山东省泰安市东平县2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份山东省泰安市东平县2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共25页。

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中选择题48分，非选择题102分，满分150分，考试时间120分钟；
2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效；
3．数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题 共48分）
一、单选题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．每小题给出的四个答案中，只有一项是正确的．）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
详解：解： 的相反数是．
故选：C
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
详解：解：、，故本选项不符合题意；
、，故本选项符合题意；
、，故本选项不符合题意；
、，故本选项不符合题意；
故选：B．
3. 5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上．用科学记数法表示1300000是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
详解：解：∵，
故选：C．
4. 花钿（）是古时汉族妇女脸上用金翠珠宝制成的一种花形首饰，有红、绿、黄三种颜色，其中以红色为最多，是唐代比较流行的一种首饰．下列四种眉心花钿图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
详解：解：A．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
B．是轴对称图形不是中心对称图形 ，故该选项不符合题意；
C．既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D．轴对称图形也是中心对称图形，故该选项符合题意；
故选：D．
5. 如图，先在纸上画两条直线a，b，使，再将一块直角三角板平放在纸上，使其直角顶点落在直线b上，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：如图，
∵
∴，
∵，
∴，
故选：B
6. 某学校组织学生进行了视力测试．刘明所在的学习小组每人视力测试的结果分别为：5.0，4.8，4.5，4.8，4.6，这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A. 4.8 4.74B. 4.8 4.5C. 5.0 4.5D. 4.8 4.8
答案：D
解析：
详解：解：把这组数据从小到大排列为，，，，，排在中间的数是，
故中位数是；
这组数据中出现的次数最多，
故众数为．
故选：D．
7. 如图，是的直径，点C，D，E在上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：连接，如图，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
8. 在同一平面直角坐标系中，函数与（其中m，n是常数，）的大致图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
详解：A选项，依图得，此时一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图像应在一、三象限，与图像不符，A选项错误；
B选项，依图得，此时一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图像应在一、三象限，与图像不符，B选项错误；
C选项，依图得，此时一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图像应在二、四象限，与图像相符，C选项正确；
D选项，依图得，此时一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图像应在二、四象限，与图像不符，D选项错误．
故选：C．
9. 如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. π﹣1B. π﹣2C. π﹣3D. 4﹣π
答案：B
解析：
详解：解：由题意可得，
阴影部分的面积是：•π×22﹣﹣2（1×1﹣•π×12）＝π﹣2，
故选：B．
10. 出口贸易是我国经济发展的重要因素，由于出口贸易持续增长，一企业生产某种商品的数量增加明显.已知今年生产该商品的数量比今年和去年生产的数量总和的一半多11万件，去年的数量比今年和去年生产数量总和的三分之一少2万件.设今年生产该商品的数量为x万件，去年生产该商品的数量为y万件，根据题意可列出的方程组是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
详解：设今年生产该商品的数量为x万件，去年生产该商品的数量为y万件，
由题意可得：，
故选：D．
11. 如图，在四边形ABCD中，， ，连接，，且，的平分线分别交、于点O、E，则①、②、③、④．上述结论正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
答案：B
解析：
详解：解：①即，且，
∴，，
又∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即①正确，
②过点A、O作于F，于G，
∵平分，，，
∴，
又∵，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，即②错误；
③∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵于F，
∴四边形是矩形，是等腰直角三角形，，
∴，
∴
∵，
∴
∴，即③错误；
④∵，，
∴，即平分，
∴与若以和为底边，高相等；以和作底边，高相同；
∴，(高相等时，三角形面积之比等于底边之比)
∵，，
∴，
∴，
∴，即④正确；
故正确的有：①④，共两个，
故选B．
12. 如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（ ）
A. B. C. 1D. 2
答案：C
解析：
详解：连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，
∵△ACB为等腰直角三角形，
∴AC=BC=AB=，∠A=∠B=45°，
∵O为AB的中点，
∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，
∴∠OCB=45°，
∵∠POQ=90°，∠COA=90°，
∴∠AOP=∠COQ，
在Rt△AOP和△COQ中
，
∴Rt△AOP≌△COQ，
∴AP=CQ，
易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形，
∴PE=AP=CQ，QF=BQ，
∴PE+QF=（CQ+BQ）=BC==1，
∵M点为PQ的中点，
∴MH为梯形PEFQ的中位线，
∴MH=（PE+QF）=，
即点M到AB的距离为，而CO=1，
∴点M的运动路线为△ABC的中位线，
∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=AB=1，
故选C．
第Ⅱ卷（非选择题 共102分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，只要求填写最后结果）
13. 关于x的一元二次方程有实根，则m取值范围是___________．
答案：且
解析：
详解：解：∵关于的一元二次方程有实数根，
，
解得且．
故答案为：且．
14. 如图1是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．如图2，根据割圆八线图，在扇形中，，和都是的切线，点和点是切点，交于点，交于点，．若，则的长为 _________.
