北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定巩固练习

这是一份北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定巩固练习，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图 ,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O ,OA=3 ,那么此正方形的面积为〔 〕

A. 32 B. 12 C. 18 D. 36
2.矩形具有而菱形不具有的性质是〔 〕
A.对角线相等
B.对角线互相垂直
C.对角线互相平分
D.对角线平分一组对角
3.如图 ,正方形ABCD的面积为1 ,那么以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为〔 〕
A. 2 B. 2 2 C. 2 +1 D. 2 2 +1
4.如图 ,在正方形ABCD中 ,△ABE和△CDF为直角三角形 ,∠AEB=∠CFD=90° ,AE=CF=5 ,BE=DF=12 ,那么EF的长是〔 〕
A. 7 B. 8 C. 7 2 D. 7 3
5.如图 ,在正方形ABCD中 ,E是AB上一点 ,BE=2 ,AE=3 ,P是AC上一动点 ,那么PB+PE的最小值是〔 〕．
A.5
B.5 2
C.6
D.34
6.如图 ,正方形ABCD和正方形CEFG中 ,点D在CG上 ,BC=1 ,CE=3 ,H是AF的中点 ,那么CH的长是〔 〕．
A. 10 B. 2 C. 5 D. 25
7.如图 ,在正方形ABCD中 ,△ABE经旋转 ,可与△CBF重合 ,AE的延长线交FC于点M ,以下结论正确的选项是〔 〕
A. AM⊥FC B. BF⊥CF C. BE=CE D. FM=MC
8.有3个正方形如下图放置 ,直角三角形局部的面积依次记为A ,B ,那么 A：B等于〔 〕
A.1： 2
B.1:2
C.2:3
D.4:9
9.如图 ,在四边形ABCD中 ,∠ADC＝∠ABC＝90° ,AD＝CD ,DP⊥AB于点P.假设四边形ABCD的面积是18 ,那么DP的长是( )
A.3
B.2 3
C.3
D.3 3
10.如图 ,点E在正方形ABCD的对角线AC上 ,且EC=2AE ,直角三角形FEG的两直角边EF ,EG分别交BC ,DC于点M ,N ,假设正方形ABCD的边长为a ,那么重叠局部四边形EMCN的面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题
11.如图,P是正方形ABCD外一点,且PA=3,PB=4 ,那么PC的最大值是________；
12.如图 ,正方形ABCD中 ,点E ,F分别在BC ,CD上 ,三角形AEF是等边三角形 ,连接AC交EF于G ,以下结论：①BE=DF ,②AG=2GC ,③BE+DF=EF ,④S△CEF=2S△ABE正确的有________〔只填序号〕．
13.在正方形ABCD中 ,E在BC上 ,BE=2 ,CE=1 ,P在BD上 ,那么PE和PC的长度之和最小可到达________
14.如图 ,正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1 ,点F ,G分别在边BC ,CD上 ,P为AE的中点 ,连接PG ,那么PG的长为________．
15.如图 ,正方形ABCD ,点E ,F分别在AD ,CD上 ,BG⊥EF ,点G为垂足 ,AB=5 ,AE=1 ,CF=2 ,那么BG=________．
16.在正方形ABCD中 ,点E为对角线BD上一点 ,EF⊥AE交BC于点F ,且F为BC的中点 ,假设AB=4 ,那么EF=________．
三、解答题
17.如图 ,在正方形ABCD中 ,点E是AD边上的一点 ,AF⊥BE于F ,CG⊥BE于G．
〔1〕假设∠FAE=20° ,求∠DCG的度数；
〔2〕猜测：AF ,FG ,CG三者之间的数量关系 ,并证明你的猜测．
18.：如图 ,四边形ABCD中 ,AD∥BC ,AD=CD ,E是对角线BD上一点 ,且EA=EC．
〔1〕求证：四边形ABCD是菱形；
〔2〕如果BE=BC ,且∠CBE：∠BCE=2：3 ,求证：四边形ABCD是正方形．
19.如图 ,正方形ABCD的边长为10 cm ,点E ,F ,G ,H分别从点A ,B ,C ,D出发 ,以2 cm/s的速度同时分别向点B ,C ,D ,A运动．
〔1〕在运动的过程中 ,四边形EFGH是何种四边形？请说明理由．
〔2〕运动多少秒后 ,四边形EFGH的面积为52cm2？
20.如图 ,正方形ABCD的边长为6 ,点E是边AB上一点 ,点P是对角线BD上一点 ,且PE⊥PC．
〔1〕求证：PC＝PE；
〔2〕假设BE＝2 ,求PB的长.
