2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）热点专题2-2函数单调性与奇偶性【15类题型全归纳】-1含解析答案

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【题型1】函数的单调性
【题型2】复合函数单调性的判断
【题型3】由分段函数的单调性与最值求参数范围
【题型4】利用单调性求最值或值域
【题型5】由单调性求参数的范围
【题型6】结合单调性解函数不等式
【题型7】已知函数的奇偶性求解析式、求值
【题型8】函数的奇偶性的判断与证明
【题型9】函数图像的识别
【题型10】利用单调性，奇偶性比大小
【题型11】已知函数的奇偶性求参数
【题型12】解奇函数不等式
【题型13】解偶函数不等式
【题型14】函数不等式恒成立问题与能成立问题
【题型15】存在任意双变量问题
【题型1】函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数的定义域为，区间：
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数.
如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数.
①属于定义域内某个区间上；
②任意两个自变量，且；
③都有或；
④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的.
（2）单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间.
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质.
（3）几条常用的判断单调性的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数.
（2024·安徽蚌埠·模拟预测）
1．下列函数中，满足“对任意的，使得”成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】
2．已知函数的定义域为，则“恒成立”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【巩固练习2】
（2024·陕西榆林·一模）
3．已知函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【题型2】 复合函数单调性的判断
复合函数的单调性 ：“同增异减”
判断复合函数的单调性的步骤，
第一步：定义域优先，拆分前必须确定函数的定义域.
第二步：将复合函数分解成y=f(u)与u=g(x).
第三步：分别确定这两个函数的单调性.
第四步：用"同增异减"判断函数 的单调性
“同增异减”的意思如下图：
4．函数的单调增区间为（ ）
A．B．
C．和D．
5．已知，若，则（ ）
A．在区间内是减函数B．在区间内是减函数
C．在区间内是增函数D．在区间内是增函数
【巩固练习1】
6．函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习2】
7．函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习3】
8．函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【题型3】由分段函数的单调性与最值求参数范围
函数，在上为增函数，则：
①在上单调递增；②在上单调递增；③.
函数，在上为减函数，则：
在上单调递减；②在上单调递减；③.
（2024·新高考1卷真题）
9．已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（2024·陕西商洛·一模）
10．已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．已知的值域为，则的最小值为（ ）
A．0B．2C．D．1
【巩固练习1】
12．已知函数满足对于任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习2】
13．已知函数是R上的减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习3】
14．已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习4】
15．已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习5】
16．若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）.
A．B．C．D．
【题型4】利用单调性求最值或值域
利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值.常用到下面的结论：
1、如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值.
2、如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值.
3、若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值.
4、若函数在区间上是单调递增，则的最大值是，最小值是.
5、若函数在区间上是单调递减，则的最大值是，最小值是.
（2024·江西上饶·一模）
17．.函数f(x)＝－x＋在上的最大值是（ ）
A． B．－C．－2D．2
【巩固练习1】
18．当时，则函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习2】
19．已知函数，则函数的最大值为（ ）
A．15B．10C．0D．
【题型5】由单调性求参数的范围
若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解.
1、若在上恒成立在上的最大值.
2、若在上恒成立在上的最小值.
20．若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
（2024·广东佛山·二模）
21．已知且，若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习1】
（2024·广东揭阳·二模）
22．已知函数在上不单调，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习2】
（2023·天津河北·一模）
23．设，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【巩固练习3】
24．已知函数，若对任意的，且恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型6】结合单调性解函数不等式
求解函数不等式时，由条件去掉“”，从而转化为自变量的大小关系，记得考虑函数的定义域.
25．已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
26．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习1】
27．已知函数是定义在上的单调减函数：若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习2】
（2024·湖北武汉·二模）
28．已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习3】
29．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习4】
（23-24高三上·山东青岛·期中）
30．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【题型7】已知函数的奇偶性求解析式、求值
使用前提：已知函数在给定的某个区间上的解析式，求其在对称区间(或对称区间的子区间)上的解析式.
解题步骤：第一步：首先设出所求区间的自变量x；
第二步：运用已知条件将其转化为已知区间满足的x的取值范围；
第三步：利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式.
31．已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则的值是 .
（2024·广东湛江·二模）
32．已知奇函数则 ．
（2024·海南·三模）
33．已知函数为奇函数，为偶函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习1】
34．若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则的解析式为 .
