2023-2024学年北京市石景山区七年级下学期期末数学试题（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年北京市石景山区七年级下学期期末数学试题（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列运算正确的是
A. x2+x3=x5B. x4⋅x2=x6C. x6÷x2=x3D. (x2)3=x8
2.如图，∠1和∠2不是同位角的是( )
A. B.
C. D.
3.若a>b，则下列不等式正确的是( )
A. a−1>b−1B. 2a<2bC. b−a>0D. −a+2>−b+2
4.如图，从边长为aa>1的正方形中剪掉一个边长为1的正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是( )
A. a−12=a2−2a+1B. aa−1=a2−a
C. a−12=a2−1D. a2−1=a+1a−1
5.如图，直线a//b，直线c与直线a，b分别交于点P，Q，PM⊥c于点P，若∠1=52∘，则∠2的度数是( )
A. 38∘B. 48∘C. 52∘D. 64∘
6.把2xy−x2−y2分解因式，结果正确的是( ).
A. x−y2B. −x−y2C. −x−y2D. −x+y2
7.下列调查样本选取方式合适的是( )
A. 调查某校七年级学生平均身高情况，随机抽取该校初中30名男生的身高数据
B. 调查某小区家庭月平均用水情况，随机抽取该小区某栋楼所有住户月用水数据
C. 调查一批零件的质量情况，随机抽取这批零件中的100件调查其质量
D. 调查某市市民晨练情况，随机抽取某月任意10天在体育馆晨练人数
8.已知点D是∠ABC平分线BP上一点，过D点作DE//BC交BA于点E，作DF⊥BC交BC于点F，则∠ABD与∠BDF的数量关系是( )
A. 相等B. 互余C. 互补D. 不确定
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.分解因式：2m2−18=__________.
10.用不等式表示“m的2倍与5的差不小于10”为__________.
11.若一个角的补角是它的余角的3倍，则这个角的度数为__________.
12.为了响应党的二十大报告“深化全民阅读”号召，某校组织了“书香流传共享阅读——捐赠图书”活动，以下是对七年级(1)班40名同学捐赠图书数量的统计表，由统计表可知，七(1)班平均每名同学捐赠图书__________本．
13.已知x=1y=−2是二元一次方程ax−2y=5的一个解，则a的值是__________.
14.下列各式中，与数轴上表示的解集对应的是__________(填写序号即可).
①x≥−3或x<2②215.如图所示，请你添加一个适当的条件：__________，使AB//CD.
16.八达岭长城是北京市著名的旅游景点，史称天下九塞之一，是万里长城的精华．五一假期期间，某校七年级历史兴趣小组游览八达岭长城，乘坐缆车的费用如下表所示：
已知小组成员每个人都至少乘坐一次缆车，去程时有18人乘坐缆车，返程时有20人乘坐缆车，他们乘坐缆车的总费用是3320元，则该小组共有__________人．
三、解答题：本题共12小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：|−3|+−20240−13−2.
18.(本小题8分)
计算：x+22x−3−2x2−x+3.
19.(本小题8分)
解方程组：12x−y=33x+2y=10.
20.(本小题8分)
解不等式组：x−5<4x−12x−1321.(本小题8分)
方程组2x+y=13x+2y=k的解x，y都是非负数，且k为整数，求k的值．
22.(本小题8分)
已知a2+a=12，求代数式2a3a+1−2a+12a−1的值．
23.(本小题8分)
已知：a=−1，b=m−2，c=2m，设M=b2−4ac.求M的取值范围．
24.(本小题8分)
完成下面的证明．
已知：如图，∠C+∠BAC=180∘，AC//BE.
求证：∠C=∠B.
证明：∵∠C+∠BAC=180∘(已知)，
∴AB//CD(________).
∴∠B=∠________(________).
∵AC//BE(已知)，
∴∠BED=∠________(________).
∴∠B=∠C(________).
25.(本小题8分)
2024年4月24日是第九个“中国航天日”，今年的主题是“极目楚天共襄星汉”．为发扬中国航天精神，激发青少年崇尚科学、敢于创新的热情，凝聚实现中国梦航天梦的强大力量，某中学开展了航空航天知识问答系列活动．七、八年级的学生参与了此项活动．为了解活动效果，该校从每个年级各随机抽取20名学生的成绩，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a.学生成绩x分为四组，如下表：
b.七年级学生成绩的扇形统计图如下：
c.七年级学生成绩在C组的是：
80 82 82 83 85 86 88 89
d.八年级学生成绩如下：
66 87 67 96 79 77 89 97 79 100
80 79 89 95 68 98 79 78 80 89
根据以上信息，解答下列问题：
(1)七年级被抽取的学生中，成绩在D组的有________人；扇形统计图中，B组部分圆心角是________ ∘.
(2)抽取的七年级学生成绩数据的中位数是________；抽取的八年级学生成绩数据的众数是_________.
(3)若成绩90分以上记为优秀，该校八年级有220名学生，根据调查结果估计：该校八年级成绩优秀的约有多少人．
26.(本小题8分)
