2023-2024学年北京市西城区七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年北京市西城区七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各组图形或图案中，能将其中一个图形或图案通过平移得到另一个图形或图案的是( )
A. B. C. D.
2.在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是( )
A. (1,2)B. (−1,−2)C. (−1,2)D. (1,−2)
3.下列调查中，适合采用全面调查的是( )
A. 对乘坐飞机的旅客进行安检B. 调查某批次汽车的抗撞击能力
C. 调查某市居民垃圾分类的情况D. 调查市场上冷冻食品的质量情况
4.若aA. a−1−2bC. a+b<2bD. a25.下列图形中，由AB//CD，能得到∠1=∠2的是( )
A. B.
C. D.
6.由x2−y3=1可以得到用x表示y的式子是( )
A. y=3x−22B. y=32x−12C. y=3−32xD. y=32x−3
7.下列命题：①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④所有实数都可以用数轴上的点表示.其中真命题的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有两个非负整数解，则a的取值范围是( )
A. 2≤a<3B. 1二、填空题：本题共9小题，共19分。
9.在实数 4， 33，3.14159，227中，是无理数的是______.
10.94的算术平方根是______.
11.已知二元一次方程x+2y=7，请写出该方程的一组整数解______.
12.把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：______.
13.一个样本容量为63的样本，最大值是172，最小值是149，取组距为3，则这个样本可以分成______组.
14.平面直角坐标系中，点M(3,1)，N(a,a+3)，若直线MN与y轴平行，则点N的坐标是______.
15.如图，点A，B，C在同一条直线上，AD⊥AE，且AD//BF，∠CBF=α，则∠CAE=______(用含α的代数式表示).
16.关于x，y的二元一次方程kx−y=1，且当x=2时，y=5.
(1)k的值是______；
(2)当x<2时，对于每一个x的值，关于x的不等式x+n>kx−1总成立，则n的取值范围是______.
17.将非负实数x“四舍五入”到个位的值记为[x]，当n为非负整数时，
①若n−12≤x如，[0]=[0.49]=0，[0.64]=[1.49]=1，[2]=2.
(1)[π]=______；
(2)若[t+1]=32t，则满足条件的实数t的值是______.
三、解答题：本题共9小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
(1)计算：38+|− 3|− 4−2 3；
(2)求等式中x的值：(x−1)2=16.
19.(本小题11分)
(1)解方程组2x−3y=34x−y=−4；
(2)解不等式组3x−2≥xx4−1<8−3x4，并写出它的整数解.
20.(本小题9分)
(1)如图1，点P是∠ABC的边BC上一点.
按照要求回答下列问题：
①过点P分别画出射线BC的垂线PE和射线BA的垂线PF，F是垂足；
②线段PF ______PB(填“<”“>”“=”)的理由是______.
(2)如图2，点E，F分别在AB，BC上，点D，G在AC上，EG，FD的延长线交于点H.若∠CDF=∠A，∠BDF+∠BEG=180∘.
求证：∠BDF=∠H.
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵∠CDF=∠A，
∴AB//HF(______)(填推理的依据).
∴∠BDF=∠ABD(______)(填推理的依据).
∵∠BDF+∠BEG=180∘，
∴∠ABD+∠BEG=180∘，
∴______//EH.
∴∠BDF=∠H(______)(填推理的依据).
21.(本小题9分)
在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A(−1,4)，B(−4,−1)，C(1,0).
(1)画出三角形ABC，并求它的面积；
(2)将三角形ABC平移到三角形A1B1C1，其中点A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1.已知点A1的坐标是(3,2)，
①点B1的坐标是______，点C1的坐标是______；
②写出一种将三角形ABC平移到三角形A1B1C1的方法：______.
22.(本小题9分)
某商店决定购进甲、乙两种文创产品.若购进甲种文创产品7件，乙种文创产品3件，则费用是285元；若购进甲种文创产品2件，乙种文创产品6件，则费用是210元.
(1)求购进的甲、乙两种文创产品每件的费用各是多少元？
(2)若该商店决定购进这两种文创产品共200件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这200件文创产品的总费用不少于5350元，且不超过5368元，求该商店共有几种购进这两种文创产品的方案.
