2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）热点专题2-3幂函数与二次函数，方程与不等式【12类题型】 (1)含解析答案

这是一份2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）热点专题2-3幂函数与二次函数，方程与不等式【12类题型】 (1)含解析答案，共32页。


【题型1】幂函数的定义及图像
【题型2】 由幂函数的单调性比较大小
【题型3】幂函数的图象与性质的综合应用
【题型4】三个“二次”关系的应用
【题型5】由一元二次不等式的解集求参数
【题型6】解含参一元二次不等式
【题型7】二次函数的图象、单调性与最值
【题型8】含参一元二次不等式恒成立问题（1）：判别式法
【题型9】含参一元二次不等式恒成立问题（2）：参变分离法
【题型10】含参一元二次不等式恒成立问题（3）：变更主元法解
【题型11】一元二次不等式能成立问题（不等式有解）
【题型12】一元二次方程根的分布
【题型1】幂函数的定义及图像
1．幂函数的解析式幂函数的形式是 (∈R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式．
2．幂函数的图象与性质
在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，+)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．
（2024·新疆喀什·一模）
1．若函数是幂函数，则实数m的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习1】（2024·山东日照·二模）
2．已知幂函数的图象过点，则函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习2】
3．已知函数为幂函数，则（ ）
A．0B．C．D．
【题型2】 由幂函数的单调性比较大小
在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．
4．若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习1】
5．设，则大小关系是 .
【巩固练习2】（2024·江西宜春·模拟预测）
6．已知幂函数的图象过点．设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习3】（2024·河北衡水·三模）
7．已知，则实数的取值范围为（ ）
A．(0，)B．(0，1)C．D．
【题型3】幂函数的图象与性质的综合应用
紧扣幂函数的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数时，为奇函数，为偶数时，为偶函数．
8．已知幂函数，下列能成为“是R上的偶函数”的充分条件的是（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习1】
9．已知.若幂函数为奇函数，且在上递减，则 .
【巩固练习2】
10．已知幂函数的图象经过点，下面给出的四个结论：①；②为奇函数；③在R上单调递增；④，其中所有正确命题的序号为（ ）
A．①④B．②③C．②④D．①②③
【巩固练习3】（山东菏泽·三模）
11．已知函数在上为奇函数，则不等式的解集满足（ ）
A．B．C．D．
【题型4】三个“二次”关系的应用
二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式与的解集的关系，可归纳为：
若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．
通过以上论述，可对“三个二次”的关系有一个较为全面的了解，在解题中，我们要不失时机的渗透“三个二次”三位一体的思维意识，实现“三个二次”之间的相互转换，能自然规范的运用函数方程思想、数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想，提高数学解题思维水平．
知识点诠释：
（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；
（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集．
（2020·山东·高考真题）
12．已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习1】
13．不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习2】
14．关于x的不等式的解集为，且：，则a=（ ）
A．B．C．D．
【题型5】由一元二次不等式的解集求参数
先判断开口方向，再结合图像，通过韦达定理列出参数相关的方程组
15．已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．或B．或
C．D．
（2024·高一·江苏·专题练习）
16．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为
D．
【巩固练习1】（2024·高一·湖南株洲·期中）
17．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．的解集为
【巩固练习2】
（2024·高一·山东聊城·期末）
18．不等式的解集是，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【题型6】解含参一元二次不等式
对于含参数的一元二次不等式，一般不会单独考察，往往和导数研究函数的单调性一起考察
解法：若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏
19．解关于的不等式：.
20．解关于的不等式.
【巩固练习1】
21．解不等式
【巩固练习2】
22．当时，解关于的不等式.
【题型7】二次函数的图象、单调性与最值
解决二次函数的图象、单调性与最值常用的方法是数形结合．
23．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 .
【巩固练习1】
24．函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习2】
25．若函数在上单调，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习3】
26．若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是 .