【巩固练习2】
（2024·山西吕梁·一模）
35．已知函数为定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习3】
36．已知函数对一切实数都满足，且当时，，则 ．
【题型8】函数的奇偶性的判断与证明
一、函数奇偶性的定义及图象特点
二、判断奇偶性技巧
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
（2）奇偶函数的图象特征.
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.
（3）若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足.
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.
（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
（8）常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数或函数.
②函数.
③函数或函数
④函数或函数.
注意：关于①式，可以写成函数或函数.
偶函数：①函数.
②函数.
③函数类型的一切函数.
④常数函数
⑤若为奇函数，则为偶函数
37．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是奇函数
38．已知函数，若，则 ．
39．函数的奇偶性为 .
【巩固练习1】
（2024·重庆·模拟预测）
40．函数，，那么（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是奇函数
【巩固练习2】
（2024·重庆·三模）
41．设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习3】
42．利用图象判断下列函数的奇偶性：
(1)
(2)
(3)；
(4)；
(5).
近4年考情（2020-2024）
考题统计
考点分析
考点要求
2024年新高考I卷，第6题，5分
近几年的高考情况来看，函数的单调性、奇偶性、是高考的一个重点，需要重点关注，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想
借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义
2024年上海卷，第4题，5分
2023年新高考I卷，第4题，5分
2023年新高考Ⅱ卷，第4题，5分
2023年新高考I卷，第8题，5分
2022年新高考II卷，第6题，5分
2021年新高考I卷，第6题，5分
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数
关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数
关于原点对称
参考答案：
1．A
【分析】根据题意，可知在上为减函数，据此分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．
【详解】根据题意，“对任意的，使得”，则函数在上为减函数.
对于选项A，，为二次函数，其对称轴为x＝－1，在上递减，符合题意；
对于选项B，，其导数，所以在上递增，不符合题意；
对于选项C，为一次函数，所以在上递增，不符合题意；
对于选项D，由复合函数单调性“同增异减”知，在上单调递增，不符合题意.
故选：A.
2．B
【分析】函数为上增函数，，反之不成立，即可判断出结论．
【详解】函数为上增函数，，反之不成立，
例如定义在,上，，且在上满足，则有“”，
“”是“函数为增函数”的必要不充分条件．
故选：B．
3．C
【分析】由函数的单调性以及充分条件和必要条件的定义即可判定出结果
【详解】因为函数在上单调递增，且，
由增函数的定义可知，当时，有，
充分性成立；当时，若，由函数定义可知矛盾，
若，由函数单调性的定义可知矛盾，则，必要性成立.
即对实数，“”是“”的充要条件.
故选：C
4．C
【分析】令，根据二次函数的性质求出的单调区间，再由复合函数的单调性即可得函数的单调增区间.
【详解】设，则有且，
，则，
所以函数的定义域为：且，
由二次函数的性质可知的单调递增区间为：；单调递减区间为：和；
又因为在区间和上单调递减，
由复合函数的单调性可知：函数的单调增区间为：和.
故选：C.
5．A
【分析】直接利用复合函数单调性得到答案.
【详解】在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数的单调性：
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
故选：A.
【点睛】本题考查了复合函数单调性，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
6．A
【分析】利用指数函数、二次函数单调性，结合复合函数单调性法则求解即得.
【详解】函数的定义域为R，函数在上单调递减，在单调递增，
而函数在R上单调递减，因此函数在上单调递增，在单调递减，
所以函数的单调递增区间是.
故选：A
7．C
【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性可求得函数的单调递减区间.
【详解】由，
，解得或，
所以函数的定义域为，
令，则函数在上单调递减，在上单调递增，
而函数在上为增函数，
由复合函数单调性可得的单调递减区间为.
故选：C.
8．C
【分析】先求出函数的定义域，再确定在上单调递增，结合复合函数单调性，即可求得答案.
【详解】由可得，
解得或，
由图象的对称轴为，
则在上单调递增，
故的单调递减区间为，
故选：C
9．B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即a的范围是.
故选：B.
10．B
【分析】由题意可知函数在每一段上为增函数，且在时，一次函数的值不小于二次函数的值，然后解不等式组可求得结果.
【详解】因为是定义在上的增函数，
所以，解得.
故选：B
11．D
【分析】首先判断，再分和两种情况讨论，求出的取值范围，即可得解.