23.(本小题5分)
在今年第29个世界读书日来临之际，某校数学活动小组为了解七年级学生每天阅读时长的情况设计了一份调查问卷，同时随机邀请七年级的一些学生完成问卷调查，获得了这些学生平均每天阅读时长的数据，并对这些数据进行了整理，绘制成频数分布表、频数分布直方图.下面给出了部分信息.
a.平均每天阅读时长频数分布表、频数分布直方图分别如图所示.
b.其中60≤x<90这一组的平均每天阅读时长是：60，60，70，70，73，75，75，75，80，83，84，84，84，85，89.
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中m=______，n=______，参与问卷调查的学生共有______人；
(2)补全频数分布直方图；
(3)为了鼓励学生养成阅读习惯，语文老师建议对七年级平均每天阅读时长在75分钟及以上的学生授予“阅读达人”称号.已知七年级共有990名学生，请估计该年级共有多少名学生获得“阅读达人”称号.
24.(本小题9分)
如图，直线AB//CD，直线EF与直线AB，CD分别交于点E，F，∠AEF的平分线交CD于点P.
(1)求证：∠FEP=∠FPE；
(2)点G是射线PF上一个动点(点G不与点P，F重合)，∠FEG的平分线交直线CD于点H，过点H作HN//PE交直线AB于点N，
①当点G在线段PF上时，依题意补全图形，用等式表示∠EHN和∠EGF之间的数量关系，并证明；
②当点G在线段PF的延长线上时，直接写出用等式表示的∠EHN和∠EGF之间的数量关系.
25.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b)(点M不与原点O重合)，将点Q(x+ka,y+kb)(k>0)称为点P(x,y)关于点M的“k倍平移点”.
(1)已知点P的坐标是(4,3)，
①若点M(2,−2)，则点P关于点M的“2倍平移点”Q的坐标是______；
②点N(−3,−2)，T(1,−2)，点M在线段NT上，过点R(r,0)作直线l⊥x轴，若直线l上存在点P关于点M的“2倍平移点”，求r的取值范围.
(2)点A(−1,−1)，B(1,−1)，E(5,7)，F(8,4)，以AB为边在直线AB的上方作正方形ABCD，点M在正方形ABCD的边上，且a>0，b>0，对于正方形ABCD的边上任意一点P，若线段EF上都不存在点P关于点M的“k倍平移点”，直接写出k的取值范围.
26.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，给定n个不同的点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，…，Pn(xn,yn)，若x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn中共有t个不同的数，则称t为这n个不同的点的特征值.图形F上任意n个不同的点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，…，Pn(xn,yn)中，特征值最小的一组点的特征值称为图形F的n阶特征值.
(1)点A1(−1,1)，A2(3,−1)，A3(2,3)的特征值是______；
(2)已知正方形ABCD的四个顶点分别为A(a,0)，B(a+2,0)，C(a+2,2)，D(a,2)，
①直接写出正方形ABCD的4阶特征值的最小值；
②若正方形ABCD的5阶特征值的最小值是3，直接写出a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由平移变换的定义可知选项B是平移变换．
故选：B.
根据平移变换的定义判断即可．
本题考查利用平移设计图案，解题的关键是掌握平移变换的定义．
2.【答案】C
【解析】解：A、(1,2)在第一象限，故本选项错误；
B、(−1,−2)在第三象限，故本选项错误；
D、(−1,2)在第二象限，故本选项正确；
D、(1,−2)在第四象限，故本选项错误．
故选：C.
根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−).
3.【答案】A
【解析】解：A.对乘坐飞机的旅客进行安检，适合采用全面调查的方式，故该项符合题意；
B.调查某批次汽车的抗撞击能力，适合采用抽样调查的方式，故该项不符合题意；
C.调查某市居民垃圾分类的情况，适合采用抽样调查的方式，故该项不符合题意；
D.调查市场上冷冻食品的质量情况，适合采用抽样调查的方式，故该项不符合题意；
故选：A.
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破，坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4.【答案】D
【解析】解：A、在不等式aB、在不等式a−2b，不符合题意；
C、在不等式aD、−3<1，(−3)2>(1)2，所以a故选：D.
