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2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习61双曲线（Word版附解析）
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这是一份2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习61双曲线（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．[2024·辽宁沈阳模拟]若方程eq \f(x2,k＋1)＋eq \f(y2,k－2)＝1表示双曲线，则实数k的取值范围为( )
A．(－1，2) B．(－∞，－1)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
2．[2024·江苏泰州模拟]若双曲线ky2－8x2＝8的焦距为6，则该双曲线的离心率为( )
A．eq \f(3\r(2),4) B．eq \f(3,2)C．3 D．eq \f(10,3)
3．[2024·山东临沂模拟]知双曲线C：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1的一条渐近线斜率为－2，实轴长为4，则C的标准方程为( )
A．y2－eq \f(x2,4)＝1B．eq \f(y2,4)－eq \f(x2,16)＝1
C．eq \f(y2,4)－x2＝1D．eq \f(y2,16)－eq \f(x2,4)＝1
4．[2024·山西吕梁模拟]若双曲线C的一条渐近线的方程为x＋2y＝0，则下列选项中不可能为双曲线C的方程的是( )
A．eq \f(x2,4)－y2＝1B．eq \f(x2,20)－eq \f(y2,5)＝1
C．eq \f(y2,8)－eq \f(x2,2)＝1D．eq \f(y2,3)－eq \f(x2,12)＝1
5．[2024·河北邯郸模拟]若双曲线x2－m2y2＝λ(λ≠0)的两条渐近线互相垂直，则m＝( )
A．－1 B．±1C．2 D．±2
6．[2024·河北保定模拟]已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，B为虚轴上端点，M是BF中点，O为坐标原点，OM交双曲线右支于N，若FN垂直于x轴，则双曲线C的离心率为( )
A．eq \r(2) B．2C．eq \r(3) D．eq \f(2\r(3),3)
7．已知圆M：(x＋4)2＋y2＝16，M为圆心，P为圆上任意一点，定点A(4，0)，线段PA的垂直平分线l与直线PM相交于点Q，则当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1(x≤－2)
B．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1
C．x2－eq \f(y2,3)＝1(x≤－1)
D．x2－eq \f(y2,3)＝1
8．(素养提升)[2024·重庆沙坪坝模拟]设F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,2)－eq \f(y2,4)＝1的左、右两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|eq \(OP,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|－|，则△PF1O的面积为( )
A．4B．2eq \r(2)
C．3D．2
二、多项选择题
9．[2024·山东枣庄模拟]已知曲线C1：5x2＋y2＝5，C2：x2－4y2＝4，则( )
A．C1的长轴长为eq \r(5)
B．C2的渐近线方程为x±2y＝0
C．C1与C2的离心率互为倒数
D．C1与C2的焦点相同
10．(素养提升)[2024·河北沧州模拟]已知F1，F2分别为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上第一象限内一点，且∠F1PF2＝eq \f(π,3)，|F1F2|＝2eq \r(3)，F1关于∠F1PF2的平分线的对称点Q恰好在C上，则( )
A．C的实轴长为2
B．C的离心率为2eq \r(3)
C．△F1PF2的面积为2eq \r(3)
D．∠F1PF2的平分线所在直线的方程为eq \r(3)x－y－1＝0
三、填空题
11．[2024·河北石家庄模拟]已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0，a为正整数)的离心率e＝eq \f(\r(7),2)，焦距不大于4eq \r(5)，试写出双曲线的一个方程：________________．
12．[2024·安徽六安模拟]已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过点F1作与一条渐近线垂直的直线l，且l与双曲线的左右两支分别交于M，N两点，若|MN|＝|NF2|，则该双曲线的渐近线方程为________________．
四、解答题
13．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为eq \r(2)，且过点P(4，－eq \r(10)).
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；
(3)在(2)的条件下，求△F1MF2的面积．
优生选做题
14．[2024·河北石家庄模拟]已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左右焦点分别是F1，F2，左右顶点分别是A1，A2，离心率为2，点P在C上，若直线A1P，A2P的斜率之和为eq \f(6\r(15),5)，△PF1F2的面积为eq \r(15)，则a＝( )
A．1B．eq \r(2)
C．eq \r(3)D．2
15．[2024·山东潍坊模拟]已知双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,9)＝1(a>1)的中心为坐标原点O，左、右焦点分别为F1，F2，且点A(5，－eq \f(9,4))在双曲线E上．
(1)求双曲线E的渐近线方程；
(2)若直线l1与直线l2：x＝eq \f(16,5)交于点C，点D是双曲线E上一点，且满足＝0，记直线CD的斜率为k1，直线OD的斜率为k2，求k1·k2.
