2023-2024学年河南省洛阳市嵩县七年级（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

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这是一份2023-2024学年河南省洛阳市嵩县七年级（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 斐波那契螺旋线B. 笛卡尔心形线
C. 赵爽弦图D. 科克曲线
2.已知aA. a+c3.如图，已知∠1+∠2+∠3=240∘，那么∠4的度数为( )
A. 60∘
B. 120∘
C. 130∘
D. 150∘
4.只用下列一种全等的正多边形能够铺满地面的是( )
A. 正十边形B. 正八边形C. 正六边形D. 正五边形
5.如图，△ADE与△CDB关于点D成中心对称，连结AB，以下结论错误的是( )
A. AD=CD
B. ∠C=∠E
C. AE=CB
D. S△ADE=S△ADB
6.李老师准备用30元钱全部购买A，B两种型号的签字笔(两种型号的签字笔都买)，A型签字笔每支5元，B型签字笔每支2元，则李老师的购买方案有( )
A. 4种B. 3种C. 2种D. 1种
7.关于x、y的二元一次方程组2x+y=3ax−2y=9a的解是二元一次方程x+3y=24的一个解，则a的值是( )
A. −4B. −2C. 2D. 4
8.如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个直角三角形沿点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DH=4，BC=15，平移距离为6，则阴影部分的面积是( )
A. 40B. 42C. 45D. 48
9.若关于x的不等式组3x−2<1m−x<1恰有两个整数解，则m的取值范围是( )
A. −110.阅读解方程的途径：
按照如图所示的途径，已知关于x的方程a|x|2+c=b|x+1|3的解是x=1或x=2(a、b、c均为常数)，则关于x的方程a|kx+m|2+c=b|kx+m+1|3(k、m为常数，k≠0)的解为( )
A. x1=1，x2=2B. x1=1−mk,x2=2−mk
C. x1=1+mk,x2=2+mkD. x1=1+k+m，x2=2+k+m
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知方程3x−y=9，则用含x的代数式表示y为______.
12.已知△ABC是等腰三角形，若它的两边长分别为8cm和3cm，则它的周长为______cm.
13.已知x+2y=−32x+y=7，则代数式x−y的值为__________.
14.如图，六边形ABCDEF内部有一点G，连结BG，DG.若∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=440∘，则∠BGD的大小为______.
15.如图，将一副三角板中含30∘角的三角板AOB放置在平面上不动，另一个含45∘角的三角板COD绕着它们相同的直角顶点O旋转一周，在旋转过程中，当AB与CD平行时，∠DOB的度数是______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
解方程(组)：
(1)3(x−2)+1=x−(2x−1)；
(2){3x−5y=6①x+4y=−15②.
17.(本小题9分)
解不等式组5x+4<3(x+1)x−12≥2x−15，并把它们的解集表示在数轴上.
18.(本小题9分)
如图，在正方形网格中，点A、B、C均在格点上，过点O的两条互相垂直的直线x，y在格点连线上.
(1)画出△ABC关于直线x对称的△A1B1C1；再画出△A1B1C1关于直线y对称的△A2B2C2；
(2)△ABC与△A2B2C2关于______成______对称.
19.(本小题9分)
我国航天事业的飞速发展引发了航空航天纪念品的热销，某商店准备购进甲、乙两类关于航空航天的纪念品进行销售.已知甲类纪念品的进价为m元/件，乙类纪念品的进价比甲类的进价多5元/件.若每件甲类纪念品的售价是在其进价的基础上提高了60%，每件乙类纪念品的售价是在其进价的基础上提高了40%，根据上述条件，回答下面问题：
(1)请用含有m的代数式填写表：
(2)该商店分别购进甲类纪念品100件，乙类纪念品80件.两类纪念品全部售出后所得的总利润为1080元，问每件甲、乙两类纪念品进价分别多少元？
20.(本小题9分)
如图，D是△ABC边BC上的一点，∠B=∠BAD，∠ADC=80∘，∠BAC=70∘.
求：(1)∠B的度数；(请补全证明过程)
∵∠ADC是△ABD的外角(已知)，
∴∠B+______=∠ADC=80∘(______)，
又∵∠B=∠BAD(已知)，
∴∠B=______(等量代换).
(2)∠C的度数.
21.(本小题9分)
一般地，我们把按照确定顺序排成的一列数叫做数列，每一个数叫做数列的项，如an是第n项，数列的一般形式是：a1，a2，a3…an，数列中所有项的个数称为项数.如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都是同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.已知一个项数为3，公差为1的等差数列，每项均为自然数，所有项之和小于15，这个数列有几个？请把它们分别写出来.
22.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=33∘，将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF.
