2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习31函数y＝Asinωx＋φ的图象及应用（Word版附解析）

这是一份2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习31函数y＝Asinωx＋φ的图象及应用（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．[2024·广东模拟]将函数f(x)＝sinx的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再将所得图象上各点横坐标变为原来的eq \f(1,2)，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为( )
A.g(x)＝sin (eq \f(1,2)x＋eq \f(π,3)) B．g(x)＝sin (eq \f(1,2)x＋eq \f(2π,3))
C．g(x)＝sin (2x＋eq \f(π,3)) D．g(x)＝sin (2x＋eq \f(2π,3))
2．[2024·江苏淮安模拟]某个弹簧振子做简谐运动，已知在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y(单位：cm)之间满足函数关系：y＝sint＋cs (t－eq \f(π,6))，则这个简谐运动的振幅是( )
A．1cm B．2cmC．eq \r(3)cm D．2eq \r(3)cm
3．[2024·黑龙江大庆模拟]函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|A．g(x)＝eq \r(2)sin (2x－eq \f(π,3))
B．g(x)＝eq \r(2)cs2x
C．g(x)＝eq \r(2)cs (2x－eq \f(π,3))
D．g(x)＝eq \r(2)sin (2x＋eq \f(π,4))
4．[2024·山东烟台模拟]将函数f(x)＝cs (x－eq \f(π,6))图象上所有点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,3)，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A．g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，－\f(π,3)))上单调递增
B．g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递增
C．g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，－\f(π,3)))上单调递减
D．g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减
5．[2024·河南郑州模拟]已知函数f(x)＝sinx(csx－sinx)，则下列说法正确的为( )
A．f(x)的最小正周期为2π
B．f(x)的最大值为eq \f(\r(2),2)
C．f(x)的图象关于直线x＝－eq \f(π,8)对称
D．将f(x)的图象向右平移eq \f(π,8)个单位长度，再向上平移eq \f(1,2)个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数
6.
[2024·河北沧州模拟]已知函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)＋b(ω>0，A>0，0<φ<π，b∈R)的部分图象如图，则( )
A．φ＝eq \f(π,6)
B．f(eq \f(π,6))＝－2
C．点(－eq \f(5π,18)，0)为曲线y＝f(x)的一个对称中心
D.将曲线y＝f(x)向右平移eq \f(π,9)个单位长度得到曲线y＝4cs3x＋2
7．(素养提升)[2024·山东滨州模拟]如图是某市夏季某一天从6时到24时的气温变化曲线，若该曲线近似地满足函数y＝Asin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<π)，则该市这一天20时的气温大约是( )
A．11℃ B．13℃C．27℃ D．28℃
8．(素养提升)[2024·江西赣州模拟]已知函数f(x)＝cs (ωx－eq \f(π,4))＋b(ω>0)的最小正周期为T，eq \f(2π,3)0)个单位长度后图象关于y轴对称，则实数m的最小值为( )
A．eq \f(π,10) B．eq \f(3π,10)C．eq \f(7π,10) D．eq \f(11π,10)
二、多项选择题
9．[2024·山西临汾模拟]已知函数f(x)＝cs (2x－eq \f(π,3))，则下列说法正确的有( )
A．f(x)的图象关于点(eq \f(5π,12)，0)中心对称
B．f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称
C．f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上单调递减
D．将f(x)的图象向左平移eq \f(π,3)个单位，可以得到g(x)＝cs2x的图象
10．[2024·河北张家口模拟]将函数f(x)＝－2sin2(x－eq \f(φ,2))＋eq \f(3,2)(|φ|A．函数g(x)的最小正周期为2π
B．函数g(x)的图象的对称中心为(eq \f(π,4)＋eq \f(kπ,2)，eq \f(1,2))(k∈Z)
C．函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上的最小值为1，最大值为eq \f(3,2)
D．函数f(x)的极小值点为x＝eq \f(π,3)＋kπ(k∈Z)
三、填空题
11．将函数y＝sin(2x－eq \f(π,6))的图象向左平移φ后得到一个偶函数的图象，则φ的最小正值是______．
12.