课后定时检测案61 双曲线
1．解析：依题意，得(k＋1)(k－2)<0，则－1答案：A
2．解析：因为ky2－8x2＝8为双曲线，所以k≠0，化为标准方程为：eq \f(y2,\f(8,k))－eq \f(x2,1)＝1.由焦距为6可得：c＝eq \r(\f(8,k)＋1)＝3，解得k＝1.所以双曲线为eq \f(y2,8)－eq \f(x2,1)＝1.所以双曲线的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,\r(8))＝eq \f(3\r(2),4).故选A.
答案：A
3．解析：由题意双曲线C：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1的焦点在y轴上，则2a＝4，a＝2，又－eq \f(a,b)＝－2，则b＝1，故C的标准方程为eq \f(y2,4)－x2＝1.故选C.
答案：C
4．解析：对于A，由题意可知，此双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，即x±2y＝0，符合题意；
对于B，由题意可知，此双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，即x±2y＝0，符合题意；
对于C，由题易知双曲线eq \f(y2,8)－eq \f(x2,2)＝1的渐近线方程为y＝±2x，不符题意；
对于D，由题意可知，此双曲线的渐近线方程为：y＝±eq \f(1,2)x，即x±2y＝0，符合题意．故选C.
答案：C
5．解析：当λ>0时，双曲线焦点在x轴上，a2＝λ，b2＝eq \f(λ,m2)，故eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,m2)，渐近线方程为y＝±eq \f(1,m)x，当λ<0时，双曲线焦点在y轴上，b2＝－λ，a2＝－eq \f(λ,m2)，故eq \f(a2,b2)＝eq \f(1,m2)，渐近线方程为y＝±eq \f(1,m)x，所以其渐近线方程为y＝±eq \f(1,m)x，又因为双曲线x2－m2y2＝λ(λ≠0)的两条渐近线互相垂直，所以－eq \f(1,m)×eq \f(1,m)＝－1，解得m＝±1.故选B.
答案：B
6．解析：由题意，在双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，右焦点为F，FN垂直于x轴，
由题意可知：F(c，0)，B(0，b)，N(c，eq \f(b2,a))，
因为M是BF中点，则M(eq \f(c,2)，eq \f(b,2))，可得eq \(OM,\s\up6(→))＝(eq \f(c,2)，eq \f(b,2))，eq \(ON,\s\up6(→))＝(c，eq \f(b2,a))，
且O，M，N三点共线，则eq \(OM,\s\up6(→))∥eq \(ON,\s\up6(→))，可得eq \f(c,2)×eq \f(b2,a)＝c×eq \f(b,2)，即a＝b，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \r(2).故选A.
答案：A
7．解析：因为线段PA的垂直平分线l与直线PM相交于点Q，所以有|QA|＝|QP|，由圆M：(x＋4)2＋y2＝16，得M(－4，0)，该圆的半径r＝4，因为点P在圆上运动时，有||QP|－|QM||＝4，于是有||QA|－|QM||＝4，所以点Q的轨迹是以A，M为焦点的双曲线，所以c＝4，2a＝4，可得a＝2，所以b2＝c2－a2＝12，所以点Q的轨迹方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1.故选B.
