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2022-2023学年河南省洛阳市嵩县七年级（下）期末数学试卷(含解析)
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这是一份2022-2023学年河南省洛阳市嵩县七年级（下）期末数学试卷(含解析)，共23页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省洛阳市嵩县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列每小题均有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．用一批完全相同的正多边形能镶嵌成一个平面图案的是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形
3．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E、F、G、H分别是四条边上的中点，为了使它更加稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（ ）
A．A、G两点之间 B．E、G两点之间
C．B、F两点之间 D．G、H两点之间
4．一个正多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
5．下列根据等式的性质变形不正确的是（ ）
A．由x+2＝y+2，得到x＝y
B．由2a﹣3＝b﹣3，得到2a＝b
C．由cx＝cy，得到x＝y
D．由x＝y，得到＝
6．下列各图中，由图形①到图形②既可经过平移，又可经过旋转得到的是（ ）
A． B．
C． D．
7．不等式的正整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．已知是方程组的解，则a+b的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
9．某种药品说明书上，贴有如图所示的标签，则一次服用这种药品的剂量范围是x～ymg，则x，y的值分别为（ ）
用法用量：口服，每天30〜60mg，分2〜3次服用．
规格：□□□□□□
贮藏：□□□□□□
A．x＝15，y＝30 B．x＝10，y＝20 C．x＝15，y＝20 D．x＝10，y＝30
10．如图，一副三角板中两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°，保持三角板ABC不动，三角板DCE可绕点C旋转，则下列结论：
①∠ACE＝∠BCD；②∠BCE+∠ACD随着∠ACD的交化而变化；③当AB∥CE时，则∠ACD＝60° 或150°；④当∠BCE＝3∠ACD时，DE一定垂直于AC．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．五边形的内角和为 度．
12．请你写出一个有一解为的二元一次方程： ．
13．某商场店庆活动中，商家准备对某种进价为600元、标价为1100元的商品进行打折销售，但要保证利润率不低于10%，则最低折扣是 ．
14．如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝ °．
15．如图，在△ABC中，AD⊥BC垂足为D，AD＝4，将△ABC沿射线BC的方向向右平移后，得到△A'B'C，连接A'C，若BC'＝10，B'C＝3，则△A'CC'的面积为 ．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．解下列方程组：
（1）；
（2）．
17．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
﹣＞﹣3
18．已知△ABC是等腰三角形．
（1）如果它的两条边的长分别为8cm和3cm，那么它的周长是多少；
（2）如果它的周长为18cm，一条边的长为4cm，那么它的腰长是多少．
19．如图，在△ABC中，D是AB上的一点，E是AC上的一点，BE、CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°．求：
（1）∠BDC的度数；
（2）∠BFD的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：（1）∵∠BDC＝∠A+∠ACD（ ），
∴∠BDC＝62°+35°＝97°（等量代换）．
（2）∵∠BFD+∠BDC+∠ABE＝ （ ），
∴∠BFD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABE（等式的性质），
＝180°﹣ ﹣20°（等量代换），
＝ ．
20．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）
（1）在图中作出△ABC关于直线对称的△A1B1C1（点A的对应点是点A1，点B的对应点是点B1，点C的对应点是点C1）；
（2）在直线l上画出点P，使PA+PC最小；
（3）直接写出△A1BC的面积为 ．
21．问题：小明在拼图时，发现8个大小一样的长方形，恰好可以拼成如图1所示的一个大的长方形．小红看见了，说“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2所示的正方形，咳，怎么中间还留下了一个洞，恰好是边长为2mm的小正方形!
你能求出这些长方形的长和宽吗？
探索：设长方形的长和宽分别为xmm、ymm．图2给我们提供了一个信息：S大正方形﹣8×S长方形＝22，即（x+2y）2﹣8xy＝4．
但这是我们还没有研究过的方程!如果你有能力解这个方程，请求出方程的解，如果不能解这个方程，请你用其他办法来解决这个问题．
22．阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：
（1）“多边形内角和为2020°”，为什么不可能？
（2）明明求的是几边形的内角和？
（3）错当成内角的那个外角为多少度？
23．探究与发现：
如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这种图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？请解决以下问题：
（1）观察“规形图”，试探究∠BPC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：
①如图2：已知△ABC，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，直接写出∠BPC与∠A之间存在的等量关系为： ．
迁移运用：如图3：在△ABC中，∠A＝80°，点O是∠ABC，∠ACB角平分线的交点，点P是∠BOC，∠OCB角平分线的交点，若∠OPC＝100°，则∠ACB的度数 ．
②如图4：若D点是△ABC内任意一点，BP平分∠ABD，CP平分∠ACD．直接写出∠BDC、∠BPC、∠A之间存在的等量关系为 ．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）下列每小题均有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．用一批完全相同的正多边形能镶嵌成一个平面图案的是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形
【分析】根据密铺的条件可知3个正六边形能密铺
解：根据密铺的条件可知3个正六边形能密铺，
故选：B．
【点评】本题考查平面密铺的问题，用到的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．
3．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E、F、G、H分别是四条边上的中点，为了使它更加稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（ ）