2024年3月14日是第五个“国际数学日”，也叫“π日”．为了营造良好的数学学习氛围，弘扬数学文化，传承数学精神．某校决定购买A，B两种数学类图书共50本．若购买9本A种图书和6本B种图书共需390元；若购买5本A种图书和8本B种图书共需310元．
(1)A，B两种图书的单价分别为多少元？
(2)若学校决定购买A种图书比B种的数量至少多5本，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使花费最少？并求出最少花费．
27.(本小题8分)
已知：直线AB//CD，O是AB，CD间的一点，∠EOF与直线AB，CD分别交于点E，F.
(1)如图，∠EOF=90∘，过O点作射线OG，∠GOF与∠AEO互余．求证：OQ//CD；
(2)若∠EOF=α0∘<α<180∘，∠AEO−∠CFO=ββ>0∘，请用含α，β的式子表示∠AEO.
28.(本小题8分)
若关于x的一个一元一次不等式组的解集为a(1)在方程①2x=−1，②4x−6=0中，不等式组5−2x>3x4x+1>x−2的“中点关联方程”是________(填序号).
(2)已知不等式组x−3>2x+23>x−4，请写出这个不等式组的一个“中点关联方程”：_________.
(3)若关于x的不等式组2x−16m+9的“中点关联方程”大于方程3x−1=2x的解且小于方程2x+8=4x的解，求m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】根据合并同类项、幂的运算法则依次分析各选项即可作出判断.
【详解】A、x2与x3不是同类项，无法合并；
B、x4⋅x2=x6，本选项正确；
C、x6÷x2=x4；
D、(x2)3=x6，故错误；
故选：B.
【点睛】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握合并同类项、幂的运算法则，即可完成．
2.【答案】B
【解析】【分析】此题主要考查了三线八角中的同位角，关键是掌握同位角的边构成“F”形．
根据同位角的定义逐一判断即可：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角．
【详解】解：A、∠1和∠2是同位角，不合题意；
B、∠1和∠2不是同位角，符合题意；
C、∠1和∠2是同位角，不合题意；
D、∠1和∠2是同位角，不合题意．
故选B.
3.【答案】A
【解析】【分析】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质．
不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，由此即可判断．
【详解】解：A、a>b，则a−1>b−1，故A符合题意；
B、a>b，则2a>2b，故B不符合题意；
C、a>b，若b−a<0，故C不符合题意；
D、a>b，则−a<−b，因此−a+2<−b+2，故D不符合题意．
故选：A.
4.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解题关键是根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．易求出图中拼接前阴影部分的面积等于a2−1，阴影部分进行拼接后，长为a+1，宽为a−1，面积为a+1a−1，由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论．
【详解】解：左图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2−1；
右图中阴影部分为矩形，其长为a+1，宽为a−1，则其面积为a+1a−1，
∵左右两个图形中阴影部分的面积相等，
∴可得a2−1=a+1a−1.
故选：D.
5.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了平行线的性质．根据平行线的性质：“两直线平行，内错角相等”可得∠FPQ=52∘，再根据垂直的定义可得∠MPQ=90∘，进而求解即可．
【详解】解：如图所示，
∵∠1=52∘，a//b，
∴∠FPQ=∠1=52∘，
∵PM⊥c，
∴∠MPQ=90∘，
∴∠2=90∘−52∘=38∘.
故选：A.
6.【答案】C
【解析】【分析】先提取负号，再根据完全平方公式即可因式分解.
【详解】2xy−x2−y2=−x2−2xy+y2=−x−y2.
故选C
【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知完全平方公式的应用.
7.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了抽样调查的可靠性，样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．
抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．
【详解】解：A.调查某校七年级学生平均身高情况，随机抽取该校初中30名男生的身高数据，不具有代表性，不符合题意；
B.调查某小区家庭月平均用水情况，随机抽取该小区某栋楼所有住户月用水数据，不具有代表性，不符合题意；
C.调查一批零件的质量情况，随机抽取这批零件中的100件调查其质量，具有代表性、广泛性，符合题意；
D.调查我市市民晨练情况，随机抽取某月任意10天体育馆晨练人数不具代表性，不符合题意；
故选：C.
8.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了垂直的意义，角平分线的定义，三角形内角和定理．根据垂直的意义得到∠BDF+∠DBF=90∘，根据角平分线的定义，等量代换即可得到∠BDF+∠ABD=90∘；
【详解】解：如图，