21.如图 ,在四边形纸片ABCD中 ,∠B=∠D=90° ,点E ,F分别在边BC ,CD上 ,将AB ,AD分别沿AE ,AF折叠 ,点B ,D恰好都和点G重合 ,∠EAF=45°．
〔1〕求证：四边形ABCD是正方形；
〔2〕求证：三角形ECF的周长是四边形ABCD周长的一半；
〔3〕假设EC=FC=1 ,求AB的长度．
答案解析
一、选择题
1.【答案】C
【考点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O ,OA=3 ,
∴AB=BC ,OA=OC ,
∴AB= 62=32 ,
∴正方形的面积= 322=18 ,
应选C．
【分析】根据正方形的性质和正方形的面积解答即可．
2.【答案】A
【考点】菱形的性质 ,矩形的性质
【解析】【解答】解： 矩形的对角线互相平分、相等 ,菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角 ,
∴矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等 ,
故答案为：A．
【分析】从矩形和菱形的对角线的性质去解答此题。
3.【答案】B
【考点】勾股定理 ,正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为1 ,
∴BC=CD= 1 =1 ,∠BCD=90° ,
∵E、F分别是BC、CD的中点 ,
∴CE= BC= ,CF= CD= ,
∴CE=CF ,
∴△CEF是等腰直角三角形 ,
∴EF= 2 CE= 22 ,
∴正方形EFGH的周长=4EF=4× 22 =2 2 ；
故答案为：B．
【分析】根据正方形ABCD的面积 ,求出边长 ,由E、F分别是BC、CD的中点 ,由正方形的性质 ,得到△CEF是等腰直角三角形 ,根据勾股定理求出EF的值 ,得到正方形EFGH的周长.
4.【答案】C
【考点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如下图：
∵四边形ABCD是正方形 ,
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90° ,AB=BC=CD=AD ,
∴∠BAE+∠DAG=90° ,
在△ABE和△CDF中 ,
{AB=CDAE=CFBE=DF ,
∴△ABE≌△CDF〔SSS〕 ,
∴∠ABE=∠CDF ,
∵∠AEB=∠CFD=90° ,
∴∠ABE+∠BAE=90° ,
∴∠ABE=∠DAG=∠CDF ,
同理：∠ABE=∠DAG=∠CDF=∠BCH ,
∴∠DAG+∠ADG=∠CDF+∠ADG=90° ,
即∠DGA=90° ,
同理：∠CHB=90° ,
在△ABE和△ADG中 ,
{∠ABE=∠DAG∠AEB=∠DGA=90°AB=DA ,
∴△ABE≌△ADG〔AAS〕 ,
∴AE=DG ,BE=AG ,
同理：AE=DG=CF=BH=5 ,BE=AG=DF=CH=12 ,
∴EG=GF=FH=EF=12﹣5=7 ,
∵∠GEH=180°﹣90°=90° ,
∴四边形EGFH是正方形 ,
∴EF= 2 EG=7 2 ；
故答案为：C．
【分析】由正方形的性质得出∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90° ,AB=BC=CD=AD ,由SSS证明△ABE≌△CDF ,得出∠ABE=∠CDF ,证出∠ABE=∠DAG=∠CDF=∠BCH ,由AAS证明△ABE≌△ADG ,得出AE=DG ,BE=AG ,同理：AE=DG=CF=BH=5 ,BE=AG=DF=CH=12 ,得出EG=GF=FH=EF=7 ,证出四边形EGFH是正方形 ,即可得出结果．
5.【答案】D
【考点】正方形的性质 ,轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图 ,连接DE ,交AC于P ,连接BP ,那么此时PB+PE的值最小．
∵四边形ABCD是正方形 ,
∴B、D关于AC对称 ,
∴PB=PD ,
∴PB+PE=PD+PE=DE．
∵BE=2 ,AE=3 ,
∴AE=3 ,AB=5 ,
∴DE= 32+52=34 ,
故PB+PE的最小值是 34 ．
故答案为：D.
