第08讲 函数的奇偶性与周期性-2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

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1.函数的奇偶性
2.函数的周期性
(1)周期函数
对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得对定义内的每一个x,都满足 ,那么就称函数f(x)为周期函数,非零常数T称为这个函数的周期.
(2)最小正周期
对于一个周期函数f(x),如果在它的所有周期中存在一个 ,那么这个 就称为f(x)的最小正周期.
常用结论
1.奇(偶)函数定义的等价形式:
(1)f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔f(x)为偶函数;
(2)f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔f(x)为奇函数.
2.设f(x)的周期为T,对f(x)的定义域内任一自变量的值x,有如下结论:
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2|a|;
(2)若f(x+a)=1f(x),则T=2|a|;
(3)若f(x+a)=f(x+b),则T=|a-b|.
3.对称性与周期性之间的常用结论:
(1)若函数f(x)的图像关于直线x=a和x=b对称,则函数f(x)的周期T=2|b-a|;
(2)若函数f(x)的图像关于点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期T=2|b-a|;
(3)若函数f(x)的图像关于直线x=a和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期T=4|b-a|.
4.关于函数图像的对称中心或对称轴的常用结论:
(1)若函数f(x)满足关系f(a+x)=f(a-x),则函数f(x)的图像关于直线x=a对称;
(2)若函数f(x)满足关系f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图像关于直线x=a+b2对称;
(3)若函数f(x)满足关系f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x)的图像关于点a+b2,0对称;
(4)若函数f(x)满足关系f(a+x)+f(b-x)=c,则函数f(x)的图像关于点a+b2,c2对称.
分类训练
探究点一 函数奇偶性及其延伸
微点1 函数奇偶性的判断
例1 (1)已知函数f(x)=9-x2|6-x|-6,则函数f(x) ( )
A.既是奇函数也是偶函数
B.既不是奇函数也不是偶函数
C.是奇函数,但不是偶函数
D.是偶函数,但不是奇函数
(2)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列说法中正确的是( )
A.f(x)+|g(x)|是偶函数
B.f(x)-|g(x)|是奇函数
C.|f(x)|+g(x)是偶函数
D.|f(x)|-g(x)是奇函数
[总结反思] 函数具有奇偶性包括两个必备条件:
(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域.
(2)判断f(x)与f(-x)的关系.在判断奇偶性时,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.
常见特殊结构的奇、偶函数:f(x)=lga(x2+1-x)(a>0且a≠1)为奇函数,f(x)=ax+a-x(a>0且a≠1)为偶函数.
微点2 函数奇偶性的应用
例2 (1) 若函数f(x)=g(x),x<0,2x-3,x>0为奇函数,则f[g(-1)]=( )
A.-52B.52
C.-1D.1
(2) 已知函数f(x)=2-2x,x≥0,2-x,x<0,则flg 15+flg 12+f(lg 2)+f(lg 5)= .
[总结反思] 利用函数的奇偶性可以解决以下问题:
(1)求函数值:将待求函数值利用奇偶性转化为求函数已知解析式的区间上的函数值.
(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知解析式区间上,再利用奇偶性的定义求出.
(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得方程(组),进而得出参数的值.
(4)画函数图像:利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图像.
(5)求特殊值:利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值.
微点3 奇偶性延伸到其他对称性问题(从平移角度说说对称性问题)
例3 (1)(多选题)已知偶函数f(x)满足f(x)+f(2-x)=0,则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)是以2为周期的周期函数
B.函数f(x)是以4为周期的周期函数
C.函数f(x-1)为奇函数
D.函数f(x-3)为偶函数
(2)已知函数f(x+2)是偶函数,f(x)在(-∞,2]上单调递减,f(0)=0,则f(2-3x)>0的解集是( )
A.-∞,23∪(2,+∞)
B.23,2
C.-23,23
D.-∞,-23∪23,+∞
[总结反思] 由奇偶性延伸所得对称性问题的常见结论有:
(1)若函数y=f(x)为奇函数(或偶函数),则函数y=f(x+a)的图像关于点(-a,0)对称(或关于直线x=-a对称);
(2)若函数y=f(x+a)为奇函数(或偶函数),则函数y=f(x)的图像关于点(a,0)对称(或关于直线x=a对称).
