2023-2024学年河南省洛阳市嵩县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年河南省洛阳市嵩县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.为了表示小明同学从小学到初中身高变化情况，则最适合使用的统计图为( )
A. 条形统计图B. 扇形统计图C. 折线统计图D. 以上都不是
2.实数364的算术平方根是( )
A. 2B. 8C. ±2D. ± 8
3.下列运算结果正确的是( )
A. 3x3+2x2=5x5B. x8÷x4=x2C. (2x3)3=6x9D. x3⋅2x=2x4
4.若x2+kx−15能分解为(x+5)(x−3)，则k的值是( )
A. −2B. 2C. −8D. 8
5.如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，∠A=40∘，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC等于( )
A. 110∘B. 120∘C. 130∘D. 140∘
6.如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在△ABC( )
A. 三条中线的交点
B. 三条高的交点
C. 三条边的垂直平分线的交点
D. 三个角的角平分线的交点
7.已知a−b=1，则a2−b2−2b的值( )
A. 4B. 3C. 1D. 0
8.勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m，将它往前推4m至C处时(即水平距离CD=4m)，踏板离地的垂直高度CF=3m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是( )
A. 4mB. 5mC. 6mD. 8m
9.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD=CE，BD和CE交于点O连接AO并延长，交BC于点F，则图中全等的三角形有( )
A. 3对
B. 4对
C. 5对
D. 7对
10.如图，在等边三角形ABC中，AD是边BC上的中线，且AD=6，E是AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，BE+EF的最小值为( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8B
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算：(−a2+a)÷a=______.
12.如图，在一个池塘旁有一条笔直公路MN，池塘对面有一个建筑A，小明在公路一侧点B处测得∠ABN=60∘，为了得到他与建筑物A之间的距离，小明沿公路MN继续向东走到点C处，测得∠ACB=60∘，并测得他走了48米，则AB为______米.
13.2023年5月30日是第7个全国科技工作者日，某中学举行了科普知识手抄报评比活动，共有100件作品获得一、二、三等奖和优胜奖，根据获奖结果绘制如图所示的条形图若将获奖作品按四个等级所占比例绘制成扇形统计图，则“二等奖”对应扇形的圆心角度数为______ ∘.
14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠CAB，CD=3，AB=12，则△ABD的面积为______.
15.如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块，已知AD=6米，AB=5米，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是______米．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算下列各题：
(1)3−8− 36× 19+(−1)2022；
(2)先化简，再求值：(x−2y)2−x(x+3y)−4y2，其中x=−4，y=12.
17.(本小题9分)
阅读理解
∵ 4< 5< 9，即2< 5<3.
∴ 5的整数部分为2，小数部分为 5−2∴1< 5−1<2
∴ 5−1的整数部分为1.
∴ 5−1的小数部分为 5−2
解决问题：已知：a是 17−3的整数部分，b是 17−3的小数部分，求：
(1)a，b的值；
(2)(−a)3+(b+4)2的平方根．
18.(本小题9分)
如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交AC边于点D，连接BD.
(1)如图CE=4，△BDC的周长为18，求BD的长.
(2)求∠ADM=60∘，∠ABD=20∘，求∠A的度数.
19.(本小题9分)
如图，在△ABC中，AB=AC.
(1)作图：在AC上有一点D，连接BD，并在BD的延长线上取点E，使AE=AB，连接AE，作∠EAC的平分线交DE于点F，连接CF(用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹).
(2)在(1)的条件下，求证：∠E=∠ACF.
20.(本小题9分)
如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC.经测得AB=9cm，BC=12cm，CD=8cm，AD=17cm.
(1)求A、C两点之间的距离．
(2)求这张纸片的面积．
21.(本小题9分)
双减政策实施后，学校为了解八年级学生每日完成书面作业所需时长x(单位：小时)的情况，在全校范围内随机抽取了八年级若干名学生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题．
八年级学生每日完成书面作业所需时长情况的统计表
(1)求统计表中m，n的值．
(2)已知该校八年级学生有800人，试估计该校八年级学生中每日完成书面作业所需时长满足0.522.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC于点E，交AB于点F.
(1)求证：△ADF是等腰三角形．
(2)若AF=BF= 13，BE=2，求线段DE的长．
23.(本小题10分)
Rt△ABC中，∠ACB=90∘，直线l过点C.
