2023-2024学年山东省济南市平阴县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省济南市平阴县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是( )
A. (a+3)2=a2+6a+9B. a2−4a+4=a(a−4)+4
C. 5ax2−5ay2=5a(x+y)(x−y)D. a2−2a−8=(a−2)(a+4)
3.关于x的一元一次不等式x−1≤m的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
4.分式2x−6x+8的值是零，则x的值为( )
A. −3B. 3C. 8D. −8
5.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是( )
A. b−3>a−3B. 3b>3aC. a+36.如果把分式xyx+y中的x和y都扩大3倍，那么原分式的值是( )
A. 扩大3倍B. 缩小3倍C. 不变D. 缩小6倍
7.若k为任意整数，则(2k+3)2−4k2的值总能( )
A. 被2整除B. 被3整除C. 被5整除D. 被7整除
8.如图，在直角坐标系中，△ABC各点坐标分别为A(−2,1)，B(−1,3)，C(−4,4).先作△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2.若B2(2,1)，则点A2坐标为( )
A. (1,5)B. (1,3)C. (5,3)D. (5,5)
9.如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=ax+4与x轴、y轴分别交于点A、B，且与直线l2：y=kx相交于点C(3,2).直接写出kx>ax+4>0的解集( )
A. x>3B. x<3C. 310.如图，D为等边三角形ABC内的一点，DA=5，DB=4，DC=3，将线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD′，下列结论：
①△ACD′可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得到；②∠ADC=150°；
③点D到CD′的距离为3；④直线BD与直线CD′相交所形成的锐角是60°；⑤S四边形ADCD′=6+25 34，其中正确的有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.要使分式2x−5有意义，则x的取值应满足的条件是______．
12.在平面直角坐标系中，若点P(m−3,m+1)在第二象限，则m的取值范围为______．
13.把多项式x2+ax−6分解因式得(x+2)(x−b)，则a= ______．
14.若x+1x=3，则x2+1x2= ______．
15.如图，在△ABC中，∠C=35°，将△ABC绕着点A旋转α(0°<α<180°)，旋转后的点B落在BC上，点B的对应点为D，联结AD，AD是∠BAC的角平分线，则α= ______．
16.规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换.例如：如图，点O(0,0)按序列“011…”作变换，表示点O先向右平移一个单位得到O1(1,0)，再将O1(1,0)绕原点顺时针旋转90°得到O2(0,−1)，再将O2(0,−1)绕原点顺时针旋转90°得到O3(−1,0)…依次类推.若点A(1,0)经过“011011011…”共2024次变换后得到点A2024，则A2024的坐标为______．
三、解答题：本题共10小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
把下列各式因式分解：
(1)7x2−63；
(2)x2y−2xy2+y3．
18.(本小题6分)
计算
(1)2x23y2⋅5y6x；
(2)2xx+3+6x+3．
19.(本小题6分)
解不等式组5x−1<3(x+1)x−12−5x+14≤1，并写在它的所有整数解．
20.(本小题8分)
先化简，再求值：(1−11+x)÷x2−1x2+2x+1，其中x=2．
21.(本小题8分)
解方程：
(1)3x−1=4x；
(2)1y−2=1−y2−y−3．
22.(本小题8分)
某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种．
活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满300元减80元.(如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元)
(1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由；
(2)购买一件原价在300元以上900元以下的健身器材时(即300≤a<900)，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请求出a的取值范围．
23.(本小题10分)
某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型.A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠.问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
24.(本小题10分)
如图，在正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答问题：
(1)以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1，并写出点B1的坐标(______).
(2)作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2，并写出点B2的坐标(______).