答案：B
8．解析：由|eq \(OP,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(PF1,\s\up6(→))－eq \(PF2,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(F2F1,\s\up6(→))|＝c＝eq \r(6)，
所以P是以原点为圆心，eq \r(6)为半径的圆与双曲线C的交点，
又F1(－eq \r(6)，0)，F2(eq \r(6)，0)，即它们也在P点所在的圆上，且|eq \(F2F1,\s\up6(→))|为直径，
所以△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°，
如图，|eq \(PF1,\s\up6(→))|－|eq \(PF2,\s\up6(→))|＝2a＝2eq \r(2)，且|eq \(PF1,\s\up6(→))|2＋|eq \(PF2,\s\up6(→))|2＝4c2＝24，
所以(2eq \r(2)＋|eq \(PF2,\s\up6(→))|)2＋|eq \(PF2,\s\up6(→))|2＝24⇒|eq \(PF2,\s\up6(→))|2＋2eq \r(2)|eq \(PF2,\s\up6(→))|－8＝0⇒|eq \(PF2,\s\up6(→))|＝eq \r(10)－eq \r(2)，
则|eq \(PF1,\s\up6(→))|＝eq \r(10)＋eq \r(2)，故△PF1O的面积为eq \f(1,2)×eq \f(1,2)|eq \(PF1,\s\up6(→))||eq \(PF2,\s\up6(→))|＝2．故选D.
答案：D
9．解析：曲线C1：5x2＋y2＝5整理得eq \f(y2,5)＋x2＝1，则曲线C1是焦点在y轴上的椭圆，其中a eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(1)) ＝5，b eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(1)) ＝1，所以c eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(1)) ＝a eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(1)) －b eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(1)) ＝4，离心率为e1＝eq \f(c1,a1)＝eq \f(2,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5)，故曲线C1的长轴长2a1＝2eq \r(5)，故A错误；
曲线C2：x2－4y2＝4整理得eq \f(x2,4)－y2＝1，则曲线C2是焦点在x轴上的双曲线，其中a eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(2)) ＝4，b eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(2)) ＝1，所以c eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(2)) ＝a eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(2)) ＋b eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(2)) ＝5，离心率为e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(\r(5),2)，C2的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，即x±2y＝0，故B正确；
e1·e2＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(5),2)＝1，所以C1与C2的离心率互为倒数，故C正确；
C1的焦点在y轴上，C2的焦点在x轴上，焦点位置不同，故D错误．故选BC.
答案：BC
10．解析：由题意，在C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，
∵F1关于∠F1PF2的平分线的对称点Q恰好在C上，
∴P，F2，Q三点共线，且|PF1|＝|PQ|，
∵∠F1PF2＝eq \f(π,3)，∴|PF1|＝|F1Q|＝|PQ|.
设|PF1|＝|F1Q|＝|PQ|＝m，|PF2|＝n，
根据双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝m－n＝2a，|QF1|－|QF2|＝m－(m－n)＝2a，
解得m＝4a，n＝2a，即|PF2|＝|QF2|＝2a，∴PQ⊥F1F2.
在△F1PF2中，根据勾股定理可得，16a2＝4a2＋12，解得a＝1，
∴C的实轴长为2，所以A正确；
又a＝1，c＝eq \r(3)，∴C的离心率为eq \r(3)，所以B不正确；
△F1PF2的面积为eq \f(1,2)×2eq \r(3)×2＝2eq \r(3)，∴C正确；
∵PQ⊥F1F2，∴P(eq \r(3)，2)，
∵∠F1PF2＝eq \f(π,3)，易得∠F1PF2的平分线的倾斜角为eq \f(π,3)，
∴∠F1PF2的平分线所在直线的方程为y－2＝eq \r(3)(x－eq \r(3))，即eq \r(3)x－y－1＝0，所以D正确．故选ACD.
答案：ACD
11．解析：由e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),2)得4c2＝7a2，又c2＝a2＋b2，所以4(a2＋b2)＝7a2，即2b＝eq \r(3)a.又c≤2eq \r(5)，所以eq \f(7a2,4)≤20，得7a2≤80.因为a为正整数，所以a＝1或a＝2或a＝3，即b＝eq \f(\r(3),2)或b＝eq \r(3)或b＝eq \f(3\r(3),2)，则双曲线方程为x2－eq \f(4y2,3)＝1或eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1或eq \f(x2,9)－eq \f(4y2,27)＝1.
答案：x2－eq \f(4y2,3)＝1，eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1，eq \f(x2,9)－eq \f(4y2,27)＝1(写出其中一个即可)
12．解析：如图，设直线l：y＝－eq \f(b,a)x，F1S⊥l且垂足为S，
因为|F1N|－|F2N|＝2a，故|F1M|＝2a，所以|F2M|＝4a，
而F1S⊥l，故F1S＝b，故cs∠SF1F2＝eq \f(b,c)，
在△F1MF2中，由余弦定理可得16a2＝4a2＋4c2－2×2c×2a×eq \f(b,c)，
整理得到：2a2＋2ab－b2＝0，故eq \f(b,a)＝1＋eq \r(3)，
因此该双曲线的渐近线方程为y＝±(eq \r(3)＋1)x.
