2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）热点专题3-2切线问题综合【11类题型】-2含解析答案

这是一份2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）热点专题3-2切线问题综合【11类题型】-2含解析答案，共25页。

【题型8】由切线条数求参数范围
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值，有多少个解对应有多少条切线．
（2022年新高考全国I卷数学真题）
1．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
（2024·河南信阳·模拟预测）
2．若过点仅可作曲线的两条切线，则的取值范围是 .
（2024届广东省六校高三第一次联考T8）
3．已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是 ．
【巩固练习1】
（23-24高三·湖北武汉·阶段练习）
4．已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习2】
(2024届·广州中山大学附属中学校考)
5．过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．B．C．D．3
【巩固练习3】
（2024·宁夏银川·二模）
6．已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习4】
（2024·内蒙古·三模）
7．若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习5】
8．已知点在直线上运动，若过点恰有三条不同的直线与曲线相切，则点的轨迹长度为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【巩固练习6】
9．若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习7】
10．若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习8】
（2024高三·辽宁本溪·期中）
11．若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
【题型9】两条切线平行、垂直、重合问题
利用导数的几何意义进行转化，再利用两直线平行或重合则斜率相等，两直线垂直则斜率之积为-1.
（2024·河北邢台·二模）
12．已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
13．已知函数若对任意，曲线在点和处的切线互相平行或重合，则实数（ ）
A．0B．1C．2D．3
（2024·辽宁·二模）
14．已知函数的图象与函数且的图象在公共点处有相同的切线，则 ，切线方程为 .
【巩固练习1】
（2024·全国·模拟预测）
15．已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习2】
（23-24高三·辽宁·阶段练习）
16．已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线平行，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习3】
（2024·河南·三模）
17．已知函数点，在曲线上（在第一象限），过，的切线相互平行，且分别交轴于，两点，则的最小值为 ．
【巩固练习4】
（2024·北京朝阳·一模）
18．已知函数.若曲线在点处的切线与其在点处的切线相互垂直，则的一个取值为 .
【题型10】与切线有关的参数范围或最值问题
利用导数的几何意义以及利用导数研究函数单调性，从而求出相关式子的取值范围.
（2024·全国·模拟预测）
19．若直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．B．－2C．－1D．0
【巩固练习1】
（2024·重庆·模拟预测）
20．已知直线与曲线相切于点，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习2】
（2024·广东广州·模拟预测）
21．已知直线恒在曲线的上方，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习3】
22．已知直线与函数的图象相切，则的最小值为 ．
【巩固练习4】
23．对给定的实数，总存在两个实数，使直线与曲线相切，则的取值范围为 .
【题型11】牛顿迭代法
数形结合处理
（23-24高三·河南郑州·期中）
24．“以直代曲”是微积分中的重要思想方法，牛顿曾用这种思想方法求高次方程的根．如图，r是函数的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近r的实数，，，…，，其中是在处的切线与x轴交点的横坐标，是在处的切线与x轴交点的横坐标，…，依次类推．当足够小时，就可以把的值作为方程的近似解．若，，则方程的近似解 ．

（2024·山东潍坊·三模）
25．牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程 的根就是函数的零点，取初始值的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为 的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为，一直继续下去，得到，它们越来越接近．设函数，，用牛顿迭代法得到，则实数（ ）
A．1B．C．D．
【巩固练习1】
26．牛顿迭代法是求方程近似解的另一种方法．如图，方程的根就是函数的零点，取初始值，的图象在横坐标为的点处的切线与轴的交点的横坐标为，的图象在横坐标为的点处的切线与轴的交点的横坐标为，一直继续下去，得到，，…，，它们越来越接近．若，，则用牛顿法得到的的近似值约为（ ）

A．1.438B．1.417C．1.416D．1.375
【巩固练习2】
（2023·湖北咸宁·模拟预测）
27．英国数学家牛顿在17世纪给出一种求方程近似根的方法一Newtn-Raphsn methd译为牛顿-拉夫森法.做法如下：设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线：，则与轴交点的横坐标为，称是的一次近似值；重复以上过程，得的近似值序列，其中，称是的次近似值.运用上述方法，并规定初始近似值不得超过零点大小，则函数的零点一次近似值为（ ）（精确到小数点后3位，参考数据：）
A．2.207B．2.208C．2.205D．2.204
【巩固练习3】
28．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．具体做法如下：如图，设r是的根，首先选取作为r的初始近似值，在处作图象的切线，切线与x轴的交点横坐标记作，称是r的一次近似值，然后用替代重复上面的过程可得，称是r的二次近似值；一直继续下去，可得到一系列的数在一定精确度下，用四舍五入法取值，当近似值相等时，该值即作为函数的一个零点r，若使用牛顿法求方程的近似解，可构造函数，则下列说法正确的是（ ）