【分析】连接DE ,交AC于P ,连接BP ,那么此时PB+PE的值最小 ,利用正方形的性质可得出B、D关于AC对称 ,可得出PB=PD ,因此求PB+PE的值就转化为求DE的长 ,利用勾股定理可解答。
6.【答案】C
【考点】勾股定理 ,正方形的性质
【解析】【解答】解：如以下图 ,连接AC、FC ,
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形 ,
∴AB=BC=1 ,EF=CE=3 ,∠A=∠E=90° ,∠ACD=∠GCF=45° ,
∴AC= 12+12=2 ,CF= 32+32=32 ,∠ACF=∠ACD+∠GCF=90° ,
∴AF= (2)2+(32)2=25 ,
又∵点H是AF的中点 ,
∴CH= AF= 5 .
故答案为：C.
【分析】利用正方形的性质 ,可证得△ACF是直角三角形 ,利用勾股定理分别求出AC、CF的长 ,再求出AF的长 ,然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ,可求出CH的长。
7.【答案】A
【考点】正方形的性质 ,旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABE经旋转 ,可与△CBF重合 ,
∴∠BAE=∠BCF ,∠ABE=∠CBF．
∴∠BCF+∠BFC=90°．
∴∠BFC+∠BAE=90°．
∴∠FMA=90°．
∴AM⊥FC．
应选：A．
【分析】依据旋转的性质可知∠BAE=∠BCF ,然后可证明∠BFC+∠BAE=90° ,从而可得到问题的答案．
8.【答案】D
【考点】勾股定理 ,正方形的性质
【解析】【解答】解：如答图所示：
设大正方形ABCD的边长为a ,
那么小正方形BEFG的边长为 a ,
∴CE=BE=EF= a.
∵AB=BC=a ,∠B=90° ,
∴AC= AB2+BC2 = a2+b2 = 2 a ,
∴AM=HM=MJ=IJ=CJ= 23 a ,
∴AH= 2 AM= 2 × 23 a= a ,
∴DH=AD-AH=a- a= a=DI ,
∴S1= DH·DI= × a× a= a2 ,
S2= CE·EF= × a× a= a2 ,
∴S1:S2= a2: a2=4:9.
即A:B=4:9.
故答案为：D.
【分析】设大正方形ABCD的边长为a ,可表示出小正方形BEFG的边长 ,利用勾股定理求出AC的长 ,利用正方形的性质 ,可证得AM=HM=MJ=IJ=CJ ,再用含a的代数式表示出AH、DH的长 ,然后用含a的代数式表示出S1和S2 , 就可求出它们的比值。
9.【答案】C
【考点】全等三角形的判定与性质 ,正方形的判定与性质 ,几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图 ,过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E,
∵∠ADC=∠ABC=90°,
∴四边形DPBE是矩形,
∵∠CDE+∠CDP=90°,∠ADC=90°,∴∠ADP+∠CDP=90°,
∴∠ADP=∠CDE,
∵DP⊥AB,
∴∠APD=90°,
∴∠APD=∠E=90°,在△ADP和△CDE中,
{∠ADP=∠CDE∠ADP=∠EAD=CD ,
∴△ADP≌△CDE〔AAS〕
∴DP=DE
四边形ABCD的面积=四边形DPBE的面积=18,
∴矩形DPBE是正方形,
∴DP=
故答案为:
【分析】过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E ,可证四边形DPBE是矩形 ,再证明△ADP≌△CDE ,得出DP=DE ,就可得出矩形DPBE是正方形 ,利用割补法可知四边形ABCD的面积=四边形DPBE的面积=18 ,就可求出DP的长。
10.【答案】A
【考点】全等三角形的判定与性质 ,正方形的判定与性质 ,几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图 ,
可得△EPM≌△EQN ,四边形EPCQ是正方形 ,又EP//AB ,EC=2AE ,
那么可得CP=2BP ,那么有BP= BC= a ,
∴S重叠局部=S正方形EPCQ= ；
故答案为：A.
