山东省潍坊市安丘市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份山东省潍坊市安丘市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共26页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分．每小题四个选项中只有一项正确）
1. 从国家统计局网站获悉，2024年1—2月份，全国规模以上工业企业实现利润总额9140.6亿元，同比增长，9140.6亿用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：解：9140.6亿；
故选C．
2. 如图，俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：解：从上往下看，是一个矩形，看不见的线为虚线，所以左右两边为两条虚线，在两条虚线的中间有两条实线，
故选：C．
3. 已知，则有（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：．
∵，
∴，
即．
故选：D．
4. 如图，在中，是边的中点，是的平分线，于点，连接，若，，则等于（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：如图，延长交于点，
∵平分，，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，，
又∵是的中点，
∴，
∴是中位线，
∴，
∴，
故选：．
5. 某校组织全体党员赴革命老区开展“重走红军路，感悟革命精神”的党员主题实践活动，全程80千米．学校通知上午七点整大家乘大巴车前往目的地，因堵车大巴车晚到，推迟了10分钟出发，途中大巴车平均每小时比原计划多走，结果正好按原计划到达目的地．设大巴车原计划的平均速度为千米/时，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：解：设大巴车原计划的平均速度为千米/时，由题意，得：
；
故选D．
6. 如图，矩形中，，点E是上的一点，，的垂直平分线交的延长线于点F，连接交于点G，若G是的中点，则等于（ ）
A. B. 12C. 10D.
答案：D
解析：∵矩形中，G是的中点，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，
则，
在中，
，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
解得，
∴．
∵，
∴，
∵的垂直平分线交的延长线于点F，
∴，，
∴
故选D．
二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
7. 如图，以点为位似中心，把的各边长放大为原来的倍得到，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. ，，三点在同一条直线上
答案：ABD
解析：、∵把的各边长放大为原来的倍得到，
∴，符合题意；
、根据位似的性质可知：，符合题意；
、∵，
∴，不符合题意；
、根据位似的性质可知：，，三点在同一条直线上，符合题意；
故选：．
8. 已知抛物线（）的图象如图所示，抛物线的顶点坐标为，且与轴的一个交点的横坐标在和之间，则下列结论正确的是（ ）
A B.
C. D. 关于的方程有实根
答案：BD
解析：、∵抛物线的开口方向向下，
∴，
∵对称轴在轴左侧，
∴对称轴为，
∵，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，
∴，
∴，故此选项错误；
、∵对称轴为，与轴的一个交点的横坐标在和之间，
∴与轴的另一个交点的横坐标在和之间，
∴当时，，故此选项正确；
、∵对称轴为，
∴，
当时，，故此选项错误；
、∵抛物线的顶点坐标为，
∴则，
设与，则与必有交点，
∴关于的方程有实根，故此选项正确；
故选：．
9. 如图所示，在中，内角与外角的平分线相交于点，，与交于点，交于点，交于点，连接．下列结论正确的是（ ）

A. B.
C. 垂直平分D.
答案：ACD
解析：∵平分，平分，
∴，，
∵，，
∴， 故正确；
过作于，于，于，

∴，
∴平分，
∴，故错误；
∵，平分，
∴垂直平分 ， 故正确；
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，故正确，
故选：．
10. 若有前后依次排列的两个整式，，用后一个整式B与前一个整式A作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式B作差后得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，…，依次进行作差，然后化简得到新的整式．则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：ACD
解析：解：由题意，得：，
，
，
，
，
，故选项A正确；
，
，
∴每6次一个循环，
∵，，
∴，故选项B错误；
∵，
∴；故选项C正确；
∵，
∴；故选项D正确；
故选：ACD．
三、填空题（共4小题，共16分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
11. 某厂生产一种产品起初的成本为225元/件，经过两次技术改进，现生产一件这种产品的成本比起初下降了29元，设每次技术改进产品的成本下降率均为x，根据以上信息列关于x的一元二次方程为______．
答案：
解析：解：设每次技术改进产品的成本下降率均为x，由题意，得：；
故答案为：．
12. 如图，是矗立在高速公路水平地面上交通警示牌，点，，在同一条直线上，经测量得到如下数据：米，米，，，则警示牌的高为_____米．（结果精确到，参考数据：，）
答案：
解析：由题意得：，
在中，米，，
∴（米），
∵米，
∴（米），
在中，，
∴（米）
∴（米），
∴警示牌的高约为米，
故答案为：．
13. 关于x的方程的两实根为和，若，则______．
答案：
解析：解：根据题意得，，
∵，
∴，
解得，
∵关于x的方程有两实根，
∴，且，
∴且，
∴．
故答案为： ．
14. 如图，在坐标系中，点A，B在反比例函数（）的图象上，点C在y轴上，轴，于点D，若点A的横坐标为10，，则______．
答案：15
解析：解：延长交x轴于点E，过点B作轴于点G，过点A作轴于点F，
则四边形均为矩形，
∴，
设，则有，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，或(不符合题意，舍去)，
∴，
∴，
∵点A，B在反比例函数的图象上，
∴，
解得，，
∴，
故答案为：15．
四、解答题（共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 先化简，再求值：，其中．
答案：，
解析：解：



