2023-2024学年北京市西城区七年级（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年北京市西城区七年级（下）期末数学试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共16分，每题2分）
1.下列各组图形或图案中，能将其中一个图形或图案通过平移得到另一个图形或图案的是( )
A. B. C. D.
2.在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是( )
A. (1,2)B. (−1,−2)C. (−1,2)D. (1,−2)
3.下列调查中，适合采用全面调查的是( )
A. 对乘坐飞机的旅客进行安检B. 调查某批次汽车的抗撞击能力
C. 调查某市居民垃圾分类的情况D. 调查市场上冷冻食品的质量情况
4.若aA. a−1−2bC. a+b<2bD. a25.下列图形中，由AB/​/CD，能得到∠1=∠2的是( )
A. B.
C. D.
6.由x2−y3=1可以得到用x表示y的式子是( )
A. y=3x−22B. y=32x−12C. y=3−32xD. y=32x−3
7.下列命题：①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④所有实数都可以用数轴上的点表示.其中真命题的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有两个非负整数解，则a的取值范围是( )
A. 2≤a<3B. 1二、填空题（共16分，每题2分）
9.在实数 4， 33，3.14159，227中，是无理数的是______．
10.94的算术平方根是______．
11.已知二元一次方程x+2y=7，请写出该方程的一组整数解______．
12.把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：______．
13.一个样本容量为63的样本，最大值是172，最小值是149，取组距为3，则这个样本可以分成______组.
14.平面直角坐标系中，点M(3,1)，N(a,a+3)，若直线MN与y轴平行，则点N的坐标是______．
15.如图，点A，B，C在同一条直线上，AD⊥AE，且AD//BF，∠CBF=α，
则∠CAE= ______(用含α的代数式表示)．
16.关于x，y的二元一次方程kx−y=1，且当x=2时，y=5．
(1)k的值是______；
(2)当x<2时，对于每一个x的值，关于x的不等式x+n>kx−1总成立，则n的取值范围是______．
三、解答题（共68分，第17题8分，第18题11分，第19-21题，每题9分，第22题5分，第23题9分，第24题8分）
17.(1)计算：38+|− 3|− 4−2 3；
(2)求等式中x的值：(x−1)2=16．
18.(1)解方程组2x−3y=34x−y=−4；
(2)解不等式组3x−2≥xx4−1<8−3x4，并写出它的整数解．
19.(1)如图1，点P是∠ABC的边BC上一点．
按照要求回答下列问题：
①过点P分别画出射线BC的垂线PE和射线BA的垂线PF，F是垂足；
②线段PF ______PB(填“<”“>”“=”)的理由是______．
(2)如图2，点E，F分别在AB，BC上，点D，G在AC上，EG，FD的延长线交于点H.若∠CDF=∠A，∠BDF+∠BEG=180°．
求证：∠BDF=∠H．
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵∠CDF=∠A，
∴AB//HF(______)(填推理的依据)．
∴∠BDF=∠ABD(______)(填推理的依据)．
∵∠BDF+∠BEG=180°，
∴∠ABD+∠BEG=180°，
∴ ______//EH．
∴∠BDF=∠H(______)(填推理的依据)．
20.在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A(−1,4)，B(−4,−1)，C(1,0)．
(1)画出三角形ABC，并求它的面积；
(2)将三角形ABC平移到三角形A1B1C1，其中点A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1.已知点A1的坐标是(3,2)，
①点B1的坐标是______，点C1的坐标是______；
②写出一种将三角形ABC平移到三角形A1B1C1的方法：______．
21.某商店决定购进甲、乙两种文创产品.若购进甲种文创产品7件，乙种文创产品3件，则费用是285元；若购进甲种文创产品2件，乙种文创产品6件，则费用是210元．
(1)求购进的甲、乙两种文创产品每件的费用各是多少元？
(2)若该商店决定购进这两种文创产品共200件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这200件文创产品的总费用不少于5350元，且不超过5368元，求该商店共有几种购进这两种文创产品的方案．
22.在今年第29个世界读书日来临之际，某校数学活动小组为了解七年级学生每天阅读时长的情况设计了一份调查问卷，同时随机邀请七年级的一些学生完成问卷调查，获得了这些学生平均每天阅读时长的数据，并对这些数据进行了整理，绘制成频数分布表、频数分布直方图.下面给出了部分信息．
a.平均每天阅读时长频数分布表、频数分布直方图分别如图所示．
b.其中60≤x<90这一组的平均每天阅读时长是：60，60，70，70，73，75，75，75，80，83，84，84，84，85，89．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中m= ______，n= ______，参与问卷调查的学生共有______人；
(2)补全频数分布直方图；