▶ 应用演练
1.【微点1】(多选题)已知函数f(x)=x3+ax2(x+a)csx,则函数f(x)( )
A.可能是偶函数
B.可能是奇函数
C.可能既是奇函数也是偶函数
D.可能既不是偶函数也不是奇函数
2.【微点3】已知函数f(x)在区间(-∞,2]上为增函数,且f(x+2)是R上的偶函数,若f(a)≤f(3),则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1]B.[3,+∞)
C.[1,3]D.(-∞,1]∪[3,+∞)
3.【微点3】若定义在R上的函数f(x+1)为偶函数,当x≤1时,f(x)=xex,则f(3)-f(5)的值( )
A.恒小于0B.恒等于0
C.恒大于0D.无法判断
4.【微点2】已知函数f(x)=ln x-11-ax为奇函数,则a= .
5.【微点2】若函数f(x)=2e|x|-x3e|x|在区间[-6,6]上的最大值、最小值分别为M,N,则M+N= .
探究点二 函数的周期性及其应用
例4 (1)已知f(x)是定义在R上的函数,且f(x)=f(x+2)恒成立,当x∈(-2,0]时,f(x)=x2,则当x∈(2,4]时,函数f(x)的解析式为( )
A.f(x)=x2-4B.f(x)=x2+4
C.f(x)=(x+4)2D.f(x)=(x-4)2
(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),当x∈(0,2]时,f(x)=x-sin πx,则∑i=12020f(i)=( )
A.6B.4
C.2D.0
[总结反思] (1)注意周期性的常见表达式的应用.
(2)根据函数的周期性,可以由函数局部的解析式(或函数值)得到整个定义域内的解析式(或相应的函数值).
(3)在解决具体问题时,要注意结论“若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用.
变式题 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x-4),且x∈[0,4)时,f(x)=2x+a,x∈[0,2),-32x+6,x∈[2,4),则f(11)+f(15)= .
探究点三 以函数性质的综合为背景的问题
微点1 奇偶性与单调性的结合
例5 (1)(多选题)下列函数中,既是奇函数又在(-∞,0)上单调的是( )
A.f(x)=e-x-ex3B.f(x)=xsin x
C.f(x)=3x-2sin xD.f(x)=x-x3
(2)[2020·全国新高考Ⅰ卷] 若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( )
A.[-1,1]∪[3,+∞)
B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞)
D.[-1,0]∪[1,3]
[总结反思] (1)有些综合题常常将奇偶性与单调性结合考查,通常是通过奇偶性转移符号或通过对称性判断单调性(如奇函数在对称区间单调性相同,而偶函数却相反),然后再根据单调性解诸如不等式、含参问题等;
(2)对于抽象函数不等式的求解,应变形为f(x1)>f(x2)的形式,再结合单调性,脱去法则“f”变成常规不等式(如x1x2)求解.
微点2 奇偶性与周期性的结合
例6 (1)已知函数f(x)是R上的偶函数,且对任意的x∈(0,+∞),都有f(x+3)=-f(x),当x∈(-3,0)时,f(x)=2x-5,则f(8)=( )
A.11B.5
C.-9D.-1
(2) 已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,且满足f(x)=f(2-x),若f(1)=3,则f(1)+f(2)+…+f(50)= .
[总结反思] 周期性与奇偶性结合的考题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转化,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.
微点3 奇偶性、周期性与单调性的结合
例7 已知周期为2的函数f(x)(x∈R)满足f(x-1)=f(1-x),当x∈[-1,0]时,f(x)=e-x.设a=f(lg123),b=f(lg210),c=f(lg2200),则( )
A.a>b>cB.a>c>b
C.b>a>cD.c>b>a
[总结反思] 解决周期性、奇偶性与单调性相结合的问题,通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.