A．A、G两点之间 B．E、G两点之间
C．B、F两点之间 D．G、H两点之间
【分析】用木条固定长方形窗框，即是组成三角形，故可利用三角形的稳定性对选项一一判断是否组成三角形．
解：由题意可知，为了窗框稳固，需要在窗框上钉一根木条，根据三角形具有稳定性，这根木条钉在E、G两点之间时，不能构成三角形，所以不应该钉在E、G两点之间．
故选：B．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，熟记三角形的稳定性是解题的关键．
4．一个正多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
【分析】由正多边形的每一个外角都相等，多边形的外角和是360°，即可计算．
解：∵正多边形的每一个外角都相等，多边形的外角和是360°，
∴这个正多边形的边数：360°÷30°＝12，
故选：D．
【点评】本题考查多边形的有关知识，关键是掌握多边形的外角和是360°．
5．下列根据等式的性质变形不正确的是（ ）
A．由x+2＝y+2，得到x＝y
B．由2a﹣3＝b﹣3，得到2a＝b
C．由cx＝cy，得到x＝y
D．由x＝y，得到＝
【分析】根据等式的性质：等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案．
解：A、由x+2＝y+2，得到x＝y，正确；
B、由2a﹣3＝b﹣3，得到2a＝b，正确；
C、当c＝0时，由cx＝cy，x≠y，错误；
D、由x＝y，得到＝，正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立．
6．下列各图中，由图形①到图形②既可经过平移，又可经过旋转得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据旋转变换，平移变换的定义判断即可．
解：观察图象可知，选项D中的图形①到图形②既可经过平移，又可经过旋转得到，
故选：D．
【点评】本题考查利用旋转设计图案，解题的关键是理解旋转变换，平移变换的性质．，属于中考常考题型．
7．不等式的正整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
解：，
2x＜6﹣（x﹣1），
2x＜6﹣x+1，
2x+x＜6+1，
3x＜7，
x＜，
∴该不等式的正整数解为：2，1，共有2个，
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
8．已知是方程组的解，则a+b的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【分析】根据二元一次方程组的解法即可求出答案．
解：将代入，
可得：，
两式相加：a+b＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型．
9．某种药品说明书上，贴有如图所示的标签，则一次服用这种药品的剂量范围是x～ymg，则x，y的值分别为（ ）
用法用量：口服，每天30〜60mg，分2〜3次服用．
规格：□□□□□□
贮藏：□□□□□□
A．x＝15，y＝30 B．x＝10，y＝20 C．x＝15，y＝20 D．x＝10，y＝30
【分析】若每天服用2次，则所需剂量为15﹣30mg之间，若每天服用3次，则所需剂量为10﹣20mg之间，所以，一次服用这种药的剂量为10﹣30mg之间．
解：若每天服用2次，则所需剂量为15﹣30mg之间，
若每天服用3次，则所需剂量为10﹣20mg之间，
所以，一次服用这种药的剂量为10﹣30mg之间，
所以x＝10，y＝30．
故选：D．
【点评】本题考查了对有理数的除法运算的实际运用．解题的关键是理解题意的能力，首先明白每天要服用的药量，然后根据分几次服用，可求出最小药量和最大药量．
10．如图，一副三角板中两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°，保持三角板ABC不动，三角板DCE可绕点C旋转，则下列结论：
①∠ACE＝∠BCD；②∠BCE+∠ACD随着∠ACD的交化而变化；③当AB∥CE时，则∠ACD＝60° 或150°；④当∠BCE＝3∠ACD时，DE一定垂直于AC．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】依据∠BCD+∠ACD＝90°，∠ACE+∠ACD＝90°，可得∠BCD＝∠ACE；依据∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°+∠ACE，即可得到∠BCE+∠ACD＝180°；画出图形，根据平行线的判定，即可得到当∠ACD等于60°或120°时，CE∥AB；根据∠BCE＝3∠ACD，∠BCE+∠ACD＝180°，即可求出∠ACD的度数；根据平行线的判定以及垂直的定义得到此时DE与AC的位置关系．
解：∵∠BCD+∠ACD＝90°，∠ACE+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE；故①正确；
∵∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°+∠ACE，
∴∠BCE+∠ACD＝90°+∠ACE+∠ACD＝90°+90°＝180°，
∴∠BCE+∠ACD＝180°（是定值）；故②错误；
如图1所示，当CE∥AB时，∠ACE＝∠A＝30°，
∴∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE＝90°﹣30°＝60°．
②如图2所示，当CE∥AB时，∠BCE＝∠B＝60°，
∴∠ACD＝360°﹣∠ACB﹣∠BCE﹣∠DCE＝360°﹣90°﹣60°﹣90°＝120°．
当AB∥CE时，则∠ACD＝60° 或120°，故③错误；
设∠ACD＝α，则∠BCE＝3α．
由（1）可知，∠BCE+∠ACD＝180°，
∴3α+α＝180°，
∴α＝45°，即∠ACD＝45°，
此时DE⊥AC或DE∥AC．故④错误．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握性质定理并且能够准确识图是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．五边形的内角和为 540 度．
【分析】n边形内角和公式为（n﹣2）180°，把n＝5代入可求五边形内角和．
解：五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°．
故答案为：540．
【点评】本题考查多边形的内角和计算公式，解答时要会根据公式进行正确运算和数据处理．
12．请你写出一个有一解为的二元一次方程： x+y＝﹣1 ．
【分析】根据方程组知x与y的数量关系：x+y＝﹣1，x﹣y＝3；所以所有符合此要求的二元一次方程均可．
解：根据题意，得
x+y＝1﹣2＝﹣1，即x+y＝﹣1；
x﹣y＝﹣1+2＝3，即x﹣y＝3；
所以，所有符合x+y＝﹣1，x﹣y＝3的二元一次方程均可．
故答案为：x+y＝﹣1．
【点评】考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解．
13．某商场店庆活动中，商家准备对某种进价为600元、标价为1100元的商品进行打折销售，但要保证利润率不低于10%，则最低折扣是 6折 ．
【分析】利润率不低于10%，即利润要大于或等于：600×5%元，设打x折，则售价是1100x元．根据利润率不低于10%就可以列出不等式，求出x的范围．
解：设可以打x折
1100x﹣600≥600×10%
解得x≥60%，即最低折扣是6折．
故答案为：6折．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解利润率的含义，理解利润＝进价×利润率是解题的关键．