，
当时，原式=．
16. 如图，在平面直角坐标系中，的一段弧经过格点，，．
（1）请在图中标出圆心的位置，并写出点的坐标；
（2）连接，，则的度数为______度；
（3）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径．
答案：（1）见解析，点；
（2）；
（3）圆锥的底面半径．
小问1解析：
利用网格特点画出和的垂直平分线，它们的交点为点，如图，
∴点即为所求，点，
小问2解析：
如图，
根据网格可知：，，，
∴，
∴，
故答案为：；
小问3解析：
设该圆锥的底面半径，
∵，
∴，
则，
解得：．
17. 某校把一分钟跳绳列为学生大课间的运动项目，为了解跳绳运动效果，学校分别在学期初和学期末对九年级共名学生进行了一分钟跳绳测试，学生成绩均为整数，满分分，大于分为优秀，现随机抽取了同一部分学生的两次成绩进行整理、描述和分析，成绩得分用表示，共分成五组：．，．，．，．，．．学期初抽取学生的成绩在D组中的数据是：，，，，，，，学期末抽取学生的成绩满分分有人．
学期末抽取学生成绩统计表
分析数据：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出图表中，，的值，并补全条形统计图；
（2）假设该校九年级学生都参加了两次测试，估计该校学期末成绩优秀的学生人数比学期初成绩优秀的学生人数增加了多少人？
（3）已知学期末测试成绩组中得满分分的共有名男同学，名女同学，从这个组中任意抽取名同学，请用画树状图法或列表法，求含有一名女同学的概率．
答案：（1），，，补全条形统计图见解析；
（2）估计该校学期末成绩优秀的学生人数比学期初成绩优秀的学生人数增加了人；
（3）含有一名女同学的概率为．
小问1解析：
调查学生的总人数为 （人），
∴，，
学期末组有人，其中满分分有人，分有人，；
学期初B组人数为 (人)，补全条形统计图为：
小问2解析：
(人),
答：估计该校学期末成绩优秀的学生人数比学期初成绩优秀的学生人数增加了人；
小问3解析：
列表为:
共有种等可能的结果，其中含有一名女同学的结果数为种,
所以含有一名女同学的概率为．
18. 如图，在中，，为边上的点，以为直径作，交于点，连接并延长交于点，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求阴影部分的面积．
答案：（1）证明见解析；
（2）．
小问1解析：
证明：连接，

则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，且，
∴是的切线；
小问2解析：
解：连接，

∵，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
解得，
在，∵，，
∴,
∴，
∴，
∴．
19. “数形结合”是一种重要的数学思想，有着广泛的应用．
例：求的最小值．
解题思路：如图，作线段，分别构造直角边为1，x和，2的两个直角三角形，当点A，D，E在一条直线上时，转化为两点之间线段最短，在中，由勾股定理，得，即，所以求得的最小值为5．

类比求值
（1）类比上面解题思路，完成下面的填空：
①求的最小值为______；
②求（a，b，c为正数，）的最小值为______．
解决问题
（2）如图，在矩形花园中，米，米，计划要铺设两条小路，点E在上．要使最小，设米．

①请用（1）中的结论，求最小值是多少？
②若不用（1）中的结论，你还有其他解决方案吗？请写下来．
答案：（1）①13②（2）①100②见解析
解析：解：（1）①如图：作线段，分别构造直角边为2，x和，3的两个直角三角形，当点A，D，E在一条直线上时，转化为两点之间线段最短，在中，由勾股定理，得，即，所以求得的最小值为13．

故答案为：13.
②如图，同法①可得：的最小值为：；

故答案为：
（2）①∵矩形，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理，得：，
∴
由（1）中结论可得：的最小值为：；
②作点关于的对称点，连接，