答案：##
解析：
详解：解：如图，
，
，
，
，
，
是的切线，点是切点，
，
即，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
．
故答案为：．
15. 《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离与时间的函数关系式为，当遇到紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车最远要滑行___________才能停下．
答案：16
解析：
详解：解：依题意，该函数关系式化简为，
当时，汽车停下来，滑行了16米，
汽车最远要滑行16米才能停下，
故答案为：16．
16. 如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点B在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则尺上沿的交点C在尺上的读数是________（结果精确到，参考数据）
答案：
解析：
详解：解：作于，作于，如图：
依题意得：，
在中，，，，
，
，，且，
，
在中，，，，
，即：，
解得：，
点C在尺上的读数约为，
故答案为：．
17. 如图，已知等边三角形纸片，点E在边上，点F在边上，沿折叠，使点落在边上的点的位置，且，则的度数为_____．
答案：##度
解析：
详解：由翻折性质可知：，
∵为等边三角形，
∴，，，
∵，
∴为直角三角形，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵是由翻折得到，
∴，
故答案为：．
18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为______

答案：
解析：
详解：解：∵点的坐标是，以为边在右侧作等边三角开 过点作轴的垂线，垂足为点
∴
∴ ，点纵坐标是 ，
∵以为边在右侧作等边三角形， 过点作轴的垂线，垂足为点，
∴，，
∴，
∴点纵坐标 ，即，
∵以为边在右侧作等边三角形，
同理，得点纵坐标是 ，
按此规律继续作下去，得：点的纵坐标是，即．
故答案为：
三、解答题（本大题共7个小题，共78分，写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤．）
19. （1）计算：
（2）化简：
答案：（1）；（2）2
解析：
详解：解：（1）原式
；
（2）原式
．
20. 某学校为了开展好课后延时服务，举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画：D：信息学；E：科技小制作等五个兴趣小组（每人限报一项），将参加各兴趣小组的人数绘制成如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）求本次参加课后延时服务的学生人数；
（2）把条形统计图补充完整，并求扇形统计图中的度数；
（3）在C组最优秀的2名同学（1名男生1名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加全区的课后延时服务成果展示比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．
答案：（1）80 （2）图形见解析；
（3）树状图见解析；所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率为
解析：
小问1详解：
解：本次参加课后延时服务的学生人数是（名）．
小问2详解：
参加组的人数为（名）．
补全条形统计图如图所示．
扇形统计图中的的度数是．
小问3详解：
设组的1名男生和1名女生分别记为组的2名男生和1名女生分别记为．
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果有：，，共3种，
所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率为．
21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为，点B的坐标为．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出满足的取值范围；
（3）求的面积；
答案：（1）反比例函数关系式为，一次函数关系式为：；
（2）或；
（3）．
解析：
小问1详解：
解：∵图象过点，则，
解得：，
∴反比例函数关系式为，当时，，
∴B点坐标为，
设一次函数关系式为,则，
解得：，
∴一次函数关系式为：；
小问2详解：
解：由图象得，当或时，一次函数的值大于反比例函数的值；
小问3详解：
解：设直线与x轴的交点为C，
由（2）知，，令，则，即．
则.