(1)当AC=BC时，如图1，分别过点A和B作AD⊥直线l于点D，BE⊥直线l于点 E.△ACD与△CBE是否全等，并说明理由；
(2)当AC=9cm，BC=6cm时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接BF、CF，点M在AC上，点N是CF上一点，分别过点M、N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l于点E，点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C，点N从点F出发，以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F，点M、N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒．
①当△CMN为等腰直角三角形时，求t的值；
②当△MDC与△CEN全等时，求t的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：为了表示小明同学从小学到初中身高变化情况，则最适合使用的统计图为折线统计图．
故选：C.
根据扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点来判断即可．
此题主要考查了统计图的选择．根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．
2.【答案】A
【解析】解：∵364=4，4的算术平方根是2，
∴364的算术平方根是：2.
故选：A.
首先得出364=4，进而利用算术平方根的定义得出答案．
此题主要考查了立方根和算术平方根的定义，正确理解算术平方根与立方根的定义是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：A.3x3与2x2不是同类项，不能合并，因此选项A不符合题意；
B.x8÷x4=x4，因此选项B不符合题意；
C.(2x3)3=8x9，因此选项C不符合题意；
D.x3⋅2x=2x4，因此选项D符合题意．
故选：D.
分别根据合并同类项法、同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式法则逐项进行判断即可．
本题考查合并同类项法、同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式法则，掌握这些法则是正确判断的前提．
4.【答案】B
【解析】【分析】
根据因式分解的结果，确定出k的值即可．
此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．
【解答】
解：根据题意得：x2+kx−15=(x+5)(x−3)=x2+2x−15，
则k=2.
故选：B.
5.【答案】A
【解析】解：∵∠A=40∘，
∴∠ACB+∠ABC=180∘−40∘=140∘，
又∵∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，
∴∠ABC=∠ACB=140∘×12=70∘，
∴∠PCB+∠2=∠1+∠PCB=∠ACB=70∘，
∴∠BPC=180∘−70∘=110∘.
故选：A.
根据∠A=40∘的条件，求出∠ACB+∠ABC的度数，再根据∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，求出∠ACB=70∘，∠PCB+∠2=∠1+∠PCB=∠ACB，然后根据三角形的内角和定理求出∠BPC的度数．
此题考查了三角形的内角和定理，熟知三角形内角和是180度是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条边的垂直平分线的交点．
故选：C.
用线段垂直平分线性质判断即可．
此题考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握性质是解本题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵a−b=1，
∴a2−b2−2b
=(a+b)(a−b)−2b
=(a+b)⋅1−2b
=a+b−2b
=a−b
=1，
故选：C.
先根据平方差公式进行变形，再代入，最后求出答案即可．
本题考查了平方差公式，能熟记平方差公式是解此题的关键，a2−b2=(a+b)(a−b).
8.【答案】B
【解析】解：由题意可知，CF=3m，BE=1m，
∴BD=2m.
设AC的长为x m，则AB=AC=xm，
所以AD=AB−BD=(x−2)m.
在直角△ADC中，AD2+CD2=AC2，即(x−2)2+42=x2，
解得：x=5.
故选：B.
设AC的长为x，则AB=AC=xm，故AD=AB−BD=(x−2)m.在直角△ADC中利用勾股定理即可求解．
本题考查勾股定理的实际应用．找到直角三角形，利用勾股定理即可．
9.【答案】D
【解析】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BDC=∠CEB=90∘，
在Rt△BCD和Rt△CBE中，
BC=CBBD=CE，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE(HL)，
∴CD=BE，
∵∠COD=BOE，∠ODC=∠OEB，
∴△OCD≌△OBE(AAS)，
∴∠OCD=∠OBE，OC=OB，OD=OE，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠ABC=∠ACB，
同理可证得△OCF≌△OBF，△OAD≌△OAE，△ACF≌△ABF，△AOC≌△AOB，△ACE≌△ABD，
即图中共有7对全等三角形．
故选：D.
先利用“HL“判断Rt△BCD≌Rt△CBE得到CD=BE，再证明△OCD≌△OBE得到∠OCD=∠OBE，OC=OB，OD=OE，则可证明∠ABC=∠ACB，然后利用全等三角形的判定方法可得到△OCF≌△OBF，△OAD≌△OAE，△ACF≌△ABF，△AOC≌△AOB，△ACE≌△ABD.