答案：y＝±(eq \r(3)＋1)x
13．解析：(1)因为e＝eq \r(2)，
所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0).
因为过点P(4，－eq \r(10))，所以16－10＝λ，即λ＝6.
所以双曲线方程为x2－y2＝6，即eq \f(x2,6)－eq \f(y2,6)＝1.
(2)证明：由(1)可知，双曲线中a＝b＝eq \r(6)，所以c＝2eq \r(3)，不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，
则F1(－2eq \r(3)，0)，F2(2eq \r(3)，0).
方法一 kMF1＝eq \f(m,3＋2\r(3))，kMF2＝eq \f(m,3－2\r(3))，
kMF1·kMF2＝eq \f(m2,9－12)＝－eq \f(m2,3)，
因为点M(3，m)在双曲线上，
所以9－m2＝6，m2＝3，
所以kMF1·kMF2＝－1，
所以MF1⊥MF2，所以eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0.
方法二 因为eq \(MF1,\s\up6(→))＝(－2eq \r(3)－3，－m)，eq \(MF2,\s\up6(→))＝(2eq \r(3)－3，－m)，
所以eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝(3＋2eq \r(3))×(3－2eq \r(3))＋m2＝－3＋m2.
因为M点在双曲线上，
所以9－m2＝6，即m2＝3，
所以eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0.
(3)△F1MF2的底边长|F1F2|＝4eq \r(3)，
△F1MF2的高h＝|m|＝eq \r(3)，所以S△F1MF2＝6.
14．解析：∵e＝eq \f(c,a)＝2，c2＝4a2，c2＝a2＋b2，
∴c＝2a，3a2＝b2，
∵＝eq \f(1,2)·2c·|yP|＝eq \r(15)，
∴|yP|＝eq \f(\r(15),c)＝eq \f(\r(15),2a) ①，
|xP|＝eq \r(（\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(P)) ,b2)＋1）a2)＝eq \r(\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(P)) ,3)＋a2)＝eq \r(\f(5,4a2)＋a2) ②，
∵kA1P＋kA2P＝eq \f(6\r(15),5)>0，A1(－a，0)，A2(a，0)，
∴kA1P＋kA2P＝eq \f(yP,xP＋a)＋eq \f(yP,xP－a)＝eq \f(2xPyP,x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(P)) －a2)＝2×eq \f(b2,a2)×eq \f(xP,yP)＝eq \f(6xP,yP)＝eq \f(6\r(15),5)，故eq \f(xP,yP)＝eq \f(\r(15),5) ③，
由①②③，得eq \r(\f(5,4a2)＋a2)＝eq \f(\r(15),2a)×eq \f(\r(15),5)，解得a＝1.故选A.
答案：A
15．解析：(1)由题意得eq \f(25,a2)－(－eq \f(9,4))2×eq \f(1,9)＝1，a>1，解得a＝4.
所以双曲线方程为：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，
于是其渐近线为y＝eq \f(3,4)x或y＝－eq \f(3,4)x，即3x－4y＝0或3x＋4y＝0.
(2)设C(eq \f(16,5)，t)，D(x0，y0)，F2(5，0)，因为eq \(CF2,\s\up6(→))·eq \(DF2,\s\up6(→))＝0，
所以(5－eq \f(16,5)，－t)·(5－x0，－y0)＝0，整理得ty0＝eq \f(9,5)(x0－5).
因为点D(x0，y0)在双曲线上，所以eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,16)－eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,9)＝1，即y eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(0)) ＝eq \f(9,16)(x eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(0)) －16)，
所以k1·k2＝eq \f(y0－t,x0－\f(16,5))·eq \f(y0,x0)＝eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) －ty0,x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) －\f(16,5)x0)
＝eq \f(\f(9,16)（x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) －16）－\f(9,5)（x0－5）,x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) －\f(16,5)x0)＝eq \f(9,16).