22. 为了响应国家发展科技的号召，某公司计划对A、B两类科研项目投资研发．已知研发1个A类科研项目比研发1个B类科研项目少投资75万元，且投资1200万元研发A类科研项目的个数与投资1500万元研发B类科研项目的个数相同．
（1）研发一个A类科研项目所需的资金是多少万元？
（2）该公司今年计划投资研发A、B两类科研项目共40个，且该公司投入研发A、B两类科研项目总资金不超过1亿3200万元，则该公司投资研发A类科研项目至少是多少个？
答案：（1）研发一个类科研项目所需资金是300万元
（2）今年研发类科研项目至少24个
解析：
小问1详解：
解：设研发一个类科研项目所需资金为万元，则研发一个类科研项目所需资金为万元，
根据题意，得，
解得．
经检验，是原分式方程的解，
．
答：研发一个类科研项目所需资金是300万元．
小问2详解：
解：设今年研发类科研项目个，则研发类科研项目个，
根据题意，得，
解得．
答：今年研发类科研项目至少24个．
23. 如图1，已知四边形是矩形，点E在的延长线上，．与相交于点G，与相交于点F，．
（1）求证：；
（2）若，求；
（3）如图2，连接，请判定，，三者之间的数量关系并证明．
答案：（1）见解析 （2）
（3），证明见解析
解析：
小问1详解：
证明：∵四边形是矩形，点E在的延长线上，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即，
故；
小问2详解：
解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，
即，
解得或（舍去）；
∴；
小问3详解：
解；，证明如下：
如图，在线段上取点，使得，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
即．
24. 综合实践
问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在“中，，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，．
（1）探究发现：旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
（2）性质应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长．
（3）延伸思考：如图4，在中，，，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．当边平分线段时，求的值．
答案：（1）猜想，证明见解析
（2）
（3）
解析：
小问1详解：
解：猜想，证明如下：
∵点D和点E为分别为中点，
∴由图1可知，，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
根据旋转的性质可得：，
∴，
∴；
小问2详解：
解：由图1可知点D和点E为分别为中点，
∴，，
∴，
∴，
∴当所在直线经过点B时，，
根据勾股定理可得：，
由（1）可得：，
∴，
解得：；
小问3详解：
解：令相交于点Q，过点E作于点G，
根据题意可得：，
∵，
∴，
∴，
∵边平分线段，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据旋转的性质可得：，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
25. 如图，在平面直角坐标系中，点、在轴上，点、在轴上，且，，抛物线经过三点，直线与抛物线交于另一点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点是直线上一动点，点为抛物线上直线下方一动点，当线段的长度最大时，请求出点的坐标和面积的最大值．
答案：（1）抛物线的解析式为；
（2）时的周长最小；
（3）当面积最大时，点的坐标为，面积最大值为．
解析：
小问1详解：
∵，，
∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 ，点的坐标为 ，
将，，代入得：
，解得：，
∴这条抛物线的解析式为；
小问2详解：
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
连接，交抛物线对称轴点，如图所示，
∵点，关于直线对称，
∴，
∴
∴当点，，三点共线时，取得最小值，即的周长最小，
设直线的解析式为，
将，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴在这条抛物线的对称轴上存在点时的周长最小；
小问3详解：
∵，，
∴直线的解析式为，联立直线和抛物线的解析式成方程组，得：，
解得：，，
∴点的坐标为，
过点作轴，交直线于点，如图所示，
设点的坐标为，则点的坐标为，
∴，
∴，
，
，
，
∵，
∴当时，的面积取最大值，最大值为，
∴当面积最大时，点的坐标为，面积最大值为．