北师大版高中数学选择性必修第一册专题强化练14独立性检验与统计、概率的综合应用含答案

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专题强化练14　独立性检验与统计、概率的综合应用1.(2024福建福安一中月考)为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况,交通部门随机对50名家用轿车的驾驶员进行调查,得到他们在高速公路上行驶时的平均车速情况:在30名男性驾驶员中,平均车速超过100 km/h的有20人,不超过100 km/h的有10人;在20名女性驾驶员中,平均车速超过100 km/h的有5人,不超过100 km/h的有15人.(1)完成下面的列联表,并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100 km/h的人与性别有关;(2)从50名家用轿车的驾驶员中随机选取3人,记这3人中驾驶员为女性且车速不超过100 km/h的人数为ξ,若每次选取的结果是相互独立的,求ξ的分布列和数学期望.附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.2.(2023陕西商洛丹凤中学模拟)某乒乓球教练决定检验运动员某项技能水平,随机选取100名运动员进行测试,并根据该项技能的评价指标,按[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100]分成8组,得到如图所示的频率分布直方图.(1)求a的值,并估计该项技能的评价指标的中位数(精确到0.1);(2)根据频率分布直方图求样本评价指标的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表),若平均数与中位数之差的绝对值小于1,则认为该项技能水平有显著稳定性,否则不认为有显著稳定性,请依据数据给出答案;(3)在选取的100名运动员中,训练时间不少于1年的(记为A队)与少于1年的(记为B队)人数相同,若规定评价指标不低于80为优秀,低于80为良好,经统计,训练时间不少于1年的有40名运动员评价指标为优秀,请列出2×2列联表,并判断是否有99%的把握认为“评价指标是否优秀与训练时间有关”.附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.3.近年来,直播电商带货的模式发展势头迅猛,每年的“双十一”购物节成为各直播电商关注的焦点.某直播公司为增加销售额,准备采取新举措,将原本单一的直播团队拆分为甲、乙两个直播团队,相互竞争.该公司记录了新举措实施前40天全公司的日均总销售额和新举措实施后40天全公司的日均总销售额的天数频数分布表,分别如表1和表2所示:表1表2(1)将下面的2×2列联表补充完整,并判断是否有99.9%的把握认为公司销售额提高与采取新举措有关;(2)后期该公司还打算对甲、乙两个直播团队的表现进行如下考核:选定某周周一至周五的5天时间,对两队当天的销售额进行比较,若甲团队的销售额超过10万元且乙团队的销售额未超过10万元,则甲团队得1分,乙团队得-1分;若乙团队的销售额超过10万元且甲团队的销售额未超过10万元,则乙团队得1分,甲团队得-1分;若两团队的销售额都超过10万元或都未超过10万元,则两团队均得0分.根据以往数据,甲、乙两团队某天销售额超过10万元的概率分别为p1和p2,某一天的考核中甲团队的得分记为X.①若p1=0.5,p2=0.8,求X的分布列;②若甲、乙两团队在考核开始时都赋予3分,两队销售额比较1次算一轮,经过10轮比较后,甲团队得分的数学期望超过5分,求p1的取值范围(用p2表示).参考公式及数据:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.4.(2023福建三明教研联盟校期中联考)我国在第75届联合国大会上承诺,将采取更加有力的政策和措施,力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值,努力争取于2060年之前实现碳中和(简称“双碳目标”),此举展现了我国应对气候变化的坚定决心,预示着我国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革,极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.电动汽车是重要的战略新兴产业,对实现“双碳目标”具有重要的作用.为了解某一地区电动汽车的销售情况,一机构根据统计数据,用最小二乘法得到电动汽车年销售量y(单位:万台)关于年份x的线性回归方程为y^=4.7x-9 459.2,且年销售量y的方差为sy2=2545,年份x的方差为sx2=2.(1)求y与x的相关系数r,并据此判断电动汽车年销售量y与年份x的线性相关性强弱;(2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况,得到的数据如下表:请判断是否有95%的把握认为是否购买电动汽车与车主性别有关;(3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层随机抽样抽取7人,再从这7人中随机抽取3人,记这3人中,男性的人数为X,求X的分布列和数学期望.附:①参考数据:635≈25.