2023-2024学年河南省平顶山市宝丰县七年级（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年河南省平顶山市宝丰县七年级（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.“剪纸舞东方，春意彩添堂”，剪纸是我国最古老的民间艺术之一，请你用数学的眼光观察下列剪纸作品，是轴对称图形的为( )
A. B. C. D.
2.下面说法正确的是( )
A. 概率为0.0000000000000001的事件是不可能事件
B. 画出一个等腰三角形，它是轴对称图形是随机事件
C. 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等是必然事件
D. 同位角相等是必然事件
3.1张新版百元的人民币厚约为0.00009米，数据“0.00009米”用科学记数法可表示为( )
A. 9×10−5米B. 9×10−4米C. 0.9×10−6米D. 90×10−3米
4.下列各式中能用平方差公式计算的是( )
A. (−x+2y)(x−2y)B. (1−5m)(5m−1)
C. (3x−5y)(3x+5y)D. (a+b)(−a−b)
5.如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法(图中三角形ABC是三角板)，其依据是( )
A. 同旁内角互补，两直线平行B. 两直线平行，同旁内角互补
C. 同位角相等，两直线平行D. 两直线平行，同位角相等
6.已知三条线段的长分别是6，m，8，若它们能构成三角形，则整数m的最小值是( )
A. 2B. 3C. 6D. 8
7.一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1=85∘，则∠2=( )
A. 15∘
B. 85∘
C. 95∘
D. 115∘
8.如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=3，动点P在折线BCD从点B开始运动到点D，设运动路程为x，△ADP的面积为y，则y与x的关系图像大致是( )
A.
B.
C.
D.
9.用边长为1的正方形纸板，制成一幅七巧板(如图①)，将它拼成“小天鹅”图案(如图②)，其中阴影部分的面积为( )
A. 716B. 38C. 34D. 12
10.如图，在△ABC中，AD为中线，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F.在DA延长线上取一点G，连接GC，使∠G=∠BAD.下列结论中正确的个数为( )
①BE=CF；
②AG=2DE；
③S△ABD+S△CDF=S△GCF；
④S△AGC=2S△BDE.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算：(π−3.14)0=______.
12.小红种了一株树苗，开始时树苗高为80厘米，栽种后树苗每个月平均长高约3厘米，x月后这株树苗的高度为h厘米，则h与x的函数关系式为______.
13.回忆用尺规作一个角等于已知角的过程，作图依据是______(填定理).
14.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交BC，AC于D，E，若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长等于______cm.
15.在一次课外活动中，小明将一副直角三角板如图放置，E在AC上，∠C=∠DAE=90∘，∠B=60∘，∠D=45∘.小明将△ADE从图中位置开始，绕点A按每秒5∘的速度顺时针旋转一周，在旋转过程中，第______秒时，边 AB与边DE平行.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
计算下列各题：
(1)2a2⋅a4+(−2a2)3−a8÷a2；
(2)化简：2b2+(a+b)(a−b)−(a−b)2
(3)利用整式乘法公式计算：102×98.
17.(本小题8分)
数学老师在黑板上画出一个幻方如下所示，并设计双人游戏：一人在黑板上指出数字，另一人蒙眼猜数；若所猜数字与指出的数字相符，则猜数的人获胜，否则指数的人获胜.猜数的方法从以下三种中选一种：
①猜“是奇数”或“是偶数”；②猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”；
③猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”.
(1)如果轮到你猜数，为了尽可能获胜，你将选择哪一种猜数方法？怎么猜？说明理由；
(2)请你设计第四种猜数方法，使猜数者获胜概率更大.
18.(本小题9分)
如图，已知：直线l1//l2，直线AB分别交l1、l2于点A、B.
(1)实践与操作：作线段AB的垂直平分线，分别交l1、l2于点C、D，交AB点O.(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)猜想与证明：试猜想线段AC和BD的数量关系，并说明理由.