14．如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝ 95 °．
【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠BMF、∠BNF，再根据翻折的性质求出∠BMN和∠BNM，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
解：∵MF∥AD，FN∥DC，
∴∠BMF＝∠A＝100°，∠BNF＝∠C＝70°，
∵△BMN沿MN翻折得△FMN，
∴∠BMN＝∠BMF＝×100°＝50°，
∠BNM＝∠BNF＝×70°＝35°，
在△BMN中，∠B＝180°﹣（∠BMN+∠BNM）＝180°﹣（50°+35°）＝180°﹣85°＝95°．
故答案为：95．
【点评】本题考查了两直线平行，同位角相等的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，AD⊥BC垂足为D，AD＝4，将△ABC沿射线BC的方向向右平移后，得到△A'B'C，连接A'C，若BC'＝10，B'C＝3，则△A'CC'的面积为 7 ．
【分析】根据平移的性质可得BC＝B′C′，则BB′＝CC′，依此根据线段的和差关系可得CC'的长，再根据三角形面积公式即可求解．
解：由平移的性质可得BC＝B′C′，则BB′＝CC′，
∵BC'＝10，B'C＝3，
∴CC'＝（10﹣3）÷2＝3.5，
∴△A'CC'的面积为3.5×4÷2＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查三角形的面积、平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．解下列方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）应用代入消元法，求出方程组的解是多少即可．
（2）应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．
解：（1），
由②，可得：y＝3x﹣7③，
③代入①，可得：4x﹣3（3x﹣7）＝6，
解得x＝3，
把x＝3代入③，解得y＝2，
∴原方程组的解是．
（2）原方程组可化为：，
①+②，可得6x＝18，
解得x＝3，
把x＝3代入①，解得y＝，
∴原方程组的解是．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
17．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
﹣＞﹣3
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
解：去分母，得：2（x﹣2）﹣5（x+4）＞﹣30，
去括号，得：2x﹣4﹣5x﹣20＞﹣30，
移项，得：2x﹣5x＞﹣30+4+20，
合并同类项，得：﹣3x＞﹣6，
系数化为1，得：x＜2，
将不等式解集表示在数轴上如下：
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
18．已知△ABC是等腰三角形．
（1）如果它的两条边的长分别为8cm和3cm，那么它的周长是多少；
（2）如果它的周长为18cm，一条边的长为4cm，那么它的腰长是多少．
【分析】（1）根据已知条件和三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能为3cm，只能为8cm，依此即可求得等腰三角形的周长；
（2）因为已知给出的边为4cm，没说是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
解：（1）∵等腰三角形的两条边长分别为3cm，8cm，
∴由三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能为3cm，只能为8cm，
∴等腰三角形的周长＝8+8+3＝19cm；
（2）当长为4cm的边为底时，其它两边都为＝7cm，三边长是：4cm，7cm，7cm，腰长是7cm；
当长为4cm的边为腰时，其它两边为4cm和10cm，∵4+4＜10，所以不能构成三角形．
∴腰长是7cm．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形三边关系等知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．要求学生应熟练掌握．
19．如图，在△ABC中，D是AB上的一点，E是AC上的一点，BE、CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°．求：
（1）∠BDC的度数；
（2）∠BFD的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：（1）∵∠BDC＝∠A+∠ACD（ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ），
∴∠BDC＝62°+35°＝97°（等量代换）．
（2）∵∠BFD+∠BDC+∠ABE＝ 180° （ 三角形内角和定理 ），
∴∠BFD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABE（等式的性质），
＝180°﹣ 97° ﹣20°（等量代换），
＝ 63° ．
【分析】（1）根据三角形外角的性质即可求解；
（2）根据三角形内角和定理即可求出∠BFD的度数．
解：（1）∵∠BDC＝∠A+∠ACD（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠BDC＝62°+35°＝97°（等量代换）．
故答案为：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
（2）∵∠BFD+∠BDC+∠ABE＝180°（三角形内角和定理），
∴∠BFD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABE（等式的性质），
＝180°﹣97°﹣20°（等量代换），
＝63°．
故答案为：180°；三角形内角和定理；97°；63°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形内角和是180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
20．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）
（1）在图中作出△ABC关于直线对称的△A1B1C1（点A的对应点是点A1，点B的对应点是点B1，点C的对应点是点C1）；
（2）在直线l上画出点P，使PA+PC最小；
（3）直接写出△A1BC的面积为 11 ．
【分析】（1）利用网格特点画出A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1，从而得到△A1B1C1；
（2）利用CA1交直线l于P，则PA＝PA1，则根据两点之间线段最短可判断P点满足条件；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A1BC的面积．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，点P为所作；
（3）△A1BC的面积为＝6×4﹣×6×2﹣×2×5﹣×1×4＝11．
故答案为11．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了两点之间线段最短．
21．问题：小明在拼图时，发现8个大小一样的长方形，恰好可以拼成如图1所示的一个大的长方形．小红看见了，说“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2所示的正方形，咳，怎么中间还留下了一个洞，恰好是边长为2mm的小正方形!