已知函数f(x)＝2cs (ωx＋φ)(ω>0，|φ|13．[2024·山东济南模拟]已知函数f(x)＝sin (ωx＋eq \f(π,4)－φ)(ω>0，φ∈(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)))的最小正周期为4π，将函数f(x)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,3)(纵坐标不变)，所得函数图象的一条对称轴方程是x＝eq \f(π,9)，则φ的值为______．
四、解答题
14．[2024·河北唐山模拟]设函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)，(A>0，ω>0，0<φ(1)求函数f(x)的解析式；
(2)将函数y＝f(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，再将所得函数图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调减区间；
(3)求函数g(x)在闭区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值以及此时对应的x的值．
优生选做题
15．[2024·山东日照模拟]为美化校园，某学校将一个半圆形的空地改造为花园．如图所示，O为圆心，半径为a(a>0)米，点A，B，P都在半圆弧上，设∠NOP＝∠POA＝θ，∠AOB＝2θ，且0<θ(1)若在花园内铺设一条参观线路，由线段NA，AB，BM三部分组成，则当θ取何值时，参观线路最长？
(2)若在花园内的扇形ONP和四边形OMBA内种满杜鹃花，则当θ取何值时，杜鹃花的种植总面积最大？
课后定时检测案31 函数y＝Asin (ωx＋φ)的图象及应用
1．解析：函数f(x)＝sinx的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，得函数y＝sin (x＋eq \f(π,3))的图象，再将图象上各点横坐标变为原来的eq \f(1,2)，纵坐标不变，得到函数g(x)＝sin (2x＋eq \f(π,3))的图象．故选C.
答案：C
2．解析：因为y＝sint＋cs (t－eq \f(π,6))＝sint＋cstcseq \f(π,6)＋sintsineq \f(π,6)＝eq \f(3,2)sint＋eq \f(\r(3),2)cst＝eq \r(3)sin (t＋eq \f(π,6))，
所以这个简谐运动的振幅是eq \r(3)cm.故选C.
答案：C
3．解析：由题图知，f(x)min＝－A＝－eq \r(2)，则A＝eq \r(2)，
eq \f(1,4)T＝eq \f(7,12)π－eq \f(π,3)＝eq \f(π,4)，所以T＝π，则ω＝2，即f(x)＝eq \r(2)sin (2x＋φ).
因为f(eq \f(π,3))＝eq \r(2)sin (eq \f(2,3)π＋φ)＝0，所以eq \f(2,3)π＋φ＝kπ，k∈Z，
即φ＝－eq \f(2,3)π＋kπ，k∈Z.
因为|φ|所以g(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2（x－\f(π,12)）＋\f(π,3)))＝eq \r(2)sin (2x＋eq \f(π,6))
＝eq \r(2)sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（2x－\f(π,3)）＋\f(π,2)))＝eq \r(2)cs (2x－eq \f(π,3)).故选C.
答案：C
4．解析：依题意，g(x)＝cs (3x－eq \f(π,6)).
令2kπ≤3x－eq \f(π,6)≤π＋2kπ(k∈Z)，得eq \f(π,18)＋eq \f(2kπ,3)≤x≤eq \f(7π,18)＋eq \f(2kπ,3)(k∈Z)，
令k＝0，所以g(x)在eq \f(π,18)≤x≤eq \f(7π,18)时单调递减，所以g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减和单调递增都不正确；
令k＝－1，所以－eq \f(11π,18)≤x≤－eq \f(5π,18)时单调递减，
所以g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，－\f(π,3)))上单调递减．故选C.