【分析】过E作EP⊥BC于点P ,EQ⊥CD于点Q ,△EPM≌△EQN ,利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解。
二、填空题
11.【答案】3+42
【考点】全等三角形的判定与性质 ,正方形的性质
【解析】【解答】解：如图 ,过点B作BE⊥BP ,且BE=PB ,连接AE、PE、PC ,
那么PE= 2 PB=4 2 ,
∵∠ABE=∠ABP+90°,∠CBP=∠ABP+90∘ ,
∴∠ABE=∠CBP ,
在△ABE和△CBP中 ,
{AB=BC∠ABE=∠CBPBE=PB ,
∴△ABE≌△CBP(SAS) ,
∴AE=PC ,
由两点之间线段最短可知 ,点A. P、E三点共线时AE最大 ,
此时AE=AP+PE= 3+42 ,
所以,PC的最大值是 3+42 .
故答案为： 3+42 .
【分析】过点B作BE⊥BP使点E在正方形ABCD的外部 ,且BE=PB ,连接AE、PE、PC ,然后求出PE=2PB ,再证出∠ABE=∠CBP ,然后利用“边角边〞证明△ABE和△CBP全等 ,根据全等三角形对应边相等可得AE=PC ,再根据两点之间线段最短可知点A、P、E三点共线时AE最大 ,也就是PC最大。
12.【答案】①④
【考点】全等三角形的判定与性质 ,线段垂直平分线的性质 ,等边三角形的性质 ,正方形的性质
【解析】【解答】解：∵△AEF为等边三角形 ,
∴AE=AF ,
∵四边形ABCD为正方形 ,
∴AB=AD ,∠B=∠D=∠BAD=90° ,
在Rt△ABE和Rt△ADF中
{AE=AFAB=AD
∴Rt△ABE≌Rt△ADF ,
∴BE=DF ,所以①正确；
∠BAE=∠DAF ,
∵AC平分∠BAD ,
∴∠BAG=∠FAG ,
∴AG垂直平分EF ,
∴CG= EF ,即EF=2CG ,
而EF＞AG ,
∴AG＜2CG ,所以②错误；
∵∠EAG=30° ,∠BAE=15° ,
∴BE≠EG ,
∴BE+DF=2BE ,EF=2EG ,
∴BE+DF≠EF ,所以③错误；
延长CB到F′使BF′=DF ,作EH⊥AF′于H ,如图 ,
易得△ABF′≌△ABE ,
∴∠EAF′=30° ,
设CG=x ,那么EG=GF=x ,AE=2x ,
∴EH=x ,
∴S△AF′E= •2x•x=x2 , S△CEF= •x•2x=x2 ,
∴S△CEF=2S△ABE , 所以④正确．
故答案为①④．
【分析】根据条件易证△ABE≌△ADF ,可得出∠BAE=∠DAF ,BE=DF ,可对①作出判断；由正方形的性质就可以得出EC=FC ,就可以得出AC垂直平分EF ,可证得EF=2CG ,由EF＞AG ,可对②作出判断；再证明BE≠EG ,证得BE+DF≠EF ,可对③作出判断；设EC=x ,BE=y ,利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE , 就可以得出S△CEF=2S△ABE , 可对④作出判断。从而可得出答案。
13.【答案】
【考点】勾股定理 ,正方形的性质 ,轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图,连接AE,
因为点C关于BD的对称点为点A,
所以PE+PC=PE+AP,
根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值,
∵CE＝1 ,BE=2,
∴AB＝BC＝3 ,
∴在Rt△ABE中 ,AE= ,
∴PE+PC的最小值是 ；
故答案是 。
【分析】连接AE ,根据正方形的性质 ,可知点C关于BD的对称点为点A ,可得出PE+PC=PE+AP ,根据两点之间线段最短 ,可得AE就是AP+PE的最小值 ,再利用勾股定理求出AE的长 ,即可解答。
14.【答案】5
【考点】勾股定理 ,三角形中位线定理 ,正方形的性质
