2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）重难点专题2-2三次函数图像与性质【10类题型】含解析答案

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【题型1】求三次函数的解析式
【题型2】三次函数的单调性问题
【题型3】三次函数的图像
【题型4】三次函数的最值、极值问题
【题型5】三次函数的零点问题
【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题
【题型7】三次函数对称中心
【题型8】三次函数的切线问题
【题型9】三次函数根与系数的关系
【题型1】求三次函数的解析式
（1）一般式：（a≠0）
交点式：（a≠0）
1．若三次函数满足，则（ ）
A．38B．171C．460D．965
【题型2】三次函数的单调性问题
三次函数是高中数学中的一个重要内容，其考点广泛且深入，主要涉及函数的性质、图像、最值、零点以及与其他函数的综合应用等方面.以下是对三次函数常见考点的详细分析：
1. 三次函数的定义与形式
定义：形如 f(x)=ax3+bx2+cx+d（其中 a≠=0）的函数称为三次函数.
形式：注意系数 a，b，c，d 的作用，特别是 a 的正负决定了函数的开口方向（a>0 开口向上，a<0 开口向下）.
2. 函数的单调性
导数应用：利用导数 f′(x)=3ax2+2bx+c 判断函数的单调性.解不等式 f′(x)>0 和 f′(x)<0 得到函数的单调递增和递减区间.
极值点：导数等于0的点（f′(x)=0）可能是极值点，需结合单调性判断是否为极大值或极小值点.
2024·广东茂名市·一模
2．若是区间上的单调函数，则实数的值可以是（ ）
A．B．C．3D．4
【巩固练习】
3．三次函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型3】三次函数的图像
三次函数的定义域和值域均为R.对于值域，可以借助极限的思想.根据函数的解析式可知，影响其值域范围的主要是“ax3”这一项，因此可得：
当a＞0时，x趋近于+∞，则f(x)趋近于+∞；x趋近于-∞，则f(x)趋近于-∞.
当a＜0时，x趋近于+∞，则f(x)趋近于-∞；x趋近于-∞，则f(x)趋近于+∞.
又因为f(x)是连续的函数，且x∈R，所以f(x)的值域为R.
由于三次函数的值域为R，则它的函数图像与x轴至少有一个交点，换句话说三次方程至少有一个根.
4．设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
（2024·全国一卷真题）
5．设函数，则（ ）
A．是的极小值点B．当时，
C．当时，D．当时，
【巩固练习1】
（2024·湖北武汉·模拟预测）
6．设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．存在实数使得B．方程有唯一正实数解
C．方程有唯一负实数解D．有负实数解
【巩固练习2】
（2024·全国甲卷(文)真题）
7．曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．
【题型4】三次函数的最值、极值问题
三次函数的极值与最值
极值：通过导数等于0找到可能的极值点，并判断其类型（极大值或极小值）.
最值：在闭区间上，最值可能出现在端点或极值点处.需比较这些点的函数值来确定全局最值.
8．已知三次函数无极值，且满足，则 .
9．已知三次函数f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在定义域R上无极值点，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2或m＞4B．或
C．D．2＜m＜4
【巩固练习1】
10．已知三次函数，其导函数为，存在，满足．记的极大值为，则的取值范围是 ．
【巩固练习2】
（2024·全国·模拟预测）
11．已知三次函数的极小值点为，极大值点为，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【题型5】三次函数的零点问题
三次方程的实根个数
设三次函数
其导函数为二次函数:，
判别式为：△=，设的两根为、，结合函数草图易得：
(1) 若，则恰有一个实根；
(2) 若，且，则恰有一个实根；
(3) 若，且，则有两个不相等的实根；
(4) 若，且，则有三个不相等的实根.
说明:(1)(2)含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在R上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）;
(5)有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且;
(6)有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且.
（2023·全国·高考真题）
12．函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
13．已知三次函数有三个零点，，，且在点处切线的斜率为，则 .