▶ 应用演练
1.【微点1】下列函数是偶函数且在(0,+∞)上是增函数的是( )
A.f(x)=|ln x|B.f(x)=x12
C.f(x)=x-1xD.f(x)=3|x|
2.【微点1】已知函数f(x)=x(|x|+1),则不等式f(x2)+f(x-2)>0的解集为( )
A.(-2,1)
B.(-1,2)
C.(-∞,-1)∪(2,+∞)
D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
3.【微点2】设f(x)是奇函数且满足f(x+1)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=5x(1-x),则f(-2020.6)=( )
B.0.7C.-1.6D.-1.2
4.【微点2】已知函数f(x)的图像关于原点对称,且满足f(x+1)+f(3-x)=0,当x∈(2,4)时,f(x)=-lg12(x-1)+m,若f(2021)-12=f(-1),则m=( )
A.43B.34
C.-43D.-34
5.【微点3】已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)是偶函数,f(x-1)是奇函数,f(x)在[-1,1]上单调递增,则( )
A.f(0)>f(2020)>f(2019)
B.f(0)>f(2019)>f(2020)
C.f(2020)>f(2019)>f(0)
D.f(2020)>f(0)>f(2019)
同步作业
1.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是( )
A.-13B.13
C.-12D.12
2.已知f(x)为定义在R上的奇函数,且f(1)=2,下列点中一定在函数f(x)图像上的是( )
A.(1,-2)B.(-1,-2)
C.(-1,2)D.(2,1)
3.已知函数f(x)=a-2ex+1(a∈R)是奇函数,则f(ln 2)的值为( )
A.13B.23
C.-23D.-13
4.下列函数是奇函数的是( )
A.f(x)=xsin x
B.f(x)=x+sin x
C.f(x)=sinxx
D.f(x)=xsinx
5.已知函数f(x)=sin(x+a)(x≤0),cs(x+b)(x>0)是偶函数,则a,b的值可能是( )
A.a=π3,b=π3
B.a=2π3,b=π6
C.a=π3,b=π6
D.a=2π3,b=5π6
6.已知函数f(x)=x2-2x,x≥0,-x2-2x,x<0,则不等式f(x)>f(-x)的解集为 .
7.已知定义在R上的奇函数f(x)是周期为5的周期函数,且满足f(1)=3,f(2)=6,则f(2018)-f(2019)+f(2020)= .
8.已知f(x)是R上的奇函数且在R上单调递增,则下列函数是偶函数且在(0,+∞)上单调递增的有( )
①g(x)=|f(x)|;②h(x)=f(x2+x);③G(x)=f(|x|);④F(x)=ef(x)+e-f(x).
A.①②③B.①③④
C.②③④D.①②④
9.已知函数f(x)=ex-e-xex+e-x,实数m,n满足不等式f(2m-n)+f(2-n)>0,则下列不等关系中成立的是( )
A.m+n>1B.m+n<1
C.m-n>-1D.m-n<-1
10.已知函数f(x)=|x+2|,g(x)=|x+t|,定义函数F(x)=f(x),f(x)≤g(x),g(x),f(x)>g(x),若对任意的x∈R,都有F(x)=F(2-x),则t=( )
A.-4B.-2C.0D.2
11.(多选题)设函数f(x)=2x+1,x>0,-2-x-1,x<0,则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)的值域为R
B.函数f(|x|)为偶函数
C.函数f(x)为奇函数
D.函数f(x)是增函数
12.(多选题)已知奇函数f(x)是定义在R上的减函数,且f(2)=-1,若g(x)=f(x-1),则下列说法一定正确的是( )
A.g(1)=0
B.g(2)=-12
C.g(-x)+g(x)>0
D.g(-x+1)+g(x+1)<0
13.已知函数f(x)的定义域为R,f(x-1)是奇函数,f(x+1)是偶函数,当-1≤x≤1时,f(x)=3x+1-13x+1,则下列各项中值最小的是( )
A.f(2018)B.f(2019)
C.f(2020)D.f(2021)
14.若f(x)=2x-1,x>0,g(x),x<0是奇函数,则f[g(-2)]的值为 .
15.已知函数f(x)=-2x+b2x+1+a是定义在R上的奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)若对任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.
16.定义:若函数f(x)的定义域为R,且存在非零常数T,对任意x∈R,f(x+T)=f(x)+T恒成立,则称f(x)为线周期函数,T为f(x)的线周期.
(1)若g(x)为线周期函数,其线周期为T,求证:G(x)=g(x)-x为周期函数;
(2)若φ(x)=sin x+kx为线周期函数,求k的值.
17.已知f(x)是定义在R上的函数,若函数f(x+1)为偶函数,函数f(x+2)为奇函数,则∑i=12019f(i)= .
18.设函数f(x)=12(ex-e-x)+3x3(-20成立的x的取值范围是 .
偶函数
奇函数
定义
设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有
,则称函数y=f(x)为偶函数
,则称函数y=f(x)为奇函数
图像特征
关于 对称
关于 对称