(1)试求出∠E的度数；
(2)若AE=9cm，DB=2cm.请求出CF的长度．
23.(本小题10分)
一张三角形纸片ABC中，∠C=30∘，点D、E分别在边AC、BC上，将∠C沿DE折叠，点C落在点C′的位置.
(1)如图1，点C′在边BC上，∠ADC′=______，可以发现∠ADC′与∠C的数量关系是______；
(2)如图2，点C′在△ABC外部，C′E与AC交于点F，若∠DEC=55∘，求∠AFE的度数；
(3)如图3，点C′在△ABC内部，请直接写出∠ADC′、∠BEC′与∠C之间的数量关系.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D.
根据把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原来的图形重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、不等式aB、不等式aC、不等式aD、不等式a−3b，原变形错误，故此选项符合题意．
故选：D.
根据不等式的性质解答．
本题考查了不等式的性质．运用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以(或除以)含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
3.【答案】B
【解析】解：∵∠1+∠2+∠3+∠4=360∘，
∠1+∠2+∠3=240∘，
∴∠4=360∘−(∠1+∠2+∠3)
=360∘−240∘
=120∘，
故选：B.
根据多边形的外角和等于360∘解答即可．
本题考查了多边形的外角和，掌握多边形的外角和定理是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A选项，正十边形的每个内角是144∘，不能铺满地面，故该选项不符合题意；
B选项，正八边形的每个内角是135∘，不能铺满地面，故该选项不符合题意；
C选项，正六边形的每个内角是120∘，120∘×3=360∘，能铺满地面，故该选项符合题意；
D选项，正五边形的每个内角是108∘，不能铺满地面，故该选项不符合题意；
故选：C.
根据判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360∘，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能判断即可．
本题考查了平面镶嵌(密铺)，掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360∘，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵△ADE与△CDB关于点D成中心对称，
∴AD=CD，BD=ED，AE=CB，∠E=∠CBD，
∵BD=ED，
∴S△ABD=S△ADE，
故选：B.
根据中心对称的性质以及三角形的面积公式逐项进行判断即可．
本题考查中心对称、三角形面积，理解中心对称的性质，掌握三角形面积的计算公式是正确判断的前提．
6.【答案】C
【解析】解：设A种型号的签字笔购买x支，B种型号的签字笔购买y支，由题意得，
5x+2y=30，
∴x=30−2y5，
∵x，y都是正整数，
∴x=4y=5.或x=2y=10，
∴有2种购买方案，
故选：C.
设A种型号的签字笔购买x支，B种型号的签字笔购买y支，根据用30元钱全部购买A，B两种型号的签字笔列方程，根据x，y都是正整数，得到方程的解，即可得到答案．
此题考查了二元一次方程的应用，二元一次方程的解，正确理解题意列得二元一次方程是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：{2x+y=3a①x−2y=9a②
①×2+②得：5x=15a，解得x=3a，
把x=3a代入①得：6a+y=3a，解得y=−3a，
∴方程组的解为x=3ay=−3a，
∵关于x、y的二元一次方程组2x+y=3ax−2y=9a的解是二元一次方程x+3y=24的一个解，
∴3a−9a=24，
∴a=−4，
故选：A.
先利用加减消元法解方程组得到方程组的解为x=3ay=−3a，再把x=3ay=−3a代入方程x+3y=24中求出a的值即可．
本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解，正确利用加减消元法求出方程组的解是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了平移的性质，先判断出阴影部分的面积等于梯形ABEH的面积，再根据平移的性质可得DE=AB，BE=6，然后根据线段的差求出HE，最后利用梯形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】
解：∵两个直角三角形能完全重叠，
∴阴影部分的面积等于梯形ABEH的面积，
由平移的性质得DE=AB，BE=6，
∵AB=10，DH=4，
∴HE=DE−DH=10−4=6，
∴S阴影=S梯形ABEH=12(HE+AB)⋅BE=12×(6+10)×6=48，
故选：D.
9.【答案】B
【解析】解：解不等式3x−2<1，得x<1，
解不等式m−x<1，得x>m−1，
∴原不等式组的解集为：m−1∵不等式组恰有两个整数解，
∴−2≤m−1<−1，
解得：−1≤m<0.
故选：B.
按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：设y=kx+m，则kx+m+1=y+1，
∴a|kx+m|2+c=b|kx+m+1|3即为方程a|y|2+c=b|y+1|3，
∵关于x的方程a|x|2+c=b|x+1|3的解是x=1或x=2(a、b、c均为常数)，
∴关于y的方程a|x|2+c=b|x+1|3的解是y=1或y=2(a、b、c均为常数)，
∴kx+m=1或kx+m=2，
∴x1=1−mk,x2=2−mk，
故选：B.
