北师大版高中数学选择性必修第一册第1章直线与圆综合拔高练含答案

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综合拔高练高考练考点1　直线的方程及其应用1.(2020全国Ⅲ文,8)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　A.1　　　　　　B.2C.3　　　　　 D.22.(2019江苏,10)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+4x(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是　　　　. 考点2　直线与圆的综合应用3.(2022北京,3)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a=(　　)A.12　　　　　　B.−12C.1　　　　　　D.-14.(2021北京,9)已知直线y=kx+m(m为常数)与圆x2+y2=4交于点M,N.当k变化时,若|MN|的最小值为2,则m=(　　)A.±1　　　　　　 B.±2C.±3　　　　　　D.±25.(2023新课标Ⅰ,6)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α=(　　)A.1　　　　　　 B.154C.104　　　　　　D.646.(2020全国Ⅰ,11)已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为(　　)A.2x-y-1=0　　　　　　B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0　　　　　　D.2x+y+1=07.(2023全国乙文,11)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是(　　)A.1+322　　　　　　 B.4　　　C.1+32　　　　　　D.78.(多选题)(2021新高考Ⅰ,11)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则(　　)A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当∠PBA最小时,|PB|=32D.当∠PBA最大时,|PB|=329.(2023全国乙理,12)已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线PB与☉O交于B,C两点,D为BC的中点.若|PO|=2,则PA·PD的最大值为(　　)A.12+22　　　　　　B.12+2C.1+2　　　　　　 D.2+210.(2022全国乙,14)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为　　　　　　　　. 11.(2022新高考Ⅱ,15)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是　　　　　　　. 12.(2022新高考Ⅰ,14)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程　　　　　　　. 13.(2023新课标Ⅱ,15)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为85”的m的一个值　　　　. 模拟练　　　　　 　　　　 　　　　 应用实践1.(2024浙江杭州第二中学期中)“m=2”是“直线l1:(m-3)x+my+1=0与直线l2:mx+(m-1)y-2=0互相垂直”的(　　)A.充分不必要条件　　　　　　B.必要不充分条件C.充要条件　　　　　　D.既不充分也不必要条件2.(2024江苏南京外国语学校阶段性测验)“太极图”的形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起,故也被称为“阴阳鱼太极图”.放在平面直角坐标系中的“太极图”如图所示,图中曲线为圆或半圆,已知点P(x,y)是阴影部分(包括边界)的动点,则yx-2的最小值为(　　)A.-23　　　B.−32　　　C.−43　　　D.-13.(2023湖南长沙明德中学月考)已知圆C1:(x-2)2+y2=4,C2:(x-2-5cos θ)2+(y-5sin θ)2=1(θ∈R),过圆C2上一点P作圆C1的两条切线,切点分别是E,F,则PE·PF的最小值是(　　)A.6　　　B.5　　　C.4　　　D.34.(2022四川南充阆中中学月考)已知圆C:(x-3)2+(y−6)2=1和两点A(-t,0),B(t,0)(t>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则t的最小值为(　　)A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.45.