(3)为了鼓励学生养成阅读习惯，语文老师建议对七年级平均每天阅读时长在75分钟及以上的学生授予“阅读达人”称号.已知七年级共有990名学生，请估计该年级共有多少名学生获得“阅读达人”称号．
23.如图，直线AB//CD，直线EF与直线AB，CD分别交于点E，F，∠AEF的平分线交CD于点P．
(1)求证：∠FEP=∠FPE；
(2)点G是射线PF上一个动点(点G不与点P，F重合)，∠FEG的平分线交直线CD于点H，过点H作HN//PE交直线AB于点N，
①当点G在线段PF上时，依题意补全图形，用等式表示∠EHN和∠EGF之间的数量关系，并证明；
②当点G在线段PF的延长线上时，直接写出用等式表示的∠EHN和∠EGF之间的数量关系．
24.在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b)(点M不与原点O重合)，将点Q(x+ka,y+kb)(k>0)称为点P(x,y)关于点M的“k倍平移点”．
(1)已知点P的坐标是(4,3)，
①若点M(2,−2)，则点P关于点M的“2倍平移点”Q的坐标是______；
②点N(−3,−2)，T(1,−2)，点M在线段NT上，过点R(r,0)作直线l⊥x轴，若直线l上存在点P关于点M的“2倍平移点”，求r的取值范围．
(2)点A(−1,−1)，B(1,−1)，E(5,7)，F(8,4)，以AB为边在直线AB的上方作正方形ABCD，点M在正方形ABCD的边上，且a>0，b>0，对于正方形ABCD的边上任意一点P，若线段EF上都不存在点P关于点M的“k倍平移点”，直接写出k的取值范围．
25.将非负实数x“四舍五入”到个位的值记为[x]，当n为非负整数时，
①若n−12≤x如，[0]=[0.49]=0，[0.64]=[1.49]=1，[2]=2．
(1)[π]= ______；
(2)若[t+1]=32t，则满足条件的实数t的值是______．
26.在平面直角坐标系xOy中，给定n个不同的点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，…，Pn(xn,yn)，若x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn中共有t个不同的数，则称t为这n个不同的点的特征值.图形F上任意n个不同的点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，…，Pn(xn,yn)中，特征值最小的一组点的特征值称为图形F的n阶特征值．
(1)点A1(−1,1)，A2(3,−1)，A3(2,3)的特征值是______；
(2)已知正方形ABCD的四个顶点分别为A(a,0)，B(a+2,0)，C(a+2,2)，D(a,2)，
①直接写出正方形ABCD的4阶特征值的最小值；
②若正方形ABCD的5阶特征值的最小值是3，直接写出a的取值范围．
参考答案
1.B
2.C
3.A
4.D
5.B
6.D
7.C
8.C
9. 33
10.32
11.x=1y=3(答案不唯一)
12.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
13.8
14.(3,6)
15.90°+α
16.3 n≥3
17.解：(1)38+|− 3|− 4−2 3
=2+ 3−2−2 3
=− 3；
(2)开平方，得x−1=±4，
解得x=5或x=−3．
18.解：(1)2x−3y=3①4x−y=−4②，
①−②×3，得−10x=−15，
解得x=−32，
把x=−32代入②，得y=−2．
故原方程组的解为x=−32y=−2；
(2)3x−2≥x①x4−1<8−3x4②，
解不等式①，得：x≥1，
解不等式②，得：x<3，
则不等式组的解集为：1≤x<3．
19.(1)①如图：
∴垂线PE，垂线PF即为所求；
②<；垂线段最短；
(2)∵∠CDF=∠A，
∴AB//HF(同位角相等，两直线平行)，
∴∠BDF=∠ABD(两直线平行，内错角相等)，
∵∠BDF+∠BEG=180°，
∴∠ABD+∠BEG=180°，
∴BD//EH．
∴∠BDF=∠H(两直线平行，同位角相等)，
20.(1)如图，三角形ABC即为所求．
三角形ABC的面积为12×(2+5)×5−12×5×1−12×2×4=352−52−4=11．
(2)由题意知，三角形ABC向右平移4个单位长度，向下平移2个单位长度得到三角形A1B1C1．
①(0,−3)；(5,−2)．
②一种将三角形ABC平移到三角形A1B1C1的方法：三角形ABC向右平移4个单位长度，向下平移2个单位长度得到三角形A1B1C1.故答案为：三角形ABC向右平移4个单位长度，向下平移2个单位长度得到三角形A1B1C1．
21.解：(1)设甲种文创产品每件的费用是x元，乙种文创产品每件的费用是y元，
根据题意得：7x+3y=2852x+6y=210，
解得：x=30y=25，
答：甲种文创产品每件的费用是30元，乙种文创产品每件的费用是25元；
(2)设购进甲种文创产品m件，则购进乙种文创产品(200−m)件，
由题意得：30m+25(200−m)≥535030m+25(200−m)≤5368，
解得：70≤m≤73.6，
∵m为正整数，∴m=70，71，72，73，
∴该商店共有4种购进这两种文创产品的方案．
22.(1)5；15；50．
(2)补全频数分布直方图如图所示．
(3)990×10+7+350=396(人)．
∴估计该年级获得“阅读达人”称号的学生约396人．
23.解：(1)证明：∵AB//CD，
∴∠FPE=∠AEP，
又∵EP平分∠AEF，
∴∠AEP=∠FEP，
∴∠FEP=∠FPE．
(2)①∠EGF=2∠EHN.图形如下：
证明：∵AB//CD，
∴∠EHN=∠CFH．
又∵∠CFH=∠PEG+∠GEH，
∴∠EHN=∠PEG+∠GEH，
∵HN//PE，
∴∠EGF=∠AEG．
∵EP平分∠AEF，
∴∠AEP=∠PEF，
∴∠AEP=∠PEG+2∠GEH，
∴∠EGF=∠PEG+2∠GEH+∠PEG
=2∠GEH+2∠PEG，
即：∠EGF=2∠EHN．
②∠EHN=90°−12∠EGF.
