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北师大版高中数学选择性必修第一册第1章直线与圆检测含答案
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第一章 直线与圆全卷满分150分 考试用时120分钟一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若经过A(1-a,1+a)和B(3,a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的值可能为( )A.0 B.-2C.-4 D.-62.已知P(-1,3),Q(3,6),若P,Q到直线l的距离都等于52,则满足条件的直线l共有( )A.1条 B.2条C.3条 D.4条3.“a=3”是“直线l1:ax-2y+3=0与直线l2:(a-1)x+3y-5=0垂直”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.在同一平面直角坐标系中,直线y=k(x-1)+2和圆x2+y2-4x-2ay+4a-1=0的位置关系不可能是( )A.①③ B.①④ C.②④ D.②③5.圆x2+y2+2x=0和圆x2+y2-4y=0的公共弦的长度为( )A.5 B.455C.255 D.556.直线l的倾斜角是直线5x+12y-1=0的倾斜角的一半,且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10,则直线l的方程可能是( )A.5x+y-10=0 B.y=-15x+1C.x-2+y10=1 D.5x-y-1=07.圆心为C-12,3的圆与直线l:x+2y-3=0交于P,Q两点,O为坐标原点,且满足OP·OQ=0,则圆C的方程为( )A.x+122+(y−3)2=52 B.x-122+(y+3)2=52C.x+122+(y−3)2=254 D.x-122+(y+3)2=2548.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观,它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中,揭示了规律性,是一种科学的真实美.平面直角坐标系中,曲线C:x2+y2=|x|+|y|就是一条形状优美的曲线,对于此曲线,给出如下结论:①曲线C围成的图形的面积是2+π;②曲线C上的任意两点间的距离不超过2;③若P(m,n)是曲线C上任意一点,则|3m+4n-12|的最小值是17-522.其中正确结论的个数为( )A.0 B.1C.2 D.3二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.已知直线l:(a2+a+1)x-y+1=0,其中a∈R,则( )A.若直线l与直线x-y=0平行,则a=0B.当a=-1时,直线l与直线x+y=0垂直C.直线l过定点(0,1)D.当a=0时,直线l在两坐标轴上的截距相等10.已知点A(-2,-1),B(2,2),直线l:ax+y+3a-3=0上存在点P满足|PA|+|PB|=5,则实数a的值可能为( )A.-2 B.0C.1 D.311.设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),则下列命题正确的是( )A.无论k如何变化,圆心Ck始终在一条直线上B.所有圆Ck均经过点(3,0)C.存在一条直线始终与圆Ck相切D.若k∈22,322,则圆Ck上总存在两点到原点的距离为1三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)12.已知经过点(1,-2)的直线l的一个法向量为(3,2),则l的点法式方程为 . 13.点B在y轴上运动,点C在直线l:x-y-2=0上运动,若A(2,3),则△ABC的周长的最小值为 . 14.已知等腰三角形的底边所在直线过点P(2,1),两腰所在的直线分别为x+y-2=0与7x-y+4=0,则底边所在直线的方程为 . 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)已知直线l1:2x+y-2=0,l2:mx+4y+n=0(m,n为常数).(1)若l1 ⊥l2,求m的值;(2)若l1 ∥l2,且它们之间的距离为5,求m,n的值.16.(15分)从①经过直线l1:x-2y=0与l2:2x+y-1=0的交点;②圆心在直线2x-y=0上;③截y轴所得的弦长|MN|=22这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的圆存在,求圆的方程;若问题中的圆不存在,请说明理由.问题:是否存在圆Q, ,且点A(-2,-1),B(1,-1)均在圆Q上? 