2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）热点专题2-2函数单调性与奇偶性【15类题型全归纳】-2含解析答案

这是一份2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）热点专题2-2函数单调性与奇偶性【15类题型全归纳】-2含解析答案，共30页。

【题型9】函数图象的识别
判断函数图象常用的办法是排除法
一：判断奇偶性(依选项而判断)
二：代入特殊点看正负
三：极限思想
1．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习1】
2．函数的部分图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
3．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习2】
4．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习3】
5．函数的图象大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习4】
6．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【题型10】利用单调性，奇偶性比大小
利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而 利用其单调性比较大小
（2024·宁夏石嘴山·三模）
7．若定义在上的偶函数在上单调递增，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习1】
（2024·宁夏银川·一模）
8．若，设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习2】
9．已知函数，记，则（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习3】
（2024·四川·模拟预测）
10．若定义在上的偶函数在上单调递增，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【题型11】已知函数的奇偶性求参数
利用函数的奇偶性求参数函数的奇偶性，题目难度不大，属于基础题.根据偶函数的定义，即可求参数考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力
常见方法：
（1）定义法
奇函数：；偶函数：
（2）特殊值法
可以取0，±1这类比较好计算的特殊值
（3）导数法
奇函数的导数为偶函数，偶函数的导数为奇函数
（4）函数性质法
①为偶函数，
②奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶，结合常见函数模型
③复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
（5）定义域对称法
若解析式中含有2个参数时，可以考虑通过定义域对称这个限制来得出参数的值
（2023年新课标全国Ⅱ卷）
11．若为偶函数，则（ ）．
A．B．0C．D．1
12．已知函数为奇函数，则的值是（ ）
A．0B．C．12D．10
13．已知函数的图象关于轴对称，则 ．
14．函数为奇函数，则实数 .
（2022·全国·高考真题）
15．若是奇函数，则 ， ．
【巩固练习1】
（2021·全国·高考真题）
16．已知函数是偶函数，则 .
【巩固练习2】
17．已知函数是奇函数，则 .
【巩固练习3】
18．已知函数是奇函数，则实数 ．
【巩固练习4】
19．若函数是偶函数，则实数的值为 .
【巩固练习5】
（2024·高三·湖北武汉·期末）
20．函数为奇函数，则实数k的取值为 .
【巩固练习6】
21．若函数是奇函数，则 ．
【题型12】解奇函数不等式
先移项，再利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到 具体的不等式(组)，并注意是否有定义域的限制
22．奇函数f(x)是定义在(－1，1)上的减函数，若f(m－1)＋f(3－2m)<0，求实数m的取值范围．
23．设函数f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为（ ）
A．(－1，0)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0，2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2，0)∪(0，2)
24．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习1】
25．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为
A．B．
C．D．
【巩固练习2】
26．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解集是 .
【巩固练习3】
27．已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习4】
（2024·安徽安庆·三模）
28．已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【题型13】解偶函数不等式
利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，再加上绝对值，得到绝对值不等式(组)，注意是否有定义域的限制
29．已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则不等式的解集为
30．已知是定义在上的偶函数，且在上递减，则不等式的解集是 ．
【巩固练习1】
31．若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习2】
32．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则的解集为 ．
【巩固练习3】
33．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【题型14】函数不等式恒成立问题与能成立问题
，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于
，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于
34．若，使的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
35．若“，”为假命题，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习1】
（2024·全国·模拟预测）
36．已知，且在区间恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习2】
（23-24高三上·北京通州·期末）
37．已知函数，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【巩固练习3】
（2024·广东深圳·模拟预测）
38．已知函数，若，使得成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习4】
（2024·福建厦门·一模）
39．已知，，，则下列结论错误的为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【题型15】存在任意双变量问题
（1），成立
（2），成立
（3），恒成立
（4），恒成立
（5）成立
（6）成立
（7）若f(x)，g(x)的值域分别为A，B，则有：
①∀x1∈D， ∃x2∈E，使得f(x1)=g(x2)成立，则；
② ∃x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)=g(x2)成立，则.
40．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
41．已知且，若存在,存在,使得成立,则实数a的取值范围是 .
42．已知函数，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围 ．
【巩固练习1】
43．已知函数，，若对，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习2】
44．已知函数，.若，，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习3】
45．已知，，若对任意，都存在，使得，则实数m的取值范围是 .