1．[2024·辽宁沈阳模拟]若方程eq \f(x2,k＋1)＋eq \f(y2,k－2)＝1表示双曲线，则实数k的取值范围为( )
A．(－1，2) B．(－∞，－1)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
2．[2024·江苏泰州模拟]若双曲线ky2－8x2＝8的焦距为6，则该双曲线的离心率为( )
A．eq \f(3\r(2),4) B．eq \f(3,2)C．3 D．eq \f(10,3)
3．[2024·山东临沂模拟]知双曲线C：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1的一条渐近线斜率为－2，实轴长为4，则C的标准方程为( )
A．y2－eq \f(x2,4)＝1B．eq \f(y2,4)－eq \f(x2,16)＝1
C．eq \f(y2,4)－x2＝1D．eq \f(y2,16)－eq \f(x2,4)＝1
4．[2024·山西吕梁模拟]若双曲线C的一条渐近线的方程为x＋2y＝0，则下列选项中不可能为双曲线C的方程的是( )
A．eq \f(x2,4)－y2＝1B．eq \f(x2,20)－eq \f(y2,5)＝1
C．eq \f(y2,8)－eq \f(x2,2)＝1D．eq \f(y2,3)－eq \f(x2,12)＝1
5．[2024·河北邯郸模拟]若双曲线x2－m2y2＝λ(λ≠0)的两条渐近线互相垂直，则m＝( )
A．－1 B．±1C．2 D．±2
6．[2024·河北保定模拟]已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，B为虚轴上端点，M是BF中点，O为坐标原点，OM交双曲线右支于N，若FN垂直于x轴，则双曲线C的离心率为( )
A．eq \r(2) B．2C．eq \r(3) D．eq \f(2\r(3),3)
7．已知圆M：(x＋4)2＋y2＝16，M为圆心，P为圆上任意一点，定点A(4，0)，线段PA的垂直平分线l与直线PM相交于点Q，则当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1(x≤－2)
B．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1
C．x2－eq \f(y2,3)＝1(x≤－1)
D．x2－eq \f(y2,3)＝1
8．(素养提升)[2024·重庆沙坪坝模拟]设F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,2)－eq \f(y2,4)＝1的左、右两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|eq \(OP,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|－|，则△PF1O的面积为( )
A．4B．2eq \r(2)
C．3D．2
二、多项选择题
9．[2024·山东枣庄模拟]已知曲线C1：5x2＋y2＝5，C2：x2－4y2＝4，则( )
A．C1的长轴长为eq \r(5)
B．C2的渐近线方程为x±2y＝0
C．C1与C2的离心率互为倒数
D．C1与C2的焦点相同
10．(素养提升)[2024·河北沧州模拟]已知F1，F2分别为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上第一象限内一点，且∠F1PF2＝eq \f(π,3)，|F1F2|＝2eq \r(3)，F1关于∠F1PF2的平分线的对称点Q恰好在C上，则( )
A．C的实轴长为2
B．C的离心率为2eq \r(3)
C．△F1PF2的面积为2eq \r(3)
D．∠F1PF2的平分线所在直线的方程为eq \r(3)x－y－1＝0
三、填空题
11．[2024·河北石家庄模拟]已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0，a为正整数)的离心率e＝eq \f(\r(7),2)，焦距不大于4eq \r(5)，试写出双曲线的一个方程：________________．
12．[2024·安徽六安模拟]已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过点F1作与一条渐近线垂直的直线l，且l与双曲线的左右两支分别交于M，N两点，若|MN|＝|NF2|，则该双曲线的渐近线方程为________________．
四、解答题
13．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为eq \r(2)，且过点P(4，－eq \r(10)).
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；
(3)在(2)的条件下，求△F1MF2的面积．
优生选做题
14．[2024·河北石家庄模拟]已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左右焦点分别是F1，F2，左右顶点分别是A1，A2，离心率为2，点P在C上，若直线A1P，A2P的斜率之和为eq \f(6\r(15),5)，△PF1F2的面积为eq \r(15)，则a＝( )
A．1B．eq \r(2)
C．eq \r(3)D．2
15．[2024·山东潍坊模拟]已知双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,9)＝1(a>1)的中心为坐标原点O，左、右焦点分别为F1，F2，且点A(5，－eq \f(9,4))在双曲线E上．
(1)求双曲线E的渐近线方程；
(2)若直线l1与直线l2：x＝eq \f(16,5)交于点C，点D是双曲线E上一点，且满足＝0，记直线CD的斜率为k1，直线OD的斜率为k2，求k1·k2.