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.17.(15分)已知动点P与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比值为12.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)过点B(-2,1)的直线l与曲线C交于M,N两点,求线段MN长度的最小值;(3)已知圆Q的圆心为Q(t,t)(t>0),且圆Q与x轴相切,若圆Q与曲线C有公共点,求实数t的取值范围.18.(17分)在平面直角坐标系xOy中,已知点P(2,4),圆O:x2+y2=4与x轴的正半轴交于点Q,过点P的直线l与圆O交于不同的两点A,B.(1)设直线QA,QB的斜率分别是k1,k2,求k1+k2的值;(2)设AB的中点为M,点N43,0,若|MN|=133|OM|,求△QAB的面积.19.(17分)已知圆C:(x+3)2+(y-3)2=4,一动直线l过点P(-4,0)且与圆C相交于A,B两点,Q是AB的中点,直线l与直线m:x+3y+6=0相交于点E.(1)当|AB|=23时,求直线l的方程;(2)判断PQ·PE的值是否与直线l的倾斜角有关,若无关,请求出其值;若有关,请说明理由. 答案与解析第一章 直线与圆1.A 由题意知,kAB=a-(1+a)3-(1-a)=-12+a<0,解得a>-2.故选A.2.C 当P,Q位于直线l的同侧时,只有当PQ∥l,且两平行线之间的距离为52时满足条件,这样的直线l有2条;当P,Q位于直线l的两侧时,因为|PQ|=(-1-3)2+(3-6)2=5,所以只有当直线l恰为直线PQ的中垂线时满足条件,这样的直线l有1条.综上所述,满足条件的直线l共有3条.故选C.3.A 由l1⊥l2,得a(a-1)-6=0,即a2-a-6=0,解得a=3或a=-2,所以“a=3”是“直线l1:ax-2y+3=0与直线l2:(a-1)x+3y-5=0垂直”的充分不必要条件.故选A.4.D 由题意得直线过定点(1,2),圆的标准方程为(x-2)2+(y-a)2=(a-2)2+1,所以圆心为(2,a),半径r≥1.将(1,2)代入圆的方程,可知点(1,2)在圆上,所以直线与圆至少有1个交点,所以题图③不符合;对于题图②,直线与圆相切,则切点为(1,2),但圆心为(2,a),圆心的横坐标大于切点的横坐标,所以题图②不符合.故选D.5.B 由两圆的方程得,两圆的公共弦所在的直线方程为x+2y=0.将x2+y2+2x=0化为(x+1)2+y2=1,则圆心为(-1,0),半径r=1,所以圆心(-1,0)到直线x+2y=0的距离d=|-1|5=55,所以公共弦的长度为2r2-d2=455.故选B.6.C 由题意,不妨设直线l与直线5x+12y-1=0的斜率分别为k1,k2,倾斜角分别为θ,2θ,0<θ<π2,则tan 2θ=k2=-512,tan θ=k1,又tan 2θ=2tanθ1-tan2θ,所以2k11-k12=−512,整理,得5k12−24k1−5=0,解得k1=5或k1=−15(舍去),设直线l的方程为y=5x+b,则直线l与坐标轴分别交于点(0,b),-b5,0,所以直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为12×-b5×|b|=b210=10,解得b=±10,所以直线l的方程为y=5x±10,当y=5x+10时,它可以变形为x-2+y10=1.故选C.7.C 因为圆心为C-12,3,所以设圆C的方程为x+122+(y−3)2=r2(r>0),将直线l的方程代入圆C的方程,得到5y2−20y+854-r2=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则有y1+y2=4,y1y2=174−r25,因为OP·OQ=0,所以x1x2+y1y2=0,所以(3-2y1)·(3-2y2)+y1y2=0,整理得9-6(y1+y2)+5y1y2=0,即9-6×4+5×174-r25=0,解得r2=254,所以圆C的方程为x+122+(y−3)2=254,故选C.8.C 当x≥0且y≥0时,曲线C的方程可化为x-122+y-122=12;当x≤0且y≥0时,曲线C的方程可化为x+122+y-122=12;当x≥0且y≤0时,曲线C的方程可化为x-122+y+122=12;当x≤0且y≤0时,曲线C的方程可化为x+122+y+122=12.