你能求出这些长方形的长和宽吗？
探索：设长方形的长和宽分别为xmm、ymm．图2给我们提供了一个信息：S大正方形﹣8×S长方形＝22，即（x+2y）2﹣8xy＝4．
但这是我们还没有研究过的方程!如果你有能力解这个方程，请求出方程的解，如果不能解这个方程，请你用其他办法来解决这个问题．
【分析】根据拼图中的边长以及面积之间的关系可得3x＝5y，（x+2y）2＝8xy+4，然后用y的代数式表示x，再代入即可求出y，进而求出x即可．
解：设小长方形的长为xmm，宽为ymm，由图1可知，3x＝5y，由图2可知，（x+2y）2＝8xy+4，
∵3x＝5y，即x＝代入（x+2y）2﹣8xy＝4，得
（y+2y）2﹣8×＝4，
整理得y2＝36，
∴y＝6（取正值），
∴x＝，
即小长方形的长为10mm，宽为6mm．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
22．阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：
（1）“多边形内角和为2020°”，为什么不可能？
（2）明明求的是几边形的内角和？
（3）错当成内角的那个外角为多少度？
【分析】（1）n边形的内角和是（n﹣2）•180°，因而内角和一定是180度的倍数，依此即可作出判断；
（2）设应加的内角为x，多加的外角为y，依题意可列方程：（n﹣2）180°＝2020°﹣y+x，解方程即可求解；
（3）代入计算求解．
解：（1）设多边形的边数为n，
180°（n﹣2）＝2020°，
解得，
∵n为正整数，
∴“多边形的内角和为2020°”不可能．
（2）设应加的内角为x，多加的外角为y，
依题意可列方程：（n﹣2）180°＝2020°﹣y+x，
∵﹣180°＜x﹣y＜180，
∴2020°﹣180°＜180°（n﹣2）＜2020°+180°，
解得，
又∵n为正整数，
∴n＝13，n＝14．
故明明求的是十三边形或十四边形的内角和．
（3）十三边形的内角和＝180°×（13﹣2）＝1980°，
∴y﹣x＝2020°﹣1980°＝40°，
又x+y＝180°，
解得：x＝70°，y＝110°；
十四边形的内角和＝180°×（14﹣2）＝2160°，
∴y﹣x＝2020°﹣2160°＝﹣140°，
又x+y＝180°，
解得：x＝160°，y＝20°；
所以那个外角为110°或20°．
【点评】考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．
23．探究与发现：
如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这种图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？请解决以下问题：
（1）观察“规形图”，试探究∠BPC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：
①如图2：已知△ABC，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，直接写出∠BPC与∠A之间存在的等量关系为： ∠BPC＝90°+∠A ．
迁移运用：如图3：在△ABC中，∠A＝80°，点O是∠ABC，∠ACB角平分线的交点，点P是∠BOC，∠OCB角平分线的交点，若∠OPC＝100°，则∠ACB的度数 60° ．
②如图4：若D点是△ABC内任意一点，BP平分∠ABD，CP平分∠ACD．直接写出∠BDC、∠BPC、∠A之间存在的等量关系为 2∠BPC＝∠BDC+∠A ．
【分析】（1）首先连接AP并延长至点F，然后根据外角的性质，即可判断出∠BPC＝∠A+∠B+∠C；
（2）①利用角平分线的定义，三角形的内角和定理证明即可；
迁移运用：设∠BCP＝∠PCO＝x，∠BOP＝∠COP＝y，由∠P＝100°，推出x+y＝80°，推出2x+2y＝160°，推出∠OBC＝180°﹣160°＝20°，可得∠ABC＝40°，由此即可解决问题；
②根据角平分线的定义和四边形的内角和即可得到结论．
解：（1）如图，连接AP并延长至点F，
根据外角的性质，可得
∠BPF＝∠BAP+∠B，∠CPF＝∠C+∠CAP，
又∵∠BPC＝∠BPF+∠CPF，∠BAC＝∠BAP+∠CAP，
∴∠BPC＝∠A+∠B+∠C；
（2）①结论：∠BPC＝90°+∠A．
理由：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠BPC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A；
迁移运用：设∠BCP＝∠PCO＝x，∠BOP＝∠COP＝y，
∵∠P＝100°，
∴x+y＝80°，
∴2x+2y＝160°，
∴∠OBC＝180°﹣160°＝20°，
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABC＝40°，
∵∠A＝80°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°；
故答案为：∠BPC＝90°+∠A，60°；
②∵BP平分∠ABD，CP平分∠ACD，
∴∠PBD＝∠ABP，∠PCD＝∠ACP，
四边形BPDC中，∠P+∠ABD+∠ACD+360°﹣∠D＝360°，
∴∠ABD+∠ACD＝∠D﹣∠P，
在四边形ABPC中，∠A+∠ABD+∠ACD+360°﹣∠P＝360°，
∴∠A+∠D﹣∠P﹣∠P＝0，
∴2∠BPC＝∠BDC+∠A．
故答案为：2∠BPC＝∠BDC+∠A．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键．
2022-2023学年河南省洛阳市嵩县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列每小题均有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．用一批完全相同的正多边形能镶嵌成一个平面图案的是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形
3．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E、F、G、H分别是四条边上的中点，为了使它更加稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（ ）
A．A、G两点之间 B．E、G两点之间
C．B、F两点之间 D．G、H两点之间
4．一个正多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
5．下列根据等式的性质变形不正确的是（ ）
A．由x+2＝y+2，得到x＝y
B．由2a﹣3＝b﹣3，得到2a＝b
C．由cx＝cy，得到x＝y
D．由x＝y，得到＝
6．下列各图中，由图形①到图形②既可经过平移，又可经过旋转得到的是（ ）
A． B．
C． D．
7．不等式的正整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．已知是方程组的解，则a+b的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