∵DF⊥BC，
∴∠BDF+∠DBF=180∘−90∘=90∘，
∵点D是∠ABC平分线上一点，
∴∠ABD=∠DBF，
∴∠BDF+∠ABD=90∘，
∴∠ABD与∠BDF的数量关系是互余，
故选：B.
9.【答案】2(m+3)(m−3)
【解析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
解：原式=2(m2−9)
=2(m+3)(m−3).
故答案为：2(m+3)(m−3).
10.【答案】2m−5≥10
【解析】【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
m的2倍，可表示为：2m，不小于可表示为：≥，由此可得出不等式．
【详解】解：由题意得：2m−5≥10，
故答案为：2m−5≥10.
11.【答案】45∘/45度
【解析】【分析】本题考查余角与补角，解一元一次方程，根据补角和余角的定义，利用“一个角的补角是它的余角的度数的3倍”作为相等关系列方程求解即可得出结果，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：设这个角的度数是x，
则180∘−x=3(90∘−x)，
解得x=45∘，
故答案为：45∘.
12.【答案】3
【解析】【分析】本题考查求加权平均数，根据加权平均数的求解方法求解即可．
【详解】解：2×1+14×2+10×3+10×4+4×5÷40=3(本)，
即七(1)班平均每名同学捐赠图书3本．
故答案为：3
13.【答案】1
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程的解，关键是能根据题意得出关于a的方程．
把x=1,y=−2代入方程得出关于a的方程，求出即可．
【详解】解：∵x=1y=−2是二元一次方程ax−2y=5的一个解，
∴代入得：a+4=5，
解得：a=1.
故答案为：1.
14.【答案】③
【解析】【分析】本题考查了在数轴上表示解集．熟练掌握在数轴上表示解集是解题的关键．
根据在数轴上表示解集判断作答即可．
【详解】解：由数轴可得，表示的解集为−3≤x<2，
故答案为：③．
15.【答案】∠ABD=∠BDC(答案不唯一)
【解析】【分析】本题考查了平行线的判定，解决问题的关键是掌握平行线的判定方法．根据平行线的判定定理求解即可．
【详解】解：根据同位角相等，两直线平行，可填∠ABC=∠DCF；
根据内错角相等，两直线平行，可填∠ABD=∠BDC；
根据同旁内角互补，两直线平行，可填∠ABC+∠BCD=180∘.
故答案为：∠ABD=∠BDC(答案不唯一).
16.【答案】30
【解析】【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用．可设该小组共有x人，往返的有y人，根据等量关系：①去程时的人数+返程时的人数-往返的人数=该小组一共的人数；②乘坐缆车的总费用是3320元；列出方程组求解即可．
【详解】解：设该小组共有x人，往返的有y人，依题意有
18+20−y=x140y+10018+20−2y=3320，
解得x=30y=8，
故该小组共有30人．
故答案为：30.
17.【答案】解：原式=3+1−9
=−5.