如图所示:由图可知,曲线C所围成的图形的面积是四个半径均为22的半圆的面积与边长为2的正方形的面积之和,所以曲线C所围成的图形的面积为4×12π×12+(2)2=2+π,故①正确;由图可知,曲线C上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和,即22×2+2=22>2,故②错误;因为点P(m,n)到直线3x+4y-12=0的距离d=|3m+4n-12|32+42=|3m+4n-12|5,所以|3m+4n-12|=5d,易知当d最小时点P(m,n)位于第一象限,易知曲线C在第一象限内是圆心为12,12,半径为22的半圆,则圆心12,12到直线3x+4y−12=0的距离d'=3×12+4×12-1232+42=1710,从而dmin=d'-22=17-5210,即|3m+4n−12|min=5dmin=17-522,故③正确.故选C.9.BC 直线l的斜率为a2+a+1.对于A,若直线l与直线x-y=0平行,则a2+a+1=1,解得a=-1或a=0,故A错误;对于B,当a=-1时,直线l的方程为x-y+1=0,直线l的斜率为1,直线x+y=0的斜率为-1,所以当a=-1时,直线l与直线x+y=0垂直,故B正确;易知C正确;对于D,当a=0时,直线l的方程为x-y+1=0,令x=0,得y=1,令y=0,得x=-1,所以当a=0时,直线l在两坐标轴上的截距不相等,故D错误.故选BC.10.CD 方程ax+y+3a-3=0可变形为y-3=-a(x+3),故直线l过定点C(-3,3),且斜率为-a,由已知得|AB|=(-2-2)2+(-1-2)2=5,要想直线l:ax+y+3a-3=0上存在点P满足|PA|+|PB|=5,只需直线l:ax+y+3a-3=0与线段AB有交点,因为kBC=3-2-3-2=−15,kAC=3-(-1)-3-(-2)=-4,所以-a∈-4,-15,则a∈15,4,结合选项可知C,D满足要求,故选CD.11.ACD 对于A,圆心的坐标为(k,k),满足x=y,所以圆心Ck在直线y=x上,故A正确;对于B,(3-k)2+(0-k)2=4,化简得2k2-6k+5=0,Δ=-4<0,无解,故B错误;对于C,易知与直线y=x平行且距离为2的直线始终与圆Ck相切,即定直线y=x±22始终与圆Ck相切,故C正确;对于D,圆Ck上总存在两点到原点的距离为1,可转化为圆x2+y2=1与圆Ck有2个交点,则1<2|k|<3,解得k∈22,322∪-322,-22,故D正确.故选ACD.12.答案 3(x-1)+2(y+2)=013.答案 58解析 设点A关于y轴的对称点为M,点A关于直线l:x-y-2=0的对称点为D,连接MB,CD,则|MB|=|BA|,|AC|=|CD|,则△ABC的周长=|AB|+|BC|+|AC|=|MB|+|BC|+|CD|≥|MD|,当M,B,C,D四点共线时等号成立,△ABC的周长最小.易知M(-2,3).设点D(x,y),则y-3x-2×1=-1,x+22-y+32-2=0,解得x=5,y=0,所以D(5,0).由两点间的距离公式知,|DM|=49+9=58.14.答案 3x+y-7=0或x-3y+1=0解析 在等腰三角形顶角的平分线上任取一点M(x,y),则点M到直线x+y-2=0与到直线7x-y+4=0的距离相等,即|x+y-2|2=|7x-y+4|52,即|7x-y+4|=5|x+y-2|,所以7x-y+4=5(x+y-2)或7x-y+4=-5(x+y-2),即x-3y+7=0或6x+2y-3=0,故该等腰三角形顶角的平分线所在直线的方程为x-3y+7=0或6x+2y-3=0.易得底边与顶角的平分线垂直,当底边与直线x-3y+7=0垂直时,底边所在直线的方程为y-1=-3(x-2),即3x+y-7=0;当底边与直线6x+2y-3=0垂直时,底边所在直线的方程为y-1=13(x-2),即x-3y+1=0.故答案为3x+y-7=0或x-3y+1=0.15.解析 (1)若l1⊥l2,则-2·-m4=-1,(3分)∴m=-2.(5分)(2)若l1∥l2,则m2=41≠n-2,得m=8,n≠-8,(8分)∴l2:8x+4y+n=0(n≠-8).(10分)直线l1的方程可化为8x+4y-8=0,由题意得|n+8|64+16=5,∴n=12或n=-28.(12分)综上可得,m=8,n=12或n=-28.(13分)16.解析 因为点A(-2,-1),B(1,-1)均在圆Q上,所以圆心在线段AB的垂直平分线上.(2分)又直线AB的方程为y=-1,所以线段AB的垂直平分线的方程为x=-2+12=−12,则可设圆心坐标为-12,b,半径为r(r>0),则圆Q的方程为x+122+(y-b)2=r2.(5分)若选①,由x-2y=0,2x+y-1=0,解得x=25,y=15,(8分)即直线l1和l2的交点为25,15,则圆Q过点25,15,(10分)所以25+122+15-b2=r2,又点B在圆Q上,所以1+122+(-1-b)2=r2.所以b=-1,r2=94,(14分)即存在圆Q,且圆Q的方程为x+122+(y+1)2=94.(15分)若选②,由圆心在直线2x-y=0上,可得2×-12-b=0,则b=-1,(8分)所以r2=-12-12+(−1+1)2=94,(12分)即存在圆Q,且圆Q的方程为x+122+(y+1)2=94.