(3)作出点C关于x轴的对称点P.若点P向右平移x个单位长度后落在△A2B2C2的内部，请直接写出x的整数值．
25.(本小题12分)
先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式x2−4>0．
解：∵x2−4=(x+2)(x−2)，
∴x2−4>0，可化为(x+2)(x−2)>0．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，
得①x+2>0x−2>0，②x+2<0x−2<0．
解不等式组①，得x>2，解不等式组②，得x<−2，
∴(x+2)(x−2)>0的解集为x>2或x<−2，即一元二次不等式x2−4>0的解集为x>2或x<−2．
(1)一元二次不等式x2−9>0的解集为______；
(2)解一元二次不等式2x2−5x<0；
(3)解分式不等式x−1x+2≥0．
26.(本小题12分)
如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC= 2，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE=2− 2，连接DE.现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α(0°<α<360°)，分别连接CE、BD．
(1)如图2，当0°<α<90°时，求证：CE=BD；
(2)如图3，当α=90°时，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD；
(3)连接CD，在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180°，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A：(a+3)2=a2+6a+9是完全平方公式，不是因式分解的形式，故选项A错误，
B：a2−4a+4=(a−2)2，故选项B错误，
C：5ax2−5ay2=5a(x2−y2)=5a(x+y)(x−y)，故选项C正确，
D：a2−2a−8=(a+2)(a−4)，故选项D错误．
故答案为：C．
本题考查因式分解−十字相乘，提公因式等相关知识．解题的关键是能够熟悉因式分解的定义，熟练运用因式分解中的提公因式，十字相乘等方法．
3.【答案】B
【解析】解：移项，可得：x≤m+1，
根据图示，不等式的解集是x≤3，
∴m+1=3，
解得m=2．
故选：B．
首先根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式x−1≤m的解集，然后根据不等式的解集是x≤3，求出m的值即可．
此题主要考查了解一元一次不等式的方法，解一元一次不等式的基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意，得2x−6=0．
解得x=3．
当x=3时，x+8=11≠0，
所以x=3符合题意．
所以分式2x−6x+8的值是零，则x的值为3．
故选：B．
根据分式值为零的条件可得2x+6=0，通过解方程求得x的值；然后代入检验分母是否为零．
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
5.【答案】D
【解析】解：由数轴可知，−3A、∵bB、∵bC、∵bb+3，故选项C不符合题意；
D、∵b−3a，故选项D符合题意；
故选：D．
由数轴可知，−3本题考查的是实数与数轴，能从数轴上提取已知条件是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了分式的基本性质，解题的关键是整体代入．
把原分式中的x换成3x，把y换成3y进行计算，再与原分式比较即可．
【解答】
解：把原分式中的x换成3x，把y换成3y，那么
3x⋅3y3x+3y=3xyx+y=3·xyx+y．
故选：A．
7.【答案】B
【解析】【分析】
先根据完全平方公式进行计算，再合并同类项，分解因式后再逐个判断即可．
本题考查了因式分解的应用，能求出(2k+3)2−4k2=3(4k+3)是解此题的关键．
【解答】
解：(2k+3)2−4k2
=4k2+12k+9−4k2
=12k+9
=3(4k+3)，
∵k为任意整数，
∴(2k+3)2−4k2的值总能被3整除，
故选：B．
8.【答案】B
【解析】解：∵A(−2,1)，B(−1,3)，C(−4,4)关于x轴对称的点的坐标为A1(−2,−1)，B1(−1,−3)，C1(−4,−4)，
又∵B2(2,1)，
∴平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，
∴点A2坐标为(−2+3,−1+4)，即(1,3)．
故选：B．
先根据轴对称的性质求出A1，B1，C1的坐标，根据平移的性质即可求出A2的坐标．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，坐标与图形变化−平移，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和平移的性质．
9.【答案】C
