2023-2024学年北京市昌平区七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年北京市昌平区七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2024北京月季文化节正式开启，11个展区共展示超3000个品种的月季.传统月季花粉为单粒花粉，呈长球形或超长球形，大小为37.59∼51.95μm×17.02∼25.33μm.其中37.59μm=0.003759cm，把0.003759用科学记数法表示为( )
A. 0.3759×10−2B. 0.3759×102C. 3.759×10−3D. 3.759×103
2.不等式3x<2x−1的解集在数轴上可以表示为( )
A. B.
C. D.
3.在今年的“五一”假期中，昌平消费市场“花样翻新”，多景区客流“爆棚”，客流量与文旅消费均呈现上升趋势.为了解中学生的假期出游情况，从全校2000名学生记录的假期出游时间(单位：小时)中随机抽取了200名学生的假期出游时间(单位：小时)进行统计，以下说法正确的是( )
A. 2000名学生是总体B. 样本容量是2000
C. 200名学生的假期出游时间是样本D. 此调查为全面调查
4.下列计算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. a8÷a2=a4C. a2+a2=a4D. (−a3)2=a6
5.如果a>b，那么下列不等关系一定成立的是( )
A. a+1−2bC. ac>bcD. a5>b5
6.如图，一条街道有两个拐角∠ABC和∠BCD，已知AB//CD，若∠ABC=150∘，则∠BCD的度数是( )
A. 30∘B. 120∘C. 130∘D. 150∘
7.若x=2y=1是关于x，y的二元一次方程ax−y=3的一个解，则a的值为( )
A. −1B. 1C. −2D. 2
8.已知a，b为有理数，则下列说法正确的是( )
①(a+b)2≥0
②a2+b2≥2ab
③(a+b)2=(a−b)2+2ab
A. ①B. ①②C. ①③D. ①②③
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.因式分解：3a2−6a+3=______.
10.如果一个角等于70∘，那么这个角的补角是______ ∘.
11.计算：(6x2+4x)÷2x=______.
12.已知命题“同位角相等”，这个命题是______命题.(填“真”或“假”)
13.计算：(2x+1)(x−2)=______.
14.若2x=4，2y=16，则x+y=______.
15.4月23日为世界读书日，小萱从图书馆借来一本共266页的书，计划在10天内读完(包括第10天).如果前4天每天只读15页，若从第5天起平均每天读x页才能按计划完成，则根据题意可列不等式为______.
16.如图1的长为a，宽为b(a>b)的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分(两个长方形)用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足的数量关系为______.
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算：22−(5−π)0+3−1−|−13|.
18.(本小题5分)
解不等式：2x+1<13−x.
19.(本小题5分)
解方程组：x+2y=7,3x−4y=1.
20.(本小题5分)
解不等式组：x+2≤3,2x≤5x+6并把它的解集在数轴上表示出来.
21.(本小题5分)
已知x2−x=1，求代数式(x−1)2+(x−3)(x+3)的值.
22.(本小题5分)
补全解答过程：
如图，∠1+∠2=180∘，∠3=∠A.
求证：∠B=∠C.
证明：∵∠1+∠2=180∘，
∴______(同旁内角互补，两直线平行).
∴∠3=∠D(______).
又∵∠3=∠A，
∴______.
∴AB//CD(______).
∴∠B=∠C(______).
23.(本小题6分)
某校开展数学节活动，活动成果是学生形成对于数学探索的海报，活动以“集市”形式展览个人的作品，并面向同学和老师讲解自己的作品，“小创客”创意市集作品的评价涉及四个维度：创意的真实性、创意的新颖性、创意的科学性和表达的严谨性，并以四个维度总分记为最后得分，满分100分，小明经过抽样调查部分得分数据，具体得分分布在以下四组内：75≤A<80，80≤B<85，85≤C<90，90≤D≤95，并把得分情况绘制成如下统计图，
C组得分：87，86，88，86，86，89
(1)本次调查了______名学生， B组扇形统计图的圆心角度数为______ ∘.
(2)C组得分的平均数是______，众数是______，中位数是______.