根据已知条件，结合不等式的性质以及特殊值法，即可求解．
本题考查了不等式的性质．关键掌握不等式的基本性质：(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
5.【答案】B
【解析】解：A、∵AB//CD，
∴∠1+∠2=180∘，∠1与∠2不一定相等，不符合题意；
B、∵AB//CD，
∴∠1=∠3，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠2，正确，符合题意；
C、若梯形ABCD是等腰梯形，可得∠1=∠2，不符合题意；
D、∵AB//CD，
∴∠BAD=∠CDA，
若AC//BD，可得∠1=∠2，不符合题意；
故选：B.
根据平行线的性质逐项判断即可．
本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．
6.【答案】D
【解析】解：x2−y3=1，
移项，得−y3=1−x2，
系数化成1，得y=32x−3，
故选：D.
先移项，再方程两边都乘−3即可．
本题考查了解二元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题；
③两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故本小题命题是假命题；
④所有实数都可以用数轴上的点表示，是真命题；
故选：C.
根据平行公理、垂直的定义、平行线的性质、实数与数轴判断即可．
本题主要考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
8.【答案】C
【解析】解：由数轴可得，x≤a，
∵该不等式恰有两个非负整数解，
∴这两个非负整数解是0，1，
∴1≤a<2，
故选：C.
先根据数轴写出不等式的解集，再根据该不等式有两个非负整数解，可以写出这两个整数，从而可以得到a的取值范围．
本题考查一元一次不等式的整数解、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9.【答案】 33
【解析】解： 4=2，
故在实数 4， 33，3.14159，227中，是无理数的是 33.
故答案为： 33.
根据无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
此题考查算术平方根以及无理数，掌握无理数的概念，有理数的概念是解题的关键．
10.【答案】32
【解析】解：94的算术平方根是32，故答案为32.
根据算术平方根的概念计算：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为 a.
本题考查了算术平方根的概念，解题的关键是牢记概念，此题比较简单，易于掌握．
11.【答案】x=1y=3(答案不唯一)
【解析】解：x+2y=7的一组整数解是x=1y=3.
故答案为：x=1y=3(答案不唯一).
此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一组整数解即可．
本题考查了二元一次方程的解，能熟记二元一次方程的解的定义是解此题的关键，满足一个二次一次方程的一对未知数的值叫这个二元一次方程的解．
12.【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【解析】【分析】
命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．
本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
【解答】
解：命题“对顶角相等”的题设为：对顶角，结论为：相等.
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
13.【答案】8
【解析】解：最大值与最小值的差是：172−149=23，
则可以分成的组数是：23÷3≈8(组)，
故答案为：8.
求出最大值和最小值的差，然后除以组距，用进一法取整数值就是组数．
本题考查频数(率)分布表，总体、个体、样本、样本容量，解答本题的关键是求出最大值和最小值的差，然后除以组距，用进一法取整数值就是组数．
14.【答案】(3,6)
【解析】解：∵点M(3,1)，N(a,a+3)，且MN//y轴，
∴a=3，
∴a+3=6，
∴点N的坐标为(3,6).
故答案为：(3,6).
根据平行于y轴的直线上点的坐标特征即可解决问题．
本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平行于y轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．
15.【答案】90∘+α
【解析】解：∵∠CBF=α，
∴∠ABF=180∘−∠CBF=180∘−α，
∵AD//BF，
∴∠BAD=∠ABF=180∘−α，
∵AD⊥AE，
∴∠DAE=90∘，
∴∠CAE=360∘−∠BAD−∠DAE=360∘−(180∘−α)−90∘=90∘+α，
故答案为：90∘+α.
先利用平角定义可得∠ABF=180∘−α，然后利用平行线的性质可得∠BAD=∠ABF=180∘−α，再根据垂直定义可得∠DAE=90∘，最后根据周角是360∘进行计算，即可解答．
本题考查了平行线的性质，列代数式，垂线，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16.【答案】3n≥3
【解析】解：(1)把x=2，y=5代入kx−y=1可得：
2k−5=1，
解得：k=3.
故答案为：3.