②参考公式:(i)回归直线y=bx+a中,斜率和截距的最小二乘估计分别为b^=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2,a^=y−b^x;(ii)相关系数r=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2∑i=1n(yi-y)2,若|r|>0.9,则可判定y与x的线性相关性较强;(iii)χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.③临界值表:答案与分层梯度式解析专题强化练14　独立性检验与统计、概率的综合应用1.解析　(1)2×2列联表如下:则χ2=50×(20×15-10×5)230×20×25×25=253≈8.333>7.879,所以有99.5%的把握认为平均车速超过100 km/h的人与性别有关.(2)由题意可知,从50名家用轿车的驾驶员中随机选取1人,则选取的驾驶员为女性且车速不超过100 km/h的概率为1550=310,则ξ~B3,310,则P(ξ=0)=7103=3431 000,P(ξ=1)=C31×310×7102=4411 000,P(ξ=2)=C32×3102×710=1891 000,P(ξ=3)=3103=271 000,所以ξ的分布列为数学期望Eξ=3×310=910.2.解析　(1)由题图可知,(0.008+0.016+0.02+a+0.044+0.04+0.028+0.008)×5=1,解得a=0.036.因为(0.008+0.016+0.02+0.036)×5=0.40.5,所以该项技能的评价指标的中位数在[80,85)内.设该项技能的评价指标的中位数为m,则(m-80)×0.044+0.4=0.5,解得m≈82.3.故该项技能的评价指标的中位数约为82.3.(2)评价指标的平均数为(62.5×0.008+67.5×0.016+72.5×0.02+77.5×0.036+82.5×0.044+87.5×0.04+92.5×0.028+97.5×0.008)×5=81.6,所以平均数与中位数之差的绝对值为|81.6-82.3|=0.76.635.所以有99%的把握认为“评价指标是否优秀与训练时间有关”.3.解析　(1)补全2×2列联表如下:则χ2=80×(37×17-3×23)240×40×60×20=19615≈13.067>10.828,所以有99.9%的把握认为公司销售额提高与采取新举措有关.(2)X的所有可能取值为-1,0,1,则P(X=-1)=p2(1-p1),P(X=0)=p1p2+(1-p1)(1-p2),P(X=1)=p1(1-p2).①当p1=0.5,p2=0.8时,随机变量X的分布列如下表所示:②EX=-p2(1-p1)+p1(1-p2)=p1-p2,则E(10X)=10EX=10(p1-p2)>5-3=2,所以p1>p2+15,又p1≤1,所以p2+150.9,故电动汽车年销售量y与年份x的线性相关性较强.(2)χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=90×(39×15-6×30)245×45×69×21≈5.031>3.841,所以有95%的把握认为是否购买电动汽车与车主性别有关.(3)由题意得,抽取的7人中,男性车主有2人,女性车主有5人,则X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=C53C73=27,P(X=1)=C21C52C73=47,P(X=2)=C22C51C73=17,故X的分布列为数学期望EX=0×27+1×47+2×17=67.平均车速超过100 km/h的人数平均车速不超过100 km/h的人数总计男性驾驶员人数女性驾驶员人数总计P(χ2≥k)0.100.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828P(χ2≥k)0.100.050.01k2.7063.8416.635日均总销售额/万元[15,16)[16,17)[17,18)[18,19)天数121562日均总销售额/万元[19,20)[20,21)[21,22)[22,23)天数2111日均总销售额/万元[15,16)[16,17)[17,18)[18,19)天数1234日均总销售额/万元[19,20)[20,21)[21,22)[22,23)天数131421日均总销售额小于20万元日均总销售额不小于20万元总计新举措实施前40天新举措实施后40天总计P(χ2≥k)0.150.100.050.0250.010.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828性别购车种类情况购买非电动汽车购买电动汽车总计男性39645女性301545总计692190P(χ2≥k)0.100.050.010.001k2.7063.8416.63510.828平均车速超过100 km/h的人数平均车速不超过100 km/h的人数总计男性驾驶员人数201030女性驾驶员人数51520总计252550ξ0123P3431 0004411 0001891 000271 000优秀良好总计A队401050B队203050总计6040100日均总销售额小于20万元日均总销售额不小于20万元总计新举措实施前40天37340新举措实施后40天231740总计602080X-101P0.40.50.1X012P274717