课后定时检测案61 双曲线
1．解析：依题意，得(k＋1)(k－2)<0，则－1
2．解析：因为ky2－8x2＝8为双曲线，所以k≠0，化为标准方程为：eq \f(y2,\f(8,k))－eq \f(x2,1)＝1.由焦距为6可得：c＝eq \r(\f(8,k)＋1)＝3，解得k＝1.所以双曲线为eq \f(y2,8)－eq \f(x2,1)＝1.所以双曲线的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,\r(8))＝eq \f(3\r(2),4).故选A.
答案：A
3．解析：由题意双曲线C：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1的焦点在y轴上，则2a＝4，a＝2，又－eq \f(a,b)＝－2，则b＝1，故C的标准方程为eq \f(y2,4)－x2＝1.故选C.
答案：C
4．解析：对于A，由题意可知，此双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，即x±2y＝0，符合题意；
对于B，由题意可知，此双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，即x±2y＝0，符合题意；
对于C，由题易知双曲线eq \f(y2,8)－eq \f(x2,2)＝1的渐近线方程为y＝±2x，不符题意；
对于D，由题意可知，此双曲线的渐近线方程为：y＝±eq \f(1,2)x，即x±2y＝0，符合题意．故选C.
答案：C
5．解析：当λ>0时，双曲线焦点在x轴上，a2＝λ，b2＝eq \f(λ,m2)，故eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,m2)，渐近线方程为y＝±eq \f(1,m)x，当λ<0时，双曲线焦点在y轴上，b2＝－λ，a2＝－eq \f(λ,m2)，故eq \f(a2,b2)＝eq \f(1,m2)，渐近线方程为y＝±eq \f(1,m)x，所以其渐近线方程为y＝±eq \f(1,m)x，又因为双曲线x2－m2y2＝λ(λ≠0)的两条渐近线互相垂直，所以－eq \f(1,m)×eq \f(1,m)＝－1，解得m＝±1.故选B.
答案：B
6．解析：由题意，在双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，右焦点为F，FN垂直于x轴，
由题意可知：F(c，0)，B(0，b)，N(c，eq \f(b2,a))，
因为M是BF中点，则M(eq \f(c,2)，eq \f(b,2))，可得eq \(OM,\s\up6(→))＝(eq \f(c,2)，eq \f(b,2))，eq \(ON,\s\up6(→))＝(c，eq \f(b2,a))，
且O，M，N三点共线，则eq \(OM,\s\up6(→))∥eq \(ON,\s\up6(→))，可得eq \f(c,2)×eq \f(b2,a)＝c×eq \f(b,2)，即a＝b，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \r(2).故选A.
答案：A
7．解析：因为线段PA的垂直平分线l与直线PM相交于点Q，所以有|QA|＝|QP|，由圆M：(x＋4)2＋y2＝16，得M(－4，0)，该圆的半径r＝4，因为点P在圆上运动时，有||QP|－|QM||＝4，于是有||QA|－|QM||＝4，所以点Q的轨迹是以A，M为焦点的双曲线，所以c＝4，2a＝4，可得a＝2，所以b2＝c2－a2＝12，所以点Q的轨迹方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1.故选B.