(2)把x=2代入方程x+n=3x−1，得2+n=6−1，
解得n=3，
∴当x<2时，对于每一个x的值，关于x的不等式x+n>kx−1总成立，则n的取值范围是n≥3，
故答案为：n≥3.
(1)把x与y的值代入方程即可求出k的值．
(2)求得x=2时，方程x+n=3x−1中n的值，即可根据x+n>kx−1求得n的取值范围．
本题考查了二元一次方程的解，解一元一次不等式，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
17.【答案】343，2，83
【解析】解：(1)[π]=3；
故答案为：3；
(2)设32t=k(k为非负整数)，
∴t=23k，
∴[23k+1]=k，
∴k−12≤23k+1∴32又∵k为非负整数
∴k=2，3，4，
当k=2，t=43，
当k=3，t=2，
当k=4，t=83，
综上所述：t的值为43，2，83.
故答案为：43，2，83.
(1)利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为[x]，进而得出[π]的值；
(2)利用[t+1]=32t，设32t=k(k为非负整数)，得出关于k的不等关系求出即可．
此题主要考查了新定义，以及解一元一次不等式组的应用，根据题意正确理解[x]的意义是解题关键．
18.【答案】解：(1)38+|− 3|− 4−2 3
=2+ 3−2−2 3
=− 3；
(2)开平方，得x−1=±4，
解得x=5或x=−3.
【解析】(1)先计算立方根、算术平方根和绝对值，再计算加减；
(2)通过开平方进行求解．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
19.【答案】解：(1){2x−3y=3①4x−y=−4②，
①-②×3，得−10x=−15，
解得x=−32，
把x=−32代入②，得y=−2.
故原方程组的解为x=−32y=−2；
(2){3x−2⩾x①x4−1<8−3x4②，
解不等式①，得：x≥1，
解不等式②，得：x<3，
则不等式组的解集为：1≤x<3.
【解析】(1)方程组利用加减消元法求解即可；
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查了解二元一次方程组以及解一元一次不等式组，掌握加减消元法和代入消元法是解答(1)的关键；正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答(2)的关键．
20.【答案】<垂线段最短 同位角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 BD 两直线平行，同位角相等
【解析】解：(1)①如图：
∴垂线PE，垂线PF即为所求；
②线段PF故答案为：<；垂线段最短；
(2)∵∠CDF=∠A，
∴AB//HF(同位角相等，两直线平行)，
∴∠BDF=∠ABD(两直线平行，内错角相等)，
∵∠BDF+∠BEG=180∘，
∴∠ABD+∠BEG=180∘，
∴BD//EH.
∴∠BDF=∠H(两直线平行，同位角相等)，
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；BD；两直线平行，同位角相等．
(1)①根据垂线的定义，即可解答；
②根据垂线段最短，即可解答；
(2)根据同位角相等，两直线平行可得AB//HF，从而利用平行线的性质可得∠BDF=∠ABD，然后利用等量代换可得∠ABD+∠BEG=180∘，从而利用同旁内角互补，两直线平行可得BD//EH，最后利用平行线的性质可得∠BDF=∠H，即可解答．
本题考查了平行线的判定与性质，垂线段最短，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
21.【答案】(0,−3)(5,−2)三角形ABC向右平移4个单位长度，向下平移2个单位长度得到三角形A1B1C1
【解析】解：(1)如图，三角形ABC即为所求．
三角形ABC的面积为12×(2+5)×5−12×5×1−12×2×4=352−52−4=11.
(2)由题意知，三角形ABC向右平移4个单位长度，向下平移2个单位长度得到三角形A1B1C1.
①由平移得，点B1的坐标是(0,−3)，点C1的坐标是(5,−2).
故答案为：(0,−3)；(5,−2).
②一种将三角形ABC平移到三角形A1B1C1的方法：三角形ABC向右平移4个单位长度，向下平移2个单位长度得到三角形A1B1C1.故答案为：三角形ABC向右平移4个单位长度，向下平移2个单位长度得到三角形A1B1C1.