【解析】【解答】解：延长GE交AB于点O ,作 PH⊥OE 于点H ,
P 是 AE 的中点,
PH是 △OAE 的中位线 ,
PH=12OA=12(3−1)=1
Rt△OAE 中, ∠OAE=45° ,
△OAE 是等腰直角三角形,即 OA=OE=2
同理 △PHE 中, PH=HE=1
∴HG=HE+EG=1+1=2
在 Rt△PHE 中, PG=PH2+HG2=12+22=5
故答案为: 5
【分析】延长GE交AB于点O ,作PH⊥OE于点H ,可证得PH是△OAE的中位线 ,求得PH的长和HG的长 ,然后在Rt△PGH中利用勾股定理求解。
15.【答案】
【考点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图 ,连接BE、BF．
∵四边形ABCD是正方形 ,
∴AB=BC=CD=AD=5 ,
∵AE=1 ,AF=2 ,
∴DE=4 ,DF=3 ,
∴EF= 32+42 =5 ,
∵S△BEF= •EF•BG=S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△DEF ,
∴ •5•BG=25﹣ •5•1﹣ •5•2﹣ •3•4 ,
∴BG= ,
故答案为
【分析】如图 ,连接BE、BF．首先利用勾股定理求出EF ,再根据S△BEF= •EF•BG=S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△DEF , 列出方程即可解决问题．
16.【答案】10
【考点】全等三角形的判定与性质 ,勾股定理 ,正方形的性质
【解析】【解答】解：过点E作EM⊥AD于M ,交BC于N ,如图 ,
∴四边形ABCD为正方形 ,
∴AD∥BC ,∠BDM=45° ,
∴MN=CD=4 ,ME=DM ,
设ME=x ,那么DM=x ,AM=4﹣x ,NE=4﹣x ,
∴AM=EN ,
∵F为BC的中点 ,
∴FN=2﹣x ,
∵EF⊥AE ,
∴∠AEM=∠EFN ,
在△AEM和△EFN中
{∠AEM=∠EFN∠AME=∠ENFAM=EN ,
∴△AEM≌△EFN ,
∴ME=FN ,即x=2﹣x ,解得x=1 ,
∴FN=1 ,EN=3 ,
∴EF= 12+32 = 10 ．
故答案为 10 ．
【分析】过点E作EM⊥AD于M ,交BC于N ,根据正方形的性质 ,易证MN=CD=4 ,ME=DM ,设ME=x ,那么DM=x ,AM=4﹣x ,NE=4﹣x ,再表示出FN的长 ,然后证明△AEM≌△EFN ,可得出ME=FN ,就可求出x的值 ,得出FN、EN的长 ,利用勾股定理求出EF的长即可。
三、解答题
17.【答案】〔1〕解：∵四边形ABCD是正方形 ,
∴ ∠ABC=∠D=90° ,
∵AF⊥BE ,CG⊥BE ,
∴∠AFE=∠CGE=90° ,
∵∠FAE=20° ,
∴∠FED=∠FAE+∠AFE=20°+90°=110° ,
∴∠DCG=360°-∠D-∠FED-∠CGE=360°-90°-110°-90°=70°
〔2〕解：猜测：CG=AF+FG ,
证明：∵∠ABF+∠CBG=90° ,∠CBG+∠BCG=90° ,
∴∠ABF=∠BCG ,
在△ABF和△BCG中 {∠AFB=∠BGC∠ABF=∠BCGAB=BC
∴ABF≌△BCG〔AAS〕 ,
∴AF=BG ,BF=CG ,
∴CG=BF=BG+FG=AF+FG．
【考点】全等三角形的判定与性质 ,正方形的性质
【解析】【分析】〔1〕利用正方形的性质可得出∠ABC=∠D=90° ,根据三角形的外角定理求出∠FED的度数 ,再根据四边形内角和求得结论。
〔2〕利用∠ABF+∠CBG=90° ,∠CBG+∠BCG=90° ,证得∠ABF=∠BCG ,再证明ABF≌△BCG ,由全等三角形的性质证得BF=CG ,AF=BG ,根据线段的和差和等量代换即可求得结论。