19.(本小题9分)
我们知道：当弹簧受到外力的作用时会伸长，某学习小组利用一根弹簧，通过实验的方式研究弹簧的长度与所挂物体重量之间的关系，并对每组数据进行了记录：
(1)上表所表示的变量之间的关系中，自变量是______，因变量是______；
(2)直接写出y与x的关系式：______；
(3)当所挂物重为6.5kg时，弹簧的长度为______ cm；
(4)这根弹簧的弹性限度(即弹簧最长可以被拉长到的长度，超过这个长度，弹簧将失去弹性)为25cm，则在弹性限度之内，该弹簧最多可以挂多重的物体？
20.(本小题9分)
老师在讲综合与实践课《设计自己的运算程序》时，在计算器中输入三位数325，重复该数，得到325325，将该数除以7，然后除以11，再除以13.
(1)观察与操作：此时输出结果为______；任意选一个三位数按上述步骤操作，结果会怎样？请选择一个三位数并写出运算过程：
(2)猜想与证明：你发现了什么“数学秘密”？请用所学数学知识解释.
21.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC，CD是通过如图的作图痕迹作图而得，DE//BC，交AC于点E.
(1)求证：DE=CE；
(2)若∠CDE=34∘，求∠A的度数.
22.(本小题10分)
数学是研究数量关系和空间形式的科学.对于一些特殊的整式运算，我们要善于观察并发现规律：(x≠1)
(x−1)÷(x−1)=1；(x2−1)÷(x−1)=x+1；
(x3−1)÷(x−1)=x2+x+1；(x4−1)÷(x−1)=x3+x2+x+1.
(1)尝试：(x5−1)÷(x−1)=______；
(2)猜想：(xn+1−1)÷(x−1)=______；
(3)利用以上结论求值：
①1+5+52+53+54+⋯+52024；
②若1+x+x2+⋯+x2021=1，x2022=______.
23.(本小题11分)
综合与实践.
问题情境：
如图1，△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，点C在直线l上，点A、B在直线l的同侧，过点A作AD⊥l于点D.
(1)如图1，在直线l上取点E，使BE⊥l.则BE与CD的数量关系是______，此时 AD、BE、DE之间的数量关系是______.
探究证明：
(2)如图2，在直线l上取点F，使BF=BC，猜想CF与AD的数量关系，并说明理由(辅助线提示：过点B作BH⊥l于点H).
拓展延伸：
(3)在直线l任取一点P，连接BP，以点P为直角顶点作等腰直角三角形BPM，作MN⊥l于点N，请分别探索在图3，图4中MN、AD、CP之间的数量关系，直接写出答案.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B.
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】解：A.概率为0.0000000000000001的事件是随机事件，是有可能发生的，故原说法错误，故本选项不符合题意；
B.画出一个等腰三角形，它是轴对称图形是必然事件，故原说法错误，故本选项不符合题意；
C.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等是必然事件，说法正确，故本选项符合题意；
D.同位角相等是随机事件，故原说法错误，故本选项不符合题意．
故选：C.
概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．
本题考查了概率的意义、等腰三角形的性质以及随机事件，正确理解概率的含义是解决本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：0.00009=9×10−5，
故选：A.
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.【答案】C
【解析】解：(3x−5y)(3x+5y)=9x2−25y2，
故选C.
原式利用平方差公式的结构特征判断即可．
此题考查了平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵∠1=∠2，
∴a//b(同位角相等，两直线平行)，
∴C正确．
故选：C.
根据∠1和∠2是三角板中的同一个角，得∠1=∠2，根据平行线的判定，即可．
本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵三条线段的长分别是6，m，8，它们能构成三角形，
∴8−6∴2∴整数m的最小值是3.
故选：B.
根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进而解答即可．
本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：如图，根据生活意义，得到a，
∴∠3=∠1=85∘；
∵∠3+∠2=180∘，
∴∠3=95∘.
故选：C.
根据两直线平行，内错角相等，和邻补角关系计算即可．
本题考查了两直线平行，内错角相等，和邻补角关系，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：由题意当0≤x≤3时，y=3，
当3所以符合题意的选项是D.
故选：D.