(3)若某校有500人参加此次“小创客”创意市集作品展示，请你估计得分超过86分的有多少人？
24.(本小题6分)
端午节前夕，小明和小华相约一起去超市购买粽子.小明购买A品牌和B品牌的粽子各1袋，共花费55元；小华购买A品牌粽子3袋和B品牌粽子2袋，共花费135元.
(1)求A、B两种品牌粽子每袋各是多少元；
(2)端午假期，小明一家回老家探亲，小明妈妈想要再买一些粽子送给亲戚，于是拿出500元交给小明，让他去超市购买A、B两种品牌粽子共18袋，且想要尽量多购入B品牌粽子，请问小明最多购买B品牌粽子多少袋？
25.(本小题6分)
观察个位上的数字是5的两位数的平方(任意一个个位数字为5的两位数n5−可用代数式10n+5来表示，其中1≤n≤9，n为正整数)，会发现一些有趣的规律.请你仔细观察，探索其规律.第1个等式：152=(1×2)×100+25；
第2个等式：252=(2×3)×100+25；
第3个等式：352=(3×4)×100+25；
…
(1)写出第4个等式：______；
(2)用含n的等式表示你的猜想并证明；
(3)计算：1152−(8×9×100+25)=______.
26.(本小题6分)
小明为了方便探究关于x，y的二元一次方程ax+by=9(a≠0,b≠0)解的规律，把x和y的部分值分别填入如下表，(x的值从左到右依次增大).
(1)p的值为______(填正确的序号).
①17 ②3 ③−1
(2)下列方程中，与ax+by=9组成方程组，在−7①2x+y=−5，②x+2y=−4，③3x−y=1，
(3)已知关于x，y的二元一次方程cx+dy=1(c≠0,d≠0)的部分解如下表所示：
则方程组{ax+by=9cx+dy=1的解为______(填正确的序号).
①x=−9y=6
②x=−8y=11
③x=−1y=4
④x=7y=−4
27.(本小题7分)
已知∠AOB=α(0∘<α<90∘)，点C是射线OB上一点，过点C作OA的垂线交射线OA于点P，过点P作MN//OB，点D是射线OA上一点，过点D作CD的垂线分别交直线MN，OB于点E，F.
(1)如图1，CD平分∠OCP时，
①根据题意补全图形；
②求∠ODF的度数(用含α式子表示)；
(2)如图2，当CD平分∠PCB时，直接写出∠ODF的度数(用含α式子表示).
28.(本小题7分)
已知x1，x2是不等式组解集中的解，若存在一个a，使x1+x2=2a，我们把这样的x1，x2称为该不等式组的“关联解”，a叫做“关联系数”.
(1)当a=0时，下列不等式组存在“关联解”的是______.
A.x+1>22x>x+4
B.−x+1<212x>x−1
C.3x<2x+12x(2)不等式组32x−12≥x−22x+a≤x+2a+5的解集上存在“关联解”，若x1=−2，“关联系数a”的取值范围为______.
(3)不等式组x≥−a−13x≤2x+2a的解集存在关联解，x1=8−a，若a+b+c=12，且2a+10b+10c16是整数，直接写出“关联系数a”的值______.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：0.003759=3.759×10−3，
故选：C.
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：移项得：3x−2x<−1，
解得：x<−1.
.
故选：D.
不等式移项，合并，把x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A.2000名学生的假期出游时间是总体，故A不符合题意；
B.样本容量是200，故B不符合题意；
C.200名学生的假期出游时间是样本，故C符合题意；
D.此调查为抽样调查，故D不符合题意；
故选：C.
根据总体、个体、样本、样本容量，全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，全面调查与抽样调查，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、a2⋅a3=a5，故该项不正确，不符合题意；
B、a8÷a2=a6，故该项不正确，不符合题意；
C、a2+a2=2a2，故该项不正确，不符合题意；
D、(−a3)2=a6，故该项正确，符合题意；
故选：D.
根据同底数幂的乘除法法则、合并同类项的方法、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、若a>b，则a+1>b+1，原变形不成立，故本选项不符合题意；
B、若a>b，则−2a<−2b，原变形不成立，故本选项不符合题意；
C、若a>b，若c>0，则ac>bc，若c<0，则acD、若a>b，则a5>b5，原变形成立，故本选项符合题意；
故选：D.