参考答案：
1．A
【分析】先根据确定奇偶性，排除两个选项，再由函数值的正负排除一个选项，得出正确结论．
【详解】记，函数定义域为，则，
所以函数为奇函数，排除BC，
又当时，，排除D，
故选：A
2．C
【分析】根据函数奇偶性和特殊区间的正负即可判断求解.
【详解】因为定义域，
且，
所以是奇函数，则的图象关于原点对称，排除A，D；
当时，，排除B.
故选：C
3．D
【分析】求出函数的定义域，然后判断函数的奇偶性，再根据函数的单调性进行分析判断即可.
【详解】函数的定义域为，
因为，
所以为奇函数，所以的图象关于原点对称，
所以排除A，
当时，，所以排除C，
当时，，
因为和在上递增，所以在上递增，所以排除B，
故选：D
4．A
【分析】确定函数为奇函数排除CD，计算特殊值排除A，得到答案.
【详解】，函数定义域为，
，函数为奇函数，排除CD，
，排除B，
故选：A
5．A
【分析】当时，可判断C，D错误，当时可判断A，B.
【详解】当时，，其在单调递增，C，D错误；
当时，，在单调递减，B错误，A正确.
故选：A
6．D
【分析】求出函数的定义域，然后判断函数的奇偶性，再根据函数的单调性进行分析判断即可.
【详解】函数的定义域为，
因为，
所以为奇函数，所以的图象关于原点对称，
所以排除A，
当时，，所以排除C，
当时，，
因为和在上递增，所以在上递增，所以排除B，
故选：D
7．A
【分析】利用幂函数的单调性以及对数运算判断处，再结合的奇偶性以及单调性，即可得答案.
【详解】因为是定义在上偶函数，所以，
因为，则，所以，
因为在上单调递增，所以，
即，
故选：A．
8．D
【分析】求出函数定义域，判断奇偶性和单调性，比较的大小即可.
【详解】由题意知，由，
所以为偶函数，图象关于轴对称，
当时，由复合函数的单调性法则知随的增大而增大，
即 ， 单调递增，
因为，，
且，，
所以，所以，
即，也就是.
故选：D
9．C
【分析】先判断函数的奇偶性，再利用导数考查函数的单调性，比较自变量的范围和大小，利用函数单调性和奇偶性比较即得.
【详解】函数的定义域为，所以函数为偶函数，
当时，设，则，故在上单调递增且恒为正数，
则函数在上单调递减，又函数为偶函数，故在上单调递增，
又，即，于是，即.
故选:C.
10．A
【分析】根据函数奇偶性，先得，从而得，再根据函数单调性可判断大小.
【详解】因为是定义在上偶函数，所以，
因为，所以，
因为在上单调递增，所以，
故选：A.
11．B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.
故选：B.
12．D
【分析】由奇函数的性质可知，由此可以求出的值，进而可以求出.
【详解】因为函数为奇函数，
所以，即，即或，
显然函数的定义域为关于原点对称，
且当时，有，从而有，
当时，有，但，
所以，即，
所以.
故选：D.
13．1
【分析】由函数图象关于轴对称可得，再结合对数的运算性质代入表达式求出即可.
【详解】因为，
且，即，
有，
所以．
故答案为：1.
14．
【解析】由为奇函数，根据定义有，结合是单调函数即可求.
【详解】函数为奇函数知：，而，
∴，即，
又是单调函数，
∴，即有，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求参数值，应用的单调性列方程，属于基础题.
15． ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若，则的定义域为，不关于原点对称
若奇函数的有意义，则且
且，
函数为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得，
由得，，
，
故答案为：；．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数为奇函数
[方法三]：
因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．
16．1
【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.
【详解】因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，
故答案为：1
17．1
【分析】先求出函数的定义域，然后由奇函数的性质得可求出.
【详解】由，得，
所以函数的定义域为，
因为为奇函数，
所以，解得，
故答案为：1
18．
【分析】根据题意可知是偶函数，结合偶函数的定义分析求解.
【详解】由题意可知：函数的定义域为函数，
因为函数是奇函数，且是奇函数，
可知是偶函数，
则，
因为不恒成立，则，解得.
故答案为：.
