北师大版高中数学选择性必修第一册第2章圆锥曲线复习提升练习含答案

这是一份北师大版高中数学选择性必修第一册第2章圆锥曲线复习提升练习含答案，共19页。

本章复习提升易混易错练易错点1　对圆锥曲线方程理解不到位致错　　　　　 　　　　 　　　　 1.(2022安徽芜湖月考)在平面直角坐标系中,到点(1,1)和直线x+2y=3的距离相等的点的轨迹是(　　)A.直线　　　　　B.抛物线C.圆　　　　　　D.双曲线2.(2022山西大同第一中学月考)若双曲线E:x225−y2144=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=16,则|PF2| 等于　(　　)A.26或6　　　　　　B.26 C.6　　　　　　D.28易错点2　忽略圆锥曲线的焦点位置致错3.若椭圆x29+y2m+4=1的焦距为2,则实数m的值为　　(　　)A.1　　　　　　B.4C.1或7　　　　D.4或64.以坐标原点为对称中心,两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π3,则双曲线的离心率为　　　　　. 易错点3　混淆椭圆与双曲线中a,b,c之间的关系致错5.已知双曲线x24−y2b2=1(b>0)的焦点与椭圆x225+y216=1的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(　　)A.42　　　　 B.5C.3　　　　　　D.5易错点4　求轨迹方程时不能正确剔除不符合题意的点致错6.(2024黑龙江哈尔滨第九中学期中)已知A(-2,0),B(2,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是3,则点M的轨迹C的方程为　　　　　　. 7.(2022河南郑州重点高中联考)△ABC的三边a,b,c(a>b>c)满足a+c=2b,A,C两点的坐标分别是(-1,0),(1,0),求顶点B的轨迹方程.易错点5　忽略直线与圆锥曲线的位置关系中的特殊情况致错8.过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有(　　)A.1条　　　　　　B.2条C.3条　　　　　　D.0条9.过双曲线x2-y22=1的右焦点F作直线l,交双曲线于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线l有　　(　　)A.1条　　　　　　B.2条C.3条　　　　　　D.4条思想方法练　　　　　 　　　　 　　　　 一、分类讨论思想在圆锥曲线中的应用1.(多选题)已知θ∈R,则方程x2+3(cos θ)·y2=1所表示的曲线可能为(　　)A.双曲线　　　　　B.抛物线C.椭圆　　　　　　D.圆2.(2024浙江杭师大附中期中)已知双曲线x24−y25=1的左焦点为F,点P在双曲线上且在x轴上方,若线段PF的中点在以坐标原点O为圆心,|OF|为半径的圆上,则直线PF的斜率为　　　　. 二、数形结合思想在圆锥曲线中的应用3.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过点F的直线交l于点A,与抛物线的一个交点为B,且FA=−2FB,则|AB|=(　　)A.3　　　　　　B.6C.9　　　　　　D.124.(2024上海南汇中学期中)直线3x-2y+6=0与曲线y29−x|x|4=1的公共点的个数是(　　)A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4三、转化与化归思想在圆锥曲线中的应用5.(2024江苏南京第九中学学情调研)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0),C的上顶点为A,两个焦点分别为F1,F2,离心率为12.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是(　　)A.11　　　B.12　　　C.13　　　D.146.(2023江苏南京十三中期中)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l与抛物线交于M,N两点.