新教材2023年高中数学章末知识梳理1第1章直线与圆课件北师大版选择性必修第一册

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第一章　直线与圆章末知识梳理知识体系构建直线与圆直线与圆直线与圆要点专项突破1．直线的倾斜角与斜率问题直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念，它们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度．倾斜角α与斜率k的对应关系和单调性是解题的易错点，应引起高度重视．(1)对应关系：①当α≠90°时，k＝tan α；②当α＝90°时，斜率不存在．典例12．直线方程的六种形式及应用直线方程的六种形式在使用时要根据题目的条件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论．求直线方程的方法一般是待定系数法，在使用待定系数法求直线方程时，要注意直线方程形式的选择及适用范围．典例23．两条直线的位置关系及应用 已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形．典例3①AB∥CD，AB⊥AD，由图可知，A(2，－1)，∴m＝2，n＝－1.2．点关于直线的对称(1)如图所示，已知点P(x，y)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，若直线l的斜率存在，求点P关于直线l的对称点P′(x′，y′)可以分两步来进行．(2)常见的点与其关于直线对称的点的坐标之间的关系总结如下：①点A(a，b)关于x轴的对称点为A′(a，－b)；②点B(a，b)关于y轴的对称点为B′(－a，b)；③点C(a，b)关于直线y＝x的对称点为C′(b，a)；④点D(a，b)关于直线y＝－x的对称点为D′(－b，－a)；⑤点P(a，b)关于直线x＝m的对称点为P′(2m－a，b)；⑥点Q(a，b)关于直线y＝n的对称点为Q′(a,2n－b)．3．直线关于直线的对称(1)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)，求直线l1关于直线l2的对称直线的方程．如果l1∥l2，则设所求直线方程为A1x＋B1y＋m＝0(m≠C1)，然后在l1上找一点P，求出点P关于直线l2的对称点P′(x′，y′)，再代入A1x＋B1y＋m＝0即可解出m.如果l1不平行于l2，则先找出l1与l2的交点P，然后在l1上确定一点(不同于交点)，找出这一点关于l2的对称点P′，由直线的两点式方程确定所求直线方程．(2)常见的直线的对称有以下几种情况：对于直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，关于x轴的对称直线为Ax＋B(－y)＋C＝0；关于y轴的对称直线为A(－x)＋By＋C＝0；关于直线y＝x的对称直线为Bx＋Ay＋C＝0；关于直线y＝－x的对称直线为A(－y)＋B(－x)＋C＝0. 自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在的直线方程．[解析]　将圆C的方程化为标准方程，可得圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝1，它关于x轴对称的圆C′方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，其圆心为C′(2，－2)，如图所示，则l与圆C′相切．典例4直线与圆、圆与圆的位置关系是本章的重点内容，在处理直线与圆、圆与圆的位置关系时，常用的方法有几何法与代数法．处理此类问题时，要注意圆的几何性质的应用，以达到简化解题过程的目的．典例5ABC　1．利用圆的几何性质求最值的问题求圆上点到直线的最大、最小值，需过圆心向直线作垂线．设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离．(1)如图①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD＝r＋d；(2)如图②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD＝2r；(3)如图③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD＝d－r，最大距离为AD＝d＋r.2．利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围)问题解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围)．对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径．3．经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦． 已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 (　　)A．1　　 B．2　　C．3　　 D．4典例6B　 已知P是圆C：(x－5)2＋(y－5)2＝r2(r>0)上的一个动点，它关于点A(9,0)的对称点为Q，O为原点，线段OP绕原点O逆时针方向旋转90°后，所得线段为OR，求|QR|的最小值与最大值．典例7用坐标法解决问题的一般步骤：1．建立适当的平面直角坐标系；2．设出已知点的坐标，表示出未知点的坐标；3．利用已学的坐标公式列出方程或方程组，通过计算得出代数结论；4．反演回去，得到几何问题的结论． 现有一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它在返回港口的途中是否会受到台风的影响？典例8