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
10.【答案】B
【解析】解：如图：连接CE，
∵△ABC是等边三角形，AD是中线，
∴AD垂直平分BC，
∴BE=EC，
∴BE+EF=EC+EF，
∴当点C，点E，点F三点共线，且CF⊥AB时，EC+EF值最小，即BE+EF的值最小．
此时：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CF⊥AB，
∴AD=CF=6，
即BE+EF的最小值是6，
故选：B.
解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．连接CE，由题意可得BE=EC，将FE+EB转化为FE+CE，当点C，点E，点F三点共线，且CF⊥AB时，EC+EF值最小，即BE+EF的值最小，此时CF的长度为BE+EF的最小值．
本题考查了最短路径问题，等边三角形的性质，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键．
11.【答案】−a+1
【解析】解：原式=−a+1.
故答案为：−a+1
原式利用多项式除以单项式法则计算即可得到结果．
此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12.【答案】48
【解析】解：∵∠ABC=∠ACB=60∘，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=48米．
故答案为：48.
证明△ABC是等边三角形，可得结论．
本题考查等边三角形的判定和性质，解题的关键是学会构造等边三角形解决问题．
13.【答案】108
【解析】解：由条形统计图可得，
a=100−10−50−10=30，
“一等奖”对应扇形的圆心角度数为：360∘×30100=108∘，
故答案为：108.
根据直方图中的数据，可以计算出a的值，然后即可计算出“一等奖”对应扇形的圆心角度数．
本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14.【答案】18
【解析】解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90∘，AD平分∠CAB，
∴DE=CD=3，
又∵AB=12，
∴△ABD的面积为12×12×3=18，
故答案为：18.
过D作DE⊥AB于E，依据角平分线的性质，即可得到DE的长，进而得出△ABD的面积．
本题主要考查了角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
15.【答案】 85
【解析】解：由题意可知，将木块展开，
相当于是AB+2个正方形的宽，
∴长为5+2×1=7米；宽为6米．
于是最短路径为： 72+62= 85米．
故答案为： 85
解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．
本题主要考查两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力．
16.【答案】解：(1)原式=−2−6×13+1
=−2−2+1
=−3；
(2)原式=x2−4xy+4y2−x2−3xy−4y2
=−7xy，
当x=−4，y=12时，原式=−7×(−4)×12=14.
【解析】(1)先化简，然后计算即可；
(2)根据完全平方公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将x、y的值代入计算即可．
本题考查整式的混合运算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17.【答案】解：(1)∵ 16< 17< 25，
∴4< 17<5，
∴1< 17−3<2，
∴a=1，b= 17−4；
(2)(−a)3+(b+4)2
=(−1)3+( 17−4+4)2
=−1+17
=16，
故(−a)3+(b+4)2的平方根是：±4.
【解析】本题主要考查了估算无理数的大小，正确得出a，b的值是解题关键.
(1)首先得出 17接近的整数，进而得出a，b的值；
(2)根据平方根即可解答.
18.【答案】解：(1)∵MN垂直平分BC，
∴DC=BD，
CE=EB，
又∵EC=4，
∴BE=4，
又∵△BDC的周长=18，
∴BD+DC=10，
∴BD=5；
(2)∵∠ADM=60∘，
∴∠CDN=60∘，
又∵MN垂直平分BC，
∴∠DNC=90∘，
∴∠C=30∘，
又∵∠C=∠DBC=30∘，
∠ABD=20∘，
∴∠ABC=50∘，
∴∠A=180∘−∠C−∠ABC=100∘.
【解析】(1)根据线段垂直平分线的性质得到DC=BD，根据三角形的周长公式计算；
(2)根据三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
19.【答案】(1)解：如图，
(2)证明：∵AB=AC，AE=AB，∴AE=AC，
∵AF是∠EAC的平分线，
∴∠EAF=∠CAF，
在△AEF和△ACF中，
AE=AC∠EAF=∠CAFAF=AF，
∴△AEF≌△ACF(SAS)，
∴∠E=∠ACF.
【解析】(1)根据几何语言画出对应的几何图形；
(2)先利用等量代换得到AE=AC，根据角平分线的定义得到∠EAF=∠CAF，则利用“SAS”可判断△AEF≌△ACF，从而得∠E=∠ACF.
本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质．
20.【答案】解：(1)连接AC，如图．
在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=9cm，BC=12cm，
所以AC= AB2+BC2= 92+122=15.