14．已知，，，若三次函数有三个零点，，，且满足，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习1】
15．已知三次函数的零点从小到大依次为m，0，2，其图象在处的切线l经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习2】
（2024·全国·一模）
16．已知三次函数，，且有三个零点.若三次函数和均为上的单调函数，且这两个函数的导函数均有零点，则零点的个数为（ ）
A．个B．个C．个D．个或个
【巩固练习3】
17．已知，为三次函数，其图象如图所示.若有9个零点，则的取值范围是 .
【巩固练习4】
18．已知三次函数有两个零点，若方程有四个实数根，则实数a的范围为（ ）
A．B．C．D．
【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题
（24-25高三上·云南·阶段练习）
19．已知函数，则（ ）
A．有两个极值点
B．点是曲线的对称中心
C．有三个零点
D．直线是曲线的一条切线
（2024·全国·模拟预测）
20．已知函数下列结论中正确的是（ ）
A．若，则是的极值点
B．，使得
C．若是的极小值点，则在区间上单调递减
D．函数的图象是中心对称图形
【巩固练习1】
21．函数的图像如图所示，则的取值范围是 ．
【巩固练习2】（23-24高三·广东清远·期末）
22．已知函数，则下列选项中正确的是（ ）
A．的值域为
B．在处取得极小值为2
C．在上是增函数
D．若方程有2个不同的根，则
【巩固练习3】2024·金华联考模拟
23．（多选题）已知函数，则（ ）
A．函数在区间上单调递减
B．函数在区间上的最大值为1
C．函数在点处的切线方程为
D．若关于的方程在区间上有两解，则
【题型7】 三次函数对称中心
二阶导数的零点即为对称中心横坐标，即则为函数的对称中心
设三次函数，则对称中心是；
三次函数f(x)的对称中心为，则
24．已知三次函数的极小值点为，极大值点为，则等于（ ）
A．B．
C．D．
25．人们在研究学习过程中，发现：三次整式函数都有对称中心，其对称中心为（其中）.已知函数.若，则（ ）
A．B．C．D．
26．已知一元三次函数对称中心的横坐标为其二阶导函数的零点．若，则（ ）
A．0B．4C．D．
（2024·全国2卷·高考真题）
27．设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
28．对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极大值为
B．有且仅有2个零点
C．点是的对称中心
D．
【巩固练习1】
29．已知三次函数，若，则 .
【巩固练习2】
30．已知所有的三次函数的图象都有对称中心，，若函数，则 .
【巩固练习3】
（2024·四川成都·模拟预测）
31．已知函数，则（ ）
A．有两个极值点
B．有一个零点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
【巩固练习4】
（2024·江苏·模拟预测）
32．已知三次函数，若函数的图象关于点（1，0）对称，且，则（ ）
A．B．有3个零点
C．的对称中心是D．
【题型8】三次函数的切线问题
一般地，过三次函数图象的对称中心作切线，则坐标平面被切线和函数的图象分割为四个区域，有以下结论：
（1）过区域内的点作的切线，有且仅有3条；
（2）过区域Ⅱ、Ⅲ内的点以及对称中心作的切线，有且仅有1条；
过切线或函数图象（除去对称中心）上的点作的切线，有且仅有2条.
