2023-2024学年河南省平顶山市汝州市七年级（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年河南省平顶山市汝州市七年级（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是( )
A. B. C. D.
2.如图，Rt△ABC是一块直角三角板，其中∠C=90∘，∠BAC=30∘.直尺的一边DE经过顶点A，若DE//CB，则∠DAB的度数为( )
A. 100∘B. 120∘C. 135∘D. 150∘
3.《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿=1万×1万，1兆=1万×1万×1亿．则1兆等于( )
A. 108B. 1012C. 1016D. 1024
4.如图，四个不透明布袋中都装进只有颜色不同的3个球，从某个布袋中随机摸出一个球，则下列说法不正确的是( )
A. 摸到红球属于必然事件的布袋是④
B. 摸到红球属于不可能事件的布袋是①
C. 摸到红球属于随机事件的布袋是②和③
D. 布袋②中摸到红球的可能性比布袋③中摸到红球的可能性大
5.下列计算正确的是( )
A. (a+b)(a−b)=a2−b2B. 2a⋅(−3ab2)=−6a2b3
C. (−a3b)2=−a6b2D. (12a4−3a)÷3a=4a3
6.对于问题：如图1，已知∠AOB，只用直尺和圆规判断∠AOB是否为直角？小意同学的方法如图2：在OA、OB上分别取C、D，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延长线于点E，若测量得OE=OD，则∠AOB=90∘，则小意同学判断的依据是( )
A. 垂线段最短
B. 等腰三角形“三线合一”
C. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
D. 等腰三角形的两个底角相等
7.下面的三个问题中都有两个变量：
①某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，x小时后，这个水池有水ym3；
②某手机话费收费标准为：每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元/min计.若一个月的通话时间为xmin，一个月应缴费用为y元；
③某弹簧的自然长度是3cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm.
其中，变量y与变量x之间的关系可以用如图所示的图象表示的是( )
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
8.如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”.数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据：
根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为( )
A. 0.46B. 0.50C. 0.55D. 0.61
9.如图所示的“钻石”型网格(由边长都为1个单位长度的等边三角形组成)，其中已经涂黑了3个小三角形(阴影部分表示)，请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形，一共有( )种涂法.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10.如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是( )
A. 50B. 62C. 65D. 68
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算:32×3−1×(13)0=______.
12.“明天的降水概率为80%”的含义有以下三种不同的解释：①明天80%的地区会下雨； ②80%的人认为明天会下雨；③明天下雨的可能性比较大；你认为其中合理的解释是______.(写出序号即可)
13.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30∘，直线a//b，点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，如果∠1=145∘，那么∠2的度数是______.
14.在△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′，AB=A′B′=6，AC=A′C′=4，若边BC和B′C′上的高都是3，∠C=n∘，则∠C′=______.
15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=42∘，将△ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在点C′处，折痕是BD，延长DC′交AB边于点M，若C′是DM的中点，则图中的∠MBC′的度数为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
周末，小刚家开车到郊外春游，出发前汽车油箱内有一定量的油.在行驶过程中，油箱剩余油量y(升)与行驶时间t(小时)的关系如表，请根据表格回答下列问题：
(1)上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)汽车行驶前油箱里有______升汽油，汽车每小时耗油______升；
(3)请写出y与t的关系式；
(4)当汽车行驶2.4小时时，油箱中还剩余多少升油？
17.(本小题9分)
如图是某汽车标志图案的简化图形，其中蕴含这一些几何知识，根据下面的条件解决问题.如图，BC//AD，∠A=∠B.
(1)BE与AF平行吗？为什么？
(2)若∠EOA=125∘，求∠A的度数.
18.(本小题9分)
如图，一个可以自由转动的转盘，转盘分成十个大小相同的扇形，分别标有数字1−10，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形).小明和小杰用这个转盘进行猜数游戏，游戏规则为：如果指针所指的数字大于6，那么小明获胜，如果指针所指的数字小于6，那么小杰获胜.
(1)上述游戏规则公平吗？请你说说理由；
(2)为了能使游戏更为公平，请你设计一种对小明、小杰都公平的游戏规则，并说说你的设计依据.
19.(本小题9分)
(1)如图1，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，△ABC的三个顶点都在其格点上，请以直线l为对称轴，画出与△ABC成轴对称的图形；
(2)如图2，已知△DEF，
①请在图2的方框中，用尺规作一个△D′E′F′，使△D′E′F′≌△DEF(保留作图痕迹，不写作法).
