北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.2 组合数及其性质第一课时练习

第五章§3　组合问题

3.1　组合　3.2　组合数及其性质　

第1课时　

A级 必备知识基础练

1.(多选题)给出下列问题,属于组合问题的有(　　)

A.从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查,有多少种不同的选法

B.有4张电影票,要在7人中确定4人去观看,有多少种不同的选法

C.某人射击8枪,击中4枪,且命中的4枪均为2枪连中,则不同的结果有多少种

D.从2,3,5,7,11中任选两个数相乘,可以得到多少个不同的积

2.[2023黑龙江绥化高二校考期末]将4个相同的小球放入6个编号不同的盒子中,每个盒子至多放一个小球,而且小球必须全部放入盒中,那么不同的放法种数是(　　)

A.64 B.46 C.15 D.360

3.计算组合数得到的值为(　　)

A.1 320 B.66 

C.220 D.240

4.4名同学到A,B,C三个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,且同学甲安排在A小区,则共有　　　　　种不同的安排方案. 

5.[2023北京顺义高二校考阶段练习]从5名男生和2名女生中,选出3名代表,要求至少包含1名女生,则不同的选法有　　　　　种. 

6.《易经》是中国传统文化中的精髓,如图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每卦有三根线组成(“”表示一根阳线,“”表示一根阴线),从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率是　　　　　. 

7.从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘,有m个不同的积;任取两个不同的数相除,有n个不同的商,则=　　　　　. 

8.如图,有A,B,C,D四个区域,用五种不同的颜色给它们涂色,要求共边的两区域颜色互异,每个区域只涂一种颜色,共有多少种不同的涂色方法?

9.[2023江苏盐城校考阶段练习]某地区发生了重大交通事故,某医院从9名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员,其中这9名医疗专家中有4名是外科专家.

(1)抽调6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种?

(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种?

(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种?

B级 关键能力提升练

10.用0,1,…,9十个数字组成的三位数中,有重复数字的三位数的个数为(　　)

A.243 B.252 C.261 D.279

11.+…+的值为(　　)

A. B. C. D.

12.[2023浙江高二期中]现从含有甲的5位志愿者中选出4位到江西,湖北和安徽三个省宣传,每个省至少一个志愿者.若甲不去安徽,其余志愿者没有条件限制,共有多少种不同的安排方法(　　)

A.228 B.132 C.180 D.96

13.(多选题)若,则正整数x的值可能是(　　)

A.1 B.4 C.6 D.8

14.(多选题)在100件产品中,有98件合格品,2件不合格品,从这100件产品中任意抽出3件,则(　　)

A.抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有种

B.抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有种

C.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种

D.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种

15.[2023辽宁沈阳校考阶段练习]将5名志愿者分配到世界杯的3个不同体育场进行志愿者服务,每名志愿者分配到1个体育场,每个体育场至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有　　　　　种. 

16.已知集合A={1,2,3,4,5},则至少含一个偶数的集合A的子集个数为　　　　　. 

17.3·15消费者权益日,工商局对35件奶制品进行抽样调查,已知其中有15件不合格.现从35件奶制品中选取3件.

(1)其中不合格品A必须在内,不同的取法有多少种?

(2)其中不合格品B不能在内,不同的取法有多少种?

(3)恰有2件不合格品在内,不同的取法有多少种?

(4)至少有2件不合格品在内,不同的取法有多少种?

C级 学科素养创新练

18.某次足球比赛中,共有32支球队参加,它们先平均分成8个小组进行循环赛,决出16强(每队均与本组其他队赛一场,各组第一、二名晋级16强),这16支球队按确定的程序(每两个队比赛一场)进行淘汰赛,最后决出冠、亚军,此外还要决出第三名、第四名,请问这次足球赛总共进行多少场比赛?

参考答案

§3　组合问题

3.1　组合

3.2　组合数及其性质

第1课时　

1.BCD　对于选项A,从3名同学中选出2名同学后,分配到两个乡镇涉及顺序问题,是排列问题;对于选项B,从7人中选出4人观看不涉及顺序问题,是组合问题;对于选项C,射击命中不涉及顺序问题,是组合问题;对于选项D,乘法满足交换律,两数相乘的积不涉及顺序,是组合问题.故选BCD.

