2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）热点专题3-3利用导数研究函数的单调性【8类题型】含解析答案

这是一份2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）热点专题3-3利用导数研究函数的单调性【8类题型】含解析答案，共38页。


【题型1】求单调区间或讨论单调性（不含参）
【题型2】函数与导函数图像之间的关系
【题型3】含参函数在某区间上递增或递减，求参数范围
【题型4】含参函数在某区间上不单调，求参数范围
【题型5】含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围
【题型6】最多有1个极值点的函数单调性分析
【题型7】最多有2个极值点的函数单调性分析（可因式分解）
【题型1】求单调区间或讨论单调性（不含参）
判断函数y＝f(x)的单调性的步骤：
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
注意：若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间用“和”或“，”隔开．
（2024·四川成都·三模）
1．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为 ．
2．函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，判断的单调性，并说明理由.
（2024·全国·高三专题练习）
4．已知函数.判断函数的单调性.
5．函数的严格递减区间是 .
6．函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
（2024·四川巴中·一模）
7．已知奇函数的导函数为，若当时，且.则的单调增区间为 .
（2024·河北保定·二模）
8．已知函数.若，讨论的单调性；
（2024·湖南邵阳·三模）
9．已知函数，若，求的单调区间.
（2024·全国·模拟预测）
10．已知函数，讨论函数的单调性．
【题型2】函数与导函数图像之间的关系
原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增导函数（导函数等于0，只在端点成立，其余点满足）；原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在端点成立，其余点满足）．
导数的绝对值与函数值变化的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”．
11．是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（ ）

A． B． C． D．
12．函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
13．已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．在 上单调递增B．在 上单调递减
C．在 处取得最大值D．在 处取得极大值
14．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）.
A．B．
C．D．
15．已知函数的图象是下列四个图象之一，函数的图象如图所示，则函数图象是（ ）
A．B．
C．D．
16．的图象如图所示，则的图象最有可能是（ ）

A． B．
C． D．
17．已知函数的定义域为R且导函数为，如图是函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的减区间是，
B．函数的减区间是，
C．是函数的极小值点
D．是函数的极小值点
【题型3】含参函数在某区间上递增或递减，求参数范围
已知函数的单调性问题
①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增；
②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．
（23-24高三·江苏南京·期末）
18．已知函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
（23-24高三上·江苏淮安·阶段练习）
19．已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是 .
（2024·陕西西安·三模）
20．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）
21．已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A．B．eC．D．
（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）
22．设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
23．已知函数在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
（23-24高三上·山东青岛·期末）
24．若函数在上单调递增，则a的取值范围是 ．
【题型4】含参函数在某区间上不单调，求参数范围
已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围．
25．若函数在区间单调递增，则的取值范围是 ；若函数在区间内不单调，则的取值范围是 ．
（23-24高三上·山东济南·阶段练习）
26．已知函数在上不是单调函数，则实数m的取值范围是 ．
27．已知函数在上不单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
28．若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是 .
（2024·宁夏银川·三模）
29．若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．m>1
（23-24高三上·福建三明·期中）
30．已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【题型5】含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围
存在增区间或减区间可以转化为导函数大于或小于零的相关不等式有解问题
31．若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是 ．
（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）
32．若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
33．若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
34．若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 .
35．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
36．若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是 ．
【题型6】最多有1个极值点的函数单调性分析
利用导数判断函数单调性的步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求出导数的零点；
（3）先讨论零点无意义或不在定义域内的情况，此时的正负是确定的，即单调
（4）当零点在定义域内时，用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性；
（2024·全国·高考真题）
37．已知函数．求的单调区间.
（2023·全国·高考真题）
38．已知函数，讨论的单调性；
（2024·全国·高三专题练习）
39．已知函数.判断函数的单调性.
40．已知函数.讨论函数的单调性；
41．已知函数，讨论函数的单调性.
（2024·陕西渭南·二模）
42．已知函数，其中.讨论的单调性；
（2024·山东枣庄·模拟预测）
43．已知函数，为的导数，讨论的单调性.