答案：C
5．解析：f(x)＝sinx(csx－sinx)＝sinxcsx－sin2x＝eq \f(1,2)sin2x－eq \f(1－cs2x,2)＝eq \f(\r(2),2)sin (2x＋eq \f(π,4))－eq \f(1,2)，
故f(x)的最小正周期为T＝eq \f(2π,2)＝π，最大值为eq \f(\r(2)－1,2)，
对称轴方程满足2x＋eq \f(π,4)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，即x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,8)，k∈Z，故ABC皆错误；将f(x)的图象向右平移eq \f(π,8)个单位长度后得到y＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2（x－\f(π,8)）＋\f(π,4)))－eq \f(1,2)＝eq \f(\r(2),2)sin2x－eq \f(1,2)，然后，将此图象向上平移eq \f(1,2)个单位长度，得到函数g(x)＝eq \f(\r(2),2)sin2x的图象，g(x)是一个奇函数，故D正确．故选D.
答案：D
6．解析：由图象知：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＋b＝6,－A＋b＝－2))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＝4,b＝2))，
将点(0，4)的坐标代入f(x)＝4sin (ωx＋φ)＋2得sinφ＝eq \f(1,2)，
由图象可知，点(0，4)在y＝f(x)的下降部分上，且0<φ<π，
所以φ＝eq \f(5π,6)，所以A不正确；
将点(eq \f(2π,9)，－2)的坐标代入f(x)＝4sin (ωx＋eq \f(5π,6))＋2，得ω·eq \f(2π,9)＋eq \f(5π,6)＝eq \f(3π,2)，即ω＝3，所以f(x)＝4sin (3x＋eq \f(5π,6))＋2，所以f(eq \f(π,6))＝4sin (3×eq \f(π,6)＋eq \f(5π,6))＋2＝2－2eq \r(3)，所以B不正确；
令3x＋eq \f(5π,6)＝kπ，k∈Z，解得x＝eq \f(kπ,3)－eq \f(5π,18)，k∈Z，取k＝0，则x＝－eq \f(5π,18)，所以对称中心为(－eq \f(5π,18)，2)，所以C不正确；
将曲线向右平移eq \f(π,9)个单位长度得到曲线f(x)＝4sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3（x－\f(π,9)）＋\f(5π,6)))＋2＝4cs3x＋2，所以D正确．故选D.
答案：D
7．解析：观察图象可得x＝6时函数y＝Asin (ωx＋φ)＋B取最小值10，x＝14时函数y＝Asin (ωx＋φ)＋B取最大值30，
所以函数y＝Asin (ωx＋φ)＋B的周期为(14－6)×2＝16，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＋B＝30,－A＋B＝10))，解得A＝10，B＝20，eq \f(2π,ω)＝16，解得ω＝eq \f(π,8)，
当x＝14时，函数取得最大值，所以eq \f(π,8)×14＋φ＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，所以φ＝2kπ－eq \f(5π,4)，k∈Z，又|φ|<π，所以φ＝eq \f(3π,4)，
所以函数解析式是f(x)＝10sin (eq \f(π,8)x＋eq \f(3π,4))＋20，f(20)＝10sin (eq \f(π,8)×20＋eq \f(3π,4))＋20＝10sineq \f(5π,4)＋20＝－5eq \r(2)＋20≈13，故选B.
答案：B
8．解析：∵T＝eq \f(2π,|ω|)，ω>0，且eq \f(2π,3)∴eq \f(2π,3)∵y＝f(x)的图象关于点(eq \f(3π,2)，1)中心对称，
∴b＝1，且cs (eq \f(3π,2)ω－eq \f(π,4))＝0，即eq \f(3π,2)ω－eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，解得ω＝eq \f(1,2)＋eq \f(2k,3)(k∈Z)，
∵2<ω<3，
∴取k＝3，ω＝eq \f(5,2)，
∴f(x)＝cs (eq \f(5,2)x－eq \f(π,4))＋1，
将y＝f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到f(x－m)＝cs (eq \f(5,2)x－eq \f(5,2)m－eq \f(π,4))＋1的图象，
∵f(x－m)的图象关于y轴对称，
∴－eq \f(5,2)m－eq \f(π,4)＝kπ(k∈Z)，解得m＝－eq \f(π,10)－eq \f(2kπ,5)(k∈Z)，
∵m>0，
∴令k＝－1，得mmin＝－eq \f(π,10)＋eq \f(2π,5)＝eq \f(3π,10).故选B.