设y=kx+m，则kx+m+1=y+1，则方程a|kx+m|2+c=b|kx+m+1|3，即为方程a|y|2+c=b|y+1|3，根据题意可得方程a|y|2+c=b|y+1|3的解为y=1或y=2，由此求出对应的x的值即可．
本题主要考查了一元一次方程的特殊解法，正确理解题意利用换元的思想求解是解题的关键．
11.【答案】y=3x−9
【解析】解：∵3x−y=9，
∴−y=9−3x，
∴y=3x−9，
故答案为：y=3x−9.
把x看作已知，求出y即可．
本题考查了解二元一次方程，解题的关键是把x看作已知进行解方程求y.
12.【答案】19
【解析】解：①当等腰三角形的腰长为8cm，底边长为3cm时：
∵8cm+3cm>8cm，
∴可构成三角形，
∴其周长为：8cm+8cm+3cm=19cm；
②当等腰三角形的腰长为3cm，底边长为8cm时：
∵3cm+3cm<8cm，
∴不能构成三角形．
故答案为：19.
从当等腰三角形的腰长为8cm，底边长为3cm时；当等腰三角形的腰长为3cm，底边长为8cm时，两种情况去分析即可．
此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形三边关系的理解和掌握，是一道基础题．
13.【答案】10
【解析】解：{x+2y=−3①2x+y=7②，
由②-①得，x−y=7−(−3)，
解得x−y=10.
故答案为：10.
观察方程组中方程的特点，用第二个方程减去第一个方程直接得到x−y的值即可．
本题考查了方程组的解法以及求代数式的值，解题的关键是根据方程组特点运用整体思想简便求代数式的值．
14.【答案】80∘
【解析】解：∵多边形ABCDEF是六边形，
∴∠1+∠5+∠4+∠3+∠2+∠6+∠7+∠C=180∘×(6−2)=720∘，
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=440∘，
∴∠6+∠7+∠C=720∘−440∘=280∘，
∵多边形BCDG是四边形，
∴∠C+∠6+∠7+∠BGD=360∘，
∴∠BGD=360∘−(∠6+∠7+∠C)=360∘−280∘=80∘，
故答案为：80∘.
利用多边形的内角和定理计算出六边形内角和，计算出∠6+∠7+∠C的度数，然后可得∠BGD的大小．
此题主要考查了多边形内角和，关键是掌握多边形内角和定理：(n−2)⋅180∘(n≥3且n为整数).
15.【答案】15∘或165∘
【解析】解：①当CD边在AB的左侧时，AB//CD，CO与AB相交于点E，如图所示：
∵AB//CD，
∴∠BEO=∠C=45∘，
∵∠B=60∘，
∴∠BOE=180∘−∠B−∠BEO=75∘，
∵∠COD=90∘，
∴∠BOD=90∘−∠BOE=15∘；
②当CD边在AB的右侧时，AB//CD，过点O作OE//AB，如图所示：
∵AB//CD，OE//AB，
∴AB//CD//OE，
∴∠AOE=∠A=30∘，∠DOE=∠D=45∘，
∴∠AOD=∠AOE+∠DOE=75∘，
∠BOD=90∘+∠AOD=90∘+75∘=165∘
故答案为：15∘或165∘.
分两种情况进行讨论：①CD边在AB的左侧时，由平行线的性质可得∠BEO=∠C=45∘，从而可求得∠BOE=75∘，即可求∠BOD的度数；
②当CD边在AB的右侧时，作OE//AB，从而可得∠AOE=∠A=30∘，∠DOE=∠D=45∘，即可求∠BOD的度数．
本题主要考查旋转的性质，平行线的性质，解答的关键是分两种情况进行分析：①CD边在AB的左侧时；②CD边在AB的右侧时．
16.【答案】解：(1)原方程的两边分别去括号，
得3x−6+1=x−2x+1，即3x−5=−x+1，
移项，得3x+x=1+5，即4x=6，
两边都除以4，得x=32；
(2){3x−5y=6①x+4y=−15②，
①-②×3得：−17y=51，
解得y=−3，
把y=−3代入①得：x+4×(−3)=−15，
解得x=−3，
∴方程组的解为x=−3y=−3.