【解析】解：把C(3,2)代入y=ax+4，得
3a+4=2，
解得a=−23，
把C(3,2)代入y=kx，得
3k=2，
解得k=23；
(2)直线l1的解析式为y=−23x+4，直线l2的解析式为y=x，
当x=0时，−23x+4=0，
解得x=6，
∴B点坐标为(6,0)，
结合图象，kx>ax+4>0的解集为3故选：C．
结合图象，写出两函数图象在x轴上方(含B点)且直线 ​l在直线l2上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，连接DD′，延长BD交CD′于H，
∵线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD′，
∴AD=AD′，∠DAD′=60°，∠ABD=∠ACD′，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴把△ABD绕点A逆时针旋转60°后，AB与AC重合，AD与AD′重合，
∴△ACD′可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得到，所以①正确；
∴D′C=DB=4，
∵DC=3，
在△DD′C中，
∵32+42=52，
∴DC2+D′C2=DD′2，
∴△DD′C为直角三角形，
∴∠DCD′=90°，
∵△ADD′为等边三角形，
∴∠ADD′=60°，
∴∠ADC≠150°，所以②错误；
∵∠DCD′=90°，
∴DC⊥CD′，
∴点D到CD′的距离为3，所以③正确；
∵∠ABD+∠CBD+∠ACB=120°，
∴∠CBD+∠ACB+∠ACD′=120°，
∴∠BHC=60°，故④正确；
∵S△ADD′+S△D′DC= 34×52+×3×4=6+25 34，
∴⑤正确．
故选：C．
根据旋转的性质得AD=AD′，∠DAD′=60°，由△ABC为等边三角形得到AB=AC，∠BAC=60°，则把△ABD绕点A逆时针旋转60°后，AB与AC重合，AD与AD′重合，于是可对③进行判断；再根据勾股定理的逆定理得到△DD′C为直角三角形，则可对②进行判断；由角的数量关系可求∠BHC=60°，可对④进行判断；由S四边形ADCD′=S△ADD′+S△D′DC，利用等边三角形的面积公式和直角三角形面积公式计算后可对⑤进行判断．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．
11.【答案】x≠5
【解析】解：由题意可得：x−5≠0，
解得：x≠5，
故答案为：x≠5．
根据分式有意义的条件列不等式求解．
本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件(分母不能为零)是解题关键．
12.【答案】−1【解析】解：∵点P在第二象限，
∴点P的横坐标是负数，纵坐标是正数，
即：m−3<0m+1>0，
解得：−1故答案为：−1点P在第二象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是正数，可得m−3<0，m+1>0，求不等式组的解即可
此题主要考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
13.【答案】−1
【解析】解：由于x2+ax−6=(x+2)(x−b)，
所以a=2−b，−2b=−6，
解得b=3，a=−1，
故答案为：−1．
根据十字相乘法得到a=2−b，−2b=−6，进而求出a、b的值即可．
本题考查十字相乘法，掌握x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)是正确解答的关键．
14.【答案】7
【解析】解：∵x+1x=3，
∴(x+1x)2=9，
∴x2+1x2=(x+1x)2−2=9−2=7．
故答案为：7．
根据知x+1x=3，可知(x+1x)2=9，代入代数式进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值及完全平方公式，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
15.【答案】(1103)°
【解析】解：如图，
∵AB=AD，∠BAD=α，AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD=∠BAD=α，
∵∠ADB=∠C+∠CAD=35°+α，AB=AD，
∴∠B=∠ADB=35°+α，
在△ABC中，∠C+∠CAB+∠B=180°，
∴35°+2α+35°+α=180°，
解得：α=(1103)°；
故答案为：(1103)°．
由AB=AD，∠BAD=α及角平分线的定义得∠CAD=∠BAD=α，根据三角形外角性质得∠ADB=35°+α，即有∠B=∠ADB=35°+α，由三角形的内角和定理求解即可．
本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质及三角形的内角和等知识，孰练掌握相关图形的性质是解题的关键．
16.【答案】(0,−2)
【解析】解：由题知，
因为点A的坐标为(1,0)，
所以第1次变换后得到点的坐标为(2,0)；
第2次变换后得到点的坐标为(0,−2)；
