2023-2024学年山东省青岛市市南区七年级（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年山东省青岛市市南区七年级（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2024年是农历甲辰年(龙年)，为寄托对新的一年的美好憧憬，人们会制做一些龙的图标、饰品、窗花等.下列龙的图标中是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列计算，其中正确的是( )
A. x3⋅x2=x6B. (ab)6=ab6
C. (−a3)2=a6D. 3x3y2−xy2=2x2
3.若一个等腰三角形的两边长分别为4和10，则这个三角形的周长为( )
A. 18B. 22C. 24D. 18或24
4.下列说法中，正确的是( )
A. “三角形三条高所在直线的交点在该三角形内部”是必然事件
B. 天气预报显示“明天的降水概率为60%”，表示明天有60%的时间都在降雨
C. 进行5次掷一枚质地均匀硬币的试验，其中有3次正面朝上，2次正面朝下，因此正面朝上的概率是35，正面朝下的概率是25
D. “两直线被第三条直线所截，同位角相等”是随机事件
5.我国首辆火星车正式被命名为：“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率K(W/m⋅K)与温度T(℃)的关系如表，下列选项描述不正确的是( )
A. 在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是导热率
B. 在一定温度范围内，温度越高，该材料导热率越高
C. 当温度为350℃时，该材料导热率为0.35W/m⋅K
D. 温度每升高增高10℃该材料导热率增加0.01W/m⋅K
6.如图，在△ABC和△FED中，AD=FC，AB//EF，添加一个条件后，仍无法判定△ABC≌△FED的是( )
A. AB=EF
B. ∠B=∠E
C. BC=DE
D. BC//DE
7.“七巧板”是一种古老的中国传统智力玩具，由“七巧板”组成的正方形如图所示，若在正方形区域内随意取一点，则该点取在阴影部分的概率为( )
A. 18
B. 17
C. 16
D. 27
8.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，△ABC的面积是24，AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P在线段ED上，则△PBF周长的最小值为( )
A. 6
B. 10
C. 12
D. 14
9.如图，小丽在公园里荡秋千，她坐在秋千的起始位置O处，AO与地面垂直，当她荡到距地面1m高的B处时，与AO的水平距离BE为1.2m，当她荡到与AO的水平距离为1.4m的C处，∠BAC=90∘，此时小丽距离地面的高度是( )
A. 1.2m
B. 1.4m
C. 1.6m
D. 1.8m
10.如图，在△ABC中，AB=AC，EG垂直平分AB，AG平分∠BAC，DF垂直平分CG，∠FDC=42∘，则∠AGE的度数为( )
A. 68∘
B. 69∘
C. 72∘
D. 74∘
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食品和药物，得到广泛的使用，经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201千克，将0.00000201用科学记数法表示为______.
12.现有3cm、5cm、8cm、10cm四条线段，每条线段被抽到的可能性都相同，从中任意抽取三条线段，则能够围成三角形的概率是______.
13.若4x−y−3=0，则16x÷2y=______.
14.一副三角板如图摆放，直线AB//CD，则∠α的度数是______.
15.如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90∘，AC，BD相交于点E，AE=DE.将△CDE沿CE折叠，点D落在点D′处，若∠BED′=30∘，则∠BCD′的大小为______.
16.如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是AB上的一点，且AE=4BE，BD与CE相交于点F，若△CDF的面积为4，则△ABC的面积为______.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
如图，已知△ABC.
求作：线段CD，使得CD//AB，且点D到BA与BC的距离相等.
18.(本小题16分)
(1)计算：(12)−3−20240；
(2)计算：(x−1)(4−x)−5x(x−3)；
(3)运用乘法公式计算：1232−122×124；
(4)先化简，再求值：[(2x+y)2−(2x−y)(2x+y)]÷2y，其中x=2，y=−1.
19.(本小题6分)
如图，△ABC的三个顶点分别在方格纸的格点上，方格纸中每个小正方形方格的边长均为1.
(1)在图中画出△ABC关于直线MN成轴对称的图形△A1B1C1；(点A，B，C的对应点分别是点A1，B1，C1)
(2)求△ABC的面积；
(3)在直线MN上有一点P，使得PA+PB的值最小，请在图中标出点P的位置.