9．某种药品说明书上，贴有如图所示的标签，则一次服用这种药品的剂量范围是x～ymg，则x，y的值分别为（ ）
用法用量：口服，每天30〜60mg，分2〜3次服用．
规格：□□□□□□
贮藏：□□□□□□
A．x＝15，y＝30 B．x＝10，y＝20 C．x＝15，y＝20 D．x＝10，y＝30
10．如图，一副三角板中两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°，保持三角板ABC不动，三角板DCE可绕点C旋转，则下列结论：
①∠ACE＝∠BCD；②∠BCE+∠ACD随着∠ACD的交化而变化；③当AB∥CE时，则∠ACD＝60° 或150°；④当∠BCE＝3∠ACD时，DE一定垂直于AC．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．五边形的内角和为 度．
12．请你写出一个有一解为的二元一次方程： ．
13．某商场店庆活动中，商家准备对某种进价为600元、标价为1100元的商品进行打折销售，但要保证利润率不低于10%，则最低折扣是 ．
14．如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝ °．
15．如图，在△ABC中，AD⊥BC垂足为D，AD＝4，将△ABC沿射线BC的方向向右平移后，得到△A'B'C，连接A'C，若BC'＝10，B'C＝3，则△A'CC'的面积为 ．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．解下列方程组：
（1）；
（2）．
17．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
﹣＞﹣3
18．已知△ABC是等腰三角形．
（1）如果它的两条边的长分别为8cm和3cm，那么它的周长是多少；
（2）如果它的周长为18cm，一条边的长为4cm，那么它的腰长是多少．
19．如图，在△ABC中，D是AB上的一点，E是AC上的一点，BE、CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°．求：
（1）∠BDC的度数；
（2）∠BFD的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：（1）∵∠BDC＝∠A+∠ACD（ ），
∴∠BDC＝62°+35°＝97°（等量代换）．
（2）∵∠BFD+∠BDC+∠ABE＝ （ ），
∴∠BFD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABE（等式的性质），
＝180°﹣ ﹣20°（等量代换），
＝ ．
20．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）
（1）在图中作出△ABC关于直线对称的△A1B1C1（点A的对应点是点A1，点B的对应点是点B1，点C的对应点是点C1）；
（2）在直线l上画出点P，使PA+PC最小；
（3）直接写出△A1BC的面积为 ．
21．问题：小明在拼图时，发现8个大小一样的长方形，恰好可以拼成如图1所示的一个大的长方形．小红看见了，说“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2所示的正方形，咳，怎么中间还留下了一个洞，恰好是边长为2mm的小正方形!
你能求出这些长方形的长和宽吗？
探索：设长方形的长和宽分别为xmm、ymm．图2给我们提供了一个信息：S大正方形﹣8×S长方形＝22，即（x+2y）2﹣8xy＝4．
但这是我们还没有研究过的方程!如果你有能力解这个方程，请求出方程的解，如果不能解这个方程，请你用其他办法来解决这个问题．
22．阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：
（1）“多边形内角和为2020°”，为什么不可能？
（2）明明求的是几边形的内角和？
（3）错当成内角的那个外角为多少度？
23．探究与发现：
如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这种图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？请解决以下问题：
（1）观察“规形图”，试探究∠BPC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：
①如图2：已知△ABC，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，直接写出∠BPC与∠A之间存在的等量关系为： ．
迁移运用：如图3：在△ABC中，∠A＝80°，点O是∠ABC，∠ACB角平分线的交点，点P是∠BOC，∠OCB角平分线的交点，若∠OPC＝100°，则∠ACB的度数 ．
②如图4：若D点是△ABC内任意一点，BP平分∠ABD，CP平分∠ACD．直接写出∠BDC、∠BPC、∠A之间存在的等量关系为 ．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）下列每小题均有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．用一批完全相同的正多边形能镶嵌成一个平面图案的是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形
【分析】根据密铺的条件可知3个正六边形能密铺
解：根据密铺的条件可知3个正六边形能密铺，
故选：B．
【点评】本题考查平面密铺的问题，用到的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．
3．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E、F、G、H分别是四条边上的中点，为了使它更加稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（ ）
A．A、G两点之间 B．E、G两点之间
C．B、F两点之间 D．G、H两点之间
【分析】用木条固定长方形窗框，即是组成三角形，故可利用三角形的稳定性对选项一一判断是否组成三角形．
解：由题意可知，为了窗框稳固，需要在窗框上钉一根木条，根据三角形具有稳定性，这根木条钉在E、G两点之间时，不能构成三角形，所以不应该钉在E、G两点之间．
故选：B．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，熟记三角形的稳定性是解题的关键．
4．一个正多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
【分析】由正多边形的每一个外角都相等，多边形的外角和是360°，即可计算．
解：∵正多边形的每一个外角都相等，多边形的外角和是360°，
∴这个正多边形的边数：360°÷30°＝12，
故选：D．
【点评】本题考查多边形的有关知识，关键是掌握多边形的外角和是360°．
5．下列根据等式的性质变形不正确的是（ ）
A．由x+2＝y+2，得到x＝y
B．由2a﹣3＝b﹣3，得到2a＝b
C．由cx＝cy，得到x＝y
D．由x＝y，得到＝
【分析】根据等式的性质：等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案．