答案：B
8．解析：由|eq \(OP,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(PF1,\s\up6(→))－eq \(PF2,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(F2F1,\s\up6(→))|＝c＝eq \r(6)，
所以P是以原点为圆心，eq \r(6)为半径的圆与双曲线C的交点，
又F1(－eq \r(6)，0)，F2(eq \r(6)，0)，即它们也在P点所在的圆上，且|eq \(F2F1,\s\up6(→))|为直径，
所以△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°，
如图，|eq \(PF1,\s\up6(→))|－|eq \(PF2,\s\up6(→))|＝2a＝2eq \r(2)，且|eq \(PF1,\s\up6(→))|2＋|eq \(PF2,\s\up6(→))|2＝4c2＝24，
所以(2eq \r(2)＋|eq \(PF2,\s\up6(→))|)2＋|eq \(PF2,\s\up6(→))|2＝24⇒|eq \(PF2,\s\up6(→))|2＋2eq \r(2)|eq \(PF2,\s\up6(→))|－8＝0⇒|eq \(PF2,\s\up6(→))|＝eq \r(10)－eq \r(2)，
则|eq \(PF1,\s\up6(→))|＝eq \r(10)＋eq \r(2)，故△PF1O的面积为eq \f(1,2)×eq \f(1,2)|eq \(PF1,\s\up6(→))||eq \(PF2,\s\up6(→))|＝2．故选D.
答案：D
9．解析：曲线C1：5x2＋y2＝5整理得eq \f(y2,5)＋x2＝1，则曲线C1是焦点在y轴上的椭圆，其中a eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(1)) ＝5，b eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(1)) ＝1，所以c eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(1)) ＝a eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(1)) －b eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(1)) ＝4，离心率为e1＝eq \f(c1,a1)＝eq \f(2,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5)，故曲线C1的长轴长2a1＝2eq \r(5)，故A错误；
曲线C2：x2－4y2＝4整理得eq \f(x2,4)－y2＝1，则曲线C2是焦点在x轴上的双曲线，其中a eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(2)) ＝4，b eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(2)) ＝1，所以c eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(2)) ＝a eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(2)) ＋b eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(2)) ＝5，离心率为e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(\r(5),2)，C2的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，即x±2y＝0，故B正确；
e1·e2＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(5),2)＝1，所以C1与C2的离心率互为倒数，故C正确；
C1的焦点在y轴上，C2的焦点在x轴上，焦点位置不同，故D错误．故选BC.
答案：BC
10．解析：由题意，在C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，
∵F1关于∠F1PF2的平分线的对称点Q恰好在C上，
∴P，F2，Q三点共线，且|PF1|＝|PQ|，
∵∠F1PF2＝eq \f(π,3)，∴|PF1|＝|F1Q|＝|PQ|.
设|PF1|＝|F1Q|＝|PQ|＝m，|PF2|＝n，
根据双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝m－n＝2a，|QF1|－|QF2|＝m－(m－n)＝2a，
解得m＝4a，n＝2a，即|PF2|＝|QF2|＝2a，∴PQ⊥F1F2.
在△F1PF2中，根据勾股定理可得，16a2＝4a2＋12，解得a＝1，
∴C的实轴长为2，所以A正确；
又a＝1，c＝eq \r(3)，∴C的离心率为eq \r(3)，所以B不正确；
△F1PF2的面积为eq \f(1,2)×2eq \r(3)×2＝2eq \r(3)，∴C正确；
∵PQ⊥F1F2，∴P(eq \r(3)，2)，
∵∠F1PF2＝eq \f(π,3)，易得∠F1PF2的平分线的倾斜角为eq \f(π,3)，
∴∠F1PF2的平分线所在直线的方程为y－2＝eq \r(3)(x－eq \r(3))，即eq \r(3)x－y－1＝0，所以D正确．故选ACD.
答案：ACD
11．解析：由e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),2)得4c2＝7a2，又c2＝a2＋b2，所以4(a2＋b2)＝7a2，即2b＝eq \r(3)a.又c≤2eq \r(5)，所以eq \f(7a2,4)≤20，得7a2≤80.因为a为正整数，所以a＝1或a＝2或a＝3，即b＝eq \f(\r(3),2)或b＝eq \r(3)或b＝eq \f(3\r(3),2)，则双曲线方程为x2－eq \f(4y2,3)＝1或eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1或eq \f(x2,9)－eq \f(4y2,27)＝1.
答案：x2－eq \f(4y2,3)＝1，eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1，eq \f(x2,9)－eq \f(4y2,27)＝1(写出其中一个即可)
12．解析：如图，设直线l：y＝－eq \f(b,a)x，F1S⊥l且垂足为S，
因为|F1N|－|F2N|＝2a，故|F1M|＝2a，所以|F2M|＝4a，
而F1S⊥l，故F1S＝b，故cs∠SF1F2＝eq \f(b,c)，
在△F1MF2中，由余弦定理可得16a2＝4a2＋4c2－2×2c×2a×eq \f(b,c)，
整理得到：2a2＋2ab－b2＝0，故eq \f(b,a)＝1＋eq \r(3)，
因此该双曲线的渐近线方程为y＝±(eq \r(3)＋1)x.