20.(本小题6分)
阅读下列推理过程，将空白部分补充完整，在括号中填写依据.
已知：如图，ED平分∠CEB，∠CEB=80∘，∠1=140∘，求∠3的度数.
解：∵∠1+∠2=180∘，∠1=140∘，
∴∠2=180∘−∠1=40∘.
∵ED平分∠CEB，∠CEB=80∘，
∴∠DEB=______=40∘(______)，
∴∠DEB=∠2，
∴AB//CD，(______)，
∴∠______+∠CEB=180∘(______)，
∴∠DCE=180∘−∠CEB=100∘，
∴∠3=∠DCE=100∘(______).
21.(本小题6分)
某商场进行开业有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘，商场规定：顾客购物200元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，如表是此次活动中的一组统计数据：
(1)完成上述表格，其中a=______，b=______；
(2)请估计当n很大时，频率将会在一个常数______附近摆动，假如你去转动该转盘一次，你获得“牛奶”的概率约是______；
(3)转盘中，表示“面粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AC=AB，F为BC边上一点，过点C作CE//AB，且CE=BF，连接EF交BC于点D，连接AD.
(1)判断AD与CB的位置关系，并说明理由；
(2)若∠BCE=70∘，求∠CAD的度数.
23.(本小题6分)
A、B两地相距600km，甲乙两人都从A地前往B地，匀速行驶.其中甲骑摩托车出发1.5小时后，乙开车出发，沿同一路线行驶，各自到达终点后停止.甲、乙两人之间的距离s(km)与甲行驶的时间t(h)之间的关系如图所示.
(1)两人经过______小时相遇；
(2)甲、乙两人的速度分别是______km/h和______km/h；
(3)a的值为______；
(4)甲乙两人均在运动过程中，甲出发多少时间时，两人相距40千米？
24.(本小题10分)
“数形结合”是数学中的一种重要的数学思思方法.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.由此可见数学学习和研究中数与形互相配合的重要性.
(1)如图1，是我们学过的一个乘法公式的图形表达，请根据图1写出此乘法公式：______.
(2)如图2，是由4个全等的长方形拼出来的大、小正方形，请你根据图2所示，写出(a+b)2、(a−b)2、ab之间的等量关系：______.
(3)根据(2)中的结论进行计算，已知：x−y=4，xy=654，求x+y的值.
(4)如图3，正方形ABCD与正方形FHJL的重合部分长方形EFGD的面积是2024，AE=32，CG=34，四边形DGHI和四边形EDKL都是正方形，求正方形FHJL的面积.
25.(本小题10分)
【基础探究1】如图1，△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，探求∠BPC与∠A之间的数量关系；
【基础探究2】如图2，△ABC中，BP1、BP2是∠ABC的三等分线.CP1、CP2是∠ACB的三等分线，则∠BP1C与∠A之间的数量关系是______；
【基础探究3】如图3，△ABC中，BP1、BP2、BP3是∠ABC的四等分线，CP1、CP2、CP3是∠ACB的四等分线，则∠BP3C与∠A之间的数量关系是______；
【拓展与探究】如图4，△ABC中，BP1、BP2、…BPn−2、BPn−1是∠ABC的n等分线，CP1、CP2、…、CPn−2、CPn−1是∠ACB的n等分线，请用一个等式表示∠BP1C、∠BPn−1C、∠A三者之间的数量关系是______；
【探究与应用】△ABC中，BP1、BP2、…、BP2023是∠ABC的2024等分线，CP1、CP2、…、CP2023是∠ACB的2024等分线，若∠BP2C与∠BP2022C的和是∠A的7倍，则∠BP1012C=______ ∘.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D.
根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”进行分析即可．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
本题考查了轴对称图形的概念，正确记忆相关内容是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：A.x3⋅x2=x5，故该项错误；
B. (ab)6=a6b6，故该项错误；
C. (−a3)2=a6，故该项正确；
D.3x3y2、xy2不是同类项，不能合并，故该项错误；
故选：C.