(2024安徽A10联盟期中)已知等腰直角三角形ABC的斜边BC的长为2,D是平面ABC内一点,且满足DB∶DC=3∶1,则△ABD面积的最大值是(　　)A.3+62　　　　　　B.3-62C.32+232　　　　　D.32-2326.(多选题)(2024广东佛山九江中学期中)已知经过点P(2,4)的圆C的圆心坐标为(0,t)(t为整数),且圆C与直线l:3x-y=0相切,直线m:ax+y+2a=0与圆C相交于A,B两点,则下列说法正确的是(　　)A.圆C的标准方程为x2+(y-4)2=42B.若PA⊥PB,则实数a的值为-2C.若|AB|=22,则直线m的方程为x-y+2=0或7x-y+14=0D.弦AB的中点M的轨迹方程为(x+1)2+(y-2)2=57.(2023河北廊坊开学考试)“康威圆定理”是英国数学家约翰·威廉引以为豪的研究成果之一,定理的内容如下:如图,△ABC的三条边长分别为|BC|=a,|AC|=b,|AB|=c.延长线段CA至点A1,使得|AA1|=a,延长线段AC至点C2,使得|CC2|=c,以此类推得到点A2,B1,C1,B2,那么新得到的这六个点共圆,这个圆称为康威圆.已知a=12,b=5,c=13,则由△ABC生成的康威圆的半径为　　　　　. 8.(2024广东广州三校期中联考)设点P(x,y)是圆C:(x-3)2+y2=4上的动点,定点A(0,2),B(0,-2),则|PA+PB|的取值范围为　　　　. 9.(2024广东广州第三中学等校期中联考)已知A(1,1),B(2,0)是圆C上的两点,写出满足“直线x-y-2=0被圆C截得的弦长为2”的一个圆C的标准方程:　　　　　　　　. 10.(2023辽宁大连第二十四中学期中)从①圆心C在直线l:2x-7y+8=0上,B(1,5)是圆C上的点;②圆C过直线s:2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y-16=0的交点这两个条件中任选一个,补充在下面横线中,并进行解答.已知在平面直角坐标系xOy中,圆C过点A(6,0),且　　　　　　　. (1)求圆C的标准方程;(2)求过点A的圆C的切线方程.11.(2024浙江七彩阳光新高考研究联盟期中联考)已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与圆C:(x-4)2+(y-2)2=4有两个不同的交点D,E.(1)求r的取值范围;(2)过直线DE上的一点P(在线段DE外的部分上),分别作圆O,圆C的一条切线,切点分别为A,B,问是否存在常数λ,使得|PA|=λ|PB|恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.答案与分层梯度式解析综合拔高练高考练1.B　解法一:易得点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离d=|k·0-(-1)+k|k2+1=|k+1|k2+1,因为k2+1≥2k,所以2(k2+1)≥k2+2k+1=|k+1|2,当且仅当k=1时取等号,即|k+1|≤2·k2+1,所以d=|k+1|k2+1≤2,故点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为2.故选B.解法二:由题意知,直线l:y=k(x+1)是过点P(-1,0)且斜率存在的直线,设Q(0,-1).易知当直线l与直线PQ垂直时,点Q到直线l的距离最大,此时k=1,距离的最大值为|PQ|=2,故选B.2.答案　4解析　设Px0,x0+4x0,x0>0,则点P到直线x+y=0的距离d=x0+x0+4x02=2x0+2x0≥4,当且仅当x0=2x0,即x0=2时取“=”.故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.3.A　易知圆(x-a)2+y2=1的圆心坐标为(a,0),∵直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,∴直线2x+y-1=0过圆心(a,0),∴2a+0-1=0,解得a=12,故选A.4.C　圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,则圆心到直线y=kx+m的距离d=|m|k2+1,则弦长|MN|=24-m2k2+1,则当k=0时,弦长取得最小值,最小值为24-m2=2,解得m=±3.故选C.5.B　设P(0,-2),圆x2+y2-4x-1=0即(x-2)2+y2=5,则圆心为M(2,0),半径为5.