北师大版高中数学选择性必修第一册专题强化练8空间向量与立体几何的综合应用含答案

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专题强化练8　空间向量与立体几何的综合应用　　　　　 　　　　 　　　　 1.(2024上海格致中学期中)《九章算术·商功》:“斜解立方,得两堑堵.斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑,阳马居二,鳖臑居一,不易之率也.合两鳖臑三而一,验之以棊,其形露矣.”刘徽注:“此术臑者,背节也,或曰半阳马,其形有似鳖肘,故以名云.中破阳马,得两鳖臑,鳖臑之起数,数同而实据半,故云六而一即得.”如图,在鳖臑ABCD中,侧棱AB⊥底面BCD.(1)若BC⊥CD,AB=1,BC=2,CD=1,求异面直线AC与BD夹角的余弦值;(2)若BD⊥CD,AB=BD=CD=2,点P在棱AC上运动,求△PBD面积的最小值.2.(2023天津第一百中学期中)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,其中AD∥BC,AB⊥AD,AB=AD=12BC=2,PA=4,E为棱BC上的点,且BE=14BC.(1)求证:DE⊥平面PAC;(2)求二面角A-PC-D的正弦值;(3)设Q为棱CP上的点(不与C,P重合),且直线QE与平面PAC夹角的正弦值为55,求CQCP的值.答案与分层梯度式解析专题强化练8　空间向量与立体几何的综合应用1.解析　(1)如图1,以B为坐标原点建立空间直角坐标系,则A(0,0,1),B(0,0,0),C(0,2,0),D(-1,2,0),∴AC=(0,2,−1),BD=(-1,2,0),∴cos=AC·BD|AC||BD|=0×(-1)+2×2+(-1)×00+22+(-1)2×(-1)2+22+0=45,∴异面直线AC与BD夹角的余弦值为45.(2)如图2,以B为坐标原点建立空间直角坐标系,过点P作PH⊥BD,垂足为H,设H(0,a,0),∵A(0,0,2),B(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),∴AC=(2,2,−2),BD=(0,2,0),设AP=λAC=(2λ,2λ,-2λ)(0≤λ≤1),则P(2λ,2λ,2-2λ),∴PH=(-2λ,a-2λ,2λ-2),又PH⊥BD,∴PH·BD=0,即(-2λ)×0+(a-2λ)×2+(2λ-2)×0=0,解得a=2λ,∴PH=(-2λ,0,2λ-2),则|PH|=(-2λ)2+0+(2λ-2)2=22λ2-2λ+1=22λ-122+12,∴S△PBD=12·|BD|·|PH|=12×2×22λ-122+12=22λ-122+12,当λ=12时,S△PBD取得最小值,且最小值为2.2.解析　(1)证明:由题意得,AB,AD,AP两两相互垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,由已知可得A(0,0,0),C(2,4,0),D(0,2,0),P(0,0,4),E(2,1,0),所以DE=(2,−1,0),AC=(2,4,0),AP=(0,0,4).因为DE·AC=2×2−1×4+0=0,DE·AP=0,所以DE⊥AC,DE⊥AP,又AP∩AC=A,AP⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,所以DE⊥平面PAC.(2)由(1)可知DE⊥平面PAC,所以DE=(2,-1,0)为平面PAC的一个法向量.设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),又PD=(0,2,−4),PC=(2,4,-4),则n·PD=0,n·PC=0,即2y-4z=0,2x+4y-4z=0,令z=1,得n=(-2,2,1),则cos=DE·n|DE||n|=2×(-2)+(-1)×2+022+(-1)2×(-2)2+22+1=−255,由题意知,二面角A-PC-D为锐二面角,所以二面角A-PC-D的正弦值为55.(3)设CQCP=λ(0