根据不等式的性质分别进行判断，即可求出答案．
此题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键，不等式的基本性质：(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
6.【答案】D
【解析】解：∵AB//CD，∠ABC=150∘，
∴∠BCD=∠ABC=150∘.
故选：D.
直接根据平行线的性质解答即可．
本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：将x=2y=1代入原方程得：2a−1=3，
解得：a=2，
∴a的值为2.
故选：D.
将x=2y=1代入原方程，可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值．
本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵(a+b)2=a2+2ab+b2≥0，
∴结论①正确；
∵(a−b)2=a2−2ab+b2≥0，
∴a2+b2≥2ab，(a−b)2+2ab=a2+b2≠(a+b)2，
∴结论②正确，结论③不正确，
故选：B.
运用完全平方公式和非负数的性质进行比较、辨别．
此题考查了完全平方公式的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行变形、比较．
9.【答案】3(a−1)2
【解析】解：3a2−6a+3，
=3(a2−2a+1)，
=3(a−1)2.
先提取公因式−3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其它方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
10.【答案】110
【解析】解：70∘角的补角是180∘−70∘=110∘，
故答案为：110.
如果两个角的和等于180∘(平角)，就说这两个角互为补角．由定义即可求解．
本题考查补角，熟练掌握两个角互为补角的定义是解题的关键．
11.【答案】3x+2
【解析】解：原式=6x2÷2x+4x÷2x
=3x+2.
故答案为：3x+2.
原式利用多项式除以单项式法则计算即可．
此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12.【答案】假
【解析】解：两直线平行时，同位角才相等，这是假命题，
故答案为：假．
根据两直线平行，同位角相等判断即可．
本题考查了命题与定理，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
13.【答案】2x2−3x−2
【解析】解：(2x+1)(x−2)=2x2−4x+x−2=2x2−3x−2；
故答案为：2x2−3x−2.
根据多项式乘多项式的运算法则进行解答即可得出答案．
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
14.【答案】6
【解析】解：∵2x=4，2y=16，
∴2x+y=2x×2y=4×16=64=26.
∴x+y=6.
故答案为：6.
根据同底数幂的乘法法则可得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
15.【答案】6x+60≥266
【解析】解：由题意可得，
4×15+(10−4)x≥266，
即6x+60≥266，
故答案为：6x+60≥266.
根据题意和题目中的数据可以列出算式4×15+(10−4)x≥266，然后化简即可．
本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．
16.【答案】a=3b
【解析】解：如图，左上角阴影部分的长为AE，宽为AF=3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，
∵AD=BC，即AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=3b+PC，
∴AE+a=3b+PC，
∴AE=3b+PC−a，
∴阴影部分面积之差S=AE⋅AF−PC⋅CG=3bAE−aPC=3b(3b+PC−a)−aPC=(3b−a)PC+9b2−3ab，
则3b−a=0，即a=3b.
故答案为：a=3b.
表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与BC无关即可求出a与b的关系式．
此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．
17.【答案】解：22−(5−π)0+3−1−|−13|
=4−1+13−13
=3.
【解析】首先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18.【答案】解：2x+1<13−x，
2x+x<13−1，
3x<12，
x<4.
【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
19.【答案】解：{x+2y=7①3x−4y=1②，
①×2+②可得：5x=15，
解得x=3，
将x=3代入①可得：
3+2y=7，
解得y=2.
所以方程组的解为x=3y=2.
【解析】直接运用加减消元法解答即可．
本题主要考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法是解答本题的关键．
20.【答案】解：解不等式x+2≤3，得：x≤1，
解不等式2x≤5x+6，得：x≥−2，
则不等式组的解集为−2≤x≤1，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21.【答案】解：∵x2−x=1，
∴(x−1)2+(x−3)(x+3)
=x2−2x+1+x2−9
=2x2−2x−8
=2(x2−x)−8
=2×1−8
=−6.
【解析】首先进行整式的混合运算，再把x2−x=3代入，即可求解．
本题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
22.【答案】AD//EF；两直线平行，同位角相等；∠A=∠D；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】证明：∵∠1+∠2=180∘，
∴AD//EF(同旁内角互补，两直线平行).