(15分)若选③,y轴被圆Q截得的弦长|MN|=22,根据圆的性质可得,r2=122+|MN|22=94,(8分)由r2=-12-12+(b+1)2=94,解得b=-1,(12分)即存在圆Q,且圆Q的方程为x+122+(y+1)2=94.(15分)17.解析 (1)设P(x,y),则|AP|=2|OP|,即|AP|2=4|OP|2,(2分)所以(x-3)2+y2=4(x2+y2),整理得(x+1)2+y2=4.(4分)所以动点P的轨迹C的方程为(x+1)2+y2=4.(5分)(2)由(1)知轨迹C是以C(-1,0)为圆心,2为半径的圆.因为(-2+1)2+12<4,所以点B在圆内,所以当线段MN的长度最小时,BC⊥MN,(6分)又|BC|=(-2+1)2+(1-0)2=2,所以|MN|=2|CM|2-|BC|2=24-2=22,所以线段MN长度的最小值为22.(10分)(3)因为圆Q的圆心为Q(t,t)(t>0),且圆Q与x轴相切,所以圆Q的半径为t,所以圆Q的方程为(x-t)2+(y-t)2=t2.因为圆Q与圆C有公共点,且|QC|=(t+1)2+(t-0)2=2t2+2t+1,所以|2-t|≤|QC|≤2+t,(13分)即(2-t)2≤2t2+2t+1≤(2+t)2,解得-3+23≤t≤3.所以实数t的取值范围是[-3+23,3].(15分)18.解析 (1)易知点Q(2,0),直线l的斜率一定存在并设为k,则直线l的方程为y-4=k(x-2),设A(x1,y1),B(x2,y2),联立x2+y2=4,y-4=k(x-2),消去y并整理,得(1+k2)x2-4k(k-2)x+(2k-4)2-4=0,所以x1+x2=4k(k-2)1+k2,x1x2=(2k-4)2-41+k2,(4分)又k1=y1x1-2=k(x1-2)+4x1-2=k+4x1-2,k2=y2x2-2=k+4x2-2,所以k1+k2=k+4x1-2+k+4x2-2=2k+4(x1+x2-4)x1x2-2(x1+x2)+4=2k+44k(k-2)1+k2-4(2k-4)2-41+k2-2×4k(k-2)1+k2+4=2k−4(8k+4)16=2k-2k-1=-1,故k1+k2的值为-1.(8分)(2)如图所示:设M(x0,y0),由(1)可知x0=x1+x22=2k(k-2)1+k2,y0=k(x0−2)+4=4-2k1+k2,由|MN|=133|OM|,可得x0-432+y02=139(x02+y02),整理,得x02+y02+6x0-4=0,即2k(k-2)1+k22+4-2k1+k22+6×2k(k-2)1+k2−4=0,解得k=3或k=13,(10分)由题知,圆心O(0,0)到直线l:y-4=k(x-2)的距离d=|-2k+4|k2+1<2,解得k>34,所以k=3,即d=|-2k+4|k2+1=105,所以|AB|=24-d2=6105,(13分)又Q(2,0)到直线l:y-4=k(x-2)的距离h=4k2+1=2105,所以S△QAB=12|AB|·h=125,即△QAB的面积为125.(17分)19.解析 (1)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-4.此时圆心C到直线l的距离d=-3-(-4)=1,|AB|=222-12=23,符合题意.(3分)当直线l的斜率存在时,设其方程为y=k(x+4),则|k-3|1+k2=4-2322=1,解得k=43,∴直线l的方程为y=43(x+4),即4x-3y+16=0.综上所述,直线l的方程为x=-4或4x-3y+16=0.(6分)(2)①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-4,由x=-4,x+3y+6=0,解得x=-4,y=-23,∴E-4,-23,由x=-4,(x+3)2+(y-3)2=4,解得x=-4,y=3+3或x=-4,y=3-3,∴Q(-4,3).又P(-4,0),∴PQ=(0,3),PE=0,-23,∴PQ·PE=-2.(8分)②当直线l的斜率存在时,其方程为y=k(x+4),联立y=k(x+4),(x+3)2+(y-3)2=4,消去y并整理,得(k2+1)x2+(8k2-6k+6)x+(4k-3)2+5=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-8k2-6k+6k2+1,x1x2=(4k-3)2+5k2+1,y1+y22=kx1+x22+4=3k2+kk2+1,∴Q-4k2-3k+3k2+1,3k2+kk2+1,(12分)又P(-4,0),∴PQ=3k+1k2+1,3k2+kk2+1,由y=k(x+4),x+3y+6=0得x=-12k-63k+1,y=-2k3k+1,∴E-12k-63k+1,-2k3k+1,(14分)∴PE=-23k+1,-2k3k+1,∴PQ·PE=-2k2-2k2+1=-2.综上所述,PQ·PE的值与直线l的倾斜角无关,其值为-2.(17分)