（2024·浙江宁波·模拟预测）
44．已知函数.讨论的单调性；
【题型7】最多有2个极值点的函数单调性分析（可因式分解）
这类题型最多需要讨论五种情况，具体步骤如下：
第一步：求的定义域
第二步：求出，通分
第三步：令，因式分解求出其2个根，一个含参一个不含参
第四步：先讨论含参的根不在定义域内或无意义的情况，此时只有一个极值点
第五步：论含参的根在定义域内，分3种情况讨论两个根之间的大小关系，令，解出的取值范围，得函数的增区间；令，解出的取值范围，得函数的减区间．
注意：若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开.
45．已知函数.讨论函数的单调性；
46．已知函数，讨论函数的单调性.
47．已知函数．讨论的单调性；
（2024·河南洛阳·模拟预测）
48．已知函数．讨论的单调性．
49．已知函数．讨论的单调性；
50．已知函数，.若，讨论函数的单调性；
51．设函数，其中，讨论的单调性.
【题型8】最多有2个极值点的函数单调性分析（不可因式分解）
若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论.
52．设函数,求的单调区间.
53．已知函数．讨论的单调性
（2024·全国·模拟预测）
54．已知函数．讨论的单调性；
近5年考情（2020-2024）
考题统计
考点分析
考点要求
2024年甲卷(文)，第20(1)，5分
高考中，利用导数研究函数单调性为重要考点.考生需掌握导数定义、性质及求导方法，通过导数正负判断函数单调区间.此考点强调导数与函数单调性的直接联系，要求考生能准确求解导数并据此分析函数在特定区间的单调性.备考时，应注重基础知识的巩固与解题技巧的提升，通过大量练习增强实际应用能力.
（1）函数的单调区间（2）单调性与导数的关系
（3）含参函数单调性讨论
2024年北京卷，第20(1)，5分
2023年I卷第第19(1)，5分
2023年乙卷(文)，第20(2)，7分
2023年乙卷（理）第16题，5分
2022年新高考II卷，第6题，5分
2023年乙卷（理）第16题，5分
2021年浙江卷第7题，5分
参考答案：
1．
【分析】利用导数求当时的单调递增区间，再根据奇函数的对称性求得结果.
【详解】当时，,
由，解得，所以在区间上单调递增，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以函数图象关于原点对称，
所以在区间上单调递增.
故答案为：.
2．D
【分析】求导后，根据导函数的正负即可得到结果.
【详解】由题意得：函数的定义域为，，
当时，；当时，；
的单调递增区间为.
故选：D.
3．在上单调递增，理由见解析
【分析】先求导得到，再通过求导判断分子恒为正，得到，最后得到单调递增.
【详解】，
令，则，
所以在区间单调递增，
所以，而在区间恒成立，
所以在区间恒成立，
所以在上单调递增.
4．在上单调递增，在上单调递减
【分析】求函数的定义域，对函数求导数，分析其正负号，得到函数的单调性.
【详解】因为，定义域为，
，
令，因为，则，
可得在上单调递减，所以，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
5．.
【分析】求导并结合函数的定义域，求出函数的单调减区间即可.
【详解】函数的定义域为，
，
令，则且，即的严格递减区间为.
故答案为： .
6．B
【分析】求导，解不等式可得.
【详解】的定义域为
解不等式，可得，
故函数的递减区间为.
故选：B．
7．
【分析】根据题意，由条件可得，即可求得在上的单调增区间，再由函数的奇偶性即可得到在上的单调增区间，即可得到结果.
【详解】因为时，则，
又，则，即，
所以，
令，即，即，
又，则，解得，
令，即，即，
即，解得，
所以在单调递增，
又为奇函数，
当时，在单调递增，
所以的单调增区间为.
故答案为：
8．在上单调递减，在上单调递增
【分析】先求函数的定义域，再对函数求导，然后由导数的正负可求出函数的单调区间.
【详解】函数的定义域为，
当时，，
所以，
令，则，
所以在上单调递增，
因为，
所以当时，，即，当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增.
9．的单调递增区间为，单调递减区间为
【分析】利用导数求解函数的单调性，注意对函数的导数进行因式分解.
【详解】若,则的定义域为,且
令,解得;令,解得;
所以的单调递增区间为,单调递减区间为.
10．在上单调递增．
【分析】求导后得到导函数，再用导数研究导函数正负，即可得出原函数的单调性.
【详解】定义域为，则．
设，则，
令，可得恒成立，
所以为上的增函数，且，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以，所以，所以在上单调递增．
11．C
【分析】根据导函数的正负与原函数单调性的关系，结合图象进行判断即可.