设过点P(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条切线分别是PA,PB,A,B为切点,连接PM,AM,如图,则∠APB=2∠APM,易知|AM|=5,|PM|=22,则sin∠APM=|AM||PM|=104,|AP|=|PM|2-|AM|2=3,所以cos∠APM=|AP||PM|=64,所以sin α=sin∠APB=2sin∠APMcos∠APM=154,故选B.6.D　☉M的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4,半径r=2,圆心为M(1,1).如图所示,由题可知,AB⊥PM,|PM|·|AB|=2S四边形APBM=2(S△PAM+S△PBM)=2(|PA|+|PB|),∵|PA|=|PB|,∴|PM|·|AB|=4|PA|=4|PM|2-|AM|2=4|PM|2-4,当|PM|最小时,|PM|·|AB|最小,易知|PM|min=54+1=5,此时|PA|=1,AB∥l,设直线AB的方程为y=-2x+b(b≠-2),圆心M到直线AB的距离d=|3-b|5,|AB|=4|PA||PM|=45,∴d2+AB22=|MA|2,即(3-b)25+45=4,解得b=-1或b=7(舍去).综上所述,直线AB的方程为y=-2x-1,即2x+y+1=0,故选D.7.C　将x2+y2-4x-2y-4=0化为(x-2)2+(y-1)2=9,表示以(2,1)为圆心,3为半径的圆,令x-y=t,即x-y-t=0,由题可知直线x-y-t=0和圆(x-2)2+(y-1)2=9有公共点,所以|2-1-t|2≤3,即|t-1|≤32,解得1-32≤t≤1+32.所以x-y的最大值为1+32.故选C.8.ACD　∵A(4,0),B(0,2),∴过点A,B的直线方程为x4+y2=1,即x+2y-4=0,设圆(x-5)2+(y-5)2=16的圆心为C,则C(5,5),圆心C到直线x+2y-4=0的距离d=|5+2×5-4|12+22=115=1155>4,∴点P到直线AB的距离的取值范围为1155−4,1155+4,∵1155-4∈(0,1),1155+4∈(8,9),∴点P到直线AB的距离小于10,但不一定大于2,故A正确,B错误;如图所示,当过点B的直线与圆相切时,∠PBA最小或最大(P点位于P1时∠PBA最小,位于P2时∠PBA最大),此时|BC|=(5-0)2+(5-2)2=25+9=34,∴|P1B|=|P2B|=|BC|2-42=18=32,故C,D均正确.9.A　连接OA,OD,则|OA|=1,在Rt△OAP中,PA=OP2-OA2=1,易知∠APO=45°.当点A,D位于直线PO的异侧时,如图①所示,设∠OPC=α,0≤α<π4,则PA·PD=|PA||PD|cosα+π4=1×2cos αcosα+π4=2cos α22cosα-22sinα=cos2α-sin αcos α=1+cos2α2−12sin 2α=12−22sin2α-π4.∵0≤α<π4,∴−π4≤2α-π4<π4,∴当2α-π4=−π4时,PA·PD有最大值1.当点A,D位于直线PO的同侧时,如图②所示,设∠OPC=α,0≤α<π4,则PA·PD=|PA||PD|cosπ4-α=1×2cos αcosπ4-α=2cos α22cosα+22sinα=cos2α+sin αcos α=1+cos2α2+12sin 2α=12+22sin2α+π4.∵0≤α<π4,∴π4≤2α+π4<3π4,∴当2α+π4=π2时,PA·PD有最大值1+22.综上可得,PA·PD的最大值为1+22.故选A.10.答案　(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或x-432+y-732=659或x-852+(y−1)2=16925(写出一个即可)解析　解法一:依题意设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.若圆过(0,0),(4,0),(-1,1),则F=0,16+4D+F=0,1+1-D+E+F=0,解得F=0,D=-4,E=-6,此时圆的方程为x2+y2-4x-6y=0,即(x-2)2+(y-3)2=13.若圆过(0,0),(4,0),(4,2),则F=0,16+4D+F=0,16+4+4D+2E+F=0,解得F=0,D=-4,E=-2,此时圆的方程为x2+y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y-1)2=5.若圆过(0,0),(4,2),(-1,1),则F=0,16+4+4D+2E+F=0,1+1-D+E+F=0,解得F=0,D=-83,E=-143,此时圆的方程为x2+y2-83x−143y=0,即x-432+y-732=659.若圆过(-1,1),(4,0),(4,2),则1+1-D+E+F=0,16+4D+F=0,16+4+4D+2E+F=0,解得F=-165,D=-165,E=-2,此时圆的方程为x2+y2-165x−2y−165=0,即x-852+(y−1)2=16925.解法二:若圆过(0,0),(4,0),(-1,1),根据圆的几何性质知圆心在弦的中垂线上,设A(0,0),B(4,0),C(-1,1),易得AB的中垂线方程为x=2,AC的中垂线方程为y=x+1.