即A、C两点之间的距离为15cm；
(2)因为CD2+AC2=82+152=172=AD2，
所以∠ACD=90∘，
所以四边形纸片ABCD的面积=S△ABC+S△ACD
=12AB⋅BC+12AC⋅CD
=12×9×12+12×15×8
=54+60
=114(cm2).
故这张纸片的面积为114cm2.
【解析】(1)由勾股定理可直接求得结论；
(2)根据勾股定理逆定理证得∠ACD=90∘，由于四边形纸片ABCD的面积=S△ABC+S△ACD，根据三角形的面积公式即可求得结论．
本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟记定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)被调查总人数：15÷15%=100(人)，
∴m=100×60%=60(人)，
n=100−15−60−5=20(人)，
答：m为60，n为20；
(2)∵当0.5∴在该校八年级学生800人中，每日完成书面作业所需时长满足0.5答：估计共有640人．
【解析】(1)先求出被调查总人数，再根据扇形统计图求出m，用总人数减去A、B、D的人数，即可得n的值；
(2)用被调查情况估计八年级800人的情况，即可得到答案．
本题考查统计图和统计表，解题的关键是掌握从图表中寻找“完整信息”从而求出被调查的总数．
22.【答案】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠B+∠BFE=∠C+∠D=90∘，
∴∠D=∠BFE，
∵∠BFE=∠DFA，
∴∠D=∠DFA，
∴AD=AF，
∴△ADF是等腰三角形；
(2)解：过A作AH⊥DE于H，
∵DE⊥BC，
∴∠AHF=∠BEF=90∘，
由(1)知，AD=AF，
∴DH=FH，
在△AFH和△BFE中，
∠AHF=∠BEF∠AFH=∠BFEAF=BF，
∴△AFH≌△BFE(AAS)，
∴FH=EF，
∴DH=FH=EF，
在Rt△BEF中，
∵BF= 13，BE=2，
∴EF= BF2−BE2=3，
∴DE=3EF=9.
【解析】(1)由等腰三角形的性质和余角的性质可证得∠D=∠DFA，根据等腰三角形的判定即可证得结论；
(2)过A作AH⊥DE于H，由等腰三角形的性质可得DH=FH，根据全等三角形的判定证得△AFH≌△BFE，得到DH=FH=EF，在Rt△BEF中，根据勾股定理求出EF，即可求出DE.
本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线，并证得DH=FH=EF是解决问题的关键．
23.【答案】解：(1)△ACD与△CBE全等．理由如下：
∵AD⊥直线l，
∴∠DAC+∠ACD=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠ECB+∠ACD=90∘，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ACD和△CBE中，
∠ADC=∠CEB∠DAC=∠ECBCA=CB，
∴△ACD≌△CBE(AAS)；
(2)①由题意得，AM=t，FN=3t，
则CM=9−t，
由折叠的性质可知，CF=CB=6，
∴CN=6−3t，
点N在BC上时，△CMN可能为等腰直角三角形，
当点N沿C→B路径运动时，由题意得，9−t=3t−6，
解得t=154，
当点N沿B→C路径运动时，由题意得，9−t=18−3t，
解得t=92，
综上所述，当t=154秒或92秒时，△CMN为等腰直角三角形；
②由折叠的性质可知，∠BCE=∠FCE，
∵∠MCD+∠CMD=90∘，∠MCD+∠BCE=90∘，
∴∠NCE=∠CMD，
∴当CM=CN时，△MDC与△CEN全等，
当点N沿F→C路径运动时，9−t=6−3t，
解得t=−32(不合题意)，
当点N沿C→B路径运动时，9−t=3t−6，
解得t=154，
当点N沿B→C路径运动时，9−t=18−3t，
解得t=92，
当点N沿C→F路径运动时，9−t=3t−18，
解得t=274，
综上所述，当t=154秒或92秒或274秒时，△MDC与△CEN全等．
【解析】本题是三角形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论是解题的关键．
(1)根据垂直的定义得到∠DAC=∠ECB，利用AAS定理证明△ACD≌△CBE；
(2)①分点N沿C→B路径运动和点N沿B→C路径运动两种情况，根据等腰三角形的定义列出算式，计算即可；
②分点N沿F→C路径运动，点N沿C→B路径运动，点N沿B→C路径运动，点N沿C→F路径运动四种情况，根据全等三角形的判定定理列式计算．组别
所需时长(小时)
学生人数(人)
A
015
B
0.5m
C
1n
D
1.55