初中北师大版第七章 平行线的证明5 三角形的内角和定理多媒体教学课件ppt

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数学 八年级上册 BS版
如图1，三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的 角，称为三角形的外角.
注：如图2，三角形每一个顶点处都有两个外角，它们是对顶 角，因此三角形共有六个外角，通常每一个顶点处取一个外角.
2. 三角形内角和定理的推论.（1）推论1：三角形的一个外角等于和它 的 ⁠ 的和；（2）推论2：三角形的一个外角大于任何一个和 ⁠ 的内角.3. 由一个 或 直接推出的定理，叫做这个 基本事实或定理的推论.推论可以当作定理使用.
（1）若将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数 是 ⁠.
【思路导航】根据题意求出∠2，利用三角形的外角的性质得 ∠1＝60°＋∠2，从而得到结果.
【解析】∵∠2＝90°－45°＝45°，∠1＝60°＋∠2，∴∠1 ＝60°＋45°＝105°.故答案为105°.
【点拨】利用三角形的外角定理求角的度数时，关键是要找准 要求的角是哪个三角形的外角.
（2）如图，直线 AB ， CD 被直线 BC 所截.若 AB ∥ CD ，∠ B ＝ 45°，∠ D ＝35°，则∠1＝ ⁠.
【思路导航】根据平行线的性质以及三角形外角的性质计算 即可.
【解析】∵ AB ∥ CD ，∠ B ＝45°，∴∠ C ＝∠ B ＝45°.又 ∵∠ D ＝35°，∴∠1＝∠ C ＋∠ D ＝45°＋35°＝80°.故答 案为80°.
【点拨】在三角形中，求一个角时，不仅要用三角形内角、外 角的关系，还常结合角平分线、补（余）角、对顶角及平行线 的“三线八角”的关系来计算.
1. 如图，下列判断不正确的有 （填序号）.
①∠ EFD 是△ BFC 的一个外角；②∠ DFC 是△ BFC 的一个外角；③∠ DCF 是△ BFC 的一个外角；④∠ EFD ＋∠ FBC ＋∠ FCB ＝180°；⑤∠ CDF ＝∠ A ＋∠ ABD .
2. 如图，把一副三角板按此方法叠放在一起，则∠α的度数 是 ⁠.
（1）如图，已知∠ BDC ＝100°，∠ C ＝35°，∠ A ＝28°， 则∠ B 的度数是 ⁠.
【思路导航】延长 BD 或 CD ，根据三角形外角的性质计算即可.
【解析】如图，延长 BD 交 AC 于点 E . ∵∠ BDC ＝∠ C ＋∠ BEC ，∠ BEC ＝∠ A ＋∠ B ，∴∠ BDC ＝∠ A ＋∠ B ＋∠ C . ∵∠ BDC ＝100°，∠ A ＝28°，∠ C ＝35°，∴∠ B ＝100° －28°－35°＝37°.故答案为37°.
【点拨】此题还可以连接 BC ，由三角形内角和定理求解.解决 不规则四边形中的角度问题时，一般作辅助线，构造三角形， 利用三角形内角和定理与外角性质解决问题.
（2）如图，在△ ABC 中，已知∠ BAC ＝90°， AD ⊥ BC 于点 D ，点 E 在线段 AD 上.求证：∠ BED ＞∠ C .
【思路导航】根据直角三角形的性质得到∠ BAD ＝∠ C ，再 根据三角形外角的性质得到∠ BED ＞∠ BAD ，等量代换后 即可得证.
证明：∵∠ BAC ＝90°，∴∠ BAD ＋∠ DAC ＝90°.∵ AD ⊥ BC ，∴∠ ADC ＝90°.∴∠ C ＋∠ DAC ＝90°.∴∠ BAD ＝∠ C . ∵∠ BED 是△ ABE 的外角，∴∠ BED ＞∠ BAD . ∴∠ BED ＞∠ C .
【点拨】解决有关角的不等关系问题常常使用“三角形的一个 外角大于任何一个和它不相邻的内角”这一定理.
1. 如图，∠1，∠2，∠3，∠4恒满足的关系式是（　D　）
2. 如图，已知 CE 为△ ABC 的外角∠ ACD 的平分线， CE 交 BA 的延长线于点 E .
解：（1）∵∠ B ＝35°，∠ E ＝20°，∴∠ ECD ＝∠ B ＋∠ E ＝55°.∵ CE 是△ ABC 的外角∠ ACD 的平分线，∴∠ ACD ＝2∠ ECD ＝110°.∴∠ BAC ＝∠ ACD －∠ B ＝75°.
（1）若∠ B ＝35°，∠ E ＝20°，求∠ BAC 的度数；
（2）∵ CE 为△ ABC 的外角∠ ACD 的平分线，∴∠ ACE ＝∠ ECD . ∵∠ BAC 是△ EAC 的外角，∴∠ BAC ＞∠ ACE . ∴∠ BAC ＞∠ ECD . ∵∠ ECD 是△ EBC 的外角，∴∠ ECD ＞∠ B . ∴∠ BAC ＞∠ B .
（2）试判断∠ BAC 与∠ B 的大小关系.
如图，在△ ABC 中，已知点 E 在 AC 上，且∠ AEB ＝∠ ABC . （1）如图1，作∠ BAC 的平分线 AD ，分别交 CB ， BE 于 D ， F 两点.求证：∠ EFD ＝∠ ADC ；
（2）如图2，作△ ABC 的外角∠ BAG 的平分线 AD ，直线 AD 分 别交 CB ， BE 的延长线于 D ， F 两点.（1）中的结论是否仍成 立？为什么？
【思路导航】（1）在△ AEF 和△ ABD 中，根据三角形外角定 理即可证得；（2）在△ AEF 和△ ABD 中，根据三角形外角定 理，结合已知条件即可解答.
（1）证明：∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠ BAD ＝∠ DAC . ∵∠ EFD ＝∠ DAC ＋∠ AEB ，∠ ADC ＝∠ ABC ＋∠ BAD ，且 ∠ AEB ＝∠ ABC ，∴∠ EFD ＝∠ ADC .
（2）解：（1）中的结论仍成立.理由如下：∵ AD 平分∠ BAG ，∴∠ BAD ＝∠ GAD . ∵∠ FAE ＝∠ GAD ，∴∠ FAE ＝∠ BAD . ∵∠ EFD ＝∠ AEB －∠ FAE ，∠ ADC ＝∠ ABC －∠ BAD ，∴∠ EFD ＝∠ ADC .
【点拨】解答此题的关键是能灵活运用“三角形的一个外角等 于和它不相邻的两个内角的和”这个定理.
（2）探究2：如图2，已知点 O 是外角∠ DBC 与外角∠ ECB 的 平分线 BO 和 CO 的交点，则∠ BOC 与∠ A 有怎样的关系？请说 明理由.
（3）探究3：如图3，已知点 O 是∠ ABC 的平分线 BO 与外 角∠ ACD 的平分线 CO 的交点，则∠ BOC 与∠ A 有怎样的数量关系？