2.C　此题可理解为从6个盒子中选择4个盒子放入小球(小球无差别),因此有=15(种)不同的放法.故选C.

3.C　根据题意,=220.

4.12　分两类:(1)A小区安排2人(同学甲及另一名同学):方案种数=6.

(2)A小区只安排同学甲1人:方案种数=6,

根据分类加法计数原理可得6+6=12(种).

5.25　从5名男生和2名女生中,选出3名代表的方法数为=35,从5名男生和2名女生中,选出3名代表全是男生的方法数为=10,所以从5名男生和2名女生中,选出3名代表,要求至少包含1名女生的方法数为35-10=25.

6　从八卦中任取两卦,共有=28(种)取法,

若两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线,可按取得卦的阳、阴线的根数分类计算;

当有一卦阳、阴线的根数为3或0时,另一卦阳、阴线的根数为0或3,共有1种取法.

当有一卦阳、阴线的根数为2或1时,另一卦阳、阴线的根数为1或2,共有3×3=9(种)取法.

所以两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的取法有1+9=10(种).

则从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为

7

8.解 第1步,涂A区域有种方法;第2步,涂B区域有种方法;第3步,涂C区域和D区域:若C区域涂与A区域相同的颜色,则D区域有4种涂法;若C区域涂除A,B外剩余3种颜色之一,即有种涂法,则D区域有种涂法.故共有(4+)=260(种)不同的涂色方法.

9.解 (1)第一步从4名外科专家中抽取2名,第二步从其他5名专家中抽取2名,由分步乘法计数原理可得方法数为=30.

(2)至少有2名外科专家可分为三类:2名外科专家4名其他专家,或者3名外科专家3名其他专家,或者4名外科专家2名其他专家,所以方法数为=80.

(3)至多有2名外科专家可分两类:2名外科专家4名其他专家,或者1名外科专家5名其他专家,方法数为=34.

10.B　11.C　

12.B　4人去3个省份,且每个省至少一个人则必会有两人去同一省份,①若抽取的4人中不含甲,则共有=36(种)安排方法;

②若4人中含有甲,则在剩余的4人中抽取3人,共有=4(种),接下来若甲和另1人去同一省份,则共有=12(种),若甲单独一人去一个省份,则共有)=12(种),根据加法和乘法原理可得共有4×(12+12)=96(种)安排方法.

综上,共有36+96=132(种)安排方法.

故选B.

13.AC　14.ACD

15.150　将5名志愿者分成三个小组,有2,2,1和1,1,3两种分法,

当为2,2,1时,共有=90(种);

当为1,1,3时,共有=60(种);

故一共有90+60=150(种)分配方案.

16.24

17.解 (1)从余下的34件奶制品中,选取2件有=561(种)取法,所以不合格品A必须在内的不同取法有561种.

(2)从34件可选奶制品中,选取3件,有=5984(种)取法.所以不合格品B不能在内的不同取法有5984种.

(3)从20件合格品中选取1件,从15件不合格品中选取2件有=2100(种)取法.

所以恰有2件不合格品在内的不同取法有2100种.

(4)选取2件不合格品,1件合格品有种取法,选取3件不合格品有种取法,共有选取方法有=2100+455=2555(种).

18.解 可分为如下几类比赛:(1)小组循环赛:每组有=6(场),8个小组共有48场;(2)八分之一淘汰赛:8个小组的第一、二名组成16强,根据赛制规则,每两个队比赛一场,可以决出8强,共有8场;(3)四分之一淘汰赛:根据赛制规则,8强中每两个队比赛一次,可以决出4强,共有4场;(4)半决赛:根据赛制规则,4强每两个队比赛一场,可以决出2强,共有2场;(5)决赛:2强比赛1场确定冠、亚军,4强中的另两支队比赛1场决出第三、四名,共有2场.

综上,由分类加法计数原理知,共有48+8+4+2+2=64(场)比赛.