33．已知函数在点处的切线方程为．若经过点可以作出曲线的三条切线，则实数的取值范围为 ．
（2024·山西晋中·二模）
34．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数，则（ ）
A．一定有两个极值点
B．函数在R上单调递增
C．过点可以作曲线的2条切线
D．当时，
【巩固练习1】
（2022·新高考一卷真题）
35．已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
【巩固练习2】
（山东省枣庄市2024届高三第二次模拟考试数学试题）
36．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，若有三个零点，则b的取值范围为
B．若满足，则
C．若过点可作出曲线的三条切线，则
D．若存在极值点，且，其中，则
【巩固练习3】
37．下列关于三次函数叙述正确的是（ ）
A．函数的图象一定是中心对称图形
B．函数可能只有一个极值点
C．当时，在处的切线与函数的图象有且仅有两个交点
D．当时，则过点的切线可能有一条或者三条
【题型9】三次函数根与系数的关系
三次函数根与系数关系：对于，若有3个交点，则
方程可以写为，
展开后得
比对系数，则有：，，，
2024届·广东省“六校”高三上学期9月联合摸底
38．已知三次函数有三个不同的零点，若函数也有三个不同的零点，则下列等式或不等式一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
（2024·衢州、丽水、湖州·统考一模）
39．已知函数，若，其中，则（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习1】
（2023届·深圳一模）
40．已知函数，若，其中，则（ ）
A．B．
C．D．的取值范围为
【巩固练习2】
（2024·重庆育才中学·阶段练习）
41．已知三次函数有三个不同的零点，函数.则（ ）
A．
B．若成等差数列，则
C．若恰有两个不同的零点，则
D．若有三个不同的零点，则
近5年考情（2020-2024）
考题统计
考点分析
考点要求
2024年甲卷（文），第16题，5分
考查频率：三次函数图像与性质的考查在近五年高考中保持一定频率，尤其在新课标全国卷中较为常见.
考点内容：主要考查三次函数的图像特征（如中心对称性、开口方向）、单调性（通过导数分析）、极值点（一阶导数为零的点）以及图像与性质的综合应用.
题型分布：常以选择题、填空题或解答题的形式出现，涉及三次函数的零点、最值、极值、单调区间等具体问题.
难度变化：随着高考改革的深入，对三次函数图像与性质的考查更加注重学生的综合分析能力和解题技巧，难度可能略有提升.
备考建议：考生应熟练掌握三次函数的基本性质，灵活运用导数工具进行分析，同时注重题目类型的多样性和综合应用能力的培养.
（1）理解三次函数的定义域、值域和图像特点.
（2）掌握三次函数的导数与单调性关系.
（3）判断三次函数的极值点及其个数.
（4）探究三次函数图像与x轴的交点个数.
（5）熟练运用三次函数的对称中心性质.
2024年新高考I卷，第10题，6分
2024年新高考II卷，第11题，6分
2022年新高考I卷，第10题，5分
图像
图像
参考答案：
1．B
【分析】设，求导，结合题意列式求，即可得结果.
【详解】设，则，
由题意可得：，解得，
则，所以.
故选：B.
2．CD
【分析】求导，分析导函数的正负得到原函数的单调性，再由已知建立关于的不等式组，解出即可．
【详解】由题意，，
令，解得，令，解得或，
所以在上单调递减，在，上单调递减，
若函数在区间上单调，
则或或，解得或或，
即或.
故选：CD.
3．A
【分析】根据题意可得在上恒成立，结合恒成立问题分析运算.
【详解】对函数求导，得
因为函数在上是减函数，则在上恒成立，
即恒成立，
当，即时，恒成立；
当，即时，，则，即，
因为，所以，即；
又因为当时，不是三次函数，不满足题意，
所以.
故选：A．
4．D
【分析】
先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选：D
【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
5．ACD
【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D.
【详解】对A，因为函数的定义域为R，而，
易知当时，，当或时，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确；
对B，当时，，所以，
而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误；
对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，
所以，即，正确；
对D，当时，，
所以，正确；
故选：ACD.
6．ABC
【分析】求导，分析函数的图象与性质，对个选项逐一验证即可.
【详解】因为，.
由，
设，因为函数定义域为，且，，
可知方程一定有实数根，故A正确；
由或.
所以函数在，上单调递增，在上单调递减.
且为极大值，为极小值.
做出函数草图如下：

观察图象可知：方程有唯一正实数解，有唯一负实数解，
故BC正确；
又，结合函数的单调性，当 时，，所以无负实数解.故D错误.
故选：ABC
7．
【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.
【详解】令，即，令
则，令得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，，
因为曲线与在上有两个不同的交点，
所以等价于与有两个交点，所以.
故答案为：
8．
【分析】由已知无变号零点可得，即，结合不等关系及基本不等式有，即可求目标式的值.
【详解】由题设，则，即，
所以，当且仅当时等号成立，
又，故，可得，
所以.