根据幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项的方法、同底数幂的乘法法则进行解题即可．
本题考查了整式的计算法则，同底数幂乘法，积的乘方，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握各计算法则是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵一个等腰三角形的两边长分别为4和10，
∴当4为腰时，三边长分别为4，4，10，
∵4+4=8<10，
∴不成立；
当10为腰时，三边长分别为4，10，10，
∴三角形的周长为24cm.
故选：C.
根据等腰三角形的两边长分别为4和10，分两种情况讨论：4为腰时；10为腰时；再由三角形的三边关系定理得出结论．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系定理；分类讨论后一定要进行验证这是正确解答本题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、“三角形三条高所在直线的交点在该三角形内部”是随机事件，说法错误，不符合题意；
B、天气预报显示“明天的降水概率为60%”，表示明天有60%的概率要降雨，说法错误，不符合题意；
C、进行5次掷一枚质地均匀硬币的试验，其中有3次正面朝上，2次正面朝下，因此正面朝上的概率是35，正面朝下的概率25，说法错误，不符合题意；
D、“两直线被第三条直线所截，同位角相等”是随机事件，说法正确，符合题意；
故选：D.
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查概率的意义、三角形的角平分线、中线和高、随机事件、模拟试验，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：在这个变化过程中，导热率随着温度的变化而变化，即自变量是温度，因变量是导热率，
∴A正确，不符合题意；
根据表格可知，在一定温度范围内，温度越高，该材料导热率越高，
∴B正确，不符合题意；
根据表格可知，温度每升高50℃，导热率增加0.05W/m⋅K，
∴当温度为350℃时，该材料导热率为0.4W/m⋅K，
∴C不正确，符合题意；
∵温度每升高50℃，导热率增加0.05W/m⋅K，
∴温度每升高增高10℃该材料导热率增加0.01W/m⋅K，
∴D正确，不符合题意．
故选：C.
A.根据自变量和因变量的定义判断即可；
B.根据表格中数据的变化情况判断即可；
CD.根据数据变化规律判断即可．
本题考查常量与变量，掌握自变量与因变量的定义、找到变量变化的规律是本题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵AD=FC，
∴AC=FD，
∵AB//EF，
∴∠A=∠F.
A、添加AB=EF，由SAS判定△ABC≌△FED，故A不符合题意；
B、添加∠B=∠E，由AAS判定△ABC≌△FED，故B不符合题意；
C、添加BC=DE，不一定能判定△ABC≌△FED，故C符合题意；
D、由BC//DE，得到∠ACB=∠FDE，由ASA即可判定△ABC≌△FED，故不符合题意．
故选：C.
由全等三角形的判定，即可判断．
本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
7.【答案】A
【解析】解：由题意可知，阴影区域是一个正方形，
∵大正方形的边长为a cm，
∴大正方形的对角线长为 2a cm，面积为a2 cm2，
∴阴影部分的边长为 24a cm，
∴S阴影=( 24)2=18a2 (cm2)，
∴P(该点取到阴影部分)=18a2a2=18.
故选：A.
求出大正方形的面积和阴影部分的面积，再根据几何概率公式求出即可作出选择．
本题考查几何概率，掌握几何概率公式，正确计算出图形的面积是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵ED是线段AB的垂直平分线，
∴A与B关于ED对称，
连接AF，交ED于点P，
∵AP=PB，
∴△PBF周长=PB+PF+FB=AP+PF+FB≥AF+FB，
当A、P、F三点共线时，△PBF周长最小，
∵F为BC边的中点，AB=AC，
∴AF⊥BC，BF=12BC=4，
∴S△ABC=12×BC×AF=24，
∵BC=8，
∴AF=6，
∴△PBF周长=AF+FB=6+4=10，
∴△PBF周长的最小值为10，
故选：B.
由垂直平分线的性质可得A与B关于ED对称，连接AF，交ED于点P，则当A、P、F三点共线时，△PBF周长最小为AF+FBAF+FB的长．
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：由题意可知∠CDA=∠BEA=90∘，AB=AC，
∵∠BAC=90∘，
∴∠CAD+∠BAE=∠BAE+∠ABE=90∘.