证明：∵EH平分∠GEF，EP平分∠AEF，
∴∠FEH=∠GEH，∠AEP=∠FEP，
∵AB//CD，HN//PE，
∴∠EHN=∠PFH，∠∠EGF=∠GEN，
∴∠PEG=∠FEP+∠FEH，
∴∠AEG=2(∠FEP+∠FEH)=2∠PEH=2∠EHN，
又∵∠AEG+∠GEN=180°，
∴2∠EHN+∠EGF=180°，
即：∠EHN=90°−12∠EGF．
24.(1)①(8,−1)；
②∵N(−3,−2)，T(1,−2)，点M在线段NT上，
∴设点M的坐标为(m,−2)(−3≤m≤1)，
∴点P(x,y)关于点M的“2倍平移点”为：Q[4+2m,3+2×(−2)]，即点Q的坐标为(4+2m,−1)，
∵−3≤m≤1，
∴−2≤4+2m≤6，
∵过点R(r,0)作直线l⊥x轴，若直线l上存在点P关于点M的“2倍平移点”，
∴r=4+2m，
∴−2≤r≤6；
(2)∵点A(−1,−1)，B(1,−1)，以AB为边在直线AB的上方作正方形ABCD，
∴点C的坐标为(1,1)，点D的坐标为(−1,1)，
∵点M(a,b)在正方形ABCD的边上，且a>0，b>0，
∴点M的坐标为(1,b)或(a,1)，0∵点P是正方形ABCD的边上任意一点，
∴点P的横、纵坐标最大时，坐标为(1,1)，点P的横、纵坐标最小时，坐标为(−1,−1)，
∵E(5,7)，F(8,4)，
∴设线段EF上任意一点Q的坐标为(xQ,yQ)，
则5≤xQ≤8，4≤yQ≤7，
当点P的横、纵坐标最大，点M的坐标为(1,b)时，点P关于点M的“k倍平移点”坐标为(1+k,1+kb)，
当点P的横、纵坐标最大，点M的坐标为(a,1)时，点P关于点M的“k倍平移点”坐标为(1+ka,1+k)，
当点P的横、纵坐标最小，点M的坐标为(1,b)时，点P关于点M的“k倍平移点”坐标为(−1+k,−1+kb)，
当点P的横、纵坐标最小，点M的坐标为(a,1)时，点P关于点M的“k倍平移点”坐标为(−1+ka,−1+k)，
∵线段EF上都不存在点P关于点M的“k倍平移点”，
∴−1+k>8−1+k>7k>0或1+k<51+k<4k>0，
解得：k>9或0即当k>9或025.(1)3；
(2)43，2，83．

26.(1)4．
(2)①当a=0时，正方形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，
此时正方形ABCD的4阶特征值最小，且最小值为2；
②∵正方形ABCD的四个顶点分别为A(a,0)，B(a+2,0)，C(a+2,2)，D(a,2)，
∴正方形的一条边在x轴上，一条边在直线y=2上，边长为2，
∵正方形ABCD的5阶特征值的最小值是3，
∴当(2,0)，(2,2)在正方形ABCD上时，取点A(a,0)，E(a,a)，(a,2)，此时正方形ABCD的5阶特征值最小为3，
如图，
∴a+2≥2a<2．
解得：0≤a<2．
成绩
频数
0≤x<30
m
30≤x<60
20
60≤x<90
n
90≤x<120
7
120≤x≤150
3