故答案为：
9．C
【分析】求导函数，由题意得其导函数无变号零点，根据根的判别式可求得m的取值范围.
【详解】，
由题意得导函数无变号零点 ，
所以恒成立，
，
解得，
故选：C.
10．
【分析】根据，得到是的零点也是极值点，也是的零点，设，求导，得到函数的单调性，进而得到的极大值，求出取值范围.
【详解】因为，
所以是的零点也是极值点，也是的零点，
不妨设，
故，
因为，所以，
故当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
可得的极大值，
因为，所以．
故答案为：
11．A
【分析】利用导数与及极值点间的关系，结合条件即可求出结果.
【详解】由题意，得，关于x的一元二次方程的两根为b，2b，
又极小值点为，极大值点为，所以，即，
由韦达定理得到，所以，，得到．
故选：A．
12．B
【分析】写出，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.
【详解】，则，
若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，
令，解得或，
且当时，，
当，，
故的极大值为，极小值为，
若要存在3个零点，则，即，解得，
故选：B.
13．0
【分析】令，其中，，，互不相等，对求导，由导数的几何意义求解即可.
【详解】令，其中，，，互不相等.
则.
.
故答案为：0.
14．D
【分析】根据条件建立方程求出，的值，然后回代，求出的范围，结合零点式求出，，的等式关系，结合不等式的性质进行求解即可．
【详解】∵，
，即，
得，代入得，
∵，
，解得，
设三次函数的零点式为，
比较系数得，，
故
故选：D.
【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件求出参数，，利用函数零点式以及不等式的关系进行转化是解决本题的关键．
15．B
【分析】由题意可设，求导，根据导数的几何意义可得切线方程为，代入点运算求解即可.
【详解】由题意可设，
则，
可得，
即切点坐标为，切线斜率，
则切线方程为，
代入点得，
且，得，解得.
故选：B.
16．A
【分析】先由和得到，通过题意可得和的导函数为完全平方式，故假设，，结合有三个零点可得，可得单调，根据三次函数必有零点即可得到答案
【详解】由可得，
因为三次函数和均为上的单调函数，且这两个函数的导函数均有零点，
所以这两个函数的导函数必为完全平方式，
设，，
，
有三个零点，不单调，即必有两个不相等的实数根，
，
，且与同号，不可能有两个不相等的实数根，故单调，
由于当趋向于正无穷时，趋向于正无穷的增长速率远远大于和趋向于正无穷的增长速率；当趋向于负无穷时，趋向于负无穷的增长速率远远大于趋向于正无穷和趋向于负无穷的增长速率；
故当趋向于正无穷和负无穷时，三次函数两侧都趋向于无穷，且异号，
所以三次函数必有零点，故有唯一零点
故选：
【点睛】关键点睛：本题主要考查的知识点是函数的零点问题，首先审清题目的意思是本题关键，理解“上的单调函数，且这两个函数的导函数均有零点”，继而给出有三个零点的情况，结合题目求出结果
17．
【分析】根据的图象判断与在不同m取值范围下的交点个数，并确定交点横坐标的范围，结合解析式求横坐标关于m的表达式，结合题图及有9个零点，列不等式组求m范围.
【详解】由题设，其图象如下，
当，与只有一个交点且；
当，与有两个交点且或；
当，与有三个交点且；
当，与有两个交点且；
由题图，要使，有9个零点，则，，且有，
根据解析式：，
综上，， 可得，故.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：根据、的图象及零点个数，确定时函数对应零点的范围，进而求各零点关于m的表达式，列不等式求参数范围.
18．C
【解析】一定有两零点与，所以只需或共有四个根即可．结合有两个零点，所以必有或．然后分两种情况结合函数图象讨论即可.
【详解】由，则得或
三次函数有两个零点，且程有四个实数根，
所以只需或共有四个根即可，
所以或.
又方程有四个实数根，则或共有四个根.
在,上单调递增，在单调递减.
当时，，要满足条件，作出函数的大致图像.(如图①)
则，即，解得.
当，得，要满足条件，作出函数的大致图像.(如图②)
则，即，解得.