【题型8】含参一元二次不等式恒成立问题（1）：判别式法
一元二次不等式在R上的恒成立问题
与恒成立问题有关的词有：“任意”、“全体实数”、“都”、“一切实数”等．
方法是通过二次函数的图像来理解．
1．若ax2+bx+c>0恒成立，则a>0，Δ<0；
2．若ax2+bx+c<0恒成立，则a<0，Δ<0；
3．若ax2+bx+c≠0恒成立，则Δ<0．
27．，关于的不等式恒成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习1】
28．若关于x的不等式对恒成立，则a的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习2】
29．已知函数，若对任意实数x，函数值恒小于0，则a的取值范围是
【题型9】含参一元二次不等式恒成立问题（2）：参变分离法
含参一元二次不等式在区间上的恒成立问题一般通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题
参变分离法：如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量的关系，
，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于
30．当时，关于x的不等式恒成立，则的取值范围是 .
【巩固练习1】
31．若不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习2】
32．若不等式在时不等式恒成立，则实数的取值范围为 ；若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 ．
【题型10】含参一元二次不等式恒成立问题（3）：变更主元法解
变更主元：在有几个变量的问题中，常常有一个变量处于主要地位，我们称之为主元．在解含有参数的不等式时，有时若能换一个角度，变参数为主元，则可以得到意想不到的效果．
33．已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为 ．
【巩固练习1】
34．若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是 .
【巩固练习2】
35．函数，若恒成立，则实数x的取值范围是 ．
【题型11】一元二次不等式能成立问题（不等式有解）
一元二次不等式有解问题一般可以结合函数图像通过分析开口方向以及判别式正负来确定参数范围
36．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习1】
37．若不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习2】
38．已知命题：“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 .
【题型12】一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想．一般考虑以下几方面：
1、开口（若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况 ）．
2、判定给定点处函数值的正负．（开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则△＞0 恒成立）
3、判定△符号．
4、判定对称轴的位置．
总之，耐心去分类讨论（分类讨论不容易失误，一步到位往往会漏解或多解），借助图象去分析就可以得到结论，无需记忆．
（1）二元二次方程在上根的分布情况
①方程有两个不等的实数根；
②方程有两个相等的实数根；
③方程没有实数根
（2）一元二次方程的根的“0”分布
①方程有两个不等正根；
②方程有两个不等负根
③方程有一正根和一负根，设两根为
（3）一元二次方程的根的“”分布
①两根都小于；
②两根都大于
③一根小于，一根大于
（4）一元二次方程根在区间的分布
①两根都在内
②两根都在外
③两根仅有一根在内
④一根在内，另一根在内
39．关于x的方程至少有一个负实根，求的取值范围．
【巩固练习】
40．已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围.
41．已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 .
【巩固练习】
42．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为 ．
43．已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是 ．
【巩固练习1】
44．已知关于的方程的两根分别在（0，1）与（1，3）内，则实数的取值范围为（ ）
A．B．或C．D．
【巩固练习2】
45．关于的方程满足下列条件，求的取值范围．
(1)有两个正根；
(2)一个根大于，一个根小于；
(3)一个根在内，另一个根在内；
(4)一个根小于，一个根大于；
(5)两个根都在内．
近4年考情（2020-2024）
考题统计
考点分析
考点要求
2020年天津卷第3题，5分
从近五年全国卷的考查情况来看，本节内容很少单独命题，幂函数要求相对较低， 常与指数函数、对数函数综合，比较幂值的大小，多以选择题、填空题出现．
（1）幂函数的定义、图像与性质（2）三个二次之间的关系
2020年江苏卷第7题，5分
2024年天津卷：第2题，5分
2024年上海卷：第3题，5分
参考答案：
1．BC
【分析】根据已知条件，结合幂函数的定义，即可求解.
【详解】是幂函数，
则，解得或.
故选：BC.
2．B
【分析】先用待定系数法设出函数解析式，再代入点的坐标计算出参数，即可得到答案.
【详解】设幂函数的解析式为，由于函数过点，故，解得，该幂函数的解析式为；
故选：B
3．A
【分析】先根据幂函数求解，再判断函数为奇函数，从而利用奇函数性质求解即可.
