2023-2024学年河南省平顶山市宝丰县、汝州市七年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省平顶山市宝丰县、汝州市七年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.计算(−2024)0=( )
A. 1B. 0C. −1D. −2024
2.计算x3⋅x3的结果是( )
A. 2x3B. x6C. 2x6D. x9
3.下列运算中正确的是( )
A. b4⋅b4=2b4B. (x3)3=x6C. a10÷a9=aD. (−3pq)2=6p2q2
4.下列各式中，不能用平方差公式计算的是( )
A. (−x−y)(x−y)B. (−x+y)(−x−y)
C. (x+y)(−x+y)D. (x−y)(−x+y)
5.若(x+4)(x−2)=x2+mx+n，则m，n的值分别是
( )
A. 2，8B. −2，−8C. −2，8D. 2，−8
6.下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是( )
A. x2+5xB. x(x+3)+6
C. 3(x+2)+x2D. (x+3)(x+2)−2x
7.若二次三项式4x2+mxy+9y2是一个完全平方式，则m的可能值是( )
A. ±6B. 12C. 6D. ±12
8.若(x2+px)(x2−3x+1)乘积中不含x2项，则p的值为( )
A. p=0B. p=13C. p=−13D. p=3
9.如图，点B是线段CG上一点，以BC，BE为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，设CG=6，两个正方形的面积之和S1+S2=16，则阴影部分△BCE的面积为( )
A. 4
B. 5
C. 8
D. 10
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
10.科学家发现一种病毒的直径为0.00045微米，则用科学记数法表示为______微米．
11.若3x(x−1)=mx2+nx，则m−n= ______．
12.已知x+1x=4,则x2+1x2的值为______．
13.对于实数a，b，c，d，规定一种运算abcd=ad−bc，如102(−2)=1×(−2)−0×2=−2，那么当(x+1)(x+2)(x−3)(x−1)=27时，则x= ______．
14.设A=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)，计算A所得结果的数的个位数字是______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
15.已知关于x的多项式A，当A−(x−2)2=x(x+7)时，完成下列各小题．
(1)求多项式A；
(2)①若3x+1=1，求多项式A的值；
②若2x2+3x+1=0，求多项式A的值．
四、解答题：本题共7小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题16分)
计算下列各题．
(1)a3⋅a+(2a2)2；
(2)a4+(−2a2)3−a8÷a4；
(3)(a+1)(a−1)−a(a−3)；
(4)(a+1)2+(a+1)(a−2)．
17.(本小题8分)
先化简，再求值：(a+2b)(a−2b)+(a+2b)2+(2ab2−8a2b2)÷2ab，其中a=1，b=2．
18.(本小题8分)
已知x+y=3，xy=2，求下列各式的值．
(1)x2+y2；
(2)(x−1)(y−1)．
19.(本小题8分)
小明想把一张长为6cm、宽为5cm的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体盒子，于是在长方形纸片的四个角各剪去一个相同的小正方形．
(1)若设小正方形的边长为x cm，求图中阴影部分的面积；
(2)当x=2cm时，求图中阴影部分的面积．
20.(本小题8分)
将幂的运算逆向思维可以得到am+n=am⋅an，am−n=am÷an，amn=(am)n，ambm=(ab)m，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
(1)已知，am=2，an=3，求：
①am+n的值；
②a2m−n的值；
(2)已知2×8x×16=223，求x的值．
21.(本小题9分)
通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积可以得到一个恒等式图将一个边长为a+b的正方形图形分割成四部分(两个正方形和两个长方形)，请观察图形，解答下列问题：
(1)根据图中条件，用两种方法表示该图形的总面积，可得如下公式：______；
(2)如果图中的a、b(a>b>0)满足a2+b2=70，ab=15，求a+b的值；
(3)已知(x+9)2+(x−1)2=124，求(x+9)(x−1)．