19．##
【分析】根据偶函数定义对函数解析式进行化简即可得.
【详解】易知的定义域为，
且，
因为函数是偶函数，
所以，
所以恒成立，故，即.
故答案为：
20．
【分析】根据奇函数可得，再整理化简即可求解.
【详解】因为为定义域上的奇函数，所以，
即，整理化简有：恒成立，
所以，得，又因为，所以，
且当时，，其定义域为，关于原点对称，故满足题意.
故答案为：
21．
【分析】根据奇函数的定义域关于关于原点对称，即可求出，求出函数的定义域，再由奇函数得，即可求出，即可得解.
【详解】由，可得，即，
且，即，
又因为奇函数的定义域关于原点对称，
所以，所以，
故，定义域为，
因为函数是奇函数，
所以，所以，
经检验，符合题意，所以，，
所以.
故答案为：.
22．(1，2).
【分析】根据函数的奇偶性，把不等式转化为，再根据函数的定义域和单调性，即可求解.
【详解】原不等式化为f(m－1)<－f(3－2m)．
因为f(x)是奇函数，所以f(m－1)因为f(x)是减函数，
所以m－1>2m－3，所以m<2．
又f(x)的定义域为(－1，1)，
所以－1所以0综上得1故实数m的取值范围是(1，2)．
【点睛】解决此类不等式问题时一定要充分利用已知条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)23．C
【分析】考虑奇函数的对称性，可以画出函数图像，在利用不等式的性质即可.
【详解】解析 利用函数的性质画出函数f(x)的简图如图，
所以不等式xf(x)<0可化为或
由图可知x>2或x<－2，
故选：C．
24．D
【分析】根据函数的奇偶性以及当时，，判断函数单调性，作出其大致图像，数形结合，结合对数函数性质，解不等式，即可求得答案.
【详解】由题意是定义在R上的奇函数，故，
当时，，此时在上单调递增，且过点，
则当时，在上单调递增，且过点，
作出函数的大致图像如图：
则由可得或，
解得或，即的解集为，
故选：D
25．D
【详解】因为奇函数在上为增函数,
所以在上也是增函数,且,
从而在定义域上的大致图象为：

所以的解为:,或
故选：D．
26．
【分析】利用奇偶性求出函数的解析式，分类讨论即可求解.
【详解】当时，，所以，
因为函数是定义在R上的奇函数，所以，
所以当时，，
所以，
要解不等式，只需或或，
解得或或，
综上，不等式的解集为.
故答案为：.
27．B
【分析】根据函数的奇偶性求出函数的表达式，分段讨论解不等式即可得到结论．
【详解】解：∵是定义在上的奇函数，
，
当，，
此时，
∵是奇函数，
，
即，
当，即时，不等式不成立；
当，即时，，解得：
当，即时，，解得，
综合得：不等式的解集为，
故选B.
【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性求出函数的表达式是解决本题的关键，注意要进行分类讨论．
28．C
【分析】根据图象经过点得到解析式，再由单调性和奇偶性化简不等式即可求解.
【详解】由题意知，解得，所以，其在上单调递增，
又因为，所以函数为奇函数，，
所以不等式可化为，
于是，即，解得或.
故选：C．
29．
【分析】由函数为偶函数可将原不等化为，再根据函数在上单调递增，可得，从而可求得结果.
【详解】因为是定义在上的偶函数，
所以可化为，
因为在上单调递增，
所以，所以，
即，解得，
所以原不等式的解集为，
故答案为：.
30．
【分析】根据是定义在上的偶函数，将不等式转化为，再利用其单调性求解.
【详解】解：因为是定义在上的偶函数，且在上递减，
所以在上递增，
不等式等价于，
所以，解得，
所以不等式的解集是.
故答案为：
31．C
【分析】分析函数在上的单调性，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，
则函数在上为增函数，
因为，由可得，则，解得，
因此，满足的的取值范围是.
故选：C.
32．
【分析】由偶函数定义域的对称性可求，从而可得在上为增函数，在上为减函数，距离对称轴越远，函数值越小，将不等式转化为，结合定义域列不等式组，即可得结论．
【详解】解：∵是定义在上的偶函数，
∴，解得，
∴函数的定义域为，
∵在上单调递增，
∴在上单调递减，距离对称轴越远，函数值越小，
由，可得，
解得，故不等式的解集为．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：根据偶函数定义域关于原点对称的性质求参数，再由函数单调性列不等式组求解即可.