②根据①中的作图，判断△D′E′F′≌△DEF的理由是______.
20.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=12.使用尺规进如下作图：在AC和AB上分别截取AM，AN，使AM=AN，分别以M、N为圆心，以大于12MN的长半径作弧，两弧在∠CAB内交于点F，作射线AF交边BC交于点D.
(1)根据作图可知AD是△ABC的一条______线；
(2)过点D作DE⊥AB于点E.若CD=4，S△ABD=30，求BE的长.
21.(本小题9分)
发现规律：已知两个正整数，那么这两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数.
特例验证：假设这两个正整数是2和1，则这两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和为：
(2+1)2+(2−1)2
=32+12
=10
10÷2=5.
即结果是偶数，所以“发现规律”中的结论在这个特例中成立.
一般探究：假设这两个正整数为m，n，请说明“发现规律”中的结论正确.
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，高BD，CE交于点F，且BD=CD，
(1)判断AD，FD的数量关系，并说明理由；
(2)若CE平分∠ACB，BE=1.5，求CF的长.
23.(本小题10分)
【背景问题】：老师提出了如下问题：
如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB=3，AD=2，若AC边的长度为奇数，求AC的长.
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使AD=DE，连接BE.由已知和作图能得到△EDB≌△ADC，所以AC=BE.请根据小明的方法思考，然后直接写出AC可能的长(写一个即可)
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，从而得到更多的相等的线段和相等的角.
【感悟方法】：如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，AC=BF.请判断∠AFE与∠EAF的关系，并说明理由.
【深入探究】：如图3，在△ABC和△CDE中，CA=CB，CD=CE，且∠ACB=∠DCE=90∘，连接AD、BE，Q为AD中点，连接QC并延长交BE于K，CQ=3，CK=32，则△BCE的面积为______.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形是轴对称图形，符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，不符合题意，
故选：B.
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵DE//CB，∠C=90∘，
∴∠DAC=∠C=90∘，
∵∠BAC=30∘，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=120∘，
故答案为：B.
先根据平行线的性质求得∠DAC的度数，再根据角的和差关系求得结果．
本题主要考查了平行线的性质以及三角形角和差计算，关键是利用平行线的性质求得∠DAC.
3.【答案】C
【解析】解：1亿=104×104
=108，
1兆=104×104×108
=104+4+8
=1016，
故选：C.
本题考查了科学记数法-表示较大的数，掌握am⋅an=am+n是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：摸到红球属于必然事件的布袋是④，则A不符合题意；
摸到红球属于不可能事件的布袋是①，则B不符合题意；
摸到红球属于随机事件的布袋是②和③，则C不符合题意；
布袋②中摸到红球的可能性比布袋③中摸到红球的可能性小，则D符合题意；
故选：D.
一定条件下，一定会发生的事件即为必然事件；一定条件下，一定不会发生的事件即为不可能事件；一定条件下，可能会发生，也可能不会发生的事件即为随机事件；据此进行判断即可．
本题考查随机事件及可能性大小，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
5.【答案】A
【解析】解：A、(a+b)(a−b)=a2−b2，故选项A符合题意；
B、2a⋅(−3ab2)=−6a2b2，故选项B不符合题意；
C、(−a3b)2=a6b2，故选项C不符合题意；
D、(12a4−3a)÷3a=4a3−1，故选项D不符合题意；
故选：A.
根据整式的混合运算法则计算即可．
本题考查的是整式的混合运算，熟练掌握其计算方法是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：由作图可知，CE=CD，
∵OE=OD，
∴CO⊥ED(等腰三角形的三线合一)，
∴∠AOB=90∘.
故选：B.
根据等腰三角形的性质即可求解．
本题考查的是等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质．
7.【答案】D
【解析】解：①由题意得，y=15+5x，故变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示；
②由题意得，y=12+0.2x，故变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示；
③由题意得，y=3+0.5x，故变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示；
所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是①②③．
故选：D.
①根据x小时后，这个水池的蓄水量等于原来的蓄水量加上后来增加的进水量判断即可；
②根据应缴费用等于月租费加上通话费判断即可；
③根据“弹簧长度=弹簧的自然长度+挂物体后伸长的长度”判断即可．
本题考查了函数的图象以及常量与变量，正确理解函数图象表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
8.【答案】B
【解析】解：当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在0.50附近，
则估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为0.50.