解：A、由x+2＝y+2，得到x＝y，正确；
B、由2a﹣3＝b﹣3，得到2a＝b，正确；
C、当c＝0时，由cx＝cy，x≠y，错误；
D、由x＝y，得到＝，正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立．
6．下列各图中，由图形①到图形②既可经过平移，又可经过旋转得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据旋转变换，平移变换的定义判断即可．
解：观察图象可知，选项D中的图形①到图形②既可经过平移，又可经过旋转得到，
故选：D．
【点评】本题考查利用旋转设计图案，解题的关键是理解旋转变换，平移变换的性质．，属于中考常考题型．
7．不等式的正整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
解：，
2x＜6﹣（x﹣1），
2x＜6﹣x+1，
2x+x＜6+1，
3x＜7，
x＜，
∴该不等式的正整数解为：2，1，共有2个，
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
8．已知是方程组的解，则a+b的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【分析】根据二元一次方程组的解法即可求出答案．
解：将代入，
可得：，
两式相加：a+b＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型．
9．某种药品说明书上，贴有如图所示的标签，则一次服用这种药品的剂量范围是x～ymg，则x，y的值分别为（ ）
用法用量：口服，每天30〜60mg，分2〜3次服用．
规格：□□□□□□
贮藏：□□□□□□
A．x＝15，y＝30 B．x＝10，y＝20 C．x＝15，y＝20 D．x＝10，y＝30
【分析】若每天服用2次，则所需剂量为15﹣30mg之间，若每天服用3次，则所需剂量为10﹣20mg之间，所以，一次服用这种药的剂量为10﹣30mg之间．
解：若每天服用2次，则所需剂量为15﹣30mg之间，
若每天服用3次，则所需剂量为10﹣20mg之间，
所以，一次服用这种药的剂量为10﹣30mg之间，
所以x＝10，y＝30．
故选：D．
【点评】本题考查了对有理数的除法运算的实际运用．解题的关键是理解题意的能力，首先明白每天要服用的药量，然后根据分几次服用，可求出最小药量和最大药量．
10．如图，一副三角板中两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°，保持三角板ABC不动，三角板DCE可绕点C旋转，则下列结论：
①∠ACE＝∠BCD；②∠BCE+∠ACD随着∠ACD的交化而变化；③当AB∥CE时，则∠ACD＝60° 或150°；④当∠BCE＝3∠ACD时，DE一定垂直于AC．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】依据∠BCD+∠ACD＝90°，∠ACE+∠ACD＝90°，可得∠BCD＝∠ACE；依据∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°+∠ACE，即可得到∠BCE+∠ACD＝180°；画出图形，根据平行线的判定，即可得到当∠ACD等于60°或120°时，CE∥AB；根据∠BCE＝3∠ACD，∠BCE+∠ACD＝180°，即可求出∠ACD的度数；根据平行线的判定以及垂直的定义得到此时DE与AC的位置关系．
解：∵∠BCD+∠ACD＝90°，∠ACE+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE；故①正确；
∵∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°+∠ACE，
∴∠BCE+∠ACD＝90°+∠ACE+∠ACD＝90°+90°＝180°，
∴∠BCE+∠ACD＝180°（是定值）；故②错误；
如图1所示，当CE∥AB时，∠ACE＝∠A＝30°，
∴∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE＝90°﹣30°＝60°．
②如图2所示，当CE∥AB时，∠BCE＝∠B＝60°，
∴∠ACD＝360°﹣∠ACB﹣∠BCE﹣∠DCE＝360°﹣90°﹣60°﹣90°＝120°．
当AB∥CE时，则∠ACD＝60° 或120°，故③错误；
设∠ACD＝α，则∠BCE＝3α．
由（1）可知，∠BCE+∠ACD＝180°，
∴3α+α＝180°，
∴α＝45°，即∠ACD＝45°，
此时DE⊥AC或DE∥AC．故④错误．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握性质定理并且能够准确识图是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．五边形的内角和为 540 度．
【分析】n边形内角和公式为（n﹣2）180°，把n＝5代入可求五边形内角和．
解：五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°．
故答案为：540．
【点评】本题考查多边形的内角和计算公式，解答时要会根据公式进行正确运算和数据处理．
12．请你写出一个有一解为的二元一次方程： x+y＝﹣1 ．
【分析】根据方程组知x与y的数量关系：x+y＝﹣1，x﹣y＝3；所以所有符合此要求的二元一次方程均可．
解：根据题意，得
x+y＝1﹣2＝﹣1，即x+y＝﹣1；
x﹣y＝﹣1+2＝3，即x﹣y＝3；
所以，所有符合x+y＝﹣1，x﹣y＝3的二元一次方程均可．
故答案为：x+y＝﹣1．
【点评】考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解．
13．某商场店庆活动中，商家准备对某种进价为600元、标价为1100元的商品进行打折销售，但要保证利润率不低于10%，则最低折扣是 6折 ．
【分析】利润率不低于10%，即利润要大于或等于：600×5%元，设打x折，则售价是1100x元．根据利润率不低于10%就可以列出不等式，求出x的范围．
解：设可以打x折
1100x﹣600≥600×10%
解得x≥60%，即最低折扣是6折．
故答案为：6折．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解利润率的含义，理解利润＝进价×利润率是解题的关键．
14．如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝ 95 °．
【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠BMF、∠BNF，再根据翻折的性质求出∠BMN和∠BNM，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
解：∵MF∥AD，FN∥DC，
∴∠BMF＝∠A＝100°，∠BNF＝∠C＝70°，
∵△BMN沿MN翻折得△FMN，
∴∠BMN＝∠BMF＝×100°＝50°，
∠BNM＝∠BNF＝×70°＝35°，