∴∠CAD=∠ABE，
在△CAD和△ABE中，
∠CAD=∠ABE∠ADC=∠BEAAC=AB，
∴△CAD≌△ABE(AAS)，
∴CD=AE，AD=BE，
∵BE、CD分别为1.2m和1.4m，
∴DE=AE−AD=CD−BE=1.4−1.2=0.2(m)，
∴此时小丽距离地面的高度是1.2m.
故选：A.
根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题主要考查了全等三角形的应用，通过证明∠CAD=∠ABE，进而利用AAS证明△CAD≌△ABE从而得到CD=AE，AD=BE，再根据线段的和差关系求出AE的长是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：连接BG，
∵DF垂直平分CG，∠FDC=42∘，
∴∠BCF=48∘，
∵EG垂直平分AB，AG平分∠BAC，
∴AG=BG，∠BAG=∠CAG，
在△ABG和△ACG中，
AB=AC∠BAG=∠CAGAG=AG，
∴△ABG≌△ACG(SAS)，
∴BG=CG，∠BGA=∠CGA，
∴∠CBG=∠BCG=48∘，
∴∠BGC=84∘，
∴∠BGA=∠CGA=360∘−84∘2=138∘，
∵EG垂直平分AB，AG=BG，
∴∠AGE=BGE=12∠BGA=69∘.
故选：B.
连接BG，根据线段垂直平分线性质求出AG=BG，根据SAS证明△ABG≌△ACG，则BG=CG，∠BGA=∠CGA，∠CBG=∠BCG=48∘，可得∠BGC=84∘，根据周角的定义即可求出答案．
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定和性质等知识点，掌握相关知识是解此题的关键．
11.【答案】2.01×10−6
【解析】【分析】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0(包括小数点前面的0)的个数所决定.绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0(包括小数点前面的0)的个数所决定．
【解答】
解：0.00000201=2.01×10−6.
故答案为：2.01×10−6.
12.【答案】12
【解析】解：从中任意抽取三条线段，所有等可能的结果有：(3cm,5cm,8cm)，(3cm,5cm,10cm)，(3cm,8cm,10cm)，(5cm,8cm,10cm)，共4种，
其中能够围成三角形的结果有：(3cm,8cm,10cm)，(5cm,8cm,10cm)，共2种，
∴能够围成三角形的概率是24=12.
故答案为：12.
根据题意可得出所有等可能的结果以及能够围成三角形的结果，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式、三角形三边关系，熟练掌握概率公式、三角形三边关系是解答本题的关键．
13.【答案】8
【解析】解：∵4x−y−3=0，
∴4x−y=3，
∴16x÷2y
=(24)x÷2y
=24x÷2y
=24x−y
=23
=8，
故答案为：8.
根据4x−y−3=0求出4x−y=3，根据幂的乘方和同底数幂的除法求出16x÷2y=24x−y，再代入求出答案即可．
本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
14.【答案】15∘
【解析】解：如图：
由题意得：
∠EBD=90∘，∠BDE=45∘，∠EDC=30∘，
∵AB//CD，
∴∠ABD+∠BDC=180∘，
∴∠α=180∘−∠EBD−∠BDE−∠EDC
=180∘−90∘−45∘−30∘
=15∘，
故答案为：15∘.
根据题意可得：∠EBD=90∘，∠BDE=45∘，∠EDC=30∘，然后利用平行线的性质可得∠ABD+∠BDC=180∘，从而进行计算即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
15.【答案】12.5∘
【解析】解：在△ABE和△DCE中，
∠A=D=90∘AE=DE∠AEB=∠DEC，
∴△ABE≌△DCE(ASA)，
∴∠ABE=∠DCE，BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
由翻折可知：∠D′CE=∠DCE，∠D′EC=∠DEC，
∵∠BED′=40∘，
∴∠D′EC=∠DEC=∠AEB=12(180∘−30∘)=75∘，
∴∠ABE=90∘−75∘=15∘，
∴∠ABE=∠DCE=∠D′CE=15∘，
∵BE=CE，∠AEB=75∘，
∴∠EBC=∠ECB=37.5∘，
∴∠BCD′=∠EBC−∠D′CE=37.5∘−15∘=12.5∘，
故答案为：12.5∘.