22.(本小题10分)
配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成a2+b2(a、b是整数)的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”.理由：因为5=22+12，所以5是“完美数”．
解决问题：
(1)已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2(a、b是整数)的形式______；
(2)若x2−6x+5可配方成(x−m)2+n(m、n为常数)，则mn=______；
探究问题：
(1)已知x2+y2−2x+4y+5=0，则x+y=______；
(2)已知S=x2+4y2+4x−12y+k(x、y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
拓展结论：
已知实数x、y满足−x2+52x+y−5=0，求x−2y的最值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：(−2024)0=1，
故选：A．
根据任何非零数的0指数幂都为1即可求解．
本题主要考查了零指数幂的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：x3⋅x3=x6，
故选：B．
根据同底数幂的运算法则计算．
本题考查了同底数幂的运算，掌握运算法则是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A.b4⋅b4=b8，此选项计算错误；
B.(x3)3=x9，此选项计算错误；
C.a10÷a9=a，此选项计算正确；
D.(−3pq)2=9p2q2，此选项计算错误；
故选：C．
根据同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除及单项式的乘方法则逐一计算可得．
本题考查了整式的混合运算，掌握整式的混合运算顺序和运算法则是关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算；
B、含x的项符号相同，含y的项符号相反，能用平方差公式计算；
C、含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算；
D、含y的项符号相反，含x的项符号相反，不能用平方差公式计算．
故选：D．
根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了平方差公式，注意两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，并且相同的项和互为相反数的项必须同时具有，熟记公式结构是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查多项式乘以多项式，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加是解题的关键．
根据多项式乘以多项式的法则把(x+4)(x−2)展开，对应相等计算即可．
【解答】
解：(x+4)(x−2)
=x2−2x+4x−8
=x2+2x−8，
因为(x+4)(x−2)=x2+mx+n，
所以m=2，n=−8．
故选：D．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
根据图形，可以用代数式表示出图中阴影部分的面积，本题得以解决．
【解答】
解：由图可得，
图中阴影部分的面积为：x2+3x+2×3=x2+3x+6，故选项A符合题意，
x(x+3)+2×3=x(x+3)+6=x2+3x+6，故选项B不符合题意，
3(x+2)+x2=x2+3x+6，故选项C不符合题意，
(x+3)(x+2)−2x=x2+3x+6，故选项D不符合题意，
故选：A．
7.【答案】D
【解析】解：∵关于x的二次三项式4x2+mxy+9y2是一个完全平方式，
∴m=±2×2×3=±12．
故选：D．
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
此题考查了完全平方式，满足完全平方式的情况只有a2+2ab+b2和a2−2ab+b2两种．
8.【答案】B
【解析】解：(x2+px)(x2−3x+1)
=x4+px3−3x3−3px2+x2+px
=x4+(p−3)x3+(1−3p)x2+px．
∵(x2+px)(x2−3x+1)乘积中不含x2项，
∴1−3p=0．
∴p=13．
故选：B．
先利用多项式乘多项式法则，把(x2+px)(x2−3x+1)展开合并，根据积不含x2的项，得关于p的方程，求解即可．
本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：设BC=a，BE=b，
∵四边形BEFG是正方形，
