青岛版八年级上册2.6 等腰三角形教学课件ppt

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知识点2　等腰三角形的判定
1.(新独家原创)下列不能判定△ABC是等腰三角形的是 (　　)A.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶3 B.AB∶BC∶AC=2∶2∶3C.∠B=50°,∠C=80° D.AB=AC=4,BC=8
解析　因为∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶3,∠A+∠B+∠C=180°, 所以∠A=36°,∠B=36°,∠C=108°,所以∠A=∠B,所以△ABC 是等腰三角形,选项A不符合题意;因为AB∶BC∶AC=2∶2∶ 3,所以设AB=2x,BC=2x,AC=3x,所以AB=BC,且2x+2x>3x,所以 △ABC是等腰三角形,选项B不符合题意;因为∠B=50°,∠C= 80°,∠A+∠B+∠C=180°,所以∠A=50°,所以∠A=∠B,所以△ ABC是等腰三角形,选项C不符合题意;AB=AC=4,BC=8=4+4, 不能构成三角形,选项D符合题意.
2.(2024北京大学附中期中)如图,在正方形网格中,A,B两点都 在小方格的顶点上,如果C也是图中小方格的顶点,且△ABC 是等腰三角形,那么符合题意的点C的个数为 (　　) A.1　    B.2　    C.3　    D.4
解析　分两种情况考虑:①当AB为腰时,点C的位置有C1、C2, 共2个;②当AB为底边时,点C的位置有C3,共1个,2+1=3,故 选C.
3.(2023浙江丽水中考)如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交 BC于点D,交AC于点E,连接AD,∠B=∠ADB.若AB=4,则DC的 长是　　　    .
解析　因为∠B=∠ADB,AB=4,所以AD=AB=4.因为直线DE 是AC的垂直平分线,所以DC=AD=4.
4.(2024山东菏泽成武期中)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC =108°,AD,AE三等分∠BAC,图中等腰三角形共有　　　     个.
解析　因为AB=AC,所以△ABC是等腰三角形.因为∠BAC=1 08°,所以∠B=∠C= =36°,因为∠BAC=108°,AD,AE三等分∠BAC,所以∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°,所以∠ DAC=∠BAE=72°,所以∠AEB=∠ADC=72°,所以BD=AD=AE =CE,AB=BE=AC=CD,所以△ABE、△ADC、△ABD、△ ADE、△AEC都是等腰三角形,则等腰三角形有△ABC、△ ABE、△ADC、△ABD、△ADE、△AEC,共6个.
5.(2024北京海淀师达中学期中)如图,将长方形ABCD沿对角 线BD翻折,点C落在点E的位置,BE交AD于点F.求证:重叠部 分(△BDF)是等腰三角形.
证明　因为四边形ABCD是长方形,所以AD∥BC,所以∠ADB=∠CBD.由折叠的性质得∠EBD=∠CBD,所以∠ADB=∠EBD,所以BF=DF,所以△BDF是等腰三角形.
6.(2024北京人大附中朝阳学校期中)如图,在△ABC中,AB= AC,D是△ABC内一点,连接AD,BD,CD,∠BDC=90°,∠DBC=4 5°.(1)求证:∠BAD=∠CAD.(2)求∠ADB的度数.
解析　(1)证明:因为∠BDC=90°,∠DBC=45°,所以∠BCD=180°-∠BDC-∠DBC=45°,所以∠DBC=∠BCD,所以DB=DC.在△ABD与△ACD中, 所以△ABD≌△ACD(SSS),所以∠BAD=∠CAD.(2)由(1)得△ABD≌△ACD,所以∠ADB=∠ADC.因为∠ADB+∠ADC+∠BDC=360°,∠BDC=90°,
所以∠ADB= ×(360°-90°)=135°.
7.(2024山东菏泽单县期中)如图,已知△ABC,点D在线段AB 的反向延长线上,过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线 于E,交BC于G,且AE∥BC.(1)求证:△ABC是等腰三角形.(2)若AE=8,GC=2BG,求BC的长.
解析　(1)证明:因为AE∥BC,所以∠B=∠DAE,∠C=∠CAE,因为AE平分∠DAC,所以∠DAE=∠CAE,所以∠B=∠C,所以AB=AC,所以△ABC是等腰三角形.(2)因为F是AC的中点,所以AF=CF.在△AFE和△CFG中, 
所以△AFE≌△CFG(ASA),所以GC=AE=8,因为GC=2BG,所以BG=4,所以BC=BG+GC=12.