∴∠3=∠D(两直线平行，同位角相等).
又∵∠3=∠A，
∴∠A=∠D.
∴AB//CD(内错角相等，两直线平行).
∴∠B=∠C(两直线平行，内错角相等).
故答案为：AD//EF；两直线平行，同位角相等；∠A=∠D；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
依据平行线的判定，即可得到AD//EF，得出∠3=∠D，进而得出∠A=∠D，再根据平行线的判定，即可得到AB//CD，最后根据平行线的性质得出结论．
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理的运用是解答此题的关键．
23.【答案】30 108 87分 86分 86.5分
【解析】解：(1)本次调查的学生总人数为12÷40%=30(名)，B组扇形统计图的圆心角度数为360∘×930=108∘，
故答案为：30、108；
(2)C组得分的平均数是87+86+88+86+86+896=87(分)，
将这组数据重新排列为86、86、86、87、88、89，
所以这组数据的众数是86分，中位数为86+872=86.5(分)，
故答案为：87分、86分、86.5分；
(3)500×3+30×20%+330=200(人)，
答：估计得分超过86分的约有200人．
(1)由A组人数及其所占百分比可得总人数，用360∘乘以样本中B组人数所占比例即可；
(2)根据算术平均数、中位数、众数的定义求解即可；
(3)总人数乘以样本中得分超过86分的人数所占比例即可．
本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体，解决本题的关键是掌握频数分布直方图．
24.【答案】解：(1)设A种品牌粽子每袋是m元，B种品牌粽子每袋是n元，
根据题意得：m+n=553m+2n=135，
解得m=25n=30，
∴A种品牌粽子每袋25元，B种品牌粽子每袋30元；
(2)设小明购买B品牌粽子x袋，则购买A种品牌粽子(18−x)袋，
根据题意得：25(18−x)+30x≤500，
解得x≤10，
∴小明最多购买B品牌粽子10袋．
【解析】(1)设A种品牌粽子每袋是m元，B种品牌粽子每袋是n元，根据小明购买A品牌和B品牌的粽子各1袋，共花费55元；小华购买A品牌粽子3袋和B品牌粽子2袋，共花费135元得：m+n=553m+2n=135，即可解得答案；
(2)设小明购买B品牌粽子x袋，根据题意得：25(18−x)+30x≤500，故x≤10，从而知小明最多购买B品牌粽子10袋．
本题考查二元一次方程组，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和不等式解决问题．
25.【答案】452=(4×5)×100+256000
【解析】解：(1)第4个等式：452=(4×5)×100+25，
故答案为：452=(4×5)×100+25；
(2)第n个等式：(10n+5)2=n(n+1)×100+25；
证明：等式左边=(10n+5)2=100n2+100n+25；
等式右边=n(n+1)×100+25=100n2+100n+25；
∴等式左边=等式右边，
∴等式成立．
(3)原式=1152−(8×9×100+25)
=11×12×100+25−8×9×100−25
=(11×12−8×9)×100
=(132−72)×100
=6000，
故答案为：6000.