综上所述，当时，方程有四个实数根.
故选：C
【点睛】本题考查了利用图象研究函数的零点问题，关键是对函数的单调性、极值情况等研究到位．本题还考查了学生应用函数与方程、数形结合及分类讨论思想解题的能力.
19．ABD
【分析】根据极值点的定义可判断A；由为奇函数，根据平移变换可判断B；由的单调性和最值可判断C；利用导数的几何意义可判断D.
【详解】由题意，，令得或，令得，
所以在上单调递增，上单调递减，
所以是极值点，故A正确；
令，该函数的定义域为，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动两个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故B正确；
因为，所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有两个零点，故C错误；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D正确，
故选：ABD.
20．BD
【分析】求出函数的导数，当时，有两解，列表表示出导数值的正负以及函数的单调情况，当时，，即可判断A，B，C；证明等式成立即可判断D.
【详解】A：因为，所以，
当时，，则在R上单调递增，不是极值点，故A错误；
B：由选项A的分析知，函数的值域为，所以，使得，故B正确；
C：由选项A的分析知，当时，在上单调单调递增，在上单调递减，
所以若为的极小值点时，在上先递增再递减，故C错误；
D：，
而，
则，
所以点为的对称中心，即函数的图象是中心对称图形，故D正确.
故选：BD．
21．
【分析】由图可知，，列式求解可得a、b、c的关系，再结合可得.
【详解】，
由题图可知，，，，
则，…①，…②，
②-①得，即．
①+②得，则，
所以，则．
则，
所以的取值范围为：
故答案为：．
22．AB
【分析】根据题意，求导可得，即可得到函数的单调性以及值域，即可判断ABC，再结合函数图像即可判断D
【详解】因为函数，则，
令，即，解得或（舍），
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，故C错误；
则时，函数有极小值即最小值，即，故B正确；
且，，则函数值域为，故A正确；
由函数的单调性以及值域可得函数的大致图像，如图所示，
结合图像可知，若方程有2个不同的根，则，故D错误；
故选：AB
23．AC
【分析】利用导数分析函数的单调性，进而判断AB选项；结合导数的几何意义可判断C选项；画出函数大致图象，结合图象即可判断D选项.
【详解】因为，，
所以，
令，即；令，即，
所以函数在区间上单调递减，在上单调递增，故A正确；
因为，，
所以函数在区间上的最大值为4，故B错误；
因为，，
所以函数在点处的切线方程为，
即，故C正确；
因为，函数大致图象如图，
要使方程在区间上有两解，
则，故D错误.
故选：AC.
24．A
【分析】利用导数与及极值点间的关系，结合条件即可求出结果.
【详解】由题意，得，关于x的一元二次方程的两根为b，2b，
又极小值点为，极大值点为，所以，即，
由韦达定理得到，所以，，得到．
故选：A．
25．C
【分析】先根据题意，求出对称中心，再根据函数的对称性，即可求解.
【详解】由题意得, ,,令，解得：，
所以函数的对称中心为：，又，所以.
故选：C
26．B
【分析】设对称中心为，先求二阶导数零点可得，由可解出，最后由，可得，可得结果
【详解】由题，，故二阶导函数的零点为，即对称中心的横坐标为1，
设对称中心为，则，可解得，
由，故，
故选：B
27．AD
【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.
【详解】A选项，，由于，
故时，故在上单调递增，
时，，单调递减，
则在处取到极大值，在处取到极小值，
由，，则，
根据零点存在定理在上有一个零点，
又，，则，
则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；
B选项，，时，，单调递减，
时，单调递增，
此时在处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，
即存在这样的使得，
即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的，使得为的对称中心，
则，事实上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，，，
由，于是该三次函数的对称中心为，
由题意也是对称中心，故，
即存在使得是的对称中心，D选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心
28．ACD
【分析】求得，得出函数单调性，结合极值的概念，可判定A正确；根据极大值为，极小值，进而得到函数有3个零点，可判定B错误；求得，令，求得，得出，可判定C正确；根据对称性，得到，结合倒序相加法，可判定D正确.