【详解】由导函数的图象可知：当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，只有选项C符合，
故选：C
12．A
【分析】由的图象得到的单调区间，即得的取值情况，从而得解.
【详解】由图可得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则当时， ，当时，，
由，得或，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：A
13．D
【分析】根据给定函数图像，判断导数的正负时的取值范围，再利用单调性逐项判断即可.
【详解】由导函数图像可知，当或时，，
当，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故选项A，B错误；
在处取得极大值，且，故C错误，D正确；
故选：D.
14．A
【分析】由的图象得到的单调性，从而得到的正负，即可得解.
【详解】由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减，
则当时，时，时，
所以不等式的解集为.
故选：A
15．A
【分析】根据导函数的正负性与原函数单调性的关系进行判断即可.
【详解】设导函数与横轴的交点为，设，
由导函数的图象可知：当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，单调递减，由此可以确定选项C符合，
故选：A
16．C
【分析】利用导数与函数单调性的关系可得出合适的选项.
【详解】由导函数的图象可知，当或时，；当时，.
所以，函数的增区间为和，减区间为，
所以，函数的图象为C选项中的图象.
故选：C.
17．BC
【分析】根据给定的函数图象，确定函数的单调区间及单调性，再逐项判断即得.
【详解】观察图象，由，得或，显然当时，，当，，
由，得或，显然当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，A错误，B正确；
函数在处取得极小值，在处取得极大值，C正确，D错误.
故选：BC
18．B
【分析】根据题意，恒成立，分离参数结合二次函数的性质求得答案.
【详解】因为函数在上单调递增，所以对恒成立，
即恒成立，设，，
当时，，所以，则，
所以实数a的最小值为.
故选：B.
19．
【分析】由导数求解函数的单调递增区间，即可列不等式求解.
【详解】由得，
由于函数的定义域为，故令,解得，故的单调递增区间为，
若在区间上单调递增，则，解得，
故答案为：
20．B
【分析】由导数与函数的单调性的关系结合条件可得在上恒成立，由此可得在区间上恒成立，求函数的值域可得的取值范围.
【详解】因为函数在区间上单调递增，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，
则，
所以在上递增，又，
所以.
所以的取值范围是.
故选：B
21．C
【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：C．
22．
【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，
则，即在区间上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
结合题意可得实数的取值范围是.
故答案为：.
23．B
【分析】求导得到，然后根据在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，由求解即得.
【详解】由，得，
∵在，上为增函数；上为减函数,
∴两根分别位于和中，
得，即，解得.
故选：B
24．
【分析】分与两种情况，求导，然后参变分离，构造函数，求出最值，得到答案.
【详解】，
当时，，
令得，
令，，
在上恒成立，
故在上单调递减，
又，所以，解得；
当时，，
令得，
令，，
在上恒成立，
故在上单调递减，
其中，故，解得，
由于，即在处连续，
综上，.
故答案为：
25．
【分析】求出导函数，由导函数在内大于等于0恒成立求解的取值范围；由函数在区间不是单调函数，得函数在区间上有极值，即导函数在区间内有解，由此求得的取值范围．
【详解】解：①由，得，
由函数在区间单调递增，
得在上恒成立，即在上恒成立，
．
的取值范围是；
②函数在区间内不单调，
在区间有解．并且解的两侧，导函数的符号相反，
由，解得，．
而在区间上单调递减，在，上单调递增．
的取值范围是．
故答案为： ；．
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，属于中档题．
26．或
【分析】将问题转化为有极值点，即有变号零点，从而得解.
【详解】因为，所以，
又不是单调函数，所以函数有极值点，即在上有变号零点，
则成立，
当时，可化为，显然不成立；
当时，，
因为，，所以或，
所以实数m的取值范围为或（因为要有变号零点，故不能取等号），
经检验，或满足要求.
故答案为：或.
27．A
【分析】因为在上不单调，故利用在上必有零点，利用，构造函数，通过的范围，由此求得的取值范围.
【详解】依题意，故在上有零点，令，令，得，令，
则，由，得，单调递增，又由，得，
故，所以，的取值范围
故选：A
28．(4，5)
【分析】由已知得在上存在变号零点，参变分离后利用导数讨论新函数的单调性后可得实数的取值范围.