故选：B.
利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可．
本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解“大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率”，难度一般．
9.【答案】C
【解析】解：如图，满足条件的三角形有三个．
故选：C.
根据轴对称图形的定义，画出图形即可．
本题考查利用轴对称图形设计图案，解题的关键是连接轴对称图形的定义，属于中考常考题型．
10.【答案】A
【解析】本题考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，关键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积.求出∠F=∠AGB=∠EAB=90∘，∠FEA=∠BAG，根据AAS证△FEA≌△GAB，推出AG=EF=6，AF=BG=3，同理CG=DH=4，BG=CH=3，求出FH=16，根据阴影部分的面积=S梯形EFHD−S△EFA−S△ABC−S△DHC和面积公式代入求出即可.
解：∵AE⊥AB，EF⊥AF，BG⊥AG，
∴∠F=∠AGB=∠EAB=90∘，
∴∠FEA+∠EAF=90∘，∠EAF+∠BAG=90∘，
∴∠FEA=∠BAG，
在△FEA和△GAB中，
∠F=∠BGA∠FEA=∠BAGAE=AB，
∴△FEA≌△GAB(AAS)，
∴AG=EF=6，AF=BG=3，
同理CG=DH=4，BG=CH=3，
∴FH=3+6+4+3=16，
∴梯形EFHD的面积是:12×(EF+DH)×FH=12×(6+4)×16=80，
∴实线所围成的图形的面积S是S梯形EFHD−S△EFA−S△ABC−S△DHC
=80−12×6×3−12×(6+4)×3−12×4×3
=50.
故选：A.
11.【答案】3
【解析】解：原式=9×13×1=3.
故答案为：3.
根据零指数幂法则、有理数的乘法法则、有理数的乘方法则、负整数指数幂法则进行解题即可．
本题考查零指数幂、有理数的乘法、有理数的乘方、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
12.【答案】③
【解析】解：“明天的降水概率为80%”可表示③明天下雨的可能性比较大，
故答案为：③．
根据概率的意义解答可得．
本题主要考查概率的意义，解题的关键是掌握概率是频率(多个)的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
13.【答案】40∘
【解析】解：∵AB=AC，且∠A=30∘，
∴∠ACB=75∘，
在△ADE中，∵∠1=∠A+∠AED=145∘，
∴∠AED=145∘−30∘=115∘，
∵a//b，
∴∠AED=∠2+∠ACB，
∴∠2=115∘−75∘=40∘.
故答案为：40∘.
先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得∠ACB=75∘，由三角形外角的性质可得∠AED的度数，由平行线的性质可得同位角相等，可得结论．
本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，题目比较基础，熟练掌握性质是解题的关键．
14.【答案】n∘或(180−n)∘
【解析】解：如图1和图2，
∵AD和AD′分别是△ABC与△A′B′C′边BC与B′C′上的高，
∴AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，
∴△ADC与△A′D′C′都是直角三角形，
在Rt△ADC与Rt△A′D′C′中，
AC=A′C′AD=A′D′，
∴Rt△ADC≌Rt△A′D′C′(HL)，
∴∠C′=∠C=n∘′；
如图1和图3，同理可证Rt△ADC≌Rt△A′ ′D′ ′C′ ′，
∴∠C=∠A′′C′′D′′=n∘，
∴∠A′′C′′B′′=180∘−n∘，
综上所述，∠C′=n∘或(180−n)∘.
故答案为：n∘或(180−n)∘.
分两种情况画出图形求解即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，注意分类讨论是解题的关键．
15.【答案】16∘
【解析】解：根据折叠的性质，得Rt△BCD≌Rt△BC′D，
∴∠DBC=∠DBC′，
∵C′是DM的中点，
∴DC′=MC′，
在Rt△BC′D和Rt△BC′M中，
BC′=BC′∠BC′D=∠BC′MDC′=MC′，
∴Rt△BC′D≌Rt△BC′M(SAS)，
∴∠DBC′=∠MBC′，
∴∠DBC=∠DBC′=∠MBC′，
∵∠C=90∘，∠A=42∘，
∴∠ABC=90∘−∠A=48∘，
∴∠MBC′=13∠ABC=16∘.
故答案为：16∘.