【详解】由题意有，可得，其定义域为R，
且，则函数为奇函数，
所以.
故选：A.
4．C
【分析】根据给定条件，利用幂函数、对数函数性质，并借助媒介数比较大小.
【详解】，，而，
所以a，b，c的大小关系为.
故选：C
5．
【分析】抓住同底与同指构造函数，利用单调性比较大小.
【详解】因为在单调增，
所以，即，
因为在单调减，
所以，即
综上，.
故答案为：.
6．D
【分析】根据幂函数的定义求出函数解析式，再利用幂函数的单调性比较大小而得解.
【详解】因幂函数的图象过点，则，且，
于是得，，函数，函数是R上的增函数，
而，则有，
所以.
故选：D
7．A
【分析】根据指数、对数不等式，结合指数函数、对数函数的性质分别求参数a的范围，再取交集即可.
【详解】①由，
当时，恒成立.
当时，得
由得或
②由，得
③由，两边四次方得，又，
所以.
∴1，1，，同时成立取交集得，
故选：A．
8．C
【分析】根据幂函数的性质，结合充分条件的定义进行判断即可.
【详解】当时，，
因为函数的定义域，关于原点对称，且，
所以为奇函数，不合题意，故A错误；
当时，，因为函数的定义域，不关于原点对称，
所以为非奇非偶函数，不合题意，故B错误；
当时，，定义域为，关于原点对称，且，
所以为偶函数，符合题意，故C正确；
当时，，定义域为，关于原点对称，且，
所以为奇函数，不合题意，故D错误.
故选：C.
9．
【分析】由幂函数在上递减得，又由幂函数为奇函数，验证即可求解.
【详解】因为幂函数在上递减，所以，
又幂函数为奇函数，所以.
故答案为：
10．B
【分析】根据题求幂函数解析式，判断A；结合幂函数性质判断②③④.
【详解】对于①：由幂函数的定义可知，解得，
将点代入函数得，解得，
所以，故①错误；
对于②：因为定义域为R，且，
所以为奇函数，故②正确；
对于③：由幂函数的图象可知，在R上单调递增，故③正确；
对于④：因为，且在R上单调递增，所以，故④错误，
综上可知，②③正确，①④错误.
故选：B.
11．C
【分析】根据函数的奇偶性求出参数、、的值，从而得到函数解析式与定义域，再判断函数的单调性，结合单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】因为函数在上为奇函数,
所以，解得，又，
即，
所以，解得，解得，
所以，，
由与在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递增，
则不等式，即，等价于，
所以，解得，即不等式的解集为.
故选：C
12．A
【分析】本题可根据图像得出结果.
【详解】结合图像易知，
不等式的解集，
故选：A.
13．A
【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可．
【详解】因为的解集为，
所以方程的两根分别为和1，且，
则变形可得
故函数的图象开口向下，
且与x轴的交点坐标为和，故A选项的图象符合.
故选：A
14．A
【详解】因为关于x的不等式的解集为，
所以，又，
所以，
解得，因为，所以.
故选：A.
15．D
【分析】由题意可得且方程的解为，利用韦达定理将用表示，再根据一元二次不等式的解法即可得解.
【详解】因为关于x的一元二次不等式的解集为，
所以且方程的解为，
所以，所以，
则不等式，即为不等式，
则，解得，
所以不等式的解集为.
故选：D.
16．AC
【分析】根据题中不等式取两边且是大于等于号判断二次函数的开口方向，即可判断选项A；根据题意由韦达定理可得，代入不等式，根据即可判断选项B；根据，代入不等式求解，即可判断选项C；根据，代入不等式，根据即可判断选项D.
【详解】关于的不等式的解集为，
所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确；
且方程的两根为、4，
由韦达定理得，解得.
对于B，，由于，所以，
所以不等式的解集为，故B不正确；
对于C，因为，所以，即，
所以，解得或，
所以不等式的解集为，故C正确；
对于D，，故D不正确.
故选：AC.
17．ABD
【分析】根据题意，由条件可得，即可判断ABC，将不等式化简可得，即可判断D.