联立x=2,y=x+1,解得圆心坐标为(2,3).此时圆的半径r=4+9=13.所以圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13.同理,其他三种情况下圆的方程分别为(x-2)2+(y-1)2=5,x-432+y-732=659,x-852+(y−1)2=16925.11.答案　13,32解析　由题易知kAB=a-32,所以直线AB关于直线y=a对称的直线方程为y-a=- a-32x,即(3-a)x-2y+2a=0,由题意可得圆心(-3,-2)到该直线的距离小于或等于半径,所以|3(a-3)+4+2a|(-2)2+(3-a)2≤1⇒6a2-11a+3≤0,解得13≤a≤32.12.答案　x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0(写出一个即可)解析　设圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心为O1,如图所示,显然两圆外切,由图可知l1:x=-1与两圆均外切.易知直线OO1的方程为y=43x,设直线OO1与l1的交点为P,∴P-1,-43,易知过点P的两圆的公切线l2的斜率存在,设为k,则切线l2的方程为y=k(x+1)-43,即kx-y+k-43=0.易知点O(0,0)到切线l2的距离为1,∴k-43k2+1=1,∴k=724,∴切线l2的方程为7x-24y-25=0.设两圆相切于点M,垂直于直线OO1的切线l3的方程为y=-34x+n,即3x+4y-4n=0,易知点O(0,0)到切线l3的距离为1,∴|-4n|32+42=1,∴|n|=54,易知n>0,∴切线l3的方程为y=-34x+54,即3x+4y-5=0,∴与两圆都相切的切线方程为x=-1,7x-24y-25=0,3x+4y-5=0.13.答案　2,-2,12,−12(填写四个中任意一个均对)解析　依题意可得圆C的圆心为C(1,0),半径r为2,则圆心C(1,0)到直线x-my+1=0的距离d=21+m2,则|AB|=2r2-d2=4|m|1+m2,所以S△ABC=12·d·|AB|=4|m|1+m2=85,解得m=2或m=-2或m=12或m=-12.(填写四个中任意一个均对)模拟练1.A　若直线l1:(m-3)x+my+1=0与直线l2:mx+(m-1)y-2=0互相垂直,则m(m-3)+m(m-1)=0,解得m=0或m=2,所以“m=2”是“直线l1:(m-3)x+my+1=0与直线l2:mx+(m-1)y-2=0互相垂直”的充分不必要条件.故选A.2.C　记A(2,0),则直线AP的斜率k=y-0x-2,易知题图的阴影部分中的半圆的方程为x2+(y-1)2=1(x>0),且当直线AP与半圆x2+(y-1)2=1(x>0)相切时,k取得最小值,此时设直线AP:y=k(x-2),则圆心(0,1)到直线AP的距离为|-1-2k|k2+1=1,解得k=-43或k=0(舍去),即kmin=-43.故选C.3.A　圆C2的半径为1,圆心C2(2+5cos θ,5sin θ),可知圆心C2在圆(x-2)2+y2=25上运动.又C1(2,0),所以|C1C2|=5,可得|PC1|∈[4,6].由图可知,PE·PF=|PE|2cos 2α=(|PC1|2-4)·(1-2sin2α)=(|PC1|2-4)1-8|PC1|2=|PC1|2+32|PC1|2-12,由y=|PC1|2+32|PC1|2-12在|PC1|2∈[16,36]上单调递增可知,当|PC1|2=16时,PE·PF取得最小值,为6,故选A.4.B　解法一:由题易得圆C的圆心坐标为(3,6),半径r=1.设P(a,b),则AP=(a+t,b),BP=(a-t,b).∵∠APB=90°,∴AP⊥BP,∴AP·BP=(a+t)·(a-t)+b2=0,∴t2=a2+b2=|OP|2(O为坐标原点),∴t的最小值即为|OP|的最小值,即为|OC|-r=3-1=2.故选B.解法二:由∠APB=90°得点P在以原点O为圆心的圆x2+y2=t2上,因此由两圆有交点得|t-1|≤|OC|≤t+1⇒|t-1|≤3≤t+1⇒2≤t≤4,即t的最小值为2,故选B.5.A　设BC的中点为O,以O为原点,BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,1),B(-1,0),C(1,0),设D(x,y),因为DB∶DC=3∶1,所以(x+1)2+y2=3(x-1)2+3y2,整理,得(x-2)2+y2=3,所以点D的轨迹是以(2,0)为圆心,3为半径的圆.当点D到直线AB的距离最大时,△ABD的面积最大.易得直线AB的方程为x-y+1=0,|AB|=2,设圆的半径为r,圆心到直线AB的距离为d,则点D到直线AB的最大距离为d+r=|2-0+1|2+3=32+232,所以△ABD面积的最大值为12×2×32+232=3+62.