第一章 直线与圆全卷满分150分 考试用时120分钟一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若经过A(1-a,1+a)和B(3,a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的值可能为( )A.0 B.-2C.-4 D.-62.已知P(-1,3),Q(3,6),若P,Q到直线l的距离都等于52,则满足条件的直线l共有( )A.1条 B.2条C.3条 D.4条3.“a=3”是“直线l1:ax-2y+3=0与直线l2:(a-1)x+3y-5=0垂直”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.在同一平面直角坐标系中,直线y=k(x-1)+2和圆x2+y2-4x-2ay+4a-1=0的位置关系不可能是( )A.①③ B.①④ C.②④ D.②③5.圆x2+y2+2x=0和圆x2+y2-4y=0的公共弦的长度为( )A.5 B.455C.255 D.556.直线l的倾斜角是直线5x+12y-1=0的倾斜角的一半,且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10,则直线l的方程可能是( )A.5x+y-10=0 B.y=-15x+1C.x-2+y10=1 D.5x-y-1=07.圆心为C-12,3的圆与直线l:x+2y-3=0交于P,Q两点,O为坐标原点,且满足OP·OQ=0,则圆C的方程为( )A.x+122+(y−3)2=52 B.x-122+(y+3)2=52C.x+122+(y−3)2=254 D.x-122+(y+3)2=2548.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观,它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中,揭示了规律性,是一种科学的真实美.平面直角坐标系中,曲线C:x2+y2=|x|+|y|就是一条形状优美的曲线,对于此曲线,给出如下结论:①曲线C围成的图形的面积是2+π;②曲线C上的任意两点间的距离不超过2;③若P(m,n)是曲线C上任意一点,则|3m+4n-12|的最小值是17-522.其中正确结论的个数为( )A.0 B.1C.2 D.3二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.已知直线l:(a2+a+1)x-y+1=0,其中a∈R,则( )A.若直线l与直线x-y=0平行,则a=0B.当a=-1时,直线l与直线x+y=0垂直C.直线l过定点(0,1)D.当a=0时,直线l在两坐标轴上的截距相等10.已知点A(-2,-1),B(2,2),直线l:ax+y+3a-3=0上存在点P满足|PA|+|PB|=5,则实数a的值可能为( )A.-2 B.0C.1 D.311.设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),则下列命题正确的是( )A.无论k如何变化,圆心Ck始终在一条直线上B.所有圆Ck均经过点(3,0)C.存在一条直线始终与圆Ck相切D.若k∈22,322,则圆Ck上总存在两点到原点的距离为1三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)12.已知经过点(1,-2)的直线l的一个法向量为(3,2),则l的点法式方程为 . 13.点B在y轴上运动,点C在直线l:x-y-2=0上运动,若A(2,3),则△ABC的周长的最小值为 . 14.已知等腰三角形的底边所在直线过点P(2,1),两腰所在的直线分别为x+y-2=0与7x-y+4=0,则底边所在直线的方程为 . 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)已知直线l1:2x+y-2=0,l2:mx+4y+n=0(m,n为常数).(1)若l1 ⊥l2,求m的值;(2)若l1 ∥l2,且它们之间的距离为5,求m,n的值.16.(15分)从①经过直线l1:x-2y=0与l2:2x+y-1=0的交点;②圆心在直线2x-y=0上;③截y轴所得的弦长|MN|=22这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的圆存在,求圆的方程;若问题中的圆不存在,请说明理由.问题:是否存在圆Q, ,且点A(-2,-1),B(1,-1)均在圆Q上? 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.17.