【详解】因为不等式的解集为或，则，是方程的两根，则，解得，故A正确，C错误；
因为，故B正确；
不等式可以化简为，解得，故D正确；
故选：ABD
18．ABC
【分析】根据二次函数图像与性质，以及二次不等式关系，列出不等式组，即可求解.
【详解】因为不等式的解集是，
可得，且，所以，所以，
所以A、C正确，D错误．
因为二次函数的两个零点为，且图像开口向下，
所以当时，，所以B正确．
故选：ABC．
19．答案见解析
【分析】首先将不等式左侧因式分解，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集.
【详解】不等式，即，
当时，原不等式即，解得，即不等式的解集为；
当时，解得或，即不等式的解集为或；
当时，解得或，即不等式的解集为或；
综上可得：当时不等式的解集为，
当时不等式的解集为或，
当时不等式的解集为或.
20．答案见解析
【解析】由题意可知，可化为，再对进行分类讨论，比较根的大小，即可得答案；
【详解】由题意可知，可化为
（1）当时，不等式化为，解得，
（2）当时，不等式化为，解得，
（3）当时，不等式化为，解得或，
（4）当时，不等式化为，解得，
（5）当时，不等式化为，解得或，
综上所述，时，不等式的解集为
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为;
【点睛】本题考查含参一元二次不等式的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查运算求解能力，求解时注意讨论的依据是比较根的大小.
21．答案见解析
【分析】结合二次不等式的解法进行分类讨论即可求解；
【详解】不等式可化为，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
22．答案见解析
【分析】根据、和分类讨论解不等式即可.
【详解】当时，代入不等式可得，解得；
当时，化简不等式可得即，
由得不等式的解为，
当时，化简不等式可得即，
由得不等式的解为或，
综上可知，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或.
23．
【分析】利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
因为函数在区间上是增函数，则，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
24．C
【分析】由根式性质求定义域，结合二次函数和幂函数的性质确定增区间.
【详解】由题意，令，即或，
根据二次函数性质知：在上递减，在上递增
又在定义域上递增，故的单调递增区间为.
故选：C
25．C
【分析】由题意，根据二次函数的图象与性质建立不等式组，解之即可求解.
【详解】令，
则或或或
解得或，
即实数m得取值范围为.
故选：C．
26．
【分析】作出函数的图象，数形结合，由题意列出相应不等式组，即可求得答案.
【详解】令，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，作出函数的大致图象，

由于函数在区间上有最大值，
结合图象，由题意可得，解得，
所以实数a的取值范围是，
故答案为：
27．AC
【分析】由，关于的不等式恒成立得，求得的取值范围，然后根据充分条件与必要条件的概念判断即可得出答案.
【详解】，关于的不等式恒成立，则，解得.
对于A，因为，符合题意，故A正确；
对于B，是充要条件，故B错误；
对于C，因为，符合题意，故C正确；
对于D，因为当时，不一定成立，不符合题意，故D错误，
故选：AC.
28．D
【分析】根据含参一元不等式恒成立对分类讨论即可得a的取值集合.
【详解】当时，不等式化为对恒成立；
当，要使得不等式对恒成立，则，解得
综上，a的取值集合为.
故选：D.
29．
【分析】根据给定条件，分类讨论，再结合二次函数的图象性质列式求解作答．
【详解】当时，恒成立，则；
当时，依题意，二次函数的图象总在x轴下方，
于是，解得.
综上，
故答案为：.
30．
【分析】参变分离得，再利用基本不等式求的最小值即可得答案.
【详解】关于x的不等式恒成立
即，时恒成立，
，
又，
当且仅当，即时等号成立，
.
故答案为：.
31．B
【解析】将不等式在上有解，转化为不等式在上有解求解.
【详解】因为不等式在上有解，
所以不等式在上有解，
令，则，
所以，
所以实数的取值范围是
故选：B
32．
【分析】首先分离参数可得，然后结合对勾函数的性质求得，从而可确定的取值范围．
【详解】①因为不等式，所以在区间上恒成立，
因为，当时取等号，
故.
