第09讲 函数性质的综合问题--2025高考一轮单元综合复习与测试卷学案

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考点1 函数的单调性与奇偶性综合问题
[名师点睛]
函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路
(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于y轴对称的两个区间上具有相反的单调性．
(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)[典例]
1．（2022·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，为增函数，且，那么不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·天津市第一中学滨海学校高三阶段练习）已知函数在区间单调递增，且，则（ ）
A．B．
C．D．
[举一反三]
1．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三阶段练习）已知定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数对于任意、，总有，且当时，，若已知，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数在上单调递减，且满足，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知函数为定义在R上的奇函数，满足对，其中，都有，且，则不等式的解集为___________.
考点2 函数的周期性与奇偶性综合问题
[名师点睛]
周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解．
[典例]
1．（2022·全国·高三专题练习）设是上的奇函数且满足，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ）
A．B．C．D．
[举一反三]
1．（2022·全国·高三专题练习）偶函数对于任意实数x，都有成立，并且当时，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为的函数满足：①图象关于原点对称；②；③当时，.若，则（ ）
A．B．1C．D．2
3．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为的函数的图象关于原点对称，且时，．当，时，，则（4） ．
考点3 函数的奇偶性、周期性与对称性问题
[名师点睛]
函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一．特别注意“奇函数若在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；偶函数一定有f(|x|)＝f(x)”在解题中的应用．
[典例]
1．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在的函数满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．不是周期函数
B．是奇函数
C．对任意，恒有为定值
D．对任意，有
2．（2022·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，满足，下列说法：
①的图象关于对称；
②的图象关于对称；
③在内至少有个零点；
④若在上单调递增，则它在上也是单调递增．
其中正确的是（ ）
A．①④B．②③C．②③④D．①③④
3．（2022·全国·高三专题练习）已知是定义域为R的函数，满足，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
①的最小正周期为4
②的图像关于直线对称
③当时，函数的最大值为2
④ 当时，函数的最小值为
A．①②③B．①②C．①②④D．①②③④
[举一反三]
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且当时， ，则方程解的个数为（ ）
A．B．C．D．
2．（多选）（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）已知是定义在R上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（ ）
A．是以2为周期的周期函数
B．点是函数的一个对称中心
C．
D．函数有3个零点
3．（多选）（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数对任意都有，若函数的图象关于对称，且对任意的，且，都有，若，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数B．
C．的图象关于点对称D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足条件，且函数是奇函数，给出以下四个命题：
①函数是周期函数；
②函数的图象关于点，对称；
③函数是偶函数；
④函数在上是单调函数.
在上述四个命题中，正确命题的序号是___________（写出所有正确命题的序号）