(15分)已知动点P与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比值为12.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)过点B(-2,1)的直线l与曲线C交于M,N两点,求线段MN长度的最小值;(3)已知圆Q的圆心为Q(t,t)(t>0),且圆Q与x轴相切,若圆Q与曲线C有公共点,求实数t的取值范围.18.(17分)在平面直角坐标系xOy中,已知点P(2,4),圆O:x2+y2=4与x轴的正半轴交于点Q,过点P的直线l与圆O交于不同的两点A,B.(1)设直线QA,QB的斜率分别是k1,k2,求k1+k2的值;(2)设AB的中点为M,点N43,0,若|MN|=133|OM|,求△QAB的面积.19.(17分)已知圆C:(x+3)2+(y-3)2=4,一动直线l过点P(-4,0)且与圆C相交于A,B两点,Q是AB的中点,直线l与直线m:x+3y+6=0相交于点E.(1)当|AB|=23时,求直线l的方程;(2)判断PQ·PE的值是否与直线l的倾斜角有关,若无关,请求出其值;若有关,请说明理由. 答案与解析第一章 直线与圆1.A 由题意知,kAB=a-(1+a)3-(1-a)=-12+a<0,解得a>-2.故选A.2.C 当P,Q位于直线l的同侧时,只有当PQ∥l,且两平行线之间的距离为52时满足条件,这样的直线l有2条;当P,Q位于直线l的两侧时,因为|PQ|=(-1-3)2+(3-6)2=5,所以只有当直线l恰为直线PQ的中垂线时满足条件,这样的直线l有1条.综上所述,满足条件的直线l共有3条.故选C.3.A 由l1⊥l2,得a(a-1)-6=0,即a2-a-6=0,解得a=3或a=-2,所以“a=3”是“直线l1:ax-2y+3=0与直线l2:(a-1)x+3y-5=0垂直”的充分不必要条件.故选A.4.D 由题意得直线过定点(1,2),圆的标准方程为(x-2)2+(y-a)2=(a-2)2+1,所以圆心为(2,a),半径r≥1.将(1,2)代入圆的方程,可知点(1,2)在圆上,所以直线与圆至少有1个交点,所以题图③不符合;对于题图②,直线与圆相切,则切点为(1,2),但圆心为(2,a),圆心的横坐标大于切点的横坐标,所以题图②不符合.故选D.5.B 由两圆的方程得,两圆的公共弦所在的直线方程为x+2y=0.将x2+y2+2x=0化为(x+1)2+y2=1,则圆心为(-1,0),半径r=1,所以圆心(-1,0)到直线x+2y=0的距离d=|-1|5=55,所以公共弦的长度为2r2-d2=455.故选B.6.C 由题意,不妨设直线l与直线5x+12y-1=0的斜率分别为k1,k2,倾斜角分别为θ,2θ,0<θ<π2,则tan 2θ=k2=-512,tan θ=k1,又tan 2θ=2tanθ1-tan2θ,所以2k11-k12=−512,整理,得5k12−24k1−5=0,解得k1=5或k1=−15(舍去),设直线l的方程为y=5x+b,则直线l与坐标轴分别交于点(0,b),-b5,0,所以直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为12×-b5×|b|=b210=10,解得b=±10,所以直线l的方程为y=5x±10,当y=5x+10时,它可以变形为x-2+y10=1.故选C.7.C 因为圆心为C-12,3,所以设圆C的方程为x+122+(y−3)2=r2(r>0),将直线l的方程代入圆C的方程,得到5y2−20y+854-r2=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则有y1+y2=4,y1y2=174−r25,因为OP·OQ=0,所以x1x2+y1y2=0,所以(3-2y1)·(3-2y2)+y1y2=0,整理得9-6(y1+y2)+5y1y2=0,即9-6×4+5×174-r25=0,解得r2=254,所以圆C的方程为x+122+(y−3)2=254,故选C.8.C 当x≥0且y≥0时,曲线C的方程可化为x-122+y-122=12;当x≤0且y≥0时,曲线C的方程可化为x+122+y-122=12;当x≥0且y≤0时,曲线C的方程可化为x-122+y+122=12;当x≤0且y≤0时,曲线C的方程可化为x+122+y+122=12.如图所示:由图可知,曲线C所围成的图形的面积是四个半径均为22的半圆的面积与边长为2的正方形的面积之和,所以曲线C所围成的图形的面积为4×12π×12+(2)2=2+π,故①正确;由图可知,曲线C上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和,即22×2+2=22>2,故②错误;因为点P(m,n)到直线3x+4y-12=0的距离d=|3m+4n-12|32+42=|3m+4n-12|5,所以|3m+4n-12|=5d,易知当d最小时点P(m,n)位于第一象限,易知曲线C在第一象限内是圆心为12,12,半径为22的半圆,则圆心12,12到直线3x+4y−12=0的距离d'=3×12+4×12-1232+42=1710,从而dmin=d'-22=17-5210,即|3m+4n−12|min=5dmin=17-522,故③正确.