则：，，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为100．
20. 某超市以元每件的价格购进了一批玩具，并以每件不低于进货价且利润率不高于的价格进行销售．设售价为元/件，每天销售量为件，与满足一次函数关系，部分数据如下表所示．
（1）设每天销售利润为元，求与的函数表达式并写出的取值范围；
（2）当这种玩具每天销售利润为元时，求这种玩具的售价；
（3）当这种玩具的售价定为多少时，每天销售利润最大？最大利润是多少？
答案：（1）
（2）这种玩具的售价元/件
（3）当售价应定为元/件时，可获得最大利润，最大利润是元
小问1解析：
设关于的表达式为，将，代入，
得，
解得，
∴，
，
∵利润率不高于的价格进行销售，
∴
∴与的函数表达式；
小问2解析：
∵每天销售利润为元，
∴，
解得，，
∵，
∴，
答：这种玩具的售价元/件；
小问3解析：
∵，
∴，，
∴当时，取得最大值，此时，
答：当售价应定为元/件时，可获得最大利润，最大利润是元．
21. 已知边长分别为4和3的两个等边三角形和，有如下操作，请作答问题．
（1）如图1，的顶点C是的边的中点，平行，交于点M，交于点N．
①______；
②将图1中的固定，绕点C顺时针旋转（），在旋转过程中的值是否有变化？请说明理由．
（2）如图2，和顶点C与D重合，边在的角平分线上．将图2中的沿方向以每秒1个单位的速度平移，的延长线交于点G，点E运动到点G时停止，，与分别相交于H，I，如图3．设的移动时间为x秒，和重叠部分的面积为y，直接写出y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（3）如图4，将图2中的绕点C（D）顺时针旋转一定的角度，连接，，分别取，的中点M，N，连接，，．求证：是等边三角形．
答案：（1）；没有变化，理由见解析：
（2），
（3）见解析：
小问1解析：
①∵和是等边三角形，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵等边和等边的边长分别为4和3，点C是的边的中点，
∴，
∴，
故答案为：；
②的值不变化，，
理由：按照①的方法同理可证；
小问2解析：
如图，过点D作于点K，
根据运动的特点可知：，，
∵平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵的边长为3，
∴，
∴，
∵等边的边长为4，
∴高线，
当点E与点G重合时，，
∴，
∴，
当点D与点C重合时，，
∴，
∴自变量x的取值范围为，
综上：，；
小问3解析：
∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∵，的中点分别M，N，
∴是中边上的中线，是中边上的中线，
∵，
∴根据全等三角形中对应边上的中线也相等有：，
∵，
∴将绕点C旋转即可得到，且旋转角为
∴将绕点C旋转即可得到，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
22. 抛物线经过点，点，与轴交于点．直线经过点且与抛物线交于点，点是第四象限内抛物线上动点，直线轴，分别与轴和直线交于点，，如图．
（1）填空：______，______，______；
（2）连接，，，在点运动过程中，求四边形的面积的最大值；
（3）连接，过点作，垂足为点，如图，直接写出使得与相似的点的坐标．
答案：（1），，；
（2）四边形面积有最大值为；
（3）或．
小问1解析：
∵直线经过轴上的点，且抛物线也经过点，
∴点，；
∵抛物线经过点和点，
∴，解得，
∴抛物线的函数关系式为；
故答案为：，，；
小问2解析：
联立直线与抛物线关系式可得，
解得或，
∴，，
设（），
∵直线轴，分别与轴和直线交于点，，
∴，，
∵

，
∴当时，四边形面积有最大值，最大值为；
小问3解析：
∵ ，
∴当与相似时，有或两种情况，
∵，垂足为，
∴，且，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，，
当时，则，
即，
解得或（舍去），此时；
当时，则，即，
解得或（舍去），此时；
综上可知存在满足条件的点，其坐标为或．学生成绩
组
组
组
组
组
人数
平均数
中位数
众数
学期初抽取学生成绩
学期末抽取学生成绩
男
男
男
男
女
女
男
男男
男男
男男
男女
男女
男
男男
男男
男男
男女
男女
男
男男
男男
男男
男女
男女
男
男男
男男
男男
男女
男女
女
女男
女男
女男
女男
女女
女
女男
女男
女男
女男
女女
销售单价（元/件）
…
…
每天销售数量（件）
…
…