②不等式对一切恒成立，，
由对勾函数的性质可知函数 在区间上单调递增，
且当时，，所以，
故实数的取值范围是．
故答案为：①；②.
33．
【分析】由题意构造函数关于a的函数，则可得，从而可求出x的取值范围.
【详解】由题意，因为当，不等式恒成立，
可转化为关于a的函数，
则对任意恒成立，
则满足，
解得，
即x的取值范围为．
故答案为：
34．
【分析】把题意转化为，设，由一次函数的单调性列不等式组，即可求解.
【详解】可转化为.
设，则是关于m的一次型函数.
要使恒成立，只需，
解得.
故答案为：
35．
【分析】采用变换主元的策略，看作关于的一次函数，利用端点函数值不小于0建立不等式组求解即可.
【详解】令，当时，恒成立，
只需 即 解得或．
所以实数x的取值范围是．
故答案为：
36．A
【分析】先求出命题为真时实数的取值范围，即可求出命题为假时实数的取值范围.
【详解】若“，”是真命题，
即判别式，解得：，
所以命题“，”是假命题，
则实数的取值范围为：.
故选：A.
37．B
【解析】将不等式在上有解，转化为不等式在上有解求解.
【详解】因为不等式在上有解，
所以不等式在上有解，
令，则，
所以，
所以实数的取值范围是
故选：B
38．
【分析】利用分离参数法得，只需求出不等式右边的最大值即可.
【详解】，，
设，对称轴为，在上单调递增，
故，即，
，,使得成立，
，，，故，
故答案为：.
39．
【分析】首先分和两种情况讨论，当时又分为方程有一正根一负根、有两个负实根两种情况，即可求解
【详解】①当时，解得，满足条件；
②当时，显然方程没有零根，由，得
设方程的两个实数根为
若方程有两异号实根，则 ，解得；
若方程有两个负的实根，则，解得 ．
综上，若方程至少有一个负的实根，则．
40．
【分析】由二次方程根的分布列不等式求解实数的取值范围.
【详解】当时，如图，当时，，满足条件，
所以，解得：
当时，如图，当时，，满足条件，
所以，解得：
综上可知
【点睛】本题考查二次方程根的分布，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.
41．
【分析】设，结合题意，得到，即可求解.
【详解】设，
因为方程 的一个实根小于2，另一个实根大于2，
则满足，解得，即实数的取值范围为.
故答案为：.
42．
【分析】构造函数，利用一元二次方程的实根分布列式求解即得.
【详解】令函数，依题意，的两个不等实根满足，
而函数图象开口向上，因此，则，解得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
43．
【分析】根据已知条件及方程的根与函数零点的等价关系，再结合二次函数的性质即可求解.
【详解】显然，关于的方程对应的二次函数
当时，二次函数的图象开口向上，
因为的两个实根一个小于，另一个大于等价于二次函的图象与轴的两个零点一个小于0，另一个大于，
所以，即，解得；
②当时，二次函数的图象开口向下，
因为的两个实根一个小于，另一个大于等价于二次函的图象与轴的两个零点一个小于0，另一个大于，
所以，即，解得；
综上所述，实数的范围是．
故答案为：．
44．C
【解析】结合二次函数的图象与性质，以及零点存在性定理可得关于a的不等式组，从而可得结果.
【详解】设，
∵方程的两根分别在与内，
∴，解得．
故选：C．
【点睛】对于一元二次方程根的分布题型,常见解法有两个:一是对于未知量为不做限制的题型可以直接运用判别式解答;二是未知量在区间上(m,n)的题型,一般采取列不等式组(主要考虑判别式、对称轴、f(m).f(n)的符号)的方法解答.
45．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】根据二次方程根的分布的性质逐一解决每个小问.
【详解】（1）令，设的两个根为.
由题得，解得.
（2）若方程的一个根大于，一个根小于，则，解得
（3）若方程一个根在内，另一个根在内，则，解得
（4）若方程的一个根小于，一个根大于，
则，解得
（5）若方程的两个根都在内，则，解得