【详解】因为的值域为，
当时，显然值域不为，故舍去；
当时函数单调递减，即，
又，函数的值域不为，故舍去；
所以，
此时当时，函数单调递增，
又函数在上单调递减，在上单调递增，且时，
当时，只需满足，解得，
当时，只需满足，解得，
综上可得，即的最小值为.
故选：D
12．B
【分析】由，得函数在上是增函数，从而得，进而可求出实数的取值范围
【详解】根据题意，对于任意的都有成立
则函数在上是增函数
∴，解得，
故选：B．
13．B
【分析】根据分段函数在上的单调性可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围.
【详解】由于函数是定义在R上的减函数，
所以，函数在区间上为减函数，
函数在区间上为减函数，且有，
即，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
14．B
【分析】根据对勾函数的性质以及反比例函数的性质，即可由分类讨论，结合分段函数的单调性求解.
【详解】因为函数，在上单调递增，
当时，由于和均在单调递增函数，
故在上单调递增，
所以，解得，
当时，根据对勾函数的性质可知，若在上单调递增，
则，解得，
当时，，此时，显然满足在上单调递增，
综上，．
故选：B
15．A
【分析】首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到，从而求出的取值范围.
【详解】对于函数，当时，，当时，，
而，即有，依题意可得，又，解得，
所以；
当时，函数在上的取值集合为，不符合题意，
当，函数在上单调递增，
则，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A
【点睛】关键点睛：本题的关键是分析得到，再分和两种情况讨论.
16．D
【分析】求出函数在上的值域，由已知可得函数在上的值域包含，再列出不等式求解即得.
【详解】当时，函数在上单调递减，在上的值域为，
因为函数在R上的值域为，则函数在上的值域包含，
显然，否则当时，，不符合题意，
于是函数在上单调递减，其值域为，因此，则，
所以实数的取值范围为.
故选：D
17．A
【分析】由题可知f(x)在上是减函数，从而可求出其最大值
【详解】解：因为函数和在上均为减函数，
所以f(x)在上是减函数，
∴f(x)max＝f(－2)＝2－＝.
故选：A
【点睛】此题考查函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最值，属于基础题
18．C
【分析】利用换元法，结合反比例函数的单调性进行求解即可.
【详解】令，因为，所以，
当时，函数单调递减，故，
当时，即，所以，
所以函数的值域为：.
故选：C．
19．A
【分析】根据给定函数的单调性，求出在指定区间上的最大值作答.
【详解】函数在上单调递增，则，
所以函数的最大值为15.
故选：A
20．D
【分析】利用对数函数及复合函数的单调性计算即可.
【详解】由已知得，解之得，即的定义域为，
又在区间内单调递增，根据复合函数的单调性，
可得：，解得．
故选：D
21．D
【分析】由换底公式可得，由函数的单调性建立不等式并求解即可.
【详解】依题意，，
显然函数在上单调递增，而函数在上单调递减，
因此，而，则或，解得或，
所以实数a的取值范围为.
故选：D
22．C
【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得.
【详解】函数的图象对称轴为，依题意，，得，
所以的取值范围为.
故选：C
23．A
【分析】根据题意，由二次函数的对称轴和函数的单调性的关系以及充分性与必要性的应用，即可得到结果.
【详解】函数的对称轴为，
由函数在上单调递增可得，即，
所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A
24．D
【分析】不妨设，令，由题分析可得函数在上单调递减，讨论和时，要使在上单调递减时需要满足的条件，即可求出答案.
【详解】不妨设，则，根据题意，可得恒成立，即恒成立.令，
则恒成立，所以函数在上单调递减.
当时，在上单调递减，符合题意；
当时，要使在上单调递减，
则解得.
综上所述，实数a的取值范围是.
故选：D.
25．D
【分析】由已知有，即可求取值范围.
【详解】因为函数是定义在区间上的增函数，满足，
所以，解得.
故选：D
26．B
【分析】由分段函数表达式，判断其单调性，利用单调性，求解不等式．
【详解】根据题目所给的函数解析式，可知函数在上是减函数，
所以，解得．
故选：B
27．D
【分析】根据函数的单调性即可解不等式．
【详解】由已知，解得，
故选：D
28．A
【分析】消去绝对值可得函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可得.
【详解】由，故在上单调递增，
由，有，即.
故选：A.
29．D
【分析】结合二次函数和分段函数性质，研究给定函数的单调性，再借助单调性求解不等式作答.