33．B
【分析】判断出函数的奇偶性和单调性，再由偶函数的定义和增函数的定义化简不等式，得出解集.
【详解】函数的定义域为，
且，即是偶函数，
当时，，
构造，，
令，则在上单调递增，又也是增函数，
则在上单调递增，
又是定义域内的增函数，故在上单调递增，
不等式等价于，
即，平方得：，解得且，
则不等式的解集为.
故选：B.
34．C
【分析】根据给定条件，分离参数，求出二次函数在上最大值即得结果.
【详解】不等式，等价于，
依题意，，恒成立，
而函数在上单调递增，当时，，因此，
所以的取值范围为.
故选：C
35．C
【分析】转化为命题的否定为真命题，再分离参数，设新函数求出其最大值即可得到答案.
【详解】由题意得该命题的否定为真命题，
即“，”为真命题，
即，
令，因为，则，
则存在，使得成立，
令，令，则（负舍），
则根据对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增，
且，，则，则.
故选：C.
36．B
【分析】在区间恒成立，只需要即可，再根据指数函数的单调性求出最大值即可得解.
【详解】由解析式易知：单调递增，
当时，恒成立，则，得．
故选：B．
37．A
【分析】求出时的范围，然后根据充分条件及必要条件的概念即可得出结论.
【详解】由题意，在中，对称轴，
∴当时，，解得：，
∴“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A.
38．C
【分析】先求出分段函数的最小值；再求解不等式的解集即可.
【详解】因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，函数取得最小值.
又因为函数在区间上单调递增，
所以当时，.
综上可得函数的最小值为.
因为，使得成立，
所以，解得：或.
故选：C.
39．D
【分析】举例即可判断ABC；再根据基本不等式及三角函数的性质即可判断D.
【详解】对于A，当时，
，，此时，
所以，，故A正确；
对于B，当时，，，此时，
所以，，故B正确；
对于C，当时，
，，此时，
所以，，故C正确；
对于D，当时，
，当且仅当，即时取等号，
，
由，得，
而，
所以当，即时，，
所以，当且仅当时取等号，
而，所以，，故D错误.
故选：D.
40．A
【分析】本题的关键是将已知转化为在的最小值不小于在的最小值，然后解不等式即可.
【详解】由得，，当时，，
∴在单调递减，∴是函数的最小值，
当时，为增函数，∴是函数的最小值，
又∵，都，使得，
可得在的最小值不小于在的最小值，
即，解得，
故选：A．
41．
【分析】根据题意知，建立不等式求解即可.
【详解】因为，
当时,，
因为存在,存在,
使得成立,
所以函数在上的最小值小于函数在上的最大值.
当时,函数在上单调递减,
则，解得;
当时,函数在上单调递增,
则，解得，
综上,实数a的取值范围是.
故答案为：.
42．
【分析】根据题意，由条件可得的值域是的值域子集，分别求得函数的值域，列出不等式，即可得到结果.
【详解】由条件可得，的值域是的值域的子集，其中，，
则，，
令，且，则，则，
当，函数单调递减，当，函数单调递增，
当时，，当时，，
所以，
由的值域是的值域子集，可得，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
43．D
【分析】根据二次函数的性质求出在时的值域为，再根据一次为增函数，求，由题意得值域是值域的子集，从而得到实数的取值范围．
【详解】解：∵函数的图象是开口向上的抛物线，且关于直线对称，
∴时，的最小值为，最大值为，
可得值域为，
又∵，，
∴为单调增函数，值域为，
即，
∵，，使得，
∴，解得：．
故选：D．
44．C
【分析】先根据基本不等式以及函数的单调性，求出，.由已知可推得，只需满足，代入即可得出不等式，求解即可得出答案.
【详解】设在上的最小值为，在上的最小值为.
因为，当且仅当，且，即时等号成立，
所以，.
在上单调递增，所以.
由，，使得成立，
可得，即，所以.
故选：C.
45．
【分析】对任意，都存在，使得，只需即可.
【详解】，在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，.
在R上单调递减，所以当时，.
因为对任意，都存在，使得，
所以只需即可，
即，解得，即m的取值范围是.
故答案为：