(1)根据前3个等式的规律，写出第4个等式即可；
(2)根据上述等式的规律，写出第n个等式即可，再证明等式左边=等式右边即可；
(3)根据第n个等式的运算规律计算即可．
本题考查的是数字的变化规律，有理数的混合运算和列代数式，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
26.【答案】② ①③ ③
【解析】解：(1)由题意得−4a+7b=92a+b=9，
解得：a=3b=3，
则原方程为3x+3y=9，
即y=3−x，
当x=0时，y=3−0=3，
即p=3，
故答案为：②；
(2)由(1)得方程ax+by=9，变为3x+3y=9，即x+y=3，
①方程组{x+y=3①2x+y=5②的解为x=2y=1，
②方程组{x+y=3①x+2y=−4②的解为x=10y=−7，
③方程组{x+y=3①3x−y=1②的解为x=1y=2，
故答案为：①③；
(3)把x=−7，y=−2和x=8，y=13代入cx+dy=1得，
{−7c−2d=1①8c+13d=1②，
解得c=−15d=15，
∴−15x+15y=1，
即y−x=5，
原方程组变为x+y=3y−x=5，
解得x=−1y=4，
故答案为：③．
(1)由题意列得二元一次方程组解得a，b的值，然后将x=0代入二元一次方程中即可求得p的值；
(2)求出a、b的值确定方程ax+by=9，即x+y=3，再与所提供的方程组成方程组求解即可；
(3)确定c、d的值，再联立方程组求解即可．
本题考查解二元一次方程组，理解二元一次方程组解的定义，掌握二元一次方程组的解法是正确解答的关键．
27.【答案】解：(1)①图形如图1所示；
②∵PC⊥OA，
∴∠POC=90∘，
∴∠PCO=90∘−α，
∵CD平分∠OCP，
∴∠DCF=12∠OCP=45∘−12α，
∵EF⊥CD，
∴∠DFC=90∘−45∘+12α=45∘+12α，
∴∠ODF=∠CFD−∠AOB=45∘+12α−α=45∘−12α；
(2)如图2中，∵PC⊥OA，
∴∠POC=90∘，
∴∠PCO=90∘−α，∠PCB=90∘+α，
∵CD平分∠PCB，
∴∠DCF=12∠PCB=45+12α，
∵EF⊥CD，
∴∠DFC=90∘−45∘−12α=45−12α，
∴∠ODF=180∘−α−(45∘−12α)=135∘−12α.
【解析】(1)①根据要求画出图形；
②求出∠DCF，∠DFC，再利用三角形的外角的性质求解；
(2)画出图形，求出∠DFC，再利用三角形内角和定理求解．
本题考查作图-复杂作图，平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义的等知识，解题的关键是正确作出图形．
28.【答案】B−2.5≤a≤33或5或7
【解析】解：(1)A，{x+1>2①2x>x+4②，
解得①，x>1，
解得②，x>4，
∴当a=0时，不存在x1+x2=2a=0，
∴A项不符合题意，
B，{−x+1<2①12x>x−1②，
解得①，x>−1，
解得②，x<2，
∴当a=0时，存在x1=−0.5，x2=0.5，
使得x1+x2=2a=0，
∴B项符合题意，
C，{3x<2x+1①2x解得①，x<1，
解得②，x<−2，
∴当a=0时，不存在x1+x2=2a=0，
∴C项不符合题意，
故选B，
(2){32x−12⩾x−2①2x+a⩽x+2+5②，
解得①，x≥−3，
解得②，x≤a+5，
∴当−3≤a+5时，原不等式组的解集为−3≤x≤a+5，
若x1=−2，x1+x2=2a，则有x2=2a+2，
∴−3≤x2≤a+5，
即−3≤2a+2≤a+5，
解得−2.5≤a≤3，
∴“关联系数a”的取值范围为−2.5≤a≤3，
故答案为−2.5≤a≤3，
(3){x⩾−a−1①3x⩽2x+2a②，
解得①，x≥−a−1，
解得②，x≤2a，
∴当−a−1≤2a，即a≥−13时，
原不等式组的解集为−a−1≤x≤2a，
若x1=8−a，x1+x2=2a，
则有x2=3a−8，
∴−a−1≤x1≤2a−a−1≤x2≤2a，
∴−a−1≤8−a≤2a−a−1≤3a−8≤2a，
解得83≤a≤8，
∵a+b+c=12.
∴b+c=12−a，
∴2a+10b+10c16=15−a2，
∵2a+10b+10c16为整数，83≤a≤8，
∴“关联系数a”的值为3或5或7，
故答案为3或5或7，
(1)先求出各选项不等式组的解集，根据概念判断即可．
(2)先求出不等式组的解集，根据条件即可求出原不等式组的解集，根据概念，建立不等式组，即可求出答案，
(3)先表示出不等式组各个不等式的解集，即可根据条件表示出原不等式组的解集，根据关联数的概念，建立关于a的不等式组，解不等式组的取值范围即可．
本题考查了一元一次不等式组的应用，解题关键在于正确理解题意中关联数的定义．x
−7
−4
0
2
8
y
10
7
p
1
−5
x
−7
…..
0
…..
8
y
−2
…..
q
…..
13