2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）热点专题2-1函数的基本概念及其性质-2含解析答案

这是一份2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）热点专题2-1函数的基本概念及其性质-2含解析答案，共16页。

【题型8】抽象函数的定义域问题
求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域.
总结：抽象函数的定义域的方法是：整体代换法（括号内取值范围相同）.
1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A．B．C．D．
【巩固练习1】
4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为
【巩固练习2】
5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习3】
6．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习4】（2024·陕西西安·一模）
7．若函数的定义域是[0，4]，则函数的定义域是
A．[ 0，2]B．(0，2)C．[0，2)D．(0，2]
【题型9】分离常数法求值域
一次分式函数：分离常数法+图像法，形如的函数
第一步：分离常数，将分子变为常数
分离出常数和分子为常数的分式
第二步：结合反比例函数的值域求函数的值域．
8．函数的值域为
【巩固练习1】（广西南宁三中校考）
9．若，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习2】
10．函数的值域为
【题型10】换元法求函数的值域
求根式型函数值域：换元法
形如的函数
第一步：把函数中的根式设为一个变量t，并用t表示x，求出t的取值范围．
第二步：将所求关于x的函数变换为关于t的函数．
第三步：求出y的取值范围，即所求函数的值域．
11．函数的值域是 ．
【巩固练习1】（湖南长沙·高一长郡中学校考）
12．函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习2】
13．函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习3】（2024·湖北·三模）
14．函数的值域为（ ）.
A．B．C．D．
【题型11】对勾函数值域问题
对于对勾函数，是修订的必修一教材新增的内容，在P92页以探究的形式出现（看课本上好像也没有叫对勾函数），可以通过图像法或构造基本不等式来求值域
15．求函数 的值域．
16．求函数的值域．
(1)
(2)
【巩固练习1】
17．求函数的值域．
【巩固练习2】
18．求函数的值域．
(1)；
(2).
【题型12】已知值域求参数范围
这类问题就是按照求值域的思路并与已知的值域建立联系求参数的值.这个例题中，可以通过判别式法求值域，将值域的范围转化为判别式一元二次不等式中y的范围，进而利用根与系数的关系求得参数.
1、虽然这类题型往往是已知值域，但在实际做题分析时，仍然从求值域的角度入手分析.
2、辨析值域为R或零到正无穷、定义域为R之间的区别
不要死记判别式的情况，因为内层函数不一定是二次函数，我们要get到的是：为了让值域能达到XX，我们内层函数最初提供的范围，只能多不能少，因为受定义域限制，多的可以舍掉，但是提供的少了那可就真不够了.
3、其他一般题型，我们建议多多尝试数形结合.
19．若函数的值域为，则实数m的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
（2023上·宁波·余姚中学高一校考）
20．已知函数的值域为，则函数的定义域为
【巩固练习1】（襄阳市第一中月考）
21．已知函数的值域为，求实数k的取值范围 ．
【巩固练习2】（2023·山东省实验中学校考）
22．已知函数的定义域与值域均为，则实数的取值为（ ）
A．-4B．-2C．1D．-1
【题型13】分段函数及其应用
分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．
（2024·吉林长春·三模）
23．已知函数，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
（2024·广东佛山·二模）
24．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线（）左侧的图形的面积为．则函数的大致图象是（ ）