(1)若l过点F,且|MN|=3p,求l的斜率;(2)若Pp2,p,且l的斜率为-1,当P∉l时,求l在y轴上的截距的取值范围(用p表示),并证明∠MPN的平分线始终与y轴平行或垂直.四、函数与方程思想在圆锥曲线中的应用7.设F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,l在y轴上的截距为1,若|AF1|=3|F1B|,且AF2⊥x轴,则此椭圆的长轴长为(　　)A.33　　　B.3　　　C.6　　　D.68.在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,点M,N在双曲线C上,若四边形OFMN为菱形,则双曲线C的离心率为(　　)A.3-1　　　　　　B.5-1C.3+1　　　　　　D.5+19.已知双曲线x24-y2=1,A(3,0),O为坐标原点,M为双曲线上任意一点,则OM·AM的最小值是(　　)A.-145　　　B.-2　　　C.-3　　　D.145答案与分层梯度式解析本章复习提升易混易错练1.A　因为点(1,1)在直线x+2y=3上,所以所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x+2y=3垂直的直线.易错警示　定点不在定直线上时,平面内到定点和定直线距离相等的点的轨迹是抛物线;定点在定直线上时,平面内到定点和定直线距离相等的点的轨迹是直线.2.B　由题知a=5,b=12,c=13,由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=10,∴|16-|PF2||=10,解得|PF2|=6或|PF2|=26.又∵|PF2|≥c-a=8,∴|PF2|=26,故选B.总结反思　(1)对于形如x2m+y2n=1的方程,当m,n异号时,其为双曲线方程;当m,n均为正且不相等时,其为椭圆方程.(2)不少同学常把y=ax2(a≠0)这种形式的方程看成是抛物线的标准方程,导致解题错误,其标准方程应为x2=1ay.(3)在双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)中,若F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支上一点,则|PF2|≥c-a,|PF1|≥c+a.3.D　由题意可得c=1.当椭圆的焦点在x轴上时,9-(m+4)=1,解得m=4,符合题意;当椭圆的焦点在y轴上时,(m+4)-9=1,解得m=6,符合题意.故选D.4.答案　2或233解析　若双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),则渐近线的方程为y=±bax,由题意可得ba=tanπ3=3,则b=3a,可得c=2a,则e=ca=2;若双曲线的焦点在y轴上,设双曲线的方程为y2a2−x2b2=1(a>0,b>0),则渐近线的方程为y=±abx,由题意可得ab=tanπ3=3,则a=3b,可得c=233a,则e=233.综上可得,e=2或e=233.易错警示　研究含参数的圆锥曲线方程时,要注意判断焦点的位置,如果不能确定焦点的位置,要分情况讨论.5.D　由题意得4+b2=25-16,∴b2=5,∴b=5,因此该双曲线的一条渐近线方程为y=52x,即5x-2y=0.又双曲线的焦点为(3,0)和(-3,0),所以双曲线的焦点到其渐近线的距离d=355+4=5.故选D.总结反思　在椭圆中,a,b,c之间的关系式为a2=b2+c2,而在双曲线中,a,b,c之间的关系式为c2=a2+b2,关系式不能混淆.6.答案　x24−y212=1(x≠±2)解析　设M(x,y),x≠±2,则kAM=yx+2,kBM=yx-2,∵kAM·kBM=3,∴yx+2·yx-2=3,整理得3x2-y2=12(x≠±2),即点M的轨迹C的方程为x24−y212=1(x≠±2).易错警示　涉及斜率时,往往会忽略斜率为0或斜率不存在的特殊情况,导致所求轨迹含有不符合条件的点.7.解析　设点B的坐标为(x,y).∵A(-1,0),C(1,0),a+c=2b,即|BC|+|BA|=2|AC|,∴|BC|+|BA|=4>|AC|.根据椭圆的定义知,顶点B的轨迹方程为x24+y23=1.∵a>c,即(x-1)2+y2>(x+1)2+y2,∴x<0.