A．若初始近似值为1，则一次近似值为3
B．
C．对任意，
D．任意，
参考答案：
1．
【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.
【详解】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
2．
【分析】设切点为：，根据切线过点，得到，令，再根据过点仅可作曲线的两条切线，由 与的图象有两个交点求解.
【详解】设切点为：，
，
所以切线方程为，
又因为切线过点，
所以，
即，
令，
则，
令，得或，
当或时，，当时，，
，
当时，则，且；
当时，则，
所以的图象如图所示：
因为过点仅可作曲线的两条切线，
所以与的图象有两个交点，
则 或.
故答案为：.
3．
【分析】设出切线的方程，根据切点和斜率列方程组，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围.
【详解】设过点的直线为，
，设切点为，
则 ，得有三个解，
令，，
当，得或，，得，
所以在，单调递增，单调递减，
又，，有三个解，
得，即.
故答案为：
【点睛】利用导数研究曲线的切线方程，首先要关注的是给定的点是在曲线上还是在曲线外，两种情况的求法有区别，也有共同点，共同点是关注切点和斜率，这两个是求解切线问题的突破口.求“解的个数”问题，可转化为极值或值域问题来进行研究.
4．D
【分析】设切点为，表示出切线方程，根据题意可得方程有两个不同的根，由此可得a的范围．
【详解】设切点为，∴切线的斜率，
∴切线方程是，
∵切线过点A（a，0），
∴，即，
∵过点A（a，0）可以作两条切线，
∴方程有两个不同的根，
∴＝（a+1）2﹣4＞0，解得a＞1或a＜﹣3．
故选：D.
5．D
【分析】利用切线方程过定点来求切点的横坐标，从而得到一元二次方程根与系数关系求解.
【详解】因为，所以，设切点坐标为，
所以，所以切线方程为，
由切线方程过点，则，即，
依题意得：关于的方程有两个不同的解，
即关于的一元二次方程有两个不同的解，
所以.
故选：D.
6．B
【分析】根据直线和曲线相切得到，结合导数及函数零点的个数可得答案.
【详解】点不在函数的图象上，
则，即，
设过点的直线与的图象相切于，
则切线的斜率，整理可得，
则问题可转化为只有一个零点，且，
令，可得或，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
即当时，有极大值，当时，有极小值，
要使仅有一个零点，
或
故选：B
7．C
【分析】设出切点，求导，利用导数几何意义求出切线方程，代入，得到，构造，求导，得到函数单调性，从而得到，结合当时，，当时，，从而得到答案.
【详解】在曲线上任取一点，对函数求导，得，
所以曲线在点处的切线方程为.
由题意可知，点在直线上，可得.
令，则.
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，且当时，，当时，，
又直线与曲线的图象有两个交点，
所以的取值范围为.
故选：C
8．D
【分析】求出曲线的导函数，得到的表达式，构造新函数，得出单调性，即可求出点的轨迹长度.
【详解】由题意，
设点，过点的直线与曲线相切于点，
∴，的方程为，
∴，化简得，
设，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∵若过点恰有三条不同的直线与曲线相切，
，
∴满足条件的恰有三个，
∴，即，
∴点的轨迹长度为8.
故选：D.
9．B
【分析】根据导数的几何意义求出过点的切线方程为，利用方程的解个数与函数图象交点个数的关系将问题转化为图象与直线在R上有3个交点，结合导数求出函数的极值，根据数形结合的思想即可求解.
【详解】设该切线的切点为，则切线的斜率为，
所以切线方程为，
又切线过点，则，整理得.
要使过点的切线有3条，需方程有3个不同的解，
即函数图象与直线在R上有3个交点，
设，则，
令，令或，
所以函数在上单调递增，在和上单调递减，
且极小值、极大值分别为，如图，
由图可知，当时，函数图象与直线在R上有3个交点，
即过点的切线有3条.
所以实数a的取值范围为.
故选：B.
10．C
【分析】假设切点坐标，根据导数几何意义可求得切线方程，代入，将问题转化为与有两个不同交点，利用导数可求得单调性和最值，由此可得结果.
【详解】设切点坐标为，
，切线斜率，在点处的切线方程为：；
切线过点，，
过点可以作曲线的两条切线，
令，则与有两个不同交点，
，
当时，，在上单调递增，不合题意；
当时，若，则；若，则；
在上单调递减，在上单调递增，
，，即，
又，.
故选：C.
11．B
【分析】设切点点，写出切线方程，将点代入切线方程得，此方程有两个不同的解，利用导数求b的范围.
【详解】在曲线上任取一点， ，
所以曲线在点处的切线方程为.
由题意可知，点在直线上，可得，
令函数，
则.
当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
所以.
设，
所以，
所以当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，
所以，
所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
的图象如图：
由题意可知，直线与的图象有两个交点，则.
故选：B
12．B
【分析】函数在两点处的切线平行，转化为函数在两点处的导数相等，得到的关系，在结合不等式求的取值范围即可.
【详解】因为，.