A． B．
C． D．
（2024·江西南昌·一模）
25．设函数，若是的最小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习1】（2023苏州中学高一校考）
26．设函数，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习2】
27．已知函数，则不等式的解集为 ．
【巩固练习3】
28．已知函数若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
参考答案：
1．B
【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可.
【详解】∵函数的定义域为，即，可得，
∴函数的定义域为，
令，解得，
故函数的定义域为.
故选：B.
2．C
【分析】根据的定义域求出的定义域，从而可求解.
【详解】因为函数的定义域是，
所以，所以,即的定义域为，
所以，解得，即的定义域是.
故选:C.
3．B
【分析】根据函数的定义域求出的范围，结合分母不为0求出函数的定义域即可．
【详解】由题意得：，解得：，
由，解得：，
故函数的定义域是，
故选：B．
4．
【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可.
【详解】∵函数的定义域为，即，可得，
∴函数的定义域为，
令，解得，
故函数的定义域为.
故答案为：
5．C
【分析】首先求出，则定义域为，再利用，解出即可.
【详解】，则，的定义域为，
所以，解得，故其定义域为，
故选：C.
6．D
【分析】根据与的取值范围一致，从而得到，进而求得函数的定义域.
【详解】由，得，
所以，所以．
故选：D.
7．D
【分析】根据分式与的定义域求解即可
【详解】要使函数有意义，依题意需有 解得，．
故选：D．
8．
【分析】运用分离常数法化简后结合图象分析可得值域.
【详解】因为，又因为，所以，
所以函数的值域为．
故答案为：.
9．A
【分析】将函数变现为，结合反比例函数的性质计算可得.
【详解】因为，又因为，所以，
所以，所以，所以函数，的值域为．
故选：A．
10．
【分析】利用反比例函数的定义域和值域都是，来求分式函数的值域.
【详解】因为，又因为，所以，
所以函数的值域为．
故答案为：.
11．
【分析】通过变量代换将函数转化为二次函数，利用二次函数的图象与性质分析运算即可得解.
【详解】解：由题意，函数的定义域为，
令，则，，函数转化为，，
∵，对称轴为，最大值为，
∴当时，，即值域为，
∴函数的值域是.
故答案为：.
12．A
【分析】设，化简函数为，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】设，则，且，
则函数可化为，
所以函数的值域为.
故选：A.
13．C
【分析】根据换元法以及二次函数的性质求解结果.
【详解】令，则．
设函数，当时，取最大值9．
因为，所以．
函数的值域为.
故选：C.
14．A
【分析】由，解得．可得函数的定义域为：．．利用导数研究函数的单调性即可得出值域．
【详解】解：因为
由，解得．
可得函数的定义域为：．
又．
令，则，即在上单调递增，
令，解得，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以为极小值点，
又，，．
函数的值域为．
故选：A．
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15．．
【分析】求得函数定义域，分类讨论，结合基本不等式即可求得函数值域.
【详解】由题意，函数的定义域为．
当时，，当时取得等号；
当时，，当时取得等号．
综上，求函数 的值域是．
【点睛】本题考查利用均值不等式求函数的值域，属基础题.
16．(1)
(2)
【分析】（1）由基本不等式求出函数值域；
（2）由对勾函数单调性求出值域.
【详解】（1），由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立.
故值域为；
（2），由对勾函数性质得，
在上单调递增，在上单调递减，
其中当时，，
当时，，当时，，
故值域为
17．
【分析】函数的值域，只需要求出的值域即可．由于乘积出现定值，可以用基本不等式求解．
【详解】显然，分类讨论．
当，，当且仅当，即时取等号，
此时的最小值为，的最小值为；
当，则，，当且仅当，即时取等号，
此时的最大值为，的最大值为．
综上所得，函数的值域为．
18．(1)
(2)
【分析】利用对勾函数的性质求解函数的值域即可.
【详解】（1）因为，由对勾函数可知：在内单调递减，在内单调递增，
可知当时，取到最小值4，
所以当时，函数的值域为.
（2）因为，由对勾函数可知：在内单调递减，在内单调递增，
可知当时，取到最小值4，
当时，；当时，；且，
所以当时，函数的值域为.
19．B
【分析】根据题意由二次函数值域利用判别式即可求得实数m的取值范围.
【详解】因为函数的值域为，
所以能取遍所有大于或等于零的实数，
即方程在实数范围内有解．
所以，解得．
故选：B．
20．
【分析】首先求出函数的定义域，再利用抽象函数的定义域的求法求解
【详解】由值域为，
得，所以，
解得即的定义域为，
由得，
故的定义域为.
故答案为：
21．
【分析】根据函数的值域为，可得是函数的值域的子集，再分和两种情况讨论即可.
【详解】因为函数的值域为，
所以是函数的值域的子集，
当时，，符合题意，
当时，
则，解得，
综上所述，.
故答案为：.
22．A
【分析】依题意知的值域为，则方程的两根为或，可得，，从而确定当时，取得最大值为，进而解得.
【详解】依题意，的值域为，且的解集为，
故函数的开口向下，，
则方程的两根为或，
则，，即，
则，
当时，取得最大值为，
即，解得：.
故选：A.
23．B
【分析】根据分段函数解析式，代入求值即可.
【详解】由函数可得，.
故选：B.
24．A
【分析】结合图形，分类讨论与，求得的解析式，从而得解.
【详解】依题意，当时，可得直角三角形的两条直角边分别为，
从而可以求得，
当时，阴影部分可以看做大三角形减去一个小三角形，
可求得，
所以，
从而可知选项A的图象满足题意.
故选：A.
25．C
【分析】由，求得的范围；再求得的单调性，讨论，时函数在的最小值，即可得到所求范围．
【详解】解：函数，
若，可得，
由是的最小值，
由于
可得在单调递增，在单调递减，
若，，则在处取得最小值，不符题意；
若，，则在处取得最小值，
且，解得，
综上可得的范围是，．
故选：．
【点睛】本题考查分段函数的最值的求法，注意运用分类讨论思想方法，以及指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．
26．B
【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，分类列出不等式，即可求解.
【详解】由函数，
当时，令，即，可得，解得，所以解集为；
当时，令，即，可得，所以解集为，
综上可得，不等式的解集为.
故选：B.
27．
【分析】根据题意，分与两种情况，解不等式，即可得到结果.
【详解】当时，，解得，则；
当时，，即，解得，则，
综上，不等式的解集为.
故答案为：
28．D
【分析】按和分类解不等式即可得．
【详解】，
若，则，即，解得，所以，
若，则，即，解得，所以，
综上，不等式的解为．
故选：D．
【点睛】本题考查解不等式，解题方法是分类讨论．掌握分类讨论的思想方法是解题关键．