由题意当0≤x≤3时，y=3，当3本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
9.【答案】B
【解析】解：S阴=1−(S1+S2+S3)=1−(12×1×1+12×12×12)=38.
故选B.
用间接法求解．
本题考查了间接法求面积，比较简单．
10.【答案】D
【解析】解：∵AD为中线，
∴BD=CD.
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠E=∠CFD=90∘，
∵∠BDE=∠CDF，
△BDE≌△CDF(AAS)，
∴BE=CF，DE=DF，故①正确；
∵∠G=∠BAD，
∴△ABE≌△GCF(AAS)，
∴AE=GF，
∴AG=EF，
∴AG=2DE，故②正确；
∵BE=CF，
∴S△AGC=2S△BDE，故④正确；
∴S△ABD=S△ACD，
∴S△ABD+S△CDF=S△ACD+S△CDF
=S△ACF+S△CDF+S△CDF
=S△ACF+2S△CDF
=S△ACF+S△AGC
=S△GCF，故③正确．
故选：D.
证明△BDE≌△CDF，可得BE=CF，DE=DF，从而可判断①正确；证明△ABE≌△GCF，可证AG=2DE，从而判断②④正确；由S△ABD=S△ACD，结合以上结论可判断③正确．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，证明△BDE≌△CDF、△ABE≌△GCF是解答本题的关键．
11.【答案】1
【解析】解：(π−3.14)0=1，
故答案为1.
根据任何非0数的0次幂等于1解答．
本题是考查含有零指数幂的运算，比较简单．
12.【答案】h=3x+80
【解析】解：根据题意得：h=3x+80，
故答案为：h=3x+80.
由开始时树苗高为80厘米，栽种后树苗每个月平均长高约3厘米，可知树苗高度为80加上3x.
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
13.【答案】SSS
【解析】解：如图所示，
由作图可知，OC=O′C′，OD=O′D′，CD=C′D′，
∴△COD≌△C′O′D′(SSS)，
∴∠A′O′B′=∠AOB，
∴用尺规作一个角等于已知角的作图依据是SSS.
故答案为：SSS.
根据用尺规作一个角等于已知角的方法可得答案．
本题考查作图-基本作图，熟练掌握基本尺规作图方法是解答本题的关键．
14.【答案】19
【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，
∴DA=DC，AC=2AE=6(cm)，
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13(cm)，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19(cm)，
故答案为：19.
根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15.【答案】15或51
【解析】解；①当DE在AB上方，
∵∠C=∠DAE=90∘，∠B=60∘，∠D=45∘，
∴∠BAC=30∘，∠E=45∘，
∵AB//DE，
∴∠BAE=∠E=45∘，
∴∠CAE=∠BAC+∠BAE=75∘，
∴旋转时间为：75∘5∘=15(秒)；
②当DE在AB下方，
∵∠C=∠DAE=90∘，∠B=60∘，∠D=45∘，
∴∠BAC=30∘，∠E=45∘，
∵AB//DE，
∴∠BAE+∠E=180∘，
∴∠BAE=180∘−∠E=135∘，
∴∠CAE=∠BAE−∠BAC=105∘，
∴旋转角度为：360∘−∠CAE=255∘，
∴旋转时间为：255∘5∘=51(秒)，
综上所述：在旋转过程中，第15或51秒时，边边AB与边DE平行，
故答案为：15或51.
分两种情况：①DE在AB上方；②DE在AB下方，画出相应的图形，利用平行线的性质即可求得答案．
本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是对DE的位置进行讨论，画出相应图形解答．
16.【答案】解：(1)2a2⋅a4+(−2a2)3−a8÷a2
=2a6−8a6−a6
=−7a6；
(2)2b2+(a+b)(a−b)−(a−b)2
=2b2+a2−b2−(a2−2ab+b2)
=2b2+a2−b2−a2+2ab−b2
=2ab；
(3)102×98.
=(100+2)×(100−2)
=10000−4
=9996.