故选C.9.BC 直线l的斜率为a2+a+1.对于A,若直线l与直线x-y=0平行,则a2+a+1=1,解得a=-1或a=0,故A错误;对于B,当a=-1时,直线l的方程为x-y+1=0,直线l的斜率为1,直线x+y=0的斜率为-1,所以当a=-1时,直线l与直线x+y=0垂直,故B正确;易知C正确;对于D,当a=0时,直线l的方程为x-y+1=0,令x=0,得y=1,令y=0,得x=-1,所以当a=0时,直线l在两坐标轴上的截距不相等,故D错误.故选BC.10.CD 方程ax+y+3a-3=0可变形为y-3=-a(x+3),故直线l过定点C(-3,3),且斜率为-a,由已知得|AB|=(-2-2)2+(-1-2)2=5,要想直线l:ax+y+3a-3=0上存在点P满足|PA|+|PB|=5,只需直线l:ax+y+3a-3=0与线段AB有交点,因为kBC=3-2-3-2=−15,kAC=3-(-1)-3-(-2)=-4,所以-a∈-4,-15,则a∈15,4,结合选项可知C,D满足要求,故选CD.11.ACD 对于A,圆心的坐标为(k,k),满足x=y,所以圆心Ck在直线y=x上,故A正确;对于B,(3-k)2+(0-k)2=4,化简得2k2-6k+5=0,Δ=-4<0,无解,故B错误;对于C,易知与直线y=x平行且距离为2的直线始终与圆Ck相切,即定直线y=x±22始终与圆Ck相切,故C正确;对于D,圆Ck上总存在两点到原点的距离为1,可转化为圆x2+y2=1与圆Ck有2个交点,则1<2|k|<3,解得k∈22,322∪-322,-22,故D正确.故选ACD.12.答案 3(x-1)+2(y+2)=013.答案 58解析 设点A关于y轴的对称点为M,点A关于直线l:x-y-2=0的对称点为D,连接MB,CD,则|MB|=|BA|,|AC|=|CD|,则△ABC的周长=|AB|+|BC|+|AC|=|MB|+|BC|+|CD|≥|MD|,当M,B,C,D四点共线时等号成立,△ABC的周长最小.易知M(-2,3).设点D(x,y),则y-3x-2×1=-1,x+22-y+32-2=0,解得x=5,y=0,所以D(5,0).由两点间的距离公式知,|DM|=49+9=58.14.答案 3x+y-7=0或x-3y+1=0解析 在等腰三角形顶角的平分线上任取一点M(x,y),则点M到直线x+y-2=0与到直线7x-y+4=0的距离相等,即|x+y-2|2=|7x-y+4|52,即|7x-y+4|=5|x+y-2|,所以7x-y+4=5(x+y-2)或7x-y+4=-5(x+y-2),即x-3y+7=0或6x+2y-3=0,故该等腰三角形顶角的平分线所在直线的方程为x-3y+7=0或6x+2y-3=0.易得底边与顶角的平分线垂直,当底边与直线x-3y+7=0垂直时,底边所在直线的方程为y-1=-3(x-2),即3x+y-7=0;当底边与直线6x+2y-3=0垂直时,底边所在直线的方程为y-1=13(x-2),即x-3y+1=0.故答案为3x+y-7=0或x-3y+1=0.15.解析 (1)若l1⊥l2,则-2·-m4=-1,(3分)∴m=-2.(5分)(2)若l1∥l2,则m2=41≠n-2,得m=8,n≠-8,(8分)∴l2:8x+4y+n=0(n≠-8).(10分)直线l1的方程可化为8x+4y-8=0,由题意得|n+8|64+16=5,∴n=12或n=-28.(12分)综上可得,m=8,n=12或n=-28.(13分)16.解析 因为点A(-2,-1),B(1,-1)均在圆Q上,所以圆心在线段AB的垂直平分线上.(2分)又直线AB的方程为y=-1,所以线段AB的垂直平分线的方程为x=-2+12=−12,则可设圆心坐标为-12,b,半径为r(r>0),则圆Q的方程为x+122+(y-b)2=r2.(5分)若选①,由x-2y=0,2x+y-1=0,解得x=25,y=15,(8分)即直线l1和l2的交点为25,15,则圆Q过点25,15,(10分)所以25+122+15-b2=r2,又点B在圆Q上,所以1+122+(-1-b)2=r2.所以b=-1,r2=94,(14分)即存在圆Q,且圆Q的方程为x+122+(y+1)2=94.(15分)若选②,由圆心在直线2x-y=0上,可得2×-12-b=0,则b=-1,(8分)所以r2=-12-12+(−1+1)2=94,(12分)即存在圆Q,且圆Q的方程为x+122+(y+1)2=94.(15分)若选③,y轴被圆Q截得的弦长|MN|=22,根据圆的性质可得,r2=122+|MN|22=94,(8分)由r2=-12-12+(b+1)2=94,解得b=-1,(12分)即存在圆Q,且圆Q的方程为x+122+(y+1)2=94.