【详解】解：函数，，
若函数在区间上不单调，则在上存在变号零点，
由得，
令，，，
在递减，在递增，而，，，
所以.
故答案为：.
29．B
【详解】首先求出的定义域和极值点，由题意得极值点在区间内，且，得出关于的不等式组，求解即可．
【分析】函数的定义域为，
且，
令，得，
因为在区间上不单调，
所以，解得：
故选：B.
30．B
【分析】求导，令，根据在上不单调，由在上有变号零点求解.
【详解】，
令，
因为在上不单调，
在上有变号零点，即在上有变号零点，
当 时， ，不成立；
当 时，只需 ，即 ，
解得 或 ，
所以 在上不单调的充要条件是或 ，
所以在上不单调的一个充分不必要条件是，
故选：B
31．
【分析】根据题意转化为在上有解，分离参数后求函数最值即可得解.
【详解】，由题意在上有解，
即在上有解，
根据对勾函数的性质可知，在上单调递增，所以在时取最大值，
故，故实数的取值范围是.
故答案为：
32．D
【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题.
【详解】因为函数在上存在单调递增区间，
所以存在，使成立，即存在，使成立，
令，， 变形得，因为，所以，
所以当，即时，，所以，
故选：D．
33．B
【分析】首先计算出,由存在单调递减区间知在 上有解即可得出结果.
【详解】函数的定义域为 ，且其导数为．由存在单调递减区间知在 上有解，即有解．因为函数的定义域为 ，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是 ．
故选:B．
34．
【分析】先求导函数，递减小于0，再解含参数的不等式分类讨论即可.
【详解】，
由题意知，在上有实数解，
即有实数解，
当时，显然满足，
当时，只需
综上所述
故答案为：
【点睛】本题考查导函数的单调性，及含参数的不等式有解求参数的取值范围问题.
35．D
【分析】把题意转化为在上有解，设，利用导数判断单调性，即可求解.
【详解】由可得：.
因为函数在区间内存在单调递增区间，
所以在上有解，即在上有解.
设，由在上恒成立，所以在单调递增，所以.
所以.
故选：D
36．
【分析】先求的导函数，再将函数在区间上存在单调递减区间转化为在区间上有解，再根据参数分离，构造函数，结合函数在区间的单调性即可求解实数的范围．
【详解】，则，
函数在区间上存在减区间，只需在区间上有解，
即在区间上有解，
又，则，
所以在区间上有解，
所以，，令，，
则，
令，则在区间恒成立，
所以在上单调递减，所以，
即，所以，所以实数的取值范围是．
故答案为：．
37．答案见解析.
【分析】求导，对参数分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性.
【详解】定义域为，
当时，，故在上单调递减；
当时，时，，单调递增，
当时，，单调递减.
综上所述，当时，在上单调递减；
时，在上单调递增，在上单调递减.
38．答案见解析
【分析】先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解.
【详解】∵，定义域为，∴，
当时，由于，则，故恒成立，
∴在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
39．在上单调递增，在上单调递减
【分析】求函数的定义域，对函数求导数，分析其正负号，得到函数的单调性.
【详解】因为，定义域为，
，
令，因为，则，
可得在上单调递减，所以，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
40．答案见解析
【分析】求出定义域，求导，分与两种情况，得到函数单调性.
【详解】函数的定义域是，
，
①若，则，在上单调递增；
②若，令，解得，
令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
41．答案见解析
【分析】对函数求导后，然后分和两种情况讨论导数的正负，可得到函数的单调性.
【详解】由题意可知的定义域为，
由，得，
当时，恒成立，
所以在上单调递减.
当时， 令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
42．答案见解析
【分析】先求出函数的定义域，再分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间.
【详解】定义域为，
由，得，
当时，在上恒成立，
当时，由，得到，
所以，当时，，时，，
综上所述，当时，的单调增区间为，无减区间，
当时，的单调增区间为，减区间.
43．答案见解析
【分析】先求出，再令，通过的正负即可确定的单调性.
【详解】由题知，
令，则，
当时，恒成立，此时在上单调递增，
当时，令，解得，
当时，，当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
综上所述，当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
44．答案见解析
【分析】求导之后为类一次函数，根据方程是否有解分为和两类.