在△BMN中，∠B＝180°﹣（∠BMN+∠BNM）＝180°﹣（50°+35°）＝180°﹣85°＝95°．
故答案为：95．
【点评】本题考查了两直线平行，同位角相等的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，AD⊥BC垂足为D，AD＝4，将△ABC沿射线BC的方向向右平移后，得到△A'B'C，连接A'C，若BC'＝10，B'C＝3，则△A'CC'的面积为 7 ．
【分析】根据平移的性质可得BC＝B′C′，则BB′＝CC′，依此根据线段的和差关系可得CC'的长，再根据三角形面积公式即可求解．
解：由平移的性质可得BC＝B′C′，则BB′＝CC′，
∵BC'＝10，B'C＝3，
∴CC'＝（10﹣3）÷2＝3.5，
∴△A'CC'的面积为3.5×4÷2＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查三角形的面积、平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．解下列方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）应用代入消元法，求出方程组的解是多少即可．
（2）应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．
解：（1），
由②，可得：y＝3x﹣7③，
③代入①，可得：4x﹣3（3x﹣7）＝6，
解得x＝3，
把x＝3代入③，解得y＝2，
∴原方程组的解是．
（2）原方程组可化为：，
①+②，可得6x＝18，
解得x＝3，
把x＝3代入①，解得y＝，
∴原方程组的解是．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
17．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
﹣＞﹣3
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
解：去分母，得：2（x﹣2）﹣5（x+4）＞﹣30，
去括号，得：2x﹣4﹣5x﹣20＞﹣30，
移项，得：2x﹣5x＞﹣30+4+20，
合并同类项，得：﹣3x＞﹣6，
系数化为1，得：x＜2，
将不等式解集表示在数轴上如下：
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
18．已知△ABC是等腰三角形．
（1）如果它的两条边的长分别为8cm和3cm，那么它的周长是多少；
（2）如果它的周长为18cm，一条边的长为4cm，那么它的腰长是多少．
【分析】（1）根据已知条件和三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能为3cm，只能为8cm，依此即可求得等腰三角形的周长；
（2）因为已知给出的边为4cm，没说是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
解：（1）∵等腰三角形的两条边长分别为3cm，8cm，
∴由三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能为3cm，只能为8cm，
∴等腰三角形的周长＝8+8+3＝19cm；
（2）当长为4cm的边为底时，其它两边都为＝7cm，三边长是：4cm，7cm，7cm，腰长是7cm；
当长为4cm的边为腰时，其它两边为4cm和10cm，∵4+4＜10，所以不能构成三角形．
∴腰长是7cm．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形三边关系等知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．要求学生应熟练掌握．
19．如图，在△ABC中，D是AB上的一点，E是AC上的一点，BE、CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°．求：
（1）∠BDC的度数；
（2）∠BFD的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：（1）∵∠BDC＝∠A+∠ACD（ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ），
∴∠BDC＝62°+35°＝97°（等量代换）．
（2）∵∠BFD+∠BDC+∠ABE＝ 180° （ 三角形内角和定理 ），
∴∠BFD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABE（等式的性质），
＝180°﹣ 97° ﹣20°（等量代换），
＝ 63° ．
【分析】（1）根据三角形外角的性质即可求解；
（2）根据三角形内角和定理即可求出∠BFD的度数．
解：（1）∵∠BDC＝∠A+∠ACD（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠BDC＝62°+35°＝97°（等量代换）．
故答案为：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
（2）∵∠BFD+∠BDC+∠ABE＝180°（三角形内角和定理），
∴∠BFD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABE（等式的性质），
＝180°﹣97°﹣20°（等量代换），
＝63°．
故答案为：180°；三角形内角和定理；97°；63°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形内角和是180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
20．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）
（1）在图中作出△ABC关于直线对称的△A1B1C1（点A的对应点是点A1，点B的对应点是点B1，点C的对应点是点C1）；
（2）在直线l上画出点P，使PA+PC最小；
（3）直接写出△A1BC的面积为 11 ．
【分析】（1）利用网格特点画出A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1，从而得到△A1B1C1；
（2）利用CA1交直线l于P，则PA＝PA1，则根据两点之间线段最短可判断P点满足条件；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A1BC的面积．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，点P为所作；
（3）△A1BC的面积为＝6×4﹣×6×2﹣×2×5﹣×1×4＝11．
故答案为11．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了两点之间线段最短．
21．问题：小明在拼图时，发现8个大小一样的长方形，恰好可以拼成如图1所示的一个大的长方形．小红看见了，说“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2所示的正方形，咳，怎么中间还留下了一个洞，恰好是边长为2mm的小正方形!