18.【答案】〔1〕证明：在△ADE与△CDE中 ,
{AB=CDDE=DEEA=EC ,
∴△ADE≌△CDE ,
∴∠ADE=∠CDE ,
∵AD∥BC ,
∴∠ADE=∠CBD ,
∴∠CDE=∠CBD ,
∴BC=CD ,
∵AD=CD ,
∴BC=AD ,∴
四边形ABCD为平行四边形 ,
∵AD=CD ,
∴四边形ABCD是菱形〔1〕
〔2〕证明：∵BE=BC ,
∴∠BCE=∠BEC ,
∵∠CBE：∠BCE=2：3 ,
∴∠CBE=180× 22+3+3 =45° ,
∵四边形ABCD是菱形 ,
∴∠ABE=45° ,
∴∠ABC=90° ,
∴四边形ABCD是正方形
【考点】菱形的判定与性质 ,正方形的判定
【解析】【分析】〔1〕先证明△ADE≌△CDE ,由全等三角形的性质可得∠ADE=∠CDE ,由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD ,易得∠CDB=∠CBD ,可得BC=CD ,再证AD=BC ,利用平行四边形的判定定理 ,可得四边形ABCD为平行四边形 ,由AD=CD可得四边形ABCD是菱形。
〔2〕由BE=BC可得△BEC为等腰三角形 ,可得∠BCE=∠BEC ,利用三角形的内角和定理及∠CBE：∠BCE=2：3 ,可求出∠ABE的度数 ,就可证得∠ABC=90° ,由有一个角是直角的菱形是正方形 ,可证得结论。
19.【答案】〔1〕解：四边形EFGH为正方形．理由如下：
设运动时间为t s ,那么AE＝BF＝CG＝DH＝2tcm ,
在正方形ABCD中 ,∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90° ,
AB＝BC＝CD＝DA ,∴BE＝CF＝DG＝AH.
在△AEH和△BFE中 , {AE=BF∠A=∠BBE=AH ,
∴△AEH≌△BFE ,
同理可证：△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG ,∴EH＝FE＝GF＝HG ,
∴四边形EFGH为菱形．
∵△AEH≌△BFE ,
∴∠AEH＝∠BFE ,而∠BFE＋∠BEF＝90° ,
∴∠AEH＋∠BEF＝90° ,
∴∠HEF＝90° ,
∴四边形EFGH为正方形
〔2〕解：设运动的时间为x s ,那么AE＝BF＝CG＝DH＝2xcm.
∵AB＝BC＝CD＝DA＝10cm ,
∴BE＝CF＝DG＝AH＝(10－2x)cm.
由勾股定理得S四边形EFGH＝EH2＝AE2＋AH2＝(2x)2＋(10－2x)2＝8x2－40x＋100.
当S四边形EFGH＝52 cm2时 ,8x2－40x＋100＝52 ,即x2－5x＋6＝0 ,
解得x1＝2 ,x2＝3.当x＝2时 ,AE＝2x＝2×2＝4＜10；
当x＝3时 ,AE＝2x＝2×3＝6＜10.
∴x＝2或3均符合题意．故运动2s或3s后 ,四边形EFGH的面积为52cm2.
【考点】全等三角形的判定与性质 ,勾股定理 ,正方形的判定与性质
【解析】【分析】〔1〕设出运动时间 ,表示出AE ,BF ,CG ,DH的长度 ,可知AE=BF=CG=DH ,由题意即得出BE=CF=DG=AH ,再证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG ,利用全等三角形的性质得出EH＝FE＝GF＝HG ,可证四边形EFGH是菱形 ,通过求∠HEF=90°即可推出结论。
〔2〕设运动时间为x ,依据勾股定理推出 ,EH2=AE2+AH2=8x2-40x+100 ,由S四边形EFGH=EH2=52 ,列出方程8x2-40x+100=52 ,解方程即可推出x的值 ,x的值需符合2x≤10 ,就可求出符合条件的x的值。
20.【答案】〔1〕证明：过点P作PF⊥AB ,PG⊥BC ,垂足分别为点F、G.