∴BE=BG=b，
∵两正方形的面积和S1+S2=16，
∴a2+b2=16，
∵a+b=6，
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=36，
∴ab=10，
∴S阴=12ab=5，
故选：B．
由完全平方公式，求出BC与BE的积，即可求解．
本题考查完全平方公式，关键是应用此公式求出BC与BE的乘积．
10.【答案】4.5×10−4
【解析】解：0.00045=4.5×10−4，
故答案为：4.5×10−4．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
11.【答案】6
【解析】解：∵3x(x−1)=3x2−3x=mx2+nx，
∴m=3，n=−3，
∴m−n=3−(−3)=6，
故答案为：6．
利用单项式乘多项式的运算法则展开，再根据等式的性质即可求解．
本题考查了单项式乘多项式，等式的性质，掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
12.【答案】14
【解析】解：∵x+1x=4，
∴两边平方，再展开得：x2+2x⋅1x+1x2=16，
∴x2+1x2=16−2=14，
故答案为：14．
两边平方，再展开即可求出答案．
本题考查了整式的混合运算的应用，主要考查学生的计算能力．
13.【答案】22
【解析】解：∵(x+1)(x+2)(x−3)(x−1)=27，
∴(x+1)(x−1)−(x+2)(x−3)=27，
∴x2−1−(x2−x−6)=27，
∴x2−1−x2+x+6=27，
∴x=22；
故答案为：22．
由题中的新定义可知，此种运算为对角线乘积相减的运算，化简所求的式子得到关于x的方程，利用多项式乘多项式的运算法则及平方差公式化简合并即可求出x的值．
此题考查学生理解新定义及灵活运用新定义的能力，同时也考查了学生会进行整式的混合运算及会利用平方差公式来化简运算，是一道中档题．
14.【答案】5
【解析】解：A=(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(22−1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(24−1)(24+1)(28+1)
=(28−1)(28+1)
=216−1．
=255．
故计算A所得结果的数的个位数字是5．
故答案为：5．
添加因式(2−1)，然后利用平方差公式进行计算．
本题主要考查了平方差公式和尾数的特征，应用平方差公式计算时，应注意：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．
15.【答案】解：(1)∵A−(x−2)2=x(x+7)，
∴A=(x−2)2+x(x+7)
=x2−4x+4+x2+7x
=2x2+3x+4；
(2)①∵3x+1=1，
∴x+1=0，解得：x=−1，
∴原式=2×(−1)2+3×(−1)+4
=2−3+4
=3，
即多项式A的值为3；
②∵2x2+3x+1=0，
∴2x2+3x=−1，
∴A=−1+4=3，
即多项式A的值为3．
【解析】【分析】
(1)根据“被减式=差+减式”列式，然后先算乘方和乘法，再合并同类项进行化简；
(2)①根据零指数幂的运算法则求得x的值，代入求值即可；
②利用整体思想代入求值．
本题考查整式的混合运算与化简求值，掌握完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2的结构，利用整体思想代入求值是解题关键．
16.【答案】解：(1)a3⋅a+(2a2)2
=a3⋅a+4a4
=a4+4a4
=5a4；
(2)a4+(−2a2)3−a8÷a4
=a4+(−8a6)−a4
=−8a6；
(3)(a+1)(a−1)−a(a−3)
=a2−1−a2+3a
=3a−1；
(4)(a+1)2+(a+1)(a−2)
=a2+2a+1+a2−a−2
=2a2+a−1．
【解析】(1)先算积的乘方，再算单项式乘单项式，然后合并同类项即可；
(2)先算积的乘方，再算单项式除以单项式，然后合并同类项即可；
(3)根据平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；
(4)根据完全平方公式和多项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式和平方差公式的应用．
17.【答案】解：原式=a2−4b2+a2+4ab+4b2−4ab+b
=2a2+b，
∵a=1，b=2，
∴原式=2a2+b=4．
【解析】直接利用乘法公式化简，进而合并同类项，再把已知代入求出答案．
此题主要考查了整式的混合运算−化简求值，正确掌握乘法公式是解题关键．
18.【答案】解：(1)将x+y=3两边平方得：
(x+y)2=x2+2xy+y2=9，
将xy=2代入得：
x2+y2=5；
(2)原式=xy−(x+y)+1
=2−3+1
=0．