故选A.6.BC　对于A,设圆C的半径为r,则圆C的标准方程为x2+(y-t)2=r2(t为整数),由点P(2,4)是圆C上的点,且圆C与直线l:3x-y=0相切,得22+(4-t)2=r2,|-t|2=r,解得t=4,r=2或t=203,r=103(舍去),则圆C的标准方程为x2+(y-4)2=4,故A错误;对于B,由A知圆C:x2+(y-4)2=4,圆心为C(0,4),因为点P(2,4)在圆C上,且PA⊥PB,所以线段AB为圆C的直径,又直线m:ax+y+2a=0与圆C相交于A,B两点,所以圆心C(0,4)在直线m上,所以4+2a=0,解得a=-2,故B正确;对于C,由A知圆C的半径r=2,圆心为C(0,4),则圆心C到直线m的距离d=|4+2a|1+a2,因为|AB|22+d2=r2,即2222+d2=22,所以d=2,所以|4+2a|1+a2=2,解得a=-1或a=-7,则直线m的方程为x-y+2=0或7x-y+14=0,故C正确;对于D,由A知,圆C的方程为x2+(y-4)2=4,圆心为C(0,4),直线m的方程可化为y=-a(x+2),则直线m过定点(-2,0),记N(-2,0),由圆的性质可得CM⊥MN,所以点M的轨迹是以线段CN为直径的圆,则此圆圆心为线段CN的中点,其坐标为(-1,2),半径为12|CN|=5,则该圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5,由(x+1)2+(y-2)2=5,x2+(y-4)2=4,得两圆的交点坐标为(-2,4)和65,125,故弦AB的中点M的轨迹方程为(x+1)2+(y-2)2=5-24,所以点O(0,0)在圆C外,如图,圆C:(x-3)2+y2=4的半径r=2,圆心为C(3,0),由图知,|PA+PB|=|2PO|=2|PO|,又|OC|-r≤|PO|≤|OC|+r,即3-2≤|PO|≤3+2,即1≤|PQ|≤5,所以|PA+PB|=2|PO|∈[2,10],所以|PA+PB|的取值范围为[2,10].9.答案　(x-1)2+y2=1(答案不唯一)解析　由已知得直线AB的斜率kAB=1-01-2=-1,则线段AB的垂直平分线的斜率k=1,且过线段AB的中点32,12,故线段AB的垂直平分线的方程为y=x-1,即x-y-1=0,故圆心C在直线x-y-1=0上,且直线x-y-2=0和直线x-y-1=0平行,则两平行直线间的距离d=|-2+1|12+(-1)2=22,故圆C的半径r=222+222=1,取圆心为(1,0)满足条件,故圆C的标准方程为(x-1)2+y2=1.(答案不唯一)10.解析　若选①:(1)由A(6,0),B(1,5),得线段AB的中点为72,52,∵直线AB的斜率kAB=5-01-6=-1,∴线段AB的中垂线的斜率k=-1kAB=1,则该中垂线的方程为y-52=x−72,即x-y-1=0,联立x-y-1=0,2x-7y+8=0,解得x=3,y=2,则圆心C(3,2),半径r=(3-6)2+(2-0)2=13,故圆C的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=13.(2)直线AC的斜率kAC=2-03-6=−23,则过点A的圆C的切线的斜率k'=32,故所求切线方程为y=32(x-6),即3x-2y-18=0.若选②:(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),由题意可知,直线s:2x+y+4=0是圆C与圆x2+y2+2x-4y-16=0的公共弦所在直线的方程,两圆的方程作差可得(D-2)x+(E+4)y+F+16=0,则D-2=2λ,E+4=λ,F+16=4λ,λ∈R,即D=2λ+2,E=λ-4,F=4λ-16,则圆C:x2+y2+(2λ+2)x+(λ-4)y+4λ-16=0,将(6,0)代入,可得36+6(2λ+2)+4λ-16=0,解得λ=-2,故圆C的方程为x2+y2-2x-6y-24=0,即(x-1)2+(y-3)2=34.(2)由(1)可得圆心C(1,3),则直线AC的斜率kAC=3-01-6=−35,则过点A的圆C的切线的斜率k'=53,故所求切线方程为y=53(x-6),即5x-3y-30=0.11.解析　(1)根据题意,得|r-2|<|OC|25,解得25−20),圆C:(x-4)2+(y-2)2=4,两圆的方程相减,得4(2x-4)+2(2y-2)=r2-4,整理可得直线DE的方程为y=-2x+4+r24,设点P(m,n),如图,因为PA与圆O:x2+y2=r2(r>0)相切,所以在Rt△PAO中,|PA|2=|PO|2-r2=m2+n2-r2,又点P(m,n)在直线DE上,所以n=-2m+4+r24,所以|PA|2=m2+-2m+4+r242−r2=5m2−mr2+16−16m+r2+r416,同理可得|PB|2=|PC|2-4=(m-4)2+(n-2)2-4=(m-4)2+-2m+4+r24-22−4=5m2−mr2+16−16m+r2+r416,所以|PA|2=|PB|2,即|PA|=|PB|,故存在常数λ=1,使得|PA|=λ|PB|恒成立.