【详解】因为开口向下的二次函数，对称轴为，故函数在上单调递减；
为开口向上的二次函数，对称轴为，故函数在上单调递减，且，因此函数在R上单调递减，则，即，
解得或，
所以实数的取值范围是。
故选：D
30．B
【分析】根据题意可得函数在上单调递减，结合可将不等式化为，可得不等式解集为.
【详解】根据定义域为且可知，
又，所以对，恒成立；
即可知函数在上单调递减；
又，可得，
不等式可化为，解得，
可得不等式的解集为.
故选：B
31．
【分析】由可得，从而结合奇偶性根据函数的奇偶性可得，于是解得，即可得所求.
【详解】因为①，所以
由函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，则
所以②
则①-②可得：，所以
则．
故答案为：．
32．
【分析】根据奇函数的定义，先求当时，，，再进一步求解.
【详解】当时，，，
则．
故答案为：.
33．C
【分析】根据解析式，分别代入和，再结合函数的奇偶性，即可求解和，再求其比值.
【详解】取得①，取得，
即②，①－②得，①＋②得，
所以．
故选：C
34．
【分析】根据函数奇偶性得到，由方程组求出.
【详解】由题意得：，即①，②，②-①得：，解得：.
故答案为：
35．D
【分析】根据奇函数的性质进行求解即可.
【详解】当时，则，因为是奇函数，
所以.
故选：D
36．
【分析】根据函数的奇偶性，求函数解析式．
【详解】函数对一切实数都满足，
所以，
设，则， ，
又因为，即，
所以
所以.
故答案为：．
37．C
【分析】利用函数的奇偶性对选项逐一说明即可.
【详解】易知选项ABCD中的函数定义域即为；
因为是奇函数，是偶函数，所以，
对于A，，故是奇函数，即A错误；
对于B，，故是偶函数，即B错误；
对于C，，故是奇函数，即C正确；
对于D，，故是偶函数，即D错误；
故选：C.
38．或
【分析】由奇偶性定义可判断是偶函数，且结合在上单调递增，即可求解.
【详解】由题可知，，所以是偶函数．
由于函数在上单调递增，而 且单调递增，
在上单调递增，故在上单调递增，
进而可得在上单调递增，又，
所以或，解得或．
故答案为：或
39．奇函数
【分析】先求出定义域为，去绝对值后可得，求出即可得答案．
【详解】要使函数，必须满足，解得，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
由可得，
所以函数可化为
因为，
所以函数是奇函数.
故答案为：奇函数
【点睛】判断函数奇偶性的方法：先求定义域，判断定义域是否关于原点对称，若定义域关于原点对称再求，判断其与的关系．
40．BC
【分析】根据函数的奇偶性，逐项判断四个选项中函数的奇偶性即可.
【详解】因为，所以为偶函数，
因为，
即，所以为奇函数，
所以为非奇非偶函数，A错误；
，所以为奇函数，B正确；
，所以是奇函数，C正确；
令，，为偶函数，D错误.
故选：BC．
41．A
【分析】首先推导出，即函数的对称中心为，再根据函数的平移只需将函数向右平移个单位，向上平移个单位，得到函数，则该函数关于对称，即可判断.
【详解】因为定义域为，
则，所以函数的对称中心为，
所以将函数向右平移个单位，向上平移个单位，得到函数，
该函数的对称中心为，故函数为奇函数.
故选：A.
42．(1)奇函数
(2)偶函数
(3)偶函数
(4)非奇非偶函数
(5)偶函数
【分析】根据函数解析式，结合二次函数的图象画出（1）（2）（5）的图形，结合指数函数的图象画出（3）的图形，结合对数函数的图象画出（4）的图形，由奇偶函数图象的对称性依次判断即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
对于函数，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向下，对称轴为，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
画出函数的图象，如图所示，
函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数；
（2）函数的定义域为，
对于函数，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
画出函数的图象，如图所示，
函数图象关于y轴对称，故为偶函数；
（3）先作出的图象，保留图象中x≥0的部分，
再作出的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，
即得的图象，如图实线部分．
由图知的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数.
（4）将函数的图象向左平移一个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，
即可得到函数的图象，如图，
由图知的图象既不关于y轴对称，也不关于x轴对称，
所以该函数为非奇非偶函数；
（5）函数，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
画出函数的图象，如图，
由图知的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数.