【解析】(1)将x+y=3两边平方，利用完全平方公式展开，将xy的值代入即可求出所求式子的值；
(2)原式利用多项式乘以多项式法则计算，变形后将xy与x+y的值代入计算即可求出值．
此题考查了完全平方公式，以及整式的混合运算−化简求值，熟练掌握公式是解本题的关键．
19.【答案】解：(1)阴影部分的长为(6−2x)cm，宽为(5−2x)cm，
因此面积为(6−2x)(5−2x)cm2，
答：图中阴影部分的面积为(6−2x)(5−2x)cm2；
(2)当x=2时，(6−2x)(5−2x)=2×1=2(cm2)，
答：当x=2cm时，阴影部分的面积为2cm2．
【解析】(1)用代数式表示出阴影部分的长、宽即可；
(2)把x=2代入计算即可．
本题考查列代数式以及代数式求值，理解题目中的数量关系是正确解答的前提．
20.【答案】解：(1)①∵am⋅an=am+n，am=2，an=3，
∴am+n=am⋅an
=2×3
=6；
②∵(am)2⋅an=a2m+n，
∴a2m+n=(am)2⋅an
=22×3
=12；
(2)∵2×8x×16=2×23x×24=21+3x+4=223，
∴1+3x+4=23，
解得x=6
【解析】(1)根据同底数幂的乘法的计算方法将am+n转化为am⋅an，将a2m+n转化为(am)2⋅an，然后代入计算即可；
(2)根据幂的乘方以及同底数幂的乘法将原式化为21+3x+4=223，进而得到1+3x+4=23，求出x的值即可．
本题考查同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握同底数幂的乘除法的计算法则以及幂的乘方与积的乘方的运算性质是正确解答的前提．
21.【答案】(a+b)2=a2+2ab+b2
【解析】解：(1)该图形的总面积为：(a+b)2或a2+2ab+b2
故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2；
(2)由(1)题结果可得(a+b)2=a2+2ab+b2，
∴当a2+b2=70，ab=15时，(a+b)2=70+2×15=100，
∴a+b= 100=10；
(3)设x+9=a，x−1=b，
∴a−b=(x+9)−(x−1)=10，
则(x+9)2+(x−1)2=a2+b2，
∵(a−b)2=a2+b2−2ab，a−b=10，a2+b2=124，
∴100=124−2ab，
∴ab=12，
∴(x+9)(x−1)=12．
(1)依据该图形的总面积为(a+b)2或a2+2ab+b2可得结果；
(2)由(1)题结果可得(a+b)2=a2+2ab+b2，将a2+b2=70，ab=15可求得(a+b)2即a+b的值；
(3)设x+9=a，x−1=b，则a−b=(x+9)−(x−1)=10，依据(a−b)2=a2+b2−2ab代入计算可求得ab=12即可求出(x+9)(x−1)．
本题考查了完全平方公式的证明及应用；解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
22.【答案】29=22+52 −12 −1
【解析】解：解决问题：
(1)根据题意得：29=22+52；
故答案为：29=22+52；
(2)根据题意得：x2−6x+5=(x−3)2−4，
∴m=3，n=−4，
则mn=−12；
故答案为：−12；
探究问题：
(1)已知等式变形得：(x2−2x+1)+(y2+4y+4)=0，
即(x−1)2+(y+2)2=0，
∵(x−1)2≥0，(y+2)2≥0，
∴x−1=0，y+2=0，
解得：x=1，y=−2，
则x+y=1−2=−1；
故答案为：−1；
(2)当k=13时，S为“完美数”，理由如下：
S=x2+4y2+4x−12y+13
=(x2+4x+4)+(4y2−12y+9)
=(x+2)2+(2y−3)2，
∵x，y是整数，
∴x+2，2y−3也是整数，
∴S是一个“完美数”；
拓展结论：
∵−x2+52x+y−5=0，
∴−y=−x2+52x−5，即−2y=−2x2+5x−10，
∴x−2y=x−2x2+5x−10
=−2x2+6x−10
=−2(x2−3x+94)+92−10
=−2(x−32)2−112，
当x=32时，x−2y最大，最大值为−112．
解决问题：
(1)把29分为两个整数的平方即可；
(2)原式利用完全平方公式配方后，确定出m与n的值，即可求出mn的值；
探究问题：
(1)已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出x与y的值，即可求出x+y的值；
(2)根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出k的值即可；
拓展结论：
由已知等式表示出y，代入x−2y中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可．
此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．