证明△ABE≌△DCE(ASA)，得∠ABE=∠DCE，BE=CE，然后由翻折的性质和三角形内角和定理即可解决问题．
本题主要考查了翻折变换(折叠问题)，全等三角形的判定与性质等知识点，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
16.【答案】13
【解析】解：连接AF，如图所示：
∵D是AC的中点，S△CDF=4，
∴S△ADF=S△CDF=4，
又∵AE=4BE，
∴S△AEF=4S△BEF，
设S△BEF=x，则S△AEF=4x，
∵S△ABD=S△BCD，
∴S△BCF+4=4+x+4x，
∴S△BCF=5x，
∴CF：EF=5：1，
∴S△ACF：S△AEF=5：1，
∴S△AEF=42=4x，
解得：x=12，
∴S△ABC=2S△BCD=2×(4+5×12)=13，
故答案为：13.
连接AF，根据中点可得S△ADF=S△CDF=4，根据AE=4BE可得S△AEF=4S△BEF，设S△BEF=x，可得S△BCF=5x，进而可得S△ACF：S△AEF=5：1，求出x的值，进而可求解．
本题考查了根据三角形中线求面积，根据三角形面积等高模型得到S△ACF：S△AEF=4：1是解题的关键．
17.【答案】解：如图，线段CD即为所求；

【解析】首先作∠NCM=∠CBA，可得AB的平行线CM，然后作∠ABC的角平分线，与CM交于点D，CDD即为所求．
本题主要考查了作图-复杂作图，平行线的判定，角平分线的性质，解答本题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
18.【答案】解：(1)原式=8−1
=7；
(2)原式=4x−x2−4+x−5x2+15x
=−6x2+20x−4；
(3)原式=1232−(123−1)×(123+1)
=1232−1232+1
=1；
(4)原式=(4x2+4xy+y2−4x2+y2)÷2y
=(4xy+2y2)÷2y
=2x+y，
当x=2，y=−1时，
原式=2×2−1=3.
【解析】(1)直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、有理数的乘法运算法则分别化简，进而得出答案；
(2)直接利用单项式乘单项式运算法则、单项式乘多项式运算法则化简，进而得出答案；
(3)利用平方差公式将原式变形，进而得出答案；
(4)直接利用乘法公式化简，再合并同类项得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算-化简求值以及实数的运算、整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
19.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；
(2)△ABC的面积=3×3−12×3×1−12×2×1−12×2×3=3.5；
(3)如图，点P为所作．
【解析】(1)利用网格特点和对称的性质，分别画出A、B、C关于直线MN的对称点即可；
(2)用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积；
(3)连接AB1交MN于P点，利用PB=PB1，PA+PB=PA+PB1=AB1，根据两点之间线段最短可判断P点满足条件．
本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．
20.【答案】12∠CEB角平分线定义 同位角相等，两直线平行 DCE 两直线平行，同旁内角互补 对顶角相等
【解析】解：∵∠1+∠2=180∘，∠1=140∘，
∴∠2=180∘−∠1=40∘.
∵ED平分∠CEB，∠CEB=80∘，
∴∠DEB=12∠CEB=40∘，(角平分线定义)
∴∠DEB=∠2，
∴AB//CD，(同位角相等，两直线平行)
∴∠DCE+∠CEB=180∘(两直线平行，同旁内角互补)，
∴∠DCE=180∘−∠CEB=100∘，
∴∠3=∠DCE=100∘(对顶角相等).
故答案为：12∠CEB；角平分线定义；同位角相等，两直线平行；DCE；两直线平行，同旁内角互补；对顶角相等．
根据平行线的判定与性质求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
21.【答案】
【解析】解：(1)242÷400=0.605；0.59×800=472，
故答案为：0.605；472；
(2)估计当n很大时，频率将会接近0.6，假如你去转动该转盘一次，你获得“牛奶”的概率约是0.6，
故答案为：0.6；0.6；
(3)(1−0.6)×360∘=144∘，
所以表示“面粉”区域的扇形的圆心角约是144∘.