∵点B不在x轴上,∴x≠-2.故顶点B的轨迹方程为x24+y23=1(-2b>c及隐含条件点B在x轴上时,A,B,C三点不能构成三角形.8.C　易知过点(0,1)且斜率不存在的直线方程为x=0,满足与抛物线y2=4x只有一个公共点.当斜率存在时,设直线方程为y=kx+1,与y2=4x联立,得k2x2+(2k-4)x+1=0,当k=0时,方程有一个解,此时直线与抛物线只有一个公共点;当k≠0时,令Δ=(2k-4)2-4k2=0,解得k=1,此时直线与抛物线只有一个公共点.所以满足题意的直线有3条.故选C.9.C　若l⊥x轴,则AB为通径,而通径长度2b2a正好是4,故存在直线l交双曲线于同支上的A,B两点且|AB|=4,这样的直线只有一条.若l经过双曲线的顶点,则|AB|=2,故存在直线l交双曲线于异支上的A,B两点且|AB|=4,这样的直线有且只有两条.故满足|AB|=4的直线l有3条.故选C.总结反思　(1)直线与抛物线只有一个交点时,可能是相切的位置关系,也可能是直线与抛物线的对称轴平行或重合.(2)不要认为双曲线同一支上两点连接而成的线段才是弦,左支和右支上的点连接而成的线段也是弦.(3)在过双曲线焦点的弦中,如果弦的端点在同一支上,则通径最短,如果在不同支上,则连接两顶点所得的弦最短.思想方法练1.ACD　-1≤cos θ≤1,由于θ∈R,所以对cos θ的符号和取值进行讨论,从而确定曲线表示的图形. 当cos θ=0时,方程化为x=±1,表示两条直线;当00),则Ms-32,t2,故(s-3)24+t24=9,s24-t25=1,所以s=-83,t=353,故直线PF的斜率为353-0-83-(-3)=35.综上所述,直线PF的斜率为115或35.思想方法　在解答圆锥曲线相关问题时,应用圆锥曲线的方程、几何性质以及与直线的位置关系解题常遇到多种可能情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合归纳得出问题的正确答案.分类讨论是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题方法,分类时要做到不重复、不遗漏.3.C　抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0)和准线l:x=-1,作图如下:由FA=−2FB,可得|FA|∶|AB|=2∶3,过B作BC⊥l于C,设l与x轴交于D,则|FD|∶|BC|=2∶3,结合图形可发现三角形ADF与三角形ACB相似,则有对应线段成比例.因为|FD|=2,所以|BC|=3,所以|FB|=3,所以|AB|=3|FB|=9,故选C.4.B　考虑x≥0和x<0两种情况,画出曲线和直线,根据图形得到答案.当x≥0时,曲线y29−x|x|4=1,即y29−x24=1,是焦点在y轴上的双曲线的右半部分,其一条渐近线方程为y=32x,直线3x-2y+6=0与该渐近线平行;当x<0时,曲线y29−x|x|4=1,即y29+x24=1,是焦点在y轴上的椭圆的左半部分.如图所示,由图可知,直线3x-2y+6=0与曲线y29−x|x|4=1有2个公共点.故选B.思想方法　在解决直线与圆锥曲线问题时要注意数形结合,把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述有机结合,避免烦琐的计算和推理,实现快速、准确解题.5.C　因为椭圆的离心率e=ca=12,所以a=2c,所以b=a2-c2=3c,所以椭圆的焦点在x轴上,如图所示,连接DF2,EF2,则|AF1|=|AF2|=|F1F2|=2c,所以△AF1F2为正三角形,又直线DE过F1且垂直于AF2,所以∠DF1F2=30°,所以直线DE的方程为y=33(x+c),设D(x1,y1),E(x2,y2),联立x24c2+y23c2=1,y=33(x+c),消去y并整理,得13x2+8cx-32c2=0,显然Δ>0,则x1+x2=-8c13,x1x2=−32c213,所以|DE|=1+332×-8c132-4×-32c213=48c13=6,解得c=138,所以a=134,直线DE垂直平分AF2,所以求△ADE的周长等价转化为求△F2DE的周长,而△F2DE的周长可结合椭圆定义快速得出.