答案：B
9．解析：由f(x)＝cs (2x－eq \f(π,3))可知，2x－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)＋kπ，解得x＝eq \f(5π,12)＋eq \f(kπ,2)，所以函数的对称中心为(eq \f(5π,12)＋eq \f(kπ,2)，0)，k∈Z，故A选项正确；
令2x－eq \f(π,3)＝kπ，解得x＝eq \f(π,6)＋eq \f(kπ,2)，所以函数的对称轴为x＝eq \f(π,6)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，故B选项错误；
令2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤π＋2kπ，解得eq \f(π,6)＋kπ≤x≤eq \f(2π,3)＋kπ，所以函数的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋kπ，\f(2π,3)＋kπ))，k∈Z，故C选项正确；
将f(x)的图象向左平移eq \f(π,3)个单位得g(x)＝cs [2(x＋eq \f(π,3))－eq \f(π,3)]＝cs (2x＋eq \f(π,3))，故D选项错误．故选AC.
答案：AC
10．解析：依题意，f(x)＝cs (2x－φ)＋eq \f(1,2)，将其图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度，得到函数g(x)＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2（x＋\f(π,6)）－φ))＋eq \f(1,2)＝cs (2x＋eq \f(π,3)－φ)＋eq \f(1,2)的图象，而g(x)－g(－x)＝0恒成立，即函数y＝g(x)为偶函数，于是eq \f(π,3)－φ＝nπ，n∈Z，又|φ|函数g(x)的最小正周期为π，A错误；
当且仅当2x＝eq \f(π,2)＋kπ，即x＝eq \f(π,4)＋eq \f(kπ,2)(k∈Z)时，cs2x＝0，函数g(x)的图象的对称中心为(eq \f(π,4)＋eq \f(kπ,2)，eq \f(1,2))(k∈Z)，B正确；
当0≤x≤eq \f(π,3)时，－eq \f(π,3)≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,3)，则当x＝0或x＝eq \f(π,3)时，f(x)min＝1，当x＝eq \f(π,6)时，f(x)max＝eq \f(3,2)，C正确；
令2x－eq \f(π,3)＝π＋2kπ，即x＝eq \f(2π,3)＋kπ(k∈Z)为函数的极小值点，D错误．故选BC.
答案：BC
11．解析：将函数y＝sin (2x－eq \f(π,6))的图象向左平移φ后得到y＝sin (2x＋2φ－eq \f(π,6))，
因为函数y＝sin (2x＋2φ－eq \f(π,6))是一个偶函数，
所以2φ－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，解得φ＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,3)(k∈Z)，
所以φ的最小正值是eq \f(π,3).
答案：eq \f(π,3)
12．解析：由图象可知f(x)的周期为eq \f(2π,ω)＝2(eq \f(π,3)－eq \f(π,12))⇒ω＝4，代入(eq \f(π,12)，2)可得cs (eq \f(π,3)＋φ)＝1⇒φ＝－eq \f(π,3)＋2kπ，又|φ|左移eq \f(π,6)个单位长度得g(x)＝2cs [4(x＋eq \f(π,6))－eq \f(π,3)]＝2cs (4x＋eq \f(π,3))，故g(eq \f(π,4))＝2cs (π＋eq \f(π,3))＝－1.