【解析】【分析】本题考查零指数幂与负整数指数幂的运算，要熟练掌握其运算法则是解题的关键．先计算零指数幂、负整数指数幂、绝对值，再合并求解即可．
先去绝对值，算零指数幂，负整数指数幂，再算加减；
18.【答案】解：x+22x−3−2x2−x+3
=2x2+4x−3x−6−2x2+2x−6
=3x−12.

【解析】【分析】本题考查了多项式的乘法，合并同类项．根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可．
19.【答案】解：化简得{x−2y=6①3x+2y=10②，
①+②，得4x=16.
解得：x=4.
将x=4代入①，得4−2y=6.
解得y=−1.
所以原方程组的解为x=4y=−1.

【解析】【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
20.【答案】解：{x−5<4x−1①2x−13解不等式①，得x>−43.
解不等式②，得x<2.
∴原不等式组的解集为−43
【解析】【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集．
21.【答案】解：方程组2x+y=13x+2y=k的解是x=2−ky=2k−3，
由题意可得2−k≥02k−3≥0
解得32≤k≤2.
∴整数k的值为2.

【解析】【分析】首先求出方程组的解为x=2−ky=2k−3，然后根据解x，y都是非负数，得到2−k≥02k−3≥0，进而求解即可．
本题考查了由二元一次方程组的解求参数，解一元一次不等式组，准确计算是解题的关键．
22.【答案】解：2a3a+1−2a+12a−1
=6a2+2a−4a2−1
=2a2+2a+1.
由a2+a=12，可得2a2+2a=1.
∴原式=2.

【解析】【分析】本题考查了已知式子的值，整式乘法运算，求代数式的值及平方差公式，正确计算化简，整体代入计算即可．
23.【答案】解：M=m−22−4×−1×2m
=m2−4m+4+8m
=m2+4m+4
=m+22
∵m+22≥0，
∴M≥0.

【解析】【分析】本题考查了完全平方公式，准确计算是解题的关键．把a、b、c的值代入M=b2−4ac=m+22，然后利用平方的非负性求解即可．
24.【答案】证明：∵∠C+∠BAC=∠180∘(已知)，
∴AB//CD(同旁内角互补，两直线平行).
∴∠B=∠BED(两直线平行，内错角相等).
∵AC//BE(已知)，
∴∠BED=∠C(两直线平行，同位角相等).
∴∠B=∠C(等量代换).

【解析】【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定定理和性质定理，进行作答即可．
25.【答案】(1)解：成绩在D组的人数为20×15%=3(人)，
B组部分所对的圆心角为360∘×1−15%−15%−40%=360∘×30%=108∘，
故答案为：3，108；
(2)解：七年级学生成绩在A组人数为20×15%=3(人)，成绩在B组人数为20×30%=6(人)，
∴第10、11个数据为80和82，则抽取的七年级学生成绩数据的中位数是80+822=81(分)，
∵抽取的八年级学生成绩数据中，79出现了4次，出现次数最多，
∴抽取的八年级学生成绩数据的众数是79分，
故答案为：81，79；
(3)解：220×520=55(人)，
答：该校八年级成绩优秀的约有55人．

【解析】【分析】本题考查扇形统计图和统计表的综合，理解题意，能从统计图获取信息是解答的关键．
(1)用抽取总人数乘以成绩在D组所占的百分比可求得成绩在D组人数；用360∘乘以成绩在B组所占的百分比即可求得B组部分所对的圆心角；
(2)先求得成绩在A、B组的人数，然后排序找到第10、11个数据，然后求两个数据的平均数即为中位数；找到八年级学生成绩出现次数最多的数即为众数；
(3)利用八年级总人数乘以抽取人数中成绩90分以上所占的比例求解即可．
26.【答案】(1)解：设A种图书每本x元，B种图书每本y元．
根据题意，得9x+6y=3905x+8y=310
解得x=30y=20
答：A种图书每本30元，B种图书每本20元．
(2)设该校购买A种图书m本，则购买B种图书50−m本．
根据题意，得m−50−m≥5m≤250−m，
解得552≤m≤1003，且m为正整数．
∵A种图书单价高，
∴购买A种图书越少越省钱．
∴m取最小值28时，总费用最少，
最少费用为28×30+50−28×20=1280元．
答：购买A种图书28本，购买B种图书22本时，总花费最小，为1280元．