第3次变换后得到点的坐标为(−2,0)；
第4次变换后得到点的坐标为(−1,0)；
第5次变换后得到点的坐标为(0,1)；
第6次变换后得到点的坐标为(1,0)；
第7次变换后得到点的坐标为(2,0)；
…，
由此可见，点A对应点的坐标按(2,0)，(0,−2)，(−2,0)，(−1,0)，(0,1)，(1,0)循环出现，
又因为2024÷6=337余2，
所以点A2024的坐标为(0,−2)．
故答案为：(0,−2)．
根据题中所给变换方式，依次求出点Ai的坐标，发现规律即可解决问题．
本题考查点的坐标变化规律，能根据所给变换方式发现点A的对应点的坐标按(2,0)，(0,−2)，(−2,0)，(−1,0)，(0,1)，(1,0)循环出现是解题的关键．
17.【答案】解：(1)7x2−63
=7(x2−9)
=7(x+3)(x−3)；
(2)x2y−2xy2+y3
=y(x2−2xy+y2)
=y(x−y)2．
【解析】(1)先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
(2)先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式必须先提公因式．
18.【答案】解：(1)2x23y2⋅5y6x
=5x9y；
(2)2xx+3+6x+3
=2x+6x+3
=2(x+3)x+3
=2．
【解析】(1)根据分式的乘法法则进行计算即可；
(2)分母不变，把分子相加减即可．
本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
19.【答案】解：5x−1<3(x+1)①x−12−5x+14≤1②，
由①得：5x−1<3x+3，
5x−3x<3+1，
2x<4，
x<2，
由②得：2(x−1)−(5x+1)≤4，
2x−2−5x−1≤4，
−3x−3≤4，
−3x≤7，
x≥−73，
∴不等式组的解集为：−73≤x<2，
∴不等式组的所有整数解为：−2，−1，0，1．
【解析】先求出各个不等式的解集，再根据判断不等式组解集的口诀“大小小大中间找”求出不等式组的解集，从而求出它的所有整数解即可．
本题主要考查了解一元一次不等式组的整数解，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤．
20.【答案】解：原式=x+1−1x+1⋅(x+1)2(x+1)(x−1)
=xx+1⋅x+1x−1
=xx−1，
当x=2时，原式=22−1=2．
【解析】先算括号里面的，再算除法，最后把x=2代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
21.【答案】解：(1)3x−1=4x，
方程两边都乘x(x−1)，得3x=4(x−1)，
3x=4x−4，
3x−4x=−4，
−x=−4，
x=4，
检验：当x=4时，x(x−1)≠0，
所以分式方程的解是x=4；
(2)1y−2=1−y2−y−3，
方程两边都乘y−2，得1=−(1−y)−3(y−2)，
1=−1+y−3y+6，
−y+3y=−1+6−1，
2y=4，
y=2，
检验：当y=2时，y−2=0，
所以y=2是增根，
即分式方程无解．
【解析】(1)方程两边都乘x(x−1)得出3x=4(x−1)，求出方程的解，再进行检验即可；
(2)方程两边都乘y−2得出1=−(1−y)−3(y−2)，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
22.【答案】解：(1)按照活动一需付费：450×0.8=360(元)．
按照活动二需付费：450−80=370(元)．
∵360<370，
∴选择活动一更合算；
(2)按照活动一需付费：0.8a(元)．
①当300≤a<600时．按照活动二需付费：(a−80)元．
0.8a>a−80．
解得：a<400；
∴300≤a<400时，选择活动二比选择活动一更合算；
②当600≤a<900时．按照活动二需付费：(a−160)元．
0.8a>a−160．
解得：a<800．
∴600≤a<800时，选择活动二比选择活动一更合算．
综上：300≤a<400或600≤a<800，选择活动二比选择活动一更合算．
【解析】(1)分别按照活动一和活动二的方案计算出活动后的价格，比较后可得到选择哪种活动更合算；
(2)可分300≤a<600和600≤a<900两种情况分别计算出根据活动二活动后得到的价钱，进而根据选择活动二比选择活动一更合算列出不等式求解即可．
本题考查一元一次不等式的应用．根据满减情况分类探讨活动二活动后的价格是解决本题的易错点．
23.【答案】解：(1)设A型机器人模型单价是x元，B型机器人模型单价是(x−200)元．
根据题意：2000x=1200x−200，
解这个方程，得：x=500，
经检验，x=500是原方程的根，
∴x−200=300，
答：A型机器人模型单价是500元，B型机器人模型单价是300元；
(2)设购买A型机器人模型m台，购买B型机器人模型(40−m)台，
购买A型和B型机器人模型共花费w元，
由题意得：40−m≤3m，
解得：m≥10，
w=500×0.8⋅m+300×0.8(40−m)，
即：w=160m+9600，