根据折叠的性质可知Rt△BCD≌Rt△BC′D，由全等三角形的性质证得∠DBC=∠DBC′，根据全等三角形的判定与性质证明得∠DBC′=∠MBC′，从而计算出∠MBC′的度数．
本题考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、翻折变化，掌握折叠的性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．
16.【答案】50 5
【解析】解：(1)∵油箱剩余油量随着行驶时间的改变而改变，
∴行驶时间是自变量，油箱剩余油量是因变量．
(2)根据表格可知，汽车行驶前油箱里有50升汽油，
汽车每小时耗油为(50−45)÷(1−0)=5(升)，
故答案为：50；5；
(3)y=50−5t.
(4)当t=2.4时，y=50−5×2.4=38(升)，
答：油箱中还剩余38升油．
(1)根据油箱剩余油量随着行驶时间的改变而改变，即可得出答案；
(2)根据表格即可得出答案；
(3)根据油箱剩余油量=50−t时间内消耗的油量，即可得出答案；
(4)将t=2.4代入即可得出答案．
本题主要考查一次函数的应用，找出等量关系是解题的关键．
17.【答案】解：(1)BE//AF，理由：
∵BC//AD，
∴∠B=∠DOE.
∵∠A=∠B，
∴∠DOE=∠A.
∴BE//AF.
(2)∵BE//AF，
∴∠A+∠EOA=180∘.
∵∠EOA=125∘，
∴∠A=55∘.
【解析】(1)由平行线的性质和∠A=∠B，得到∠DOE与∠A间关系，最后判定BE与AF是否平行；
(2)利用平行线的性质先求解即可．
本题考查了平行线的性质和判定．题目难度不大，熟练掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键．
18.【答案】解：(1)上述游戏规则不公平．
理由如下：
∵一共有10种可能，指针所指的数字大于6有4种可能，指针所指的数字小于6有5种可能，
∴小明获胜的概率为：410=25，小杰获胜的概率为：510=12，
∵25≠12，
∴上述游戏规则不公平；
(2)规则：如果指针所指的数字不小于6，那么小明获胜，如果指针所指的数字小于6，那么小杰获胜．(答案不唯一)
依据：∵一共有10种可能，指针所指的数字不小于6有5种可能，指针所指的数字小于6有5种可能，
∴小明获胜的概率为：510=12，小杰获胜的概率为：510=12，
∵小明获胜的概率=小杰获胜的概率，
∴上述游戏规则公平．
【解析】(1)分别求出小明和小杰获胜的概率，再比较大小即可作出判断；
(2)设计出小明和小杰获胜的概率相同的事件即可，
本题考查游戏公平性问题，能利用概率的大小关系判断游戏的公平性是解题的关键．
19.【答案】SSS
【解析】解：(1)如图1，△A′B′C即为所求．
(2)①如图2，任意作射线E′M，以点E′为圆心，线段EF的长为半径画弧，交射线E′M于点F′，再以点E′为圆心，线段DE的长为半径画弧，以点F′为圆心，线段DF的长为半径画弧，两弧相交于点D′，连接D′E′，D′F′，
则△D′E′F′即为所求(作法不唯一).
②由①中的作图可得，DE=D′E′，DF=D′F′，EF=E′F′，
∴△D′E′F′≌△DEF(SSS).
故答案为：SSS.
(1)根据轴对称的性质作图即可．
(2)①结合全等三角形的判定，任意作射线E′M，以点E′为圆心，线段EF的长为半径画弧，交射线E′M于点F′，再以点E′为圆心，线段DE的长为半径画弧，以点F′为圆心，线段DF的长为半径画弧，两弧相交于点D′，连接D′E′，D′F′即可．
②根据全等三角形的判定可得答案．
本题考查作图-轴对称变换、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的判定是解答本题的关键．
20.【答案】角平分
【解析】解：根据作图可知AD是△ABC的一条角平分线，
故答案为：角平分；
(2)∵AD是△ABC的角平分线，CD⊥AC，DE⊥AB，
∴DE=CD=4，
∵S△ABD=30，
∴12AB⋅DE=12AB×4=30，
∴AB=15，
在Rt△ACD与Rt△AED中，
CD=DEAD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AE=AC=12，
∴BE=AB−AE=15−12=3.