所以，.
由因为在，两个不同点处的切线相互平行，
所以，又，所以，故CD错误；
因为且，所以，故A不成立；
当时，.故B成立.
故选：B
13．C
【分析】求得，根据题意转化为为偶函数，即可求解.
【详解】由函数，
可得，
因为曲线在点和处的切线互相平行或重合，
可得为偶函数，所以，解得.
故选：C.
14．
【分析】设公共点为，即可得到，再由导数的几何意义得到，从而求出，即可求出切点坐标，从而求出，再求出切线方程.
【详解】设公共点为，则，即，所以，
所以，
由，，所以，，
又在公共点处有相同的切线，所以，即，所以，则，，
则，
则，所以切线方程为，即.
故答案为：；
15．A
【分析】根据题意知有两个不相等的正实数根，结合一元二次方程根的分布即可求得参数的范围.
【详解】由题意知，因为切线与直线垂直，
所以曲线在点处的切线斜率都是，
即关于的方程有两个不相等的正实数根，
化简得，有两个不相等的正实数根，
则，解得.
故选：A.
16．A
【分析】求导，问题转化为有两个不同的根，利用导数研究函数的单调性，结合单调性和最值可得结果.
【详解】因为，则，
令，整理得，
设，则，
时，；时，；
可知在上单调递减，在上单调递增，
则，
当趋近于时，趋近于0，当趋近于时，趋近于，
由题意可知：有两个不同的解，
即与的图像有两个不同的交点，
则，解得，
令，则，
可知，
即切点坐标为，则切线方程为，
代入点可得：，解得，
且，所以实数的取值范围是.
故选：A.
17．
【分析】利用给定条件得到，再把目标式化为一元函数，求导研究最值即可.
【详解】易知，设，则，
设切线斜率为，则，所以，
设，则，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以的最小值为，所以的最小值为．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是利用给定条件得到，然后把目标式表示为，求导得到单调性，再求最值即可．
18．(答案不唯一)
【分析】利用导数的几何意义，结合条件可知，，再根据函数的取值，即可求解.
【详解】，由题意可知，，
即，所以，得，，，
或，得，，，
所以，，,
所以的一个取值为.
故答案为：(答案不唯一)
19．C
【详解】根据直线与函数相切，可得以及，即可换元构造函数，利用导数求解函数的最值求解.
【分析】设切点坐标为．由已知，得，则，
解得．
又切点在切线与曲线上，
所以，所以．
令，则．
令，解得．当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减．
所以，即，所以，则的最小值为－1．
故选：C．
20．B
【分析】由导数几何意义可得，，所以，令，对求导，得到的单调性和最值，即可得出答案.
【详解】因为，所以，∴．
又∵切点在直线上，
∴，解得．∴．
令，则，，
令，解得：；令，解得：；
可得在上单调递增，在上单调递减，
时，，时，，
当趋近负无穷时，趋近，；，
故的取值范围为．
故选：B．
21．A
【分析】设直线与曲线切于点，根据题意由在直线上方，由求解.
【详解】解：设直线与曲线切于点，
则，
所以切线方程为，
所以，，
所以，
设，，
当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以.
故选：A.
22．##
【分析】设出切点坐标，求出切线方程为，从而可得，构造函数，求出其最小值即可得答案.
【详解】设切点为，，所以切线的斜率，
则切线方程为，即，
故，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，即的最小值为.
故答案为：
23．
【分析】求出导函数，然后利用导数的几何意义列方程消元得，构造函数，利用导数法研究函数单调性，数形结合求得值域即可求解.
【详解】由得，设切点坐标为，则，
消去可得，所以，
令，则，当1时，单调递增；
当时，令，则，
所以在区间上单调递减，因为，
所以当时，，即单调递增.
因为当趋近于0时，趋近于负无穷大，当从1左边趋近于1时，趋近于正无穷大，
当从1右边趋近于1时，趋近于负无穷大，当趋近于正无穷大时，趋近于0，
作出的大致图象，
所以若对给定的实数，总存在两个实数，使直线与曲线相切，
则的取值范围为.
故答案为：
24．
【分析】由题意得出在的切线方程，令即可求解．
【详解】由题可得，，则，
所以在处的切线方程为：，
令，解得，即方程的近似解，
故答案为：．
25．D
【分析】求得在的切线方程，代入求解即可．
【详解】，，，
则在处的切线方程为，
由题意得，切线过代入得，，解得，
故选：D．
26．B
【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义按照牛顿迭代法依次计算作答.
【详解】由，求导得，而，则，又，
于是函数的图象在横坐标为的点处的切线方程为，
令，得，则，，
因此函数的图象在横坐标为的点处的切线方程为，令，得，
所以约为1.417.
故选：B
27．C
【分析】依题意依次计算化简即可.
【详解】易知在定义域上单调递增，，即函数的零点有且只有一个，且在区间上.
不妨取作为初始近似值，，
由题意知.
故选：C.
28．BD
【分析】根据牛顿法，即可求切线方程，进而得横坐标，结合选项即可求解BD.
【详解】设，的零点就是的解．
，当时，，切线为，令，则，所以切线与x轴交点横坐标为，A错误；
在处的切线为，所以切线与x轴交点横坐标为，
所以，，，，
∴，B正确；
若，，由B得，C错误；
，D正确．
故选：BD