(1)根据点A，B，C的坐标描点再连线即可；利用割补法求三角形的面积即可．
(2)①由题意知，三角形ABC向右平移4个单位长度，向下平移2个单位长度得到三角形A1B1C1，结合平移的性质可得答案．
②根据平移的性质可得答案．
本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)设甲种文创产品每件的费用是x元，乙种文创产品每件的费用是y元，
根据题意得：7x+3y=2852x+6y=210，
解得：x=30y=25，
答：甲种文创产品每件的费用是30元，乙种文创产品每件的费用是25元；
(2)设购进甲种文创产品m件，则购进乙种文创产品(200−m)件，
由题意得：30m+25(200−m)≥535030m+25(200−m)≤5368，
解得：70≤m≤73.6，
∵m为正整数，∴m=70，71，72，73，
∴该商店共有4种购进这两种文创产品的方案．
【解析】(1)设甲种文创产品每件的费用是x元，乙种文创产品每件的费用是y元，根据若购进甲种文创产品7件，乙种文创产品3件，则费用是285元；若购进甲种文创产品2件，乙种文创产品6件，则费用是210元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)设购进甲种文创产品m件，则购进乙种文创产品(200−m)件，根据用于购买这200件文创产品的总费用不少于5350元，且不超过5368元，列出一元一次不等式组，解不等式组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．
23.【答案】5 15 50
【解析】解：(1)由题意得，m=5，n=15，
∴参与问卷调查的学生共有5+20+15+7+3=50(人).
故答案为：5；15；50.
(2)补全频数分布直方图如图所示．
(3)990×10+7+350=396(人).
∴估计该年级获得“阅读达人”称号的学生约396人．
(1)由题意可直接得出m，n的值，进而可得参与问卷调查的学生人数．
(2)根据(1)所得n的值补全频数分布直方图即可．
(3)根据用样本估计总体，用990乘以样本中七年级平均每天阅读时长在75分钟及以上的人数所占的百分比，即可得出答案．
本题考查频数(率)分布直方图、频数(率)分布表、用样本估计总体，能够读懂统计图表，掌握用样本估计总体是解答本题的关键．
24.【答案】解：(1)证明：∵AB//CD，
∴∠FPE=∠AEP，
又∵EP平分∠AEF，
∴∠AEP=∠FEP，
∴∠FEP=∠FPE.
(2)①∠EGF=2∠EHN.图形如下：
证明：∵AB//CD，
∴∠EHN=∠CFH.
又∵∠CFH=∠PEG+∠GEH，
∴∠EHN=∠PEG+∠GEH，
∵HN//PE，
∴∠EGF=∠AEG.
∵EP平分∠AEF，
∴∠AEP=∠PEF，
∴∠AEP=∠PEG+2∠GEH，
∴∠EGF=∠PEG+2∠GEH+∠PEG
=2∠GEH+2∠PEG，
即：∠EGF=2∠EHN.
②∠EHN=90∘−12∠EGF. 证明：∵EH平分∠GEF，EP平分∠AEF，
∴∠FEH=∠GEH，∠AEP=∠FEP，
∵AB//CD，HN//PE，
∴∠EHN=∠PFH，∠∠EGF=∠GEN，
∴∠PEG=∠FEP+∠FEH，
∴∠AEG=2(∠FEP+∠FEH)=2∠PEH=2∠EHN，
又∵∠AEG+∠GEN=180∘，
∴2∠EHN+∠EGF=180∘，
即：∠EHN=90∘−12∠EGF.
【解析】(1)由已知，根据角平分线的定义可得：∠AEP=∠FEP，根据“两直线平行，内错角相等”得出∠FPE=∠AEP，从而得出∠FEP=∠FPE；
(2)①由AB//CD，HN//PE，可得∠EHN=∠PEG+∠GEH，∠EGF=∠AEG=2∠GEH+2∠PEG，可得，∠EGF=2∠EHN.
②由AB//CD，HN//PE，∠EGF=∠NEG，∠EHN=∠PEF+∠FEH，EH平分∠GEF，可得2∠EHN+∠EGF=180∘，即∠EHN=90∘−12∠EGF.