(1)根据角平分线的作法可得；
(2)根据角平分线的得出DE的长，根据三角形的面积公式求出AB的长，再根据HL证明Rt△ACD≌Rt△AED得出AE的长即可得出结果．
本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，证明Rt△ACD≌Rt△AED是解题的关键．
21.【答案】解：由题意得：(m+n)2+(m−n)2
=m2+2mn+n2+m2−2mn+n2
=2m2+2n2
=2(m2+n2)，
∴“发现规律”中的结论正确．
【解析】根据题意可得：(m+n)2+(m−n)2，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22.【答案】解：(1)AD=FD，
理由：∵BD，CE是△ABC的高，
∴BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，
∴∠ADB=∠FDC=∠AEC=90∘，
∴∠ABD=∠FCD=90∘−∠A，
在△ABD和△FCD中，
∠ABD=∠FCDBD=CD∠ADB=∠FDC，
∴△ABD≌△FCD(ASA)，
∴AD=FD.
(2)∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵CE⊥AB于点E，
∴∠AEC=∠BEC=90∘，
在△ACE和△BCE中，
∠ACE=∠BCECE=CE∠AEC=∠BEC，
∴△ACE≌△BCE(ASA)，
∴AE=BE=1.5，
∴BA=AE+BE=1.5+1.5=3，
由(1)得△ABD≌△FCD，
∴BA=CF=3，
∴CF的长为3.
【解析】(1)由BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，得∠ADB=∠FDC=∠AEC=90∘，则∠ABD=∠FCD=90∘−∠A，而BD=CD，即可根据“ASA”证明△ABD≌△FCD，则AD=FD；
(2)由∠ACE=∠BCE，CE=CE，∠AEC=∠BEC，根据“ASA”证明△ACE≌△BCE，则AE=BE=1.5，所以BA=CF=3，则CF的长为3.
此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABD≌△FCD及△ACE≌△BCE是解题的关键．
23.【答案】解：【背景问题】
AC=3(或AC=5)
【感悟方法】
∠AFE=∠EAF，理由如下：
延长AD到M，使AD=DM，连接BM，如图2所示：
∵AD是△ABC的中线，
∴CD=BD，
在△ADC和△MDB中，
DC=BD∠ADC=∠BDMDA=DM，
∴△ADC≌△MDB(SAS)，
∴BM=AC，∠EAF=∠M，
∵BF=AC，
∴BF=BM，
∴∠M=∠BFM，
∵∠BFM=∠AFE，
∴∠M=∠AFE，
又∵∠M=∠EAF，
∴∠AFE=∠EAF；
【深入探究】92.
【解析】【背景问题】：在△ADC和△EDB中，
AD=DE∠ADC=∠EDBCD=BD，
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
∴AC=BE，
∵AE−AB∴4−3即1∵AC边的长度为奇数，
∴AC=3(或AC=5)；
【深入探究】见答案；
【深入探究】：延长CQ到R，使得CQ=QR，连接AR、DR.
∵点Q是AD的中点，
∴AQ=QD，
又∵QC=RQ，∠AQR=∠CQD，
∴△AQR≌△DQC(SAS)，
∴AR=CD，∠ARQ=∠RCD，
∴AR//CD，
∴∠RAC+∠ACD=180∘，
∵∠ACB=∠DCE=90∘，AC=BC，CE=CD，
∴∠BCE+∠ACD=180∘，AR=CE，
∴∠BCE=∠CAR，
∴△ACR≌△CBE(SAS)，
∴∠ACR=∠CBE，BE=CR=2CQ=6，
∵∠ACR+∠BCK=90∘，
∴∠CBE+∠BCK=90∘，
∴∠CKB=90∘，
即QK⊥BE，
∴S△BCE=12×BE⋅CK=12×6×32=92，
故答案为：92.
【背景问题】：由“SAS”可证△ADC≌△EDB，可得AC=BE，由三角形的三边关系可求解；
【感悟方法】：由“SAS”可证△ADC≌△MDB，可得BM=AC，∠EAF=∠M，由等腰三角形的性质得出∠M=∠BFM，证出∠AFE=∠EAF；
【深入探究】：由“SAS”可证△AQR≌△DQC，可得AR=CD，∠R=∠RCD，由“SAS”可证△ACR≌△BCE，可得∠ACR=∠CBE，BE=CQ=2CQ=6，由三角形的面积公式可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．试验总次数
100
200
300
500
1500
2000
3000
落在“心形线”内部的次数
61
93
165
246
759
996
1503
落在“心形线”内部的频率
0.610
0.465
0.550
0.492
0.506
0.498
0.501
行驶时间t/小时
0
1
2
3
4
5
油箱剩余油量y/升
50
45
40
35
30
25