∵160>0
∴w随m的增大而增大．
当m=10时，w取得最小值11200，
∴40−m=30
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
【解析】(1)根据“用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同”列方程求解；
(2)先根据“购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍”求出取值范围，再根据一次函数的性质求解．
本题考查了分式方程的应用，找到相等关系是解题的关键．
24.【答案】−3，1 2，2
【解析】解：(1)如图，△AB1C1即为所求．
点B1的坐标为(−3,1)．
故答案为：−3，1．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
点B2的坐标为(2,2)．
故答案为：2，2．
(3)如图，点P即为所求．
由图可知，点P向右平移6或7个单位长度后落在△A2B2C2的内部，
∴x的整数值为6或7．
(1)根据旋转的性质作图，即可得出答案．
(2)根据中心对称的性质作图，即可得出答案．
(3)根据旋转的性质作图，再结合平移的性质可得出答案．
本题考查作图−旋转变换、轴对称变换、平移变换、中心对称，熟练掌握旋转、轴对称、平移和中心对称的性质是解答本题的关键．
25.【答案】x>3或x<−3
【解析】解：(1)∵x2−9>0，
∴(x+3)(x−3)>0，
∴①x+3>0x−3>0或②x+3<0x−3<0，
解①得x>3；解②得x<−3，
故一元二次不等式x2−9>0的解集为：x>3或x<−3，
故答案为：x>3或x<−3；
(2)∵2x2−5x<0，
∴x(2x−5)<0，
∴①x>02x−5<0或②x<02x−5>0，
解①得0故一元二次不等式2x2−5x<0的解集为：0(3)∵x−1x+2≥0．
∴①x−1≥0x+2>0或②x−1≤0x+2<0，
解①得x≥1；解②得x<−2．
故不等式x−1x−2<0的解集为x≥1或x<−2．
(1)利用因式分解法得到(x+3)(x−3)>0，把原不等式可转化为①x+3>0x−3>0或②x+3<0x−3<0，然后解两个不等式组即可；
(2)利用因式分解法得到x(2x−5)<0，把原不等式可转化为①x>02x−5<0或②x<02x−5>0，然后解两个不等式组即可；
(3)利用分式的性质，把原不等式可转化为①x−1≥0x+2>0或②x−1≤0x+2<0，然后解两个不等式组即可．
此题考查了不等式组的解法，利用了转化的思想，这种转化思想的依据为：两数相乘(除)，同号得正，异号得负的取符号法则．
26.【答案】(1)证明：如题中图2中，根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90°，
∵∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE=90°，
∴∠CAE=∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
AC=AB∠CAE=∠BADAE=AD，
∴△ACE≌△ABD(SAS)，
∴CE=BD．
(2)证明：如题中图3中，根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90°，
在△ACE和△ABD中，
AC=AB∠CAE=∠BADAE=AD，
∴△ACE≌△ABD(SAS)，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠ACE+∠AEC=90°，且∠AEC=∠FEB，
∴∠ABD+∠FEB=90°，
∴∠EFB=90°，
∴CF⊥BD，
∵AB=AC= 2，AD=AE=2− 2，∠CAB=∠EAD=90°，
∴BC= 2AB=2，CD=AC+AD=2，
∴BC=CD，
∵CF⊥BD，
∴CF是线段BD的垂直平分线．
(3)解：△BCD中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时△BCD的面积有最大值，
∴当点D在线段BC的垂直平分线上时，△BCD的面积取得最大值，如图4中：
∵AB=AC= 2，AD=AE=2− 2，∠CAB=∠EAD=90°，DG⊥BC于G，
∴AG=12BC=1，∠GAB=45°，
∴DG=AG+AD=3− 2，∠DAB=180°−45°=135°，
∴△BCD的面积的最大值为：12⋅BC⋅DG=12×2×(3− 2)=3− 2，
旋转角α=135°．
【解析】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
(1)利用“SAS”证得△ACE≌△ABD即可得到结论；
(2)利用“SAS”证得△ACE≌△ABD，推出∠ACE=∠ABD，计算得出CD=BC=2，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；
(3)观察图形，当点D在线段BC的垂直平分线上时，△BCD的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解．