【详解】由函数，可得，
令，解得或；令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，
当时，取得极大值，极大值为，所以A正确；
又由极小值，且当时，，
当时，，所以函数有3个零点，所以B错误；
由，可得，令，可得，
又由，所以点是函数的对称中心，
所以C正确；
因为是函数的对称中心，所以，
令，
可得，
所以，
所以，即，
所以D正确.
故选：ACD.
29．
【分析】利用三次函数的对称中心公式求解.
【详解】解：由题意得，，
令，则，
令，解得，又，
故的对称中心为.
故当时，.
故答案为：
30．8090
【分析】先通过条件求出对称中心，再利用对称性计算即可.
【详解】，
则，
即函数的图象的对称中心为，
则，
故
.
故答案为：8090.
31．BC
【分析】利用导数y与零点存在性定理求解三次函数的极值点，零点，对称中心，切线问题.
【详解】选项A：则恒成立，故单调递增，故不存在两个极值点，故选项A错误.
选项B:又单调递增，故有一个零点，故选项B正确，
选项C：故点是曲线的对称中心，故选项C正确，
选项D：令，即，
令，则令，
则
当则当切线斜率为切点为则切线方程为：与不相等，
当时同样切线方程不为，故选项D错误.
故选：BC.
32．ABD
【分析】由题设且，可得，代入解析式，结合已知条件即可判断选项的正误.
【详解】由题设，，且，
所以，整理得，
故，可得，故，
又，即，A正确；有3个零点，B正确；
由，则，所以关于对称，C错误；
，D正确.
故选：ABD
33．
【分析】首先根据导数的几何意义得到，从而得到，根据题意得到方程有三个不同的实数解，设函数，利用导数得到极大值为；极小值为．从而得到，再解不等式组即可.
【详解】∵，∴，
根据题意得，解得，
∴函数的解析式为，
设切点为，则，，故切线的斜率为，
由题意得，即，
∵过点可作曲线的三条切线，
∴方程有三个不同的实数解，
∴函数有三个不同的零点．
由于，
∴当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增．
∴当时，有极大值，且极大值为；
当时，有极小值，且极小值为．
∵函数有3个零点，∴，解得．
∴实数的取值范围是．
故答案为：
34．BCD
【分析】对求导，得出，没有极值点，可判断A，B；由导数的几何意义求过点的切线方程条数可判断C；求出三次函数的对称中心，由于函数的对称中心为，可得，由倒序相加法求出所给的式子的值，可判断D.
【详解】由题意知，，恒成立，
所以在R上单调递增，没有极值点，A错误，B正确；
设切点为，则，
切线方程为，
代入点得，
即，解得或，
所以切线方程为或，C正确；
易知，令，则．
当时，，，所以点是的对称中心，
所以有，即．
令，
又，
所以，
所以，D正确．
故选：BCD.
35．AC
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.
【详解】由题，，令得或，
令得，
所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.
故选：AC.
36．ACD
【分析】对于A ，将代入求导求极值，有三个零点，则令极大值大于零，极小值小于零即可；
对于B ，根据，推断函数的对称性，进而可以求得的值；
对于C ，将代入得到的解析式，根据过某点处导数的几何意义的求法求解即可；
对于D ，利用导数在函数单调性中的应用，先分和讨论函数的单调性，得到且，此时可得的表达式，令，结合，再化简即可得到答案.
【详解】对于A ，，当时，，，
令，解得或，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时取得极大值，当时取得极小值，
有三个零点，，解得，故选项A正确；
对于B ，满足，根据函数的对称可知的对称点为，将其代入，得，
解得，故选项B错误；
对于C ，，
设切点为，则切线的斜率
化简，
得
由条件可知该方程有三个实根，有三个实根，
记，
令，解得或，
当时取得极大值，当时，取得极小值，
因为过点可作出曲线的三条切线，
所以，解得，故选项C正确；
对于D ，，，
当，在上单调递增；
当，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
存在极值点，
由得
令，
，于是，
所以
，
化简得：，
，，于是，
.故选项D正确；
故选：ACD.