(1)根据频率的定义计算m=242时的频率和频率为0.59时的频数；
(2)从表中频率的变化，可得到估计当n很大时，频率将会接近0.6，然后根据利用频率估计概率得“牛奶”的概率约是0.6；
(3)可根据获得“面粉”的概率为1−0.6=0.4，然后根据扇形统计图的意义，用360∘乘以0.4即可得到表示“面粉”区域的扇形的圆心角．
本题考查了利用频率估计概率，扇形统计图，解答本题的关键要明确：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
22.【答案】解：(1)AD⊥CB，理由如下：
∵CE//AB，
∴∠E=∠BFD，∠ECD=∠B，
在△CDE和△BDF中，
∠E=∠BFDCE=BF∠ECD=∠B，
∴△CDE≌△BDF(ASA)，
∴CD=BD，
∵AC=AB，
∴AD⊥CB；
(2)∵AD⊥CB，
∴∠CAD+∠ACD=90∘，
∵AC=AB，
∴∠B=∠ACD，
∵CE//AB，
∴∠B=∠BCE=70∘，
∴∠ACD=70∘，
∴∠CAD=20∘.
【解析】(1)根据平行线的性质求出∠E=∠BFD，∠ECD=∠B，利用ASA证明△CDE≌△BDF，根据全等三角形的性质求出CD=BD，再根据等腰三角形的性质即可得解；
(2)根据直角三角形的求出∠CAD+∠ACD=90∘，根据等腰三角形的性质、平行线的性质求出∠ACD=70∘，据此求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
23.【答案】6 60 80 60
【解析】解：(1)由图象可知，两人经过6小时相遇．
故答案为：6.
(2)甲的速度为90÷1.5=60(km/h)，
乙的速度为(60×6)÷(6−1.5)
=360÷4.5
=80(km/h).
故答案为：60；80.
(3)600−(600÷80+1.5)×60
=600−540
=60(km).
故答案为：60；
(4)①在甲乙相遇之前，两人相距40千米时，甲出发的时间为x h，
80(x−1.5)+40=60x，
解得：x=4；
②在甲乙相遇之后且乙未到达目的地，两人相距40千米时，甲出发的时间为y h，
80(y−1.5)−40=60y，
解得：y=8；
综上所述：甲乙两人均在运动过程中，甲出发4h或8h时，两人相距40千米．
(1)甲乙两人的距离相距0km时，两人相遇；
(2)根据图象和速度=路程÷时间，即可求得；
(3)a表示乙到达B地时，两人之间的距离，即600−甲走的路程；
(4)分“在甲乙相遇之前，两人相距40千米和在甲乙相遇之后且乙未到达目的地”两种情况进行分类讨论即可．
本题主要考查一次函数的应用，根据图象得出有用信息是解题的关键．
24.【答案】(a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)2=(a−b)2+4ab
【解析】解：(1)图1中大正方形的边长为a+b，因此面积为(a+b)2，组成大正方形的四个部分的面积和为a2+2ab+b2，
故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2；
(2)图2中大正方形的边长为a+b，因此面积为(a+b)2，中间小正方形的边长为a−b，因此面积为(a−b)2，四个长为a，宽为b的长方形面积为4ab，
所以有(a+b)2=(a−b)2+4ab，
故答案为：(a+b)2=(a−b)2+4ab；
(3)由(2)得，(x+y)2=(x−y)2+4xy，
∵x−y=4，xy=654，
∴(x+y)2=16+4×654=81，
∵x>0，y>0，
∴x+y= 81=9；
(4)设长方形EFGD的长DE=m，宽DG=n，则m+32=n+34，即m−n=2，
由于长方形EFGD的面积是2024，即mn=2024，
∵四边形DGHI和四边形EDKL都是正方形，
∴正方形FHJL的边长为m+n，
∴正方形FHJL的面积S=(m+n)2
=(m−n)2+4mn
=4+4×2024
=8100.
(1)根据图1中各个部分面积之间的关系即可得出答案；
(2)用代数式图2中各个部分面积，由各个部分面积之间的关系即可得出答案；
(3)利用(2)的结论，代入计算即可；
(4)设长方形EFGD的长DE=m，宽DG=n，由题意可知m−n=2，mn=2024，由(m+n)2=(m−n)2+4mn进行计算即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
25.【答案】∠BP1C=60∘+23∠A∠BP3C=135∘+14∠A∠BP1C+∠BPn−1C−∠A=180∘105∘
【解析】解：【基础探究1】：设α=12∠ABC，β=12∠ACB.