答案：－1
13．解析：因为函数f(x)＝sin (ωx＋eq \f(π,4)－φ)(ω>0，φ∈(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)))的最小正周期为4π，
所以ω＝eq \f(2π,4π)＝eq \f(1,2)，f(x)＝sin (eq \f(1,2)x＋eq \f(π,4)－φ)，
将函数f(x)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度，
可得y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)（x＋\f(π,6)）＋\f(π,4)－φ))＝sin (eq \f(1,2)x＋eq \f(π,3)－φ)，
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,3)(纵坐标不变)，可得y＝sin (eq \f(3,2)x＋eq \f(π,3)－φ)，
因为所得函数图象的一条对称轴方程是x＝eq \f(π,9)，
所以sin (eq \f(3,2)×eq \f(π,9)＋eq \f(π,3)－φ)＝sin (eq \f(π,2)－φ)＝csφ＝±1，可得φ＝π＋kπ(k∈Z)，
因为φ∈(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2))，所以φ＝0.
答案：0
14．解析：(1)因为f(x)＝Asin (ωx＋φ)图象的一个最高点为M(eq \f(π,3)，2)，则A＝2，
又最高点M(eq \f(π,3)，2)，离M最近的一个对称中心N(eq \f(5π,6)，0)之间的横向距离是eq \f(1,4)T，
所以最小正周期为T＝4(eq \f(5π,6)－eq \f(π,3))＝2π，则ω＝eq \f(2π,T)＝1，
故f(x)＝2sin (x＋φ)，且图象过M(eq \f(π,3)，2)，代入得f(eq \f(π,3))＝2sin (eq \f(π,3)＋φ)＝2，即sin (eq \f(π,3)＋φ)＝1，所以φ＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z⇒φ＝eq \f(π,6)＋2kπ，k∈Z，
又0<φ(2)由题意可得g(x)＝2sin (2x－eq \f(π,6))，
令eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，解得eq \f(π,3)＋kπ≤x≤eq \f(5π,6)＋kπ，k∈Z，
函数g(x)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋kπ，\f(5π,6)＋kπ))，k∈Z.
(3)因为0≤x≤eq \f(π,2)，所以－eq \f(π,6)≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(5π,6)，则－eq \f(1,2)≤sin (2x－eq \f(π,6))≤1.
当2x－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)时，即x＝eq \f(π,3)时，g(x)有最大值为2.
15.
解析：(1)如图，连接BN，则∠BMN＝eq \f(1,2)(∠AOB＋∠AON)＝2θ，
在Rt△MBN中，cs∠BMN＝eq \f(BM,MN)＝eq \f(BM,2a)，即BM＝2acs2θ，
同理可得AN＝2asinθ，且AB＝NA＝2asinθ，
所以参观路线的长度l＝AB＋NA＋MB＝4asinθ＋2acs2θ＝－4asin2θ＋4asinθ＋2a，
令sinθ＝t∈(0，eq \f(\r(3),2))，即l＝－4at2＋4at＋2a＝－a(4t2－4t－2).
当t＝eq \f(1,2)时取得最大值，此时sinθ＝eq \f(1,2)，即θ＝eq \f(π,6)时，参观路线最长．
(2)由题知：扇形ONP的面积S1＝eq \f(1,2)θr2＝eq \f(a2θ,2)，
△AOB的面积S2＝eq \f(1,2)r2sin2θ＝eq \f(a2,2)sin2θ，
△BOM的面积S3＝eq \f(1,2)r2sin (π－4θ)＝eq \f(a2,2)sin4θ，
所以杜鹃花的种植总面积S＝S1＋S2＋S3＝a2(eq \f(θ,2)＋eq \f(1,2)sin4θ＋eq \f(1,2)sin2θ)，
S′＝eq \f(a2,2)(1＋4cs4θ＋2cs2θ)＝eq \f(a2,2)(8cs22θ＋2cs2θ－3)＝eq \f(a2,2)(2cs2θ－1)(4cs2θ＋3)，
令S′＝0得cs2θ＝eq \f(1,2)或－eq \f(3,4)(舍)，因为0<2θ当θ∈(0，eq \f(π,6))时S′>0，S单调递增，当θ∈(eq \f(π,6)，eq \f(π,3))时S′<0，S单调递减，
所以θ＝eq \f(π,6)时，杜鹃花的种植总面积最大．