2022-2023学年山东省潍坊市安丘市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省潍坊市安丘市八年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共32.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若二次根式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列实数大于且小于的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列二次根式是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在数轴上表示不等式组的解集，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若的小数部分是，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的边长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  如果，那么下列各式中不正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  下列各运算中，计算不正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  通过估算比较大小，下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知关于的不等式组有且只有两个整数解，则下列四个数中符合条件的整数的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  等于______ ．

14.  在中，，，，如果，满足，那么的形状是______ ．

15.  今年植树节时，某同学栽种了一棵树，此树的树围树干的周长为，已知以后此树树围平均每年增长，若生长年后此树树围超过，则满足的不等式为______．

16.  小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入的值是时，输出的值是______．
 

四、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
；
．

18.  本小题分
解不等式：，并把解集在数轴上表示出来；
解不等式组：．

19.  本小题分
如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点网格线的交点上，求点到边的距离．

20.  本小题分
某学校为落实有关文件要求，决定开设篮球、足球两个社团活动，需要购进一批篮球和足球，已知购买个篮球和个足球共需费用元；购买个篮球和个足球共需费用元．
求篮球和足球的单价分别是多少元；
学校计划采购篮球、足球共个，并要求篮球不少于个，且总费用不超过元，那么最多采购篮球多少个？

21.  本小题分
阅读材料：
在解决问题“已知，求的值”时，小亮是这样分析与解答的：
，，，，
，．
请你根据小亮的分析过程，解决如下问题：
化简：；
若，求的值．

22.  本小题分
在实数范围内定义运算“”：，例如：．
若，，计算的值；
若，求的取值范围；
若，请判断与的数量关系，并说明理由．

23.  本小题分
阅读材料，解决问题：
三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明，实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系如图，这是由个全等的直角边长分别为，，斜边长为的三角形拼成的“弦图”．
在图中，正方形的面积可表示为______ ，正方形的面积可表示为______ 用含，的式子表示
请结合图用面积法说明，，三者之间的等量关系．
已知，，求正方形的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意，
解得，
故选：．
根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数进行求解即可得．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
D、，不符合题意．
故选：．
先估算出各数的值，进而可得出结论．
本题考查的是实数的大小比较，熟知实数比较大小的法则是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
先算出，再根据算术平方根的定义即可求解．
本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
解得，
解得，
故．
在数轴上表示：

故选：．
先解不等式组得到，则在数轴表示为与之间的部分，且不含，含，由此即可得到正确选项．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集：利用数轴表示不等式的解集体现了数形结合的思想．也考查了解一元一次不等式组．
 

6.【答案】 

【解析】解：设中间两个正方形的边长分别为、，最大正方形的边长为，
则由勾股定理得：，，，
即最大正方形的面积为：．
故选：．
分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为，，，由勾股定理得出，，，即最大正方形的面积为．
本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：的小数部分是，
，



，
故选：．
根据题意得出的值，然后化简计算原式即可．
本题主要考查无理数大小的估算，熟练掌握无理数大小估算的方法是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意知小正方形的边长是，由勾股定理得：，
，
，
小正方形的边长为．
故选：．
由勾股定理得：，又，由此即可求出，因此小正方形的边长为．
本题考查勾股定理，完全平方公式，算术平方根，关键是掌握勾股定理，完全平方公式．
 

9.【答案】 

【解析】解：、，，正确，不符合题意；
B、，，原变形错误，符合题意；
C、，，正确，不符合题意；
D、，，原变形错误，符合题意．
故选：．
根据不等式的性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，故选项A错误，符合题意；
，故选项B正确，不符合题意；
，故选项C正确，不符合题意；
，故选项D错误，符合题意；
故选：．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪几个选项符合题意．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：、因为，所以，由，可知，符合题意；
B、，，故，不符合题意；
C、，故此，，故此，符合题意；
D、，，符合题意．
故选：．
根据算术平方根的定义和立方根的定义估算各根式的大小，然后再比较大小即可．
本题主要考查的是实数大小比较，掌握无理数的大小的方法是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由得：，
由得：，
不等式组有且只有两个整数解，
不等式组的整数解为、，
则，
解得，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：



，
故答案为：．
先变形，然后根据平方差公式计算，再算有理数的乘方即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式的应用．
 

14.【答案】直角三角形 

【解析】解：，
，
即，
是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
由，推出，根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
本题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：依题意得，
故答案为：．
根据生长年后此树树围超过，即可得出关于的一元一次不等式，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：当值为时，取算术平方根得，取立方根得，取算术平方根得是，是无理数，所以输出的数为．
故答案为：．
按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可．
本题考查了实数的运算，关键是掌握立方根及算术平方根的求解．
 

17.【答案】解：原式
；
原式
；
原式

． 

【解析】分别化简各项，再作加减法；
先计算乘除，再作加减法；
利用平方差公式和完全平方公式展开，再计算加减即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式和平方差公式，二次根式的运算法则是解题关键．
 

18.【答案】解：，
，
，
，
在数轴上表示解集如下：

，
由得：，
由得：，
表示在数轴上表示为：

故原不等式组无解． 

【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：由图可得，
，，点到的距离为，
设点到边的距离为，
则，
即，
解得，
即点到边的距离是． 

【解析】根据图形和勾股定理可以得到的长，的长和点到的距离，然后根据等面积法即可得到点到边的距离．
本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】解：设篮球的单价是元，足球的单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：篮球的单价是元，足球的单价是元；
设采购篮球个，则采购足球个，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为．
答：最多采购篮球个． 

【解析】设篮球的单价是元，足球的单价是元，根据“购买个篮球和个足球共需费用元；购买个篮球和个足球共需费用元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设采购篮球个，则采购足球个，利用总价单价数量，结合购买篮球的数量不少于个且总费用不超过元，可得出关于的一元一次不等式组的应用，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
 

21.【答案】解：；
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】根据平方差公式计算；
利用分母有理化把化简，再根据完全平方公式计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握分母有理化是解题的关键．
 

22.【答案】解：原式

；
，
，
解得：；
，，
，
，
．
，
． 

【解析】利用新定义的规定列式运算即可；
利用新定义的规定得到一元一次方程，解方程即可得出结论；
利用新定义的规定化简后，利用整体代入的方法解答即可．
本题主要考查了求代数式的值，解一元一次方程，本题是新定义型，正确理解并熟练运用新定义的规定是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：正方形的面积可表示为，正方形的面积可表示为．
故答案为：，；
正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积，
，
；
正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积，
正方形的面积．
由正方形面积公式即可得到答案；
由正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积，即可得到答案；
由正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积，得到正方形的面，代入有关数据即可计算．
本题考查勾股定理，完全平方公式，正方形、三角形的面积，关键是应用正方形的面积公式进行计算．