根据三角形内角和定理得，α+β=180∘−∠BPC，2(α+β)=180∘−∠A，
∴180∘−∠A=2(180∘−∠BPC).
∴∠BPC=12×180∘+∠A2=90∘+∠A2.
则∠BPC与∠A之间的数量关系为：∠BPC=90∘+∠A2.
【基础探究2】：设α=13∠ABC，β=13∠ACB.
在△BP1C和△ABC中，根据三角形内角和定理得，
2(α+β)=180∘−∠BP1C，3(α+β)=180∘−∠A.
∴3(180∘−∠BP1C)=2(180∘−∠A)
∴∠BP1C=13×180∘+23∠A=60∘+23∠A.
故答案为：∠BP1C=60∘+23∠A.
【基础探究3】：设α=14∠ABC，β=14∠ACB.
在△ABC和△BP3C中，同理可得，4(α+β)=180∘−∠A，α+β=180∘−∠BP3C，
∴4×(180∘−∠BP3C)=180∘−∠A.
∴∠BP3C=34×180∘+14∠A=135∘+14∠A.
故答案为：∠BP3C=135∘+14∠A.
【拓展与探究】：设α=1n∠ABC，β=1n∠ACB.
在△BPn−1C，△BP1C和△ABC中，同理可得，
α+β=180∘−∠BPn−1C，(n−1)(α+β)=180∘−∠BP1C，n(α+β)=180∘−∠A.
∴(180∘−∠BPn−1C)+(180∘−∠BP1C)=180∘−∠A.
∴∠BP1C+∠BPn−1C−∠A=180∘.
故答案为：∠BP1C+∠BPn−1C−∠A=180∘.
【探究与应用】：当α=12024∠ABC，β=12024∠ACB时，
在△BP2022C，△BP2C和△ABC中，同理可得，
2(α+β)=180∘−∠BP2022C，2022(α+β)=180∘−∠BP2C，2024(α+β)=180∘−∠A，
根据题意得，∠BP2022C+∠BP2C=[180∘−2(α+β)]+[180∘−2022(α+β)]=7∠A，
即，360∘−2024(α+β)=7∠A.
把2024(α+β)=180∘−∠A代入上式得，360∘−(180∘−∠A)=7∠A，
∴∠A=30∘.
把∠A=30∘代入2024(α+β)=180∘−∠A，则α+β=12024×150∘.
在△BP1012C中，同理可得，1012(α+β)=180∘−∠BP1012C，
∴∠BP1012C=180∘−1012×(12024×150∘)=105∘.
故答案为：105∘.
【基础探究1】：设α=12∠ABC，β=12∠ACB，利用三角形内角和定理分别求出∠BPC和∠A关于α、β的表达式，即可得出结论．
【基础探究2】：设α=13∠ABC，β=13∠ACB，利用三角形内角和定理分别求出∠BP1C和∠A关于α、β的表达式，即可得出结论．
【基础探究3】：设α=14∠ABC，β=14∠ACB，利用三角形内角和定理分别求出∠BP3C和∠A关于α、β的表达式，即可得出结论．
【拓展与探究】：设α=1n∠ABC，β=1n∠ACB，利用三角形内角和定理分别求出∠BP1C，∠BPn−1C和∠A关于α、β的表达式，比较便可得出结论．
【探究与应用】：设α=12024∠ABC，β=12024∠ACB，利用三角形内角和定理分别求出∠BP2C，∠BP2022C，∠A和∠BP1012C关于α、β的表达式，根据∠BP2C与∠BP2022C的和是∠A的7倍，通过等量代换便可求出答案．
本题为三角形内角和定理的综合应用题，难度较大．通过设出中间变量(α+β)表示各个所求角是解答本题的关键．温度T(℃)
100
150
200
250
导热率K(W/m⋅K)
0.15
0.2
0.25
0.3
转动转盘的次数n
50
100
200
400
800
1000
落在“牛奶”区域的次数m
30
61
119
242
b
603
落在“牛奶”区域的频率mn
0.6
0.61
0.59
a
0.59
0.603