2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）热点专题3-1导数的概念与运算【6类题型】含解析答案

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【题型1】平均速度（变化率）与瞬时速度（变化率）
【题型2】 导数的定义中极限的简单计算
【题型4】导数的运算
【题型3】导数的几何意义初步
【题型5】复合函数求导
【题型6】导数的赋值运算
【题型1】平均速度（变化率）与瞬时速度（变化率）
1.求平均变化率的主要步骤：
（1）先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1).
（2）再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.
（3）得平均变化率＝.
2．瞬时速度是当Δt→0时，运动物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度的极限值，瞬时速度与平均速度二者不可混淆．
1．函数在区间上的平均变化率为15，则实数的值为（ ）
A．B．C．1D．2
2．已知函数在处的瞬时变化率为，则 ．
【巩固练习1】
3．某物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（ ）
A．是物体从开始到这段时间内的平均速度
B．是物体从到这段时间内的速度
C．是物体在这一时刻的瞬时速度
D．是物体从到这段时间内的平均速度
【巩固练习2】
4．若函数在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为，则（ ）
A．B．
C．D．与的大小关系与的取值有关
【巩固练习3】
5．如图1，现有一个底面直径为高为的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（ ）
A．B．C．D．
【题型2】 导数的定义中极限的简单计算
函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．
知识点诠释：
①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数；
②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与
无限接近；
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即．
导数的物理意义
函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．
6．若函数在区间内可导，且，则 的值为（ ）
A．B．
C．D．0
（2024·江苏南通·二模）
7．已知，当时， .
【巩固练习1】
8．设函数可导，则 ．
【巩固练习2】
9．函数y＝f（x）在区间（a，b）内可导，且x0∈（a，b）若，则＝（ ）
A．＝1B．＝2
C．＝4D．不确定
【巩固练习3】
10．已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【题型4】导数的运算
一、基本初等函数的导数公式
二、导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：；
（2）函数积的求导法则：；
（3）函数商的求导法则：，则．
特别地：
①，
②，
11．求下列函数的导数．
(1)
(2)；
12．设函数，则的值为（ ）
A．10B．59C．D．0
【巩固练习1】
13．求下列函数的导数．
(1)
(2)
(3)
(4)
【巩固练习2】
14．求下列函数的导函数．
(1)；
(2)；
【巩固练习3】
15．在等比数列中，，若函数，则（ ）
A．B．C．D．
【题型3】导数的几何意义初步
导数的几何意义
导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数的大小可以根据函数图象，观察对应切线的斜率的大小，函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．
16．函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
（湖南省2024届高三数学模拟试题）
17．曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
（23-24高三上·福建福州·期中）
18．已知直线l与曲线相切，则下列直线中可能与l平行的是（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习1】
19．已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）

A．B．
C．D．
【巩固练习2】
（2024·全国·高考真题）
20．设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习3】
（2024·福建厦门·一模）
21．已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习4】
（2024·四川宜宾·模拟预测）
22．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则（ ）
A．B．1C．D．
【题型5】复合函数求导
简单复合函数的导数
（1）复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).
（2）复合函数的求导法则 正确地拆分复合函数是求导的前提
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
23．求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
【巩固练习1】
24．求下列各函数的导数：
(1)；
(2).
【巩固练习2】
（2024高三·全国·专题练习）
25．求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【巩固练习3】
26．求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)
(4)；
【题型6】导数的赋值运算
若导函数中含有某个数的导数时，可以通过对x赋值来求出解
27．已知函数（是的导函数），则
28．已知函数满足,求的解析式
（2024·全国·模拟预测）
29．已知函数（是的导函数），则曲线在处的切线方程为 ．
【巩固练习1】
30．已知，则 ．
【巩固练习2】
31．已知函数的导函数为，且满足，则
【巩固练习3】
32．已知函数的导函数为，且满足，则 .
【巩固练习4】
33．已知函数，则 .
【巩固练习5】
34．已知，则 ，
近5年考情（2020-2024）
考题统计
考点分析
考点要求
2024年甲卷第6题，5分
高考对本节内容的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点考查导数的计算、四则运算法则的应用和求切线方程为主．
（1）导数的概念和定义（2）导数的运算
（3）求过某点的切线方程
2024年I卷第13题，5分
2023年甲卷第8题，5分
2021年I卷第7题，5分
2021年甲卷第13题，5分
原函数
导函数
（为常数）
参考答案：
1．C
【分析】利用平均变化率公式求解即可.
【详解】由区间可知，可得，又由，解得.
故选：C.
2．9
【分析】利用导数的定义求导函数，结合已知求参数，进而可求.
【详解】由题知，，得，
∴．
故答案为：9
3．C
【解析】由瞬时变化率的物理意义判断．
【详解】是物体在这一时刻的瞬时速度.
故选：C.
4．A
【分析】直接代入函数平均变化率公式进行化简得到，表达式，由题意知，即可得判断，大小关系.
【详解】，．
由题意知，所以，
故选：A．
5．C
【分析】先根据圆锥的体积公式列出等式得出；再根据导数的运算得出；最后令即可求解.
【详解】设注入溶液的时间为（单位：）时，溶液的高为，
则，得.
因为，
所以当时，，
即圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为.
故选：C
6．B
【分析】根据导数的定义即可求解.
【详解】由题意知，.
