，f(－x)＝eq \f(2,1＋2－x)≠f(x)，则f(x)不是偶函数，故B错误；对于C，f(x)＋f(－x)＝eq \f(2,1＋2x)＋eq \f(2,1＋2－x)＝eq \f(2（1＋2x）,1＋2x)＝2，故f(x)的图象关于点(0，1)中心对称，故C正确；对于D，f(2－x)＝eq \f(2,1＋22－x)≠f(x)，则f(x)的图象不关于直线x＝1轴对称，故D错误．故选C.
答案：C
3．解析：因为函数f(x－1)的图象是f(x)的图象向右平移1个单位得到的，
f(1－x)＝f(－(x－1))的图象是f(－x)的图象也向右平移1个单位得到的；
又因为f(x)与f(－x)的图象是关于y轴(直线x＝0)对称，
所以函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．故选C.
答案：C
4．解析：由函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，可得f(m)＝f(4－m)，
再结合y＝f(x)为奇函数，可得f(m)＝f(4－m)＝－f(m－4)＝3，
求得f(m－4)＝－3.故选C.
答案：C
5．解析：因为定义域为R的函数f(x)的图象关于点(1，0)成中心对称，且当x≥1时，f(x)＝x2＋mx＋n，
若f(－1)＝－7，则f(3)＝－f(－1)＝7.
故f(3)＝32＋3m＋n＝7，即3m＋n＝－2.故选C.
答案：C
6．解析：∵函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝2，
∴函数关于(0，1)对称，
则f(x)－1关于(0，0)对称，即f(x)－1是奇函数．故选C.
答案：C
7．解析：由f(x)－f(2－x)＝0，可知函数f(x)的图象关于直线x＝eq \f(0＋2,2)＝1对称；
对f(x)－f(2－x)＝0求导，得f′(x)＋f′(2－x)＝0，
则函数f′(x)的图象关于点(1，0)对称，所以ABC错误，D正确．故选D.
答案：D
8．解析：∵f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，∴f(x)的图象关于点(0，0)对称，∴f(x)是定义在R上的奇函数，
∵对任意的x1，x2∈(－∞，0)，x1≠x2，满足eq \f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)<0，∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，∴f(x)在(0，＋∞)上也单调递减，
又f(3)＝0，∴f(－3)＝0，且f(0)＝0，
∴当x∈(－∞，－3)∪(0，3)时，f(x)>0；当x∈(－3，0)∪(3，＋∞)时，f(x)<0，
∴由(x－1)f(x＋1)≥0可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－1<0，,－3≤x＋1≤0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－1>0，,0≤x＋1≤3))或x－1＝0，
解得－4≤x≤－1或1≤x≤2，即不等式(x－1)f(x＋1)≥0的解集为[－4，－1]∪[1，2].故选C.
答案：C
9．解析：若f(x)的图象的对称轴方程为x＝3，则f(6－x)＝f(x)；
对于A，f(6－x)＝6－x＋eq \f(1,9－x)≠f(x)，A错误；
对于B，f(6－x)＝e3－x＋ex－3＝f(x)，B正确；
对于C，∵f(0)＝0，f(6)＝64－18×62＝648，∴f(0)≠f(6)，
即f(6－x)＝f(x)不恒成立，C错误；
对于D，f(6－x)＝|(6－x)2－6(6－x)|＝|x2－6x|＝f(x)，D正确．故选BD.
答案：BD
10．解析：根据题意，依次分析选项：
对于A，函数y＝f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，令x＝1可得：
f(0)＝f(2)，A正确；
同理：令x＝2可得：f(－1)＝f(3)，函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则有f(－1)＝f(3)＜f(4)，B正确；
对于C，函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，而2x＋1＞1，则有f(2x＋1)＞f(1)，C错误；
对于D，函数y＝f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，则f(x)关于直线x＝1对称，f(x＋1)关于y轴对称，所以f(x＋1)为偶函数，D正确．故选ABD.
答案：ABD
11．解析：y＝eq \f(1,x)的图象关于原点对称，则y＝eq \f(1,x－1)的图象关于点(1，0)对称．同样如函数y＝(x－1)3也满足题意．
答案：y＝eq \f(1,x－1)(答案不唯一)
12．解析：函数f(x＋1)为偶函数，图象关于y轴对称，
所以f(x)关于x＝1对称，即f(1＋x)＝f(1－x)，
所以f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝f(－1)＝(－1)3＝－1.
答案：－1
13．解析：因为定义在R上的函数y＝f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，
则函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
因为方程f(x)＝0有且仅有三个根，且x＝0为其一个根，则x＝2为该方程的一根，
在等式f(2＋x)＝f(2－x)中，令x＝2，可得f(4)＝f(0)＝0，
因此，方程f(x)的另外两根为2、4.
答案：2、4
14．解析：(1)因为f(x)＝eq \f(3,9x＋3)，所以f(1－x)＝eq \f(3,91－x＋3)＝eq \f(3·9x,9＋3·9x)＝eq \f(9x,9x＋3)，
所以f(x)＋f(1－x)＝1，即函数f(x)的图象关于点(eq \f(1,2)，eq \f(1,2))对称．
(2)由(1)知与首尾两端等距离的两项的和相等，使用倒序相加求和．
因为S＝f(－2022)＋f(－2021)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2022)＋f(2023)，
所以S＝f(2023)＋f(2022)＋…＋f(1)＋f(0)＋…＋f(－2021)＋f(－2022)(倒序)，
又由(1)得f(x)＋f(1－x)＝1，
所以2S＝4046，所以S＝2023.
15．解析：由函数g(x)＝eq \f(x3,3)－x2＋eq \f(5,3)，可得g′(x)＝x2－2x，所以g″(x)＝2x－2，
令g″(x0)＝2x0－2＝0，可得x0＝1，
又由g(1)＝eq \f(1,3)－1＋eq \f(5,3)＝1，即函数g(x)的对称中心为(1，1)，
所以g(x)＋g(2－x)＝2，
则g(eq \f(1,9))＋g(eq \f(2,9))＋g(eq \f(3,9))＋…＋g(eq \f(17,9))＝eq \f(1,2)[g(eq \f(1,9))＋g(eq \f(17,9))＋g(eq \f(2,9))＋g(eq \f(16,9))＋…＋g(eq \f(17,9))＋g(eq \f(1,9))]＝eq \f(1,2)×2×17＝17.故选C.
答案：C
16．解析：(1)因为f(x＋1)＋1＝(x＋1)3－3(x＋1)2＋2
＝x3＋3x2＋3x＋1－3x2－6x－3＋2＝x3－3x，
记h(x)＝f(x＋1)＋1＝x3－3x，x∈R，
因为h(－x)＝(－x)3＋3x＝－(x3－3x)＝－h(x)，
所以h(x)为奇函数，即y＝f(x＋1)＋1为奇函数，
由题知，f(x)的图象关于点P(1，－1)对称．
(2)其推广结论为：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数．
若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形，则将函数图象向左平移a个单位长度后的图象关于y轴对称，即y＝f(x＋a)为偶函数；反之亦然．