【解析】(1)先算单项式乘单项式，积的乘方，同底数幂的除法，再合并同类项即可；
(2)先算平方差，完全平方，再合并同类项即可；
(3)利用平方差公式进行运算较简便．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
17.【答案】解：(1)为了尽可能获胜，我将选择方法②，猜“不是3的倍数”，
理由：由幻方中的数据，可得“是奇数”的概率是59，“是偶数”的概率是49；“是3的倍数”的概率是13，“不是3的倍数”的概率是23，“是大于5的数”的概率是49，“不是大于5的数”的概率是59，
∵13<49<59<23，
∴为了尽可能获胜，我将选择方法②，猜“不是3的倍数”；
(2)猜“大于1或不大于1”中的“大于1”(答案不唯一).
【解析】根据题意和表格中的数据，可以计算出两个小题中各种情况下的概率，然后比较大小，即可解答本题．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率，利用概率的知识解答．
18.【答案】解：(1)直线CD为所求．
(2)AC=BD，
理由如下：∵AC//BD，
∴∠CAO=∠DBO，∠ACO=∠BDO，
∵CD垂直平分AB，
∴AO=BO，
在△AOC和△BOD中，
∠CAO=∠DBO∠ACO=∠BDOAO=BO，
∴△AOC≌△BOD(AAS)，
∴AC=BD.
【解析】(1)利用尺规作图-线段垂直平分线的作法，进行作图即可；
(2)根据平行线的性质可得∠CAO=∠DBO，∠ACO=∠BDO，再由垂直平分线的性质得AO=BO，即可证明△AOC≌△BOD(AAS)，进而得到结论．
本题考查了基本作图-作垂直平分线，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
19.【答案】物体的重量 弹簧的长度 y=2x+821
【解析】解：(1)表格所表示的变量之间的关系中，自变量是物体的重量，因变量是弹簧的长度．
故答案为：物体的重量，弹簧的长度．
(2)由表格可知，物体的重量增加x1kg，弹簧的长度y增加2cm，
∵当x=0时，y=8，
∴y与x的关系式为y=2x+8.
故答案为：y=2x+8.
(3)当x=6.5时，y=2×6.5+8=21，
∴当所挂物重为6.5kg时，弹簧的长度为21cm.
故答案为：21.
(4)当y=25时，得2x+8=25，解得x=8.5，
∴在弹性限度之内，该弹簧最多可以挂8.5kg的物体．
(1)根据自变量与因变量的定义作答即可；
(2)由表格可知，物体的重量增加x1kg，弹簧的长度y增加2cm，根据“弹簧的长度=没有挂物体时弹簧的长度+弹簧的伸长量”作答即可；
(3)将x=6.5代入(2)中求得的y与x的关系式，求出对应y的值即可；
(4)将y=25代入(2)中求得的y与x的关系式，求出对应x的值即可．
本题考查函数关系式、常量与变量，掌握常量与变量的定义、找到变量变化的规律是解题的关键．
20.【答案】325
【解析】解：(1)325325÷7÷11÷13=325，
选择三位数111，得到111111÷7÷11÷13=111；
故答案为：325.
(2)任意一个三位数，先扩大1000倍加上原数，再分别除以7、11、13，可得到原数，
设任意三位数为a，由题意得：
(1000a+a)÷7÷11÷13=1001a÷7÷11÷13=143a÷11÷13=13a÷13=a，
(1)根据题意直接计算即可；
(2)设任意三位数为a，由题意可得(1000a+a)÷7÷11÷13，进而得到答案．
本题考查计算器-基础知识，能够理解题意，读懂题意是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：由作图可知，CD平分∠ACB，
∴∠ECD=∠DCB，
∵DE//BC，
∴∠EDC=∠DCB，
∴∠ECD=∠EDC，
∴DE=CE；
(2)解：∵∠ECD=∠EDC，∠CDE=34∘
∴∠ECD=34∘，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=68∘，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=68∘，
∴A=180∘−68∘−68∘=48∘.