解析　在△ABC中,因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB= (180°-∠BAC).①如图1,当∠BAC=36°时,∠ABC=∠ACB= (180°-∠BAC)= ×(180°-36°)=72°,作∠ABC的平分线交AC于点D,所以∠ABD=∠CBD=36°,所以∠BDC=∠BAC+∠ABD=72°, 所以∠ABD=∠BAC=36°,∠BDC=∠ACB=72°,所以△ABD和 △BCD均为等腰三角形,即直线BD将△ABC分成两个等腰三 角形,正确;②如图2,当∠BAC=90°时,∠ABC=∠ACB= (180°-
∠BAC)= ×(180°-90°)=45°,作∠BAC的平分线交BC于点D,所以∠BAD=∠CAD=45°,所以∠ABC=∠BAD=45°,∠ACB= ∠CAD=45°,所以△ABD和△ACD均为等腰三角形,即直线 AD将△ABC分成两个等腰三角形,正确;③如图3,当∠BAC=1 08°时,∠ABC=∠ACB= (180°-∠BAC)= ×(180°-108°)=36°,作AB的垂直平分线交BC于点D,连接AD,则BD=AD,即△ABD 为等腰三角形,所以∠DAB=∠ABC=36°,所以∠CAD=∠BAC -∠DAB=108°-36°=72°,∠CDA=∠DAB+∠ABC=72°,所以∠
CAD=∠CDA=72°,所以△CAD为等腰三角形,即直线AD将△ ABC分成两个等腰三角形,正确;④如图4,当∠BAC= 时,∠ABC=∠ACB= (180°-∠BAC)= × = ,作AB的垂直平分线交AC于点D,连接BD,则AD=BD,即△ABD为等 腰三角形,所以∠ABD=∠BAC= ,所以∠CBD=∠ABC-∠ABD= - = ,∠CDB=∠BAC+∠ABD= ,所以∠CBD=∠CDB,所以△CBD为等腰三角形,即直线BD将△ABC
分成两个等腰三角形,正确.综上所述,正确的结果是①②③ ④,共4个,故选A. 
9.(2024广东广州三中教育集团期中改编,25,★★☆)如图,已 知AC∥y轴,点B在第一象限内,且AO平分∠BAC,AB交y轴于 G,连接OB、OC.(1)判断△AOG的形状,并予以证明.(2)若点B、C关于y轴对称,求证:AO⊥BO.
解析　(1)△AOG是等腰三角形.证明:因为AC∥y轴,所以∠CAO=∠AOG,因为AO平分∠BAC,所以∠CAO=∠GAO,所以∠GAO=∠AOG,所以AG=GO,所以△AOG是等腰三角形.(2)证明:如图,连接BC交y轴于K,过A作AN⊥y轴于N,
 易得∠ANG=∠BKG=90°.因为AC∥y轴,点B、C关于y轴对称,所以AN=CK=BK.在△ANG和△BKG中, 
所以△ANG≌△BKG(AAS),所以AG=BG.由(1)得AG=OG,所以OG=BG,所以∠BOG=∠OBG,因为∠OAG+∠AOG+∠BOG+∠OBG=180°,所以∠AOG+∠BOG=90°,即∠AOB=90°,所以AO⊥BO.
微专题　角平分线+平行线→等腰三角形
1.(2024山东潍坊昌乐期中)如图,已知OC平分∠AOB,CD∥ OB,若OD=3,则CD= (　　)A.3　    B.4　    C.1.5　    D.2
解析　因为OC平分∠AOB,所以∠AOC=∠BOC,又因为CD ∥OB,所以∠C=∠BOC,所以∠C=∠AOC,所以CD=OD=3,故 选A.
2.(2024山东菏泽单县期中)如图,△ABC中,AB=7 cm,BC=5 cm,AC=6 cm,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,过点O作DE ∥BC,分别交AB,AC于点D,E,则△ADE的周长为 (　　) A.13 cm　    B.14 cm　    C.15 cm　    D.16 cm
解析　因为BO平分∠ABC,所以∠DBO=∠CBO,因为DE∥ BC,所以∠CBO=∠DOB,所以∠DBO=∠DOB,所以BD=DO, 同理可得OE=EC,所以△ADE的周长=AD+ED+AE=AD+DO+ OE+AE=AD+BD+EC+AE=AB+AC=7+6=13(cm).故选A.