答案：y＝±(eq \r(3)＋1)x
13．解析：(1)因为e＝eq \r(2)，
所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0).
因为过点P(4，－eq \r(10))，所以16－10＝λ，即λ＝6.
所以双曲线方程为x2－y2＝6，即eq \f(x2,6)－eq \f(y2,6)＝1.
(2)证明：由(1)可知，双曲线中a＝b＝eq \r(6)，所以c＝2eq \r(3)，不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，
则F1(－2eq \r(3)，0)，F2(2eq \r(3)，0).
方法一 kMF1＝eq \f(m,3＋2\r(3))，kMF2＝eq \f(m,3－2\r(3))，
kMF1·kMF2＝eq \f(m2,9－12)＝－eq \f(m2,3)，
因为点M(3，m)在双曲线上，
所以9－m2＝6，m2＝3，
所以kMF1·kMF2＝－1，
所以MF1⊥MF2，所以eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0.
方法二 因为eq \(MF1,\s\up6(→))＝(－2eq \r(3)－3，－m)，eq \(MF2,\s\up6(→))＝(2eq \r(3)－3，－m)，
所以eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝(3＋2eq \r(3))×(3－2eq \r(3))＋m2＝－3＋m2.
因为M点在双曲线上，
所以9－m2＝6，即m2＝3，
所以eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0.
(3)△F1MF2的底边长|F1F2|＝4eq \r(3)，
△F1MF2的高h＝|m|＝eq \r(3)，所以S△F1MF2＝6.
14．解析：∵e＝eq \f(c,a)＝2，c2＝4a2，c2＝a2＋b2，
∴c＝2a，3a2＝b2，
∵＝eq \f(1,2)·2c·|yP|＝eq \r(15)，
∴|yP|＝eq \f(\r(15),c)＝eq \f(\r(15),2a) ①，
|xP|＝eq \r(（\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(P)) ,b2)＋1）a2)＝eq \r(\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(P)) ,3)＋a2)＝eq \r(\f(5,4a2)＋a2) ②，
∵kA1P＋kA2P＝eq \f(6\r(15),5)>0，A1(－a，0)，A2(a，0)，
∴kA1P＋kA2P＝eq \f(yP,xP＋a)＋eq \f(yP,xP－a)＝eq \f(2xPyP,x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(P)) －a2)＝2×eq \f(b2,a2)×eq \f(xP,yP)＝eq \f(6xP,yP)＝eq \f(6\r(15),5)，故eq \f(xP,yP)＝eq \f(\r(15),5) ③，
由①②③，得eq \r(\f(5,4a2)＋a2)＝eq \f(\r(15),2a)×eq \f(\r(15),5)，解得a＝1.故选A.
答案：A
15．解析：(1)由题意得eq \f(25,a2)－(－eq \f(9,4))2×eq \f(1,9)＝1，a>1，解得a＝4.
所以双曲线方程为：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，
于是其渐近线为y＝eq \f(3,4)x或y＝－eq \f(3,4)x，即3x－4y＝0或3x＋4y＝0.
(2)设C(eq \f(16,5)，t)，D(x0，y0)，F2(5，0)，因为eq \(CF2,\s\up6(→))·eq \(DF2,\s\up6(→))＝0，
所以(5－eq \f(16,5)，－t)·(5－x0，－y0)＝0，整理得ty0＝eq \f(9,5)(x0－5).
因为点D(x0，y0)在双曲线上，所以eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,16)－eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,9)＝1，即y eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(0)) ＝eq \f(9,16)(x eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(0)) －16)，
所以k1·k2＝eq \f(y0－t,x0－\f(16,5))·eq \f(y0,x0)＝eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) －ty0,x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) －\f(16,5)x0)
＝eq \f(\f(9,16)（x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) －16）－\f(9,5)（x0－5）,x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) －\f(16,5)x0)＝eq \f(9,16).
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