本题是平行线与角平分线结合综合题，考查了平行线的性质和角平分线性质的应用，解题的关键是运用角平分线和平行线结合，得出相等的角，利用平角的性质达到角度的变换．
25.【答案】(8,−1)
【解析】解：(1)①∵P(4,3)，M(2,−2)，k=2，
∴Q(4+2×2,3−2×2)，即Q(8,−1)，
故答案为：(8,−1)；
②∵N(−3,−2)，T(1,−2)，点M在线段NT上，
∴设点M的坐标为(m,−2)(−3≤m≤1)，
∴点P(x,y)关于点M的“2倍平移点”为：Q[4+2m,3+2×(−2)]，即点Q的坐标为(4+2m,−1)，
∵−3≤m≤1，
∴−2≤4+2m≤6，
∵过点R(r,0)作直线l⊥x轴，若直线l上存在点P关于点M的“2倍平移点”，
∴r=4+2m，
∴−2≤r≤6；
(2)∵点A(−1,−1)，B(1,−1)，以AB为边在直线AB的上方作正方形ABCD，
∴点C的坐标为(1,1)，点D的坐标为(−1,1)，
∵点M(a,b)在正方形ABCD的边上，且a>0，b>0，
∴点M的坐标为(1,b)或(a,1)，0∵点P是正方形ABCD的边上任意一点，
∴点P的横、纵坐标最大时，坐标为(1,1)，点P的横、纵坐标最小时，坐标为(−1,−1)，
∵E(5,7)，F(8,4)，
∴设线段EF上任意一点Q的坐标为(xQ,yQ)，
则5≤xQ≤8，4≤yQ≤7，
当点P的横、纵坐标最大，点M的坐标为(1,b)时，点P关于点M的“k倍平移点”坐标为(1+k,1+kb)，
当点P的横、纵坐标最大，点M的坐标为(a,1)时，点P关于点M的“k倍平移点”坐标为(1+ka,1+k)，
当点P的横、纵坐标最小，点M的坐标为(1,b)时，点P关于点M的“k倍平移点”坐标为(−1+k,−1+kb)，
当点P的横、纵坐标最小，点M的坐标为(a,1)时，点P关于点M的“k倍平移点”坐标为(−1+ka,−1+k)，
∵线段EF上都不存在点P关于点M的“k倍平移点”，
∴−1+k>8−1+k>7k>0或1+k<51+k<4k>0，
解得：k>9或0即当k>9或0(1)①根据新定义进行解答即可；
②设点M的坐标为(m,−2)(−3≤m≤1)，根据“2倍平移点”的定义得出点Q的坐标为(4+2m,−1)，可得−2≤4+2m≤6，得出−2≤r≤6；(2)由题意得出点C的坐标为(1,1)，点D的坐标为(−1,1)，进而得出点M的坐标为(1,b)或(a,1)，0本题主要考查了解不等式组，新定义运算，坐标与图形，解题关键是理解题意，运用数形结合思想．
26.【答案】4
【解析】解：(1)∵点A(−1,1)，A(3,−1)，A(2,3)中有−1，1，2，3共4个数，
∴点的特征值是4.
故答案为：4.
(2)①当a=0时，正方形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，
此时正方形ABCD的4阶特征值最小，且最小值为2；
②∵正方形ABCD的四个顶点分别为A(a,0)，B(a+2,0)，C(a+2,2)，D(a,2)，
∴正方形的一条边在x轴上，一条边在直线y=2上，边长为2，
∵正方形ABCD的5阶特征值的最小值是3，
∴当(2,0)，(2,2)在正方形ABCD上时，取点A(a,0)，E(a,a)，(a,2)，此时正方形ABCD的5阶特征值最小为3，
如图，
∴a+2≥2a<2.
解得：0≤a<2.
(1)根据特征值的概念进行解答即可；
(2)①根据图形F的n阶特征值特点进行解答即可；
②根据正方形的四个顶点坐标得出正方形的一条边在x轴上，一条边在直线y=2上，边长为2，根据正方形ABCD的5阶特征值的最小值是3，得出关于a的不等式组，解之即可．
本题主要考查了坐标与图形，新定义，解不等式组，解题的关键是理解新定义，数形结合．成绩
频数
0≤x<30
m
30≤x<60
20
60≤x<90
n
90≤x<120
7
120≤x≤150
3