【解析】(1)先去括号，再移项合并项，然后把x的系数化为1即可；
(2)利用代入消元法解方程组．
本题考查了解二元一次方程组：利用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组．
17.【答案】解：{5x+4<3(x+1)①x−12⩾2x−15②，
由①得，x<−12，
由②得，x≥3，
故不等式组的解集为空集．
在数轴上表示为：

【解析】分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
此题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题关键．
18.【答案】点O 中心
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求．
(2)分别连接AA2，BB2，CC2，相交于点O，
则△ABC与△A2B2C2关于点O成中心对称．
故答案为：点O；中心．
(1)根据轴对称的性质分别作图即可．
(2)分别连接AA2，BB2，CC2，相交于点O，则△ABC与△A2B2C2关于点O成中心对称．
本题考查作图-轴对称变换、中心对称，熟练掌握轴对称的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)由题意：
(2)由题可知：100×60%m+80×40%(m+5)=1080，
解得：m=10，
则m+5=15(元)，
答：每件甲、乙两类纪念品进价分别为10元和15元．
【解析】【分析】
(1)根据题意列出表格即可；
(2)根据总利润=(售价-进价)×销量，构建方程求解即可．
本题考查一元一次方程的应用，列代数式等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)见答案；
20.【答案】∠BAD三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 40∘
【解析】解：(1)∵∠ADC是△ABD的外角(已知)，
∴∠B+∠BAD=∠ADC=80∘(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，
又∵∠B=∠BAD(已知)，
∴∠B=80∘×12=40∘(等量代换)；
故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠BAD，80∘×12=40∘；
(2)∵∠B+∠BAC+∠C=180∘(三角形的内角和等于180∘)，
∴∠C=180∘−∠B−∠BAC(等式的性质)，
=180∘−40∘−70∘=70∘.
(1)由∠ADC是△ABD的外角，利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”，可得出∠B+∠BAD=80∘，再结合∠B=∠BAD，即可求出∠B的度数；
(2)利用“三角形的内角和等于180∘”，可得出∠B+∠BAC+∠C=180∘，结合∠B，∠BAC的度数，即可求出∠C的度数．
本题考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理，解题的关键是：牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”；(2)牢记“三角形的内角和等于180∘”．
21.【答案】解：由题可知，设这三个自然数分别是x−1，x，x+1，
由题意得，x−1+x+x+1<15，
解得：x<5，
又x−1≥0，则x≥1，
故这样的数列有四个，分别是：0，1，2；1，2，3；2，3，4；3，4，5.
【解析】根据题意，设这三个自然数分别是x−1，x，x+1，由题意得，x−1+x+x+1<15，解得：x<5，而每项均为自然数，则x−1≥0，即x≥1，由此列出数列即可．
本题考查的是数字的变化规律，根据题意正确找出数字间的变化规律是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=33∘，
∴∠CBA=90∘−33∘=57∘，
由平移得，∠E=∠CBA=57∘；
(2)由平移得，AD=BE=CF，
∵AE=9cm，DB=2cm，
∴AD=BE=12×(9−2)=3.5cm，
∴CF=3.5cm.
【解析】本题主要考查了平移的性质，注意：①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；②连接各组对应点的线段平行且相等．
(1)根据平移可得，对应角相等，由∠CBA的度数可得∠E的度数；
(2)根据平移可得，对应点连线的长度相等，由BE的长可得CF的长．
23.【答案】60∘∠ADC′=2∠C
【解析】解：(1)∵∠C沿DE折叠，点C落在点C′的位置，∠C=30∘，
∴∠C=∠DC′C=30∘，∠ADC′=∠C+∠DC′C，
∴∠ADC′=∠C+∠DC′C=2∠C=60∘，
故答案为：60∘，∠ADC′=2∠C；
(2)∵∠C沿DE折叠，点C落在点C′的位置，∠C=30∘，∠DEC=55∘，
∴∠DEC=∠DEC′=55∘，∠ADE=∠DEC+∠C=85∘，
∴∠AFE=∠ADE+∠DEC′=85∘+55∘=140∘.
(3)∠ADC′+∠BEC′=2∠C.理由如下：
连接C′C，
∵∠C沿DE折叠，点C落在点C′的位置，
∴∠DCE=∠DC′E，∠DCE=∠DCC′+∠ECC′，∠DC′E=∠DC′C+∠EC′C，
∵∠ADC′+∠BEC′=∠DCC′+∠DC′C+∠ECC′+∠EC′C，
∴∠ADC′+∠BEC′=∠DCE+∠DC′E=2∠DCE.
(1)根据折叠的性质，三角形外角性质计算即可．
(2)根据折叠的性质，三角形外角性质计算即可．
(3)连接C′C，根据折叠的性质，三角形外角性质计算即可．
本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，熟练掌握两条性质是解题的关键．进价/元
售价/元
甲类纪念品
m
______
乙类纪念品
______
______
进价/元
售价/元
甲类纪念品
m
1.6m
乙类纪念品
m+5
1.4(m+5)