∴ ∠PFB=∠PGB=∠PGC=90°,
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ ∠A=∠ABC=90° ,AB=AD=BC,
∴ ∠ABD=∠ADB=45° ,四边形FBGP是矩形,
∴ ∠FPB=90°－∠ABD=90°－45°=45°,
∴ ∠ABD=∠FPB,
∴ FP=FB,
∴ 矩形FBGP是正方形,
∴ PF=PG ,∠FPG=90°,
∴ ∠FPG＋∠EPG=90°,
∵ EP⊥PC,
∴ ∠EPC=90°,
∴ ∠GPC＋∠EPG=90°,
∴ ∠FPG=∠GPC ,
∵ ∠FPG=∠GPC ,PF=PG ,∠PFE=∠PGC,
∴△PFE≌△PGC〔ASA〕
∴ PE=PC.
〔2〕解：设EF=x.
∵ △PFE≌△PGC .
∴ GC=EF=x.
由BE=2得：BF=x＋2.
由正方形FBGP得：BG=x＋2.
∵ BC=6,
∴ BG＋GC=6.
∴ 〔x＋2〕＋x=6,
解得：x=2.
∴ PF=BF=2＋2=4 ,
△PFB中 ,∠PFB=90° ,由勾股定理得： ,
∵ PB＞0
∴
答：PB的长为
【考点】全等三角形的判定与性质 ,勾股定理 ,正方形的判定与性质
【解析】【分析】〔1〕过点P作PF⊥AB ,PG⊥BC ,垂足分别为点F、G ,可得出 ∠PFB=∠PGB=∠PGC=90° ,利用正方形的性质 ,可证得∠A=∠ABC=90° ,AB=AD=BC ,再证明四边形FBGP是正方形 ,得出 PF=PG ,∠FPG=90°；然后利用ASA证明△PFE≌△PGC ,利用全等三角形的性质就可证得结论。
〔2〕设EF=x。由 △PFE≌△PGC 得出GC=EF=x ,就可得出BG=x+2 ,再由BG＋GC=6 ,建立关于x的方程 ,求出x的值 ,就可得出PF的长 ,然后利用勾股定理求出PB的长。
21.【答案】〔1〕证明：由题意得 ,∠BAE=∠EAG ,∠DAF=∠FAG ,
∴∠BAD=2∠EAF=90° ,
∴四边形ABCD是矩形 ,
∵AB=AG ,AD=AG ,
∴AB=AD ,
∴四边形ABCD是正方形
〔2〕证明：∵EG=BE ,FG=DF ,
∴EF=BE+DF ,
∴△ECF的周长=EF+CE+CF=BE+DF+CE+CF=BC+CD ,
∴三角形ECF的周长是四边形ABCD周长的一半
〔3〕解：∵EC=FC=1 ,
∴BE=DF ,
∴EF= 2 ,
∵EF=BE+DF ,
∴BE=DF= EF= 22 ,
∴AB=BC=BE+EC= 22 +1
【考点】正方形的判定 ,翻折变换〔折叠问题〕
【解析】【分析】〔1〕利用折叠的性质 ,可得出∠BAE=∠EAG ,∠DAF=∠FAG ,AB=AG ,AD=AG ,再由∠EAF=45° ,可得出∠BAD=90° ,然后就可证得四边形ABCD是矩形 ,继而可证得四边形ABCD是正方形。
〔2〕先证明EF=BE+DF ,由△ECF的周长=EF+CE+CF转化为△ECF的周长=BC+CD ,可得出结论。
〔3〕先利用勾股定理求出EF的长 ,再由EF=BE+DF及BE=DF ,可得出BE的长 ,然后求出AB的长。