易知直线DE垂直平分AF2,所以△ADE的周长等于△F2DE的周长,所以△ADE的周长为4a=13.故选C.6.解析　(1)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=p2,与抛物线方程联立,消去x可得y2=p2,即y=±p,所以|MN|=2p,但|MN|=3p,故直线l的斜率存在,设其为k,易知k≠0,则直线l的方程为y=kx-p2(k≠0).由y=kx-p2,y2=2px,消去y,得k2x2-(k2p+2p)x+k2p24=0,设M(xM,yM),N(xN,yN),则xM+xN=k2p+2pk2,所以|MN|=|MF|+|NF|=xM+p2+xN+p2=xM+xN+p=k2p+2pk2+p=3p,利用抛物线的定义进行距离的转化,从而得到与k有关的式子并求解.解得k=±2,所以直线l的斜率为±2.(2)设直线l的方程为y=-x+m,M(x1,y1),N(x2,y2).由y=-x+m,y2=2px,消去y,得x2-(2m+2p)x+m2=0,则x1+x2=2m+2p,x1x2=m2.由Δ=(2m+2p)2-4m2>0,得m>-p2.又P∉l,故-p2+m≠p,所以m≠3p2,从而l在y轴上的截距m的取值范围为-p2,3p2∪3p2,+∞.通过∠MPN与直线PM,PN的倾斜角的关系,将问题转化为两直线斜率之间的关系问题.kPM+kPN=y1-px1-p2+y2-px2-p2=(y1-p)x2-p2+(y2-p)x1-p2x1-p2x2-p2=(-x1+m-p)x2-p2+(-x2+m-p)x1-p2x1-p2x2-p2=-2x1x2+m-p2(x1+x2)-p(m-p)x1-p2x2-p2=-2m2+m-p2(2m+2p)-p(m-p)x1-p2x2-p2=0,所以直线PM,PN的斜率互为相反数,倾斜角互补,从而∠MPN的平分线始终与y轴平行或垂直.思想方法　转化与化归思想在解析几何中的运用常常体现在以下方面:利用圆锥曲线的定义及几何性质对相关的量进行转化与化归,将一般点或一般图形转化为特殊点或特殊图形,将图形问题转化为代数形式或者代数运算,将代数形式或者代数运算翻译为几何图形语言等.7.D　由AF2⊥x轴,l在y轴上的截距为1,易知A(c,2),又|AF1|=3|F1B|,∴由三角形相似可得B-53c,-23,将A,B两点的坐标代入椭圆方程,构建关于a,b,c的方程组求值.得c2a2+4b2=1,25c29a2+49b2=1,可得b2=6,又|AF2|=b2a=2,∴2a=6.故选D.8.C　由题意可知|OF|=c,由四边形OFMN为菱形,可得|MN|=|OF|=c,不妨设点M在x轴的上方,易知知M,N关于y轴对称,连接OM(图略),则|OM|=|ON|=|FM|=|OF|,所以△OFM为等边三角形,又点M的横坐标为-c2,所以M-c2,3c2,将其代入双曲线方程可得-c22a2−32c2b2=1,结合a2+b2=c2,化简可得c4+4a4-8a2c2=0,建立关于a,c的方程.两边同除以a4,可得e4+4-8e2=0,进一步转化为关于e的方程.解得e2=4±23,因为e>1,所以e=4+23=(1+3)2=3+1,故选C.9.B　设点M(x0,y0),则x0≤-2或x0≥2,将M的坐标代入x24-y2=1,得y02=x024-1,因为A(3,0),所以AM=(x0−3,y0),OM=(x0,y0),所以OM·AM=x0(x0−3)+y02=x02−3x0+x024−1=5x024-3x0-1,建立f(x)关于x的函数,从而由x的取值范围得出f(x)的范围,即可求得OM·AM的最小值.令f(x)=5x24-3x-1,其中x≤-2或x≥2,二次函数f(x)的图象开口向上,对称轴为直线x=32×54=65.当x≤-2时, f(x)单调递减,此时f(x)≥f(-2)=10;当x≥2时, f(x)单调递增,此时f(x)≥f(2)=-2.综上所述, f(x)在(-∞,-2]∪[2,+∞)上的值域为[-2,+∞).因此,OM·AM的最小值是-2.故选B.总结反思　在解决直线和圆锥曲线的有关问题中,常把直线方程和曲线方程联立、化简,得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系,设而不求,整体代换求解.求最值问题时,常常需建立目标函数,然后借助函数的单调性或基本不等式求最值.