故选：B
7．1
【分析】根据导数的定义即可直接求解.
【详解】由导数的定义知，，
由，得，
所以.
故答案为：1
8．
【分析】运用导数的极限定义计算即得.
【详解】
故答案为：．
9．A
【分析】将已知的等式变形为符合导数定义的形式，利用导数定义得到答案.
【详解】，
，
即.
故选:A.
10．BCD
【分析】利用导数的定义逐个求解.
【详解】，故A错；
，故B对；
，由导数的定义知C对；
，故D对；
故选：BCD
11．(1)
(2)
【分析】（1）利用积的导数法则计算即得；
（2）利用商的导数法则化简计算即得.
【详解】（1）由求导得，；
（2）由求导得，.
12．C
【分析】设，则，利用导数乘法法则求，由此可得结论.
【详解】函数的定义域为，
设，则，
所以
所以.
故选：C.
13．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）（2）（3）（4）根据基本初等函数的求导公式，结合求导法则即可逐一求解.
【详解】（1）由可得
（2）由可得
（3）由得
（4）由得
14．(1)；
(2).
【分析】（1）利用函数积与差的导数法则求导化简即得；
（2）利用函数的商的导数法则求导化简即得.
【详解】（1）由求导得，
；
（2）由求导得，.
15．A
【分析】设,则，可得，而，利用等比数列的项的性质即可求得.
【详解】设，
则，，
所以，.
因为是等比数列，且，，
于是，
故，
所以，.
故选：A.
16．C
【分析】根据导数的几何意义和函数平均变化率的定义，结合图象，即可求解.
【详解】如图所示，根据导数的几何意义，可得表示切线斜率，
表示切线斜率，
又由平均变化率的定义，可得，表示割线的斜率，
结合图象，可得，即.
故选：C.
17．B
【分析】根据导数的几何意义求解即可.
【详解】由题意，的导函数，故曲线在点处的切线斜率为，
则切线方程，即，
故选：B.
18．ACD
【分析】根据导数的几何意义和平行关系的斜率关系对选项一一分析即可.
【详解】，，则，当且仅当即等号成立，
根据导数的几何意义知，切线的斜率，因为切线与直线l平行，所以l的斜率，
选项A中直线的斜率为，符合题意；
选项B中直线的斜率为，不符合题意；
选项C中直线的斜率为，符合题意；
选项D中直线的斜率为，符合题意；
故选：ACD.
19．A
【分析】根据图象，由导数的意义和割线的斜率求解即可.
【详解】因为在上为递增函数，
由导数的意义可知，为曲线在处切线的斜率，
所以，
又由斜率的定义可以，表示割线的斜率，
所以，
故选：A.
20．A
【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积.
【详解】，
则，
即该切线方程为，即，
令，则，令，则，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.
故选：A.
21．C
【分析】利用导数几何意义求直线的斜率，进而确定倾斜角.
【详解】由，则，即直线的斜率为，
根据倾斜角与斜率关系及其范围知：的倾斜角为.
故选：C
22．A
【分析】求出的导数，求得切线的斜率为1，可得切线方程，再设与曲线相切的切点为，求得函数的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得的值，进而得到的值.
【详解】由曲线，得，
在处的切线斜率为，当时，，
曲线在处的，即，
曲线，导数为，
设切点为，则，解得，切点在切线上，
即有，得.
故选：A.
23．(1)
(2)
【分析】（1）由复合函数的求导法则计算即得；
（2）利用函数的和差积商的求导法则与复合函数的求导法则计算即得.
【详解】（1）由求导得，；
（2）由求导得，.
24．(1)
(2)
【分析】（1）根据复合函数的求导法则计算即得；
（2）利用函数的和差积商求导法则和复合函数的求导法则计算即得.
【详解】（1），；
（2）由 求导可得，.
25．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】利用复合函数求导公式计算即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
26．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】利用基本函数的导数和求导法则，逐一对各个求导即可求出结果.
【详解】（1）因为，所以.
（2）因为，所以.
（3）因为，所以
（4）因为，所以
27．##
【分析】对求导，代入，解得，回代入函数解析式，即可求得.
【详解】由求导，，
代入，可得，解得，，
则有，，故.
故答案为：.
28．
【分析】求导，令得到，故，令得到，从而得到函数解析式.
【详解】，
令得：，故，
故，令得，
故，
故.
29．．
【分析】由导数的几何意义先求出切线的斜率，再求出切点坐标，有点斜式求出切线方程即可.
【详解】由题意设切点，因为 ，
令，得，
由导数几何意义知：，
又，所以，
故曲线在处的切线方程为：，
整理得： .
故答案为：.
30．
【分析】先求导，然后计算出，得到求解即可.
【详解】由题得，所以，所以，得
故答案为：
31．
【分析】将看成常数，求导后代入，求得，即得导函数解析式，计算即得.
【详解】由求导得，，
把代入，得，解得：，
则有，故.
故答案为：.
32．##
【分析】对原函数求导，将代入求即可.
【详解】由题设，则.
故答案为：
33．-2
【分析】利用复合函数求导法则求导，求出函数，再求函数值作答.
【详解】由函数求导得：，当时，，解得，
因此，，所以.
故答案为：-2
34．
【分析】注意是个常数，对进行求导，再代入即可得解.
【详解】因为，
所以，
所以，则.
故答案为：.