【解析】(1)利用角平分线的作法和等角对等边证明即可．
(2)求出∠ABC，∠ACB即可解决问题．
此题考查等腰三角形的判定与性质，尺规作图，关键是掌握等边对等角、等角对等边．
22.【答案】x4+x3+x2+x+1xn+xn−1+xn−2+…+x+10
【解析】解：(1)(x5−1)÷(x−1)=x4+x3+x2+x+1，
故答案为：x4+x3+x2+x+1；
(2)(xn+1−1)÷(x−1)=xn+xn−1+xn−2+…+x+1，
故答案为：xn+xn−1+xn−2+…+x+1；
(3)①由题意知，(52025−1)÷(5−1)=52024+52023+…+52+5+1，
∴1+5+52+…+52023+52024=52025−14；
②∵(x2022−1)÷(x−1)=x2021+x2020+…+x2+x+1，1+x+x2+⋯+x2021=1，
∴(x2022−1)÷(x−1)=1，
可得：x=0.
故答案为：0.
(1)根据所给的等式进行求解即可；
(2)对所给的等式进行分析，总结出其规律即可；
(3)利用(2)的结论对①②进行求解即可．
本题主要考查整式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是理解清楚所给的等式的规律．
23.【答案】解：(1)BE=CD，AD+BE=DE；
(2)CF=2AD；
理由如下：过点B作BH⊥l于点H，如图，
则∠BHC=90∘，
∵AD⊥CD，
∴∠DAC+∠ACD=90∘，∠ADC=∠CHB，
∵∠ACB=90∘，
∴∠FCB+∠ACD=90∘，
∴∠DAC=∠FCB，
在△DAC和△HCB中，
∵∠ADC=∠CHB，∠DAC=∠FCB，AC=BC，
∴△DAC≌△HCB，
∴AD=CH，
∵BC=BF，BH⊥l，
∴CH=FH，
∴CF=2CH，
∴CF=2AD；
(3)图3中：MN+AD=CP；图4中：MN−AD=CP.
【解析】(1)∵AD⊥l，BE⊥l，
∴∠ADC=∠CEB=90∘.
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACD+∠BCE=90∘，
∵∠CAD+∠ACD=90∘，
∴∠CAD=∠BCE.
∵AC=BC，
∴△ACD≌△CBE(AAS)，
∴BE=CD，CE=AD，
∵CE+CD=DE，
∴AD+BE=DE.
故答案为：BE=CD，AD+BE=DE；
(2)见答案；
(3)如图3，作BH⊥l于点H，作PF⊥l，作BF⊥PF于点F，作ME⊥PF于点E，
∴四边形MEPN和四边形PFBH都是矩形，
∴BF=PH，MN=PE.
由(1)知，△ACD≌△CBH，△MEP≌△PFB，
∴AD=CH，PE=BF，
∴PH=MN，
∵CH+PH=CP，
∴MN+AD=CP；
如图4，作BH⊥l于点H，
由(1)知，△ACD≌△CBH，△MNP≌△PHB，
∴MN=PH，AD=CH，
∵PH−CH=CP，
∴MN−AD=CP.
故答案为：图3中：MN+AD=CP；图4中：MN−AD=CP.
(1)根据AAS证明△ACD≌△CBE，得BE=CD，CE=AD，进而可证AD+BE=DE；
(2)过点B作BH⊥l于点H，根据AAS证明△DAC≌△HCB，得AD=CH，由三线合一得CF=2CH，进而可得；CF=2AD
(3)如图3，作BH⊥l于点H，作PF⊥l，作BF⊥PF于点F，作ME⊥PF于点E，可证四边形MEPN和四边形PFBH都是矩形，从而BF=BH，MN=PE.结合△ACD≌△CBH，可证MN+AD=CP；
如图4，作BH⊥l于点H，由△ACD≌△CBH，△MNP≌△PHB，得∴MN=PH，AD=CH，进而可证MN−AD=CP.
本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握“一线三垂直”模型是解答本题的关键．8
1
6
3
5
7
4
9
2
物体的重量x/kg
0
1
2
3
4
5
…
弹簧的长度y/cm
8
10
12
14
16
18
…