(15分)17.解析 (1)设P(x,y),则|AP|=2|OP|,即|AP|2=4|OP|2,(2分)所以(x-3)2+y2=4(x2+y2),整理得(x+1)2+y2=4.(4分)所以动点P的轨迹C的方程为(x+1)2+y2=4.(5分)(2)由(1)知轨迹C是以C(-1,0)为圆心,2为半径的圆.因为(-2+1)2+12<4,所以点B在圆内,所以当线段MN的长度最小时,BC⊥MN,(6分)又|BC|=(-2+1)2+(1-0)2=2,所以|MN|=2|CM|2-|BC|2=24-2=22,所以线段MN长度的最小值为22.(10分)(3)因为圆Q的圆心为Q(t,t)(t>0),且圆Q与x轴相切,所以圆Q的半径为t,所以圆Q的方程为(x-t)2+(y-t)2=t2.因为圆Q与圆C有公共点,且|QC|=(t+1)2+(t-0)2=2t2+2t+1,所以|2-t|≤|QC|≤2+t,(13分)即(2-t)2≤2t2+2t+1≤(2+t)2,解得-3+23≤t≤3.所以实数t的取值范围是[-3+23,3].(15分)18.解析 (1)易知点Q(2,0),直线l的斜率一定存在并设为k,则直线l的方程为y-4=k(x-2),设A(x1,y1),B(x2,y2),联立x2+y2=4,y-4=k(x-2),消去y并整理,得(1+k2)x2-4k(k-2)x+(2k-4)2-4=0,所以x1+x2=4k(k-2)1+k2,x1x2=(2k-4)2-41+k2,(4分)又k1=y1x1-2=k(x1-2)+4x1-2=k+4x1-2,k2=y2x2-2=k+4x2-2,所以k1+k2=k+4x1-2+k+4x2-2=2k+4(x1+x2-4)x1x2-2(x1+x2)+4=2k+44k(k-2)1+k2-4(2k-4)2-41+k2-2×4k(k-2)1+k2+4=2k−4(8k+4)16=2k-2k-1=-1,故k1+k2的值为-1.(8分)(2)如图所示:设M(x0,y0),由(1)可知x0=x1+x22=2k(k-2)1+k2,y0=k(x0−2)+4=4-2k1+k2,由|MN|=133|OM|,可得x0-432+y02=139(x02+y02),整理,得x02+y02+6x0-4=0,即2k(k-2)1+k22+4-2k1+k22+6×2k(k-2)1+k2−4=0,解得k=3或k=13,(10分)由题知,圆心O(0,0)到直线l:y-4=k(x-2)的距离d=|-2k+4|k2+1<2,解得k>34,所以k=3,即d=|-2k+4|k2+1=105,所以|AB|=24-d2=6105,(13分)又Q(2,0)到直线l:y-4=k(x-2)的距离h=4k2+1=2105,所以S△QAB=12|AB|·h=125,即△QAB的面积为125.(17分)19.解析 (1)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-4.此时圆心C到直线l的距离d=-3-(-4)=1,|AB|=222-12=23,符合题意.(3分)当直线l的斜率存在时,设其方程为y=k(x+4),则|k-3|1+k2=4-2322=1,解得k=43,∴直线l的方程为y=43(x+4),即4x-3y+16=0.综上所述,直线l的方程为x=-4或4x-3y+16=0.(6分)(2)①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-4,由x=-4,x+3y+6=0,解得x=-4,y=-23,∴E-4,-23,由x=-4,(x+3)2+(y-3)2=4,解得x=-4,y=3+3或x=-4,y=3-3,∴Q(-4,3).又P(-4,0),∴PQ=(0,3),PE=0,-23,∴PQ·PE=-2.(8分)②当直线l的斜率存在时,其方程为y=k(x+4),联立y=k(x+4),(x+3)2+(y-3)2=4,消去y并整理,得(k2+1)x2+(8k2-6k+6)x+(4k-3)2+5=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-8k2-6k+6k2+1,x1x2=(4k-3)2+5k2+1,y1+y22=kx1+x22+4=3k2+kk2+1,∴Q-4k2-3k+3k2+1,3k2+kk2+1,(12分)又P(-4,0),∴PQ=3k+1k2+1,3k2+kk2+1,由y=k(x+4),x+3y+6=0得x=-12k-63k+1,y=-2k3k+1,∴E-12k-63k+1,-2k3k+1,(14分)∴PE=-23k+1,-2k3k+1,∴PQ·PE=-2k2-2k2+1=-2.综上所述,PQ·PE的值与直线l的倾斜角无关,其值为-2.(17分)
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