你能求出这些长方形的长和宽吗？
探索：设长方形的长和宽分别为xmm、ymm．图2给我们提供了一个信息：S大正方形﹣8×S长方形＝22，即（x+2y）2﹣8xy＝4．
但这是我们还没有研究过的方程!如果你有能力解这个方程，请求出方程的解，如果不能解这个方程，请你用其他办法来解决这个问题．
【分析】根据拼图中的边长以及面积之间的关系可得3x＝5y，（x+2y）2＝8xy+4，然后用y的代数式表示x，再代入即可求出y，进而求出x即可．
解：设小长方形的长为xmm，宽为ymm，由图1可知，3x＝5y，由图2可知，（x+2y）2＝8xy+4，
∵3x＝5y，即x＝代入（x+2y）2﹣8xy＝4，得
（y+2y）2﹣8×＝4，
整理得y2＝36，
∴y＝6（取正值），
∴x＝，
即小长方形的长为10mm，宽为6mm．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
22．阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：
（1）“多边形内角和为2020°”，为什么不可能？
（2）明明求的是几边形的内角和？
（3）错当成内角的那个外角为多少度？
【分析】（1）n边形的内角和是（n﹣2）•180°，因而内角和一定是180度的倍数，依此即可作出判断；
（2）设应加的内角为x，多加的外角为y，依题意可列方程：（n﹣2）180°＝2020°﹣y+x，解方程即可求解；
（3）代入计算求解．
解：（1）设多边形的边数为n，
180°（n﹣2）＝2020°，
解得，
∵n为正整数，
∴“多边形的内角和为2020°”不可能．
（2）设应加的内角为x，多加的外角为y，
依题意可列方程：（n﹣2）180°＝2020°﹣y+x，
∵﹣180°＜x﹣y＜180，
∴2020°﹣180°＜180°（n﹣2）＜2020°+180°，
解得，
又∵n为正整数，
∴n＝13，n＝14．
故明明求的是十三边形或十四边形的内角和．
（3）十三边形的内角和＝180°×（13﹣2）＝1980°，
∴y﹣x＝2020°﹣1980°＝40°，
又x+y＝180°，
解得：x＝70°，y＝110°；
十四边形的内角和＝180°×（14﹣2）＝2160°，
∴y﹣x＝2020°﹣2160°＝﹣140°，
又x+y＝180°，
解得：x＝160°，y＝20°；
所以那个外角为110°或20°．
【点评】考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．
23．探究与发现：
如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这种图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？请解决以下问题：
（1）观察“规形图”，试探究∠BPC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：
①如图2：已知△ABC，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，直接写出∠BPC与∠A之间存在的等量关系为： ∠BPC＝90°+∠A ．
迁移运用：如图3：在△ABC中，∠A＝80°，点O是∠ABC，∠ACB角平分线的交点，点P是∠BOC，∠OCB角平分线的交点，若∠OPC＝100°，则∠ACB的度数 60° ．
②如图4：若D点是△ABC内任意一点，BP平分∠ABD，CP平分∠ACD．直接写出∠BDC、∠BPC、∠A之间存在的等量关系为 2∠BPC＝∠BDC+∠A ．
【分析】（1）首先连接AP并延长至点F，然后根据外角的性质，即可判断出∠BPC＝∠A+∠B+∠C；
（2）①利用角平分线的定义，三角形的内角和定理证明即可；
迁移运用：设∠BCP＝∠PCO＝x，∠BOP＝∠COP＝y，由∠P＝100°，推出x+y＝80°，推出2x+2y＝160°，推出∠OBC＝180°﹣160°＝20°，可得∠ABC＝40°，由此即可解决问题；
②根据角平分线的定义和四边形的内角和即可得到结论．
解：（1）如图，连接AP并延长至点F，
根据外角的性质，可得
∠BPF＝∠BAP+∠B，∠CPF＝∠C+∠CAP，
又∵∠BPC＝∠BPF+∠CPF，∠BAC＝∠BAP+∠CAP，
∴∠BPC＝∠A+∠B+∠C；
（2）①结论：∠BPC＝90°+∠A．
理由：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠BPC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A；
迁移运用：设∠BCP＝∠PCO＝x，∠BOP＝∠COP＝y，
∵∠P＝100°，
∴x+y＝80°，
∴2x+2y＝160°，
∴∠OBC＝180°﹣160°＝20°，
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABC＝40°，
∵∠A＝80°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°；
故答案为：∠BPC＝90°+∠A，60°；
②∵BP平分∠ABD，CP平分∠ACD，
∴∠PBD＝∠ABP，∠PCD＝∠ACP，
四边形BPDC中，∠P+∠ABD+∠ACD+360°﹣∠D＝360°，
∴∠ABD+∠ACD＝∠D﹣∠P，
在四边形ABPC中，∠A+∠ABD+∠ACD+360°﹣∠P＝360°，
∴∠A+∠D﹣∠P﹣∠P＝0，
∴2∠BPC＝∠BDC+∠A．
故答案为：2∠BPC＝∠BDC+∠A．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键．
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