37．AC
【分析】根据为定值可判断A的正误，求出结合判别式可判断B的正误，求出切线方程，结合构建方程判断其解后可判断C的正误，再将代入切线方程后判断解的个数后可得D的正误.
【详解】对于A，
，
故为定值，故函数的图象一定是中心对称图形.
对于B，，
若有极值点，则有变号零点，而的图像为抛物线，
故，故有两个变号零点，
故有两个极值点，故B错误.
对于C，在处的切线方程为，
令，
则，当时，，
所以，
因为，故，不妨设，
若，则当或时，，当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
而，故，
而时，，故有两个不同的零点，
故的图像与切线有且只有两个不同交点，
同理可得当时，故的图象与切线有且只有两个不同的交点，故C正确.
对于D，过点的切线的切点为，
由（2）的切线方程可得，
故，
整理得到：，
故或，
下面考虑的解，
整理得到：，
，
而，
故方程有且只有一个异于的实数根，
过点的切线有且只有两条，故D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：
（1）判断函数的图象是否关于对称，可检验是否恒成立；
（2）切线问题的核心是切点的横坐标，切线条数问题可转化为关于切点横坐标的方程的解的个数问题.
38．BC
【分析】对于A，由题意可得有两个不同的实根，则，从而可进行判断，对于B，根据图象分析判断，对于CD，由零点的定义结合方程化简变形进行判断.
【详解】，因为原函数有三个不同的零点，则有两个不同的实根，
即，则，即，所以A错误；
因为三次函数有三个不同的零点，
所以，
所以，
同理，
所以，故C正确，D错误；
由的图象与直线的交点可知，B正确．
故选：BC．

39．BCD
【分析】根据函数，求导后可判断原函数的单调性，根据数形结合思想，令，则，可判断出，，，由三次方程的韦达定理为，，，凑出选项，利用不等式的性质或者函数的单调性求出范围即可.
【详解】因为，，所以，
所以当时，，当时，或，
所以当时，单调递减，
当或时，单调递增，
且当时，，
当时，，
且时，或，
，
，
整理得：，
所以的对称中心为，
如图所示：

令，则由图可知：
，，，所以A错误；
B选项中，，
又因为，所以，且，
所以，
所以，
因为在上单调递减，故，所以，B正确；
C选项中，根据三次方程的韦达定理知，，
所以，所以C正确；
D选项中，因为，，，
所以，由，知，，
由B知，，所以，
故，又，所以，所以D正确.
故选：BCD
40．BCD
【分析】对求导，利用导数判断函数的单调区间，从而可得函数的大致图象．设，由图象可得知，，的取值范围，从而可判断A；又根据，对照系数可得的值，可得得取值范围，从而可判断C，D；结合A和C即可判断B．
【详解】因为，所以，
令，解得或，
当时，或，所以单调递增区间为和；
当时，，所以单调递减区间为，
的图象如右图所示，
设，则，，故A错误；
又，所以，
即，
对照系数得，故选项C正确；
，故选项D正确；
因为，所以，解得，故选项B正确．
故选：BCD．
【点睛】关键点点睛：先利用导数判断函数的单调区间，从而可得函数的大致图象，再利用数形结合求解是解答本题的关键．
41．ABD
【分析】对于A，由题意可得有两个不同实根，则由即可判断；对于B，若成等差数列，则，从而结合即可判断；对于C，若恰有两个零点，则或必为极值点，分类讨论即可判断；对于D，由韦达定理即可判断.
【详解】，，，对称中心为，对A：因为有三个零点，所以必有两个极值点，所以，，A正确；
对B，由成等差数列，及三次函数的中心对称性可知，
所以，
又，故，所以，所以，故B正确；
对C：，即，
若恰有两个零点，则或必为极值点；
若为极值点，则该方程的三个根为，，，由一元三次方程的韦达定理可知：；
若为极值点，同理可得，故C错；
对D：由韦达定理，
得，
即，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：判断C选项得关键是得出或必为极值点，由此即可顺利得解.