【详解】∵，∴，
①当时，恒成立，此时在上单调递增；
②当时，令，解得，
当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
45．答案见解析.
【分析】求导后为可因式分解的类二次函数，但由于定义域为，所以的解只有可能是一个或者无解，根据解的个数分为和两类.
【详解】因为的定义域为，
又，
当时，在上恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，解得（舍去），；
当，，在上单调递减；
，，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
46．答案见解析.
【分析】对函数求导，然后对参数分类讨论，注意讨论正负以及与的关系，然后根据导数判断函数的单调性.
【详解】函数的定义域为，
求导得，
当时，，
由，得；由，得，
因此函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，
若，即，则由，得或；由，得，
因此函数在上单调递增，在上单调递减；
若，即，则恒成立，因此函数在上单调递增；
若，即，则由，得或；由，得，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数的递增区间是，递减区间是；
当时，函数的递增区间是，递减区间是；
当时，函数的递增区间是；
当时，函数的递增区间是，递减区间是.
47．
答案见解析
【分析】求导后为可因式分解的类二次函数，的零点为和，首先分为，但函数的定义域为，所以还需要分为和.
【详解】函数的定义域为，
则，
①当时，令，解得，令，解得，
在上单调递减，在上单调递增，
②当时，令，解得，令，解得或，
在上单调递减，在和上单调递增，
③当时，恒成立，
在上单调递增，
④当时，令，解得，令，解得或，
在上单调递减，在和上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增.
48．答案见解析.
【分析】求导可得，含参分类讨论、、和时函数的单调性即可求解.
【详解】的定义域为，且，
当时，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，则有：
若，则，令，则单调递增；
令，则或单调递减；
若，则，令，则单调递增；
令，则或单调递减；
若，则单调递减．
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减．
49．
答案见解析
【分析】求导后为可因式分解的类二次函数，的零点为和，首先分为，但函数的定义域为，所以还需要分为和.
【详解】函数的定义域为，
则，
①当时，令，解得，令，解得，
在上单调递减，在上单调递增，
②当时，令，解得，令，解得或，
在上单调递减，在和上单调递增，
③当时，恒成立，
在上单调递增，
④当时，令，解得，令，解得或，
在上单调递减，在和上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增.
50．
答案见解析
【分析】求导之后为可因式分解的类二次函数，但由于方程可能无解，所以根据方程是否有解可分为和，
的另外一个零点为，所以当时，还需要分为三类.
【详解】
.
①当时，令，解得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
在上单调递减，在上单调递增.
②当时，令，解得或，
当即时，令得：或，令得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当即时，恒成立，所以在上单调递增，
当即时，令得：或，令得：，
所以在单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.
51．答案见解析.
【分析】求导，分，，，讨论求解.
【详解】由
①时，由，令，解得，
所以时，时，，
则在单调递增，在单调递减；
②时，由，
（i）时，因为，则在单调递增，
（ii）时，，解得或，
所以时，时，，
则在，上单调递增，在单调递减；
（iii）时，由，
所以时，时，，
则在，上单调递增，在单调递减；
综上：时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
时，的单调递增区间为；
时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
52．答案见解析
【分析】先求导，根据判别式的正负讨论参数范围，最后求出单调区间.
【详解】， ，
若，则， 则恒成立，此时在上单调递增.
当或,由解得，
当时，列表如下：
当时，列表如下：
综上, 当时,在递减，在递增，在递减；
当时，在上单调递增；
当时，在递增，在递减，在递增.
53．当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，
在上单调递减.
【分析】先求出导函数，在定义域内分类讨论和时的符号，从而确定函数的单调性．
【详解】因为，
当时，，所以在上单调递增．
当时，令，则．
若，即时，恒成立，
所以在上单调递增．
若，即时，
方程的根为，
当时，或，
在和上单调递增；
当时，，
在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，
在上单调递减．
54．答案见解析.
【分析】根据题意，求导可得，然后分，，三种情况讨论，综合可得.
【详解】因为，
当时，，此时在上恒成立，
所以在上单调递减；
当时，在上单调递减，所以在上有唯一零点，
当时，，在上单调递增，
当时在上单调递减；
当时，在上有零点，
当和时，，
所以在和上单调递减，
当时，，
所以在上单调递增．
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递减，在上单调递增．