【解析】【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用：
(1)设A种图书每本x元，B种图书每本y元，根据购买9本A种图书和6本B种图书共需390元；购买5本A种图书和8本B种图书共需310元，列出方程组进行求解即可；
(2)设该校购买A种图书m本，根据购买A种图书比B种的数量至少多5本，又不超过B种的2倍，列出不等式组，进行求解即可．
27.【答案】(1)解：∵∠EOF=90∘，
∴∠EOG+∠GOF=90∘，
∵∠GOF与∠AEO互余，
∴∠GOF+∠AEO=90∘，
∴∠EOG=∠AEO，
∴OG//AB，
∵AB//CD，
∴OQ//CD；
(2)解：当如图1，过O作OQ//AB，则OQ//AB//CD，
∴∠AEO=∠EOQ，∠CFO=∠FOQ，
∴∠EOF=∠EOQ+∠FOQ=∠AEO+∠CFO，
∵∠AEO−∠CFO=β，
∴∠COF=∠AEO−β，又∠EOF=α，
∴∠AEO+∠AEO−β=α，
∴∠AEO=α+β2；
如图2，过O作OQ//AB，则OQ//AB//CD，
∴∠AEO+∠EOQ=180∘，∠CFO+∠FOQ=180∘，
∴∠EOF=∠EOQ+∠FOQ=180∘−∠AEO+180∘−∠CFO=360∘−∠AEO+∠CFO，
∴∠EOF+∠AEO+∠CFO=360∘，
∵∠AEO−∠CFO=β，
∴∠COF=∠AEO−β，又∠EOF=α，
∴α+∠AEO−β+∠AEO=360，
∴∠AEO=360∘+β−α2=180∘−α−β2，
综上，∠AEO=α+β2或∠AEO=180∘−α−β2.

【解析】【分析】本题考查平行线的判定与性质、同角的余角相等、平行公理，熟练掌握平行线的性质探究角的关系是解答的关键．
(1)先根据垂直定义和已知得到∠EOG=∠AEO，进而利用平行线的判定得到OG//AB，根据平行公理可得结论；
(2)分两种情况，画出图形，分别作过O作OQ//AB，利用平行线的性质求解即可．
28.【答案】(1)解：解不等式组5−2x>3x4x+1>x−2得：−2解方程①得：x=−12，
故方程①是不等式组5−2x>3x4x+1>x−2的“中点关联方程”；
解方程②得：x=32，
故方程②不是不等式组5−2x>3x4x+1>x−2的“中点关联方程”；
故答案为：①；
(2)解：解不等式组x−3>2x+23>x−4得：5∴这个不等式组的一个关联方程可以是x−6=0(答案不唯一).
故答案为：x−6=0(答案不唯一)；
(3)解：解不等式组2x−16m+9得：2m+3“解集中点”为2m+3+1−4m2=2−m.
解方程3x−1=2x得：x=1，
解方程2x+8=4x得：x=4，
∵关于x的不等式组2x−16m+9的“中点关联方程”大于方程3x−1=2x的解且小于方程2x+8=4x的解，
∴2−m>12−m<4，
解得：−2故m的取值范围是−2
【解析】【分析】本题考查了解一元一次不等式(组)，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“中点关联方程”是解题的关键．
(1)先分别求出三个方程的解和不等式组的解集，再根据“中点关联方程”的定义即可判断；
(2)先求出不等式组的解集，根据关联方程的定义即可求解；
(3)先求出不等式组的解集和两个一元一次方程的解，再根据题意列出不等式组，求解即可．
捐赠图书/本
1
2
3
4
5
人数
2
14
10
10
4
乘坐缆车方式
乘坐缆车费用(单位：元/人)
往返
140
单程
100
组
A
B
C
D
成绩x
60≤x<70
70≤x<80
80≤x<90
90≤x≤100