人教版新课标A必修22.3 直线、平面垂直的判定及其性质教学设计及反思

3．1.2　两条直线平行与垂直的判定

Q

过山车是一种富有刺激性的娱乐游戏，那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷．实际上，过山车运动包含了许多数学、物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理．过山车的铁轨是两条平行、起伏的轨道，你能感受到过山车中的平行吗？那么两条直线的平行用什么来刻画呢？

X

1．两条直线平行

对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2．

[归纳总结]　(1)当直线l1∥直线l2时，可能它们的斜率都存在且相等，也可能斜率都不存在．

(2)直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，当k1＝k2时，l1∥l2或l1与l2重合．

(3)对于不重合的直线l1，l2，其倾斜角分别为α，β，有l1∥l2⇔α＝β．

2．两条直线垂直

如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于__－1__；如果它们的斜率之积等于－1，那么它们__互相垂直__．

[归纳总结]　当直线l1⊥直线l2时，可能它们的斜率都存在且乘积为定值－1，也可能一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0；较大的倾斜角总是等于较小倾斜角与直角的和．

(1)平行：倾斜角相同，所过的点不同；

(2)重合：倾斜角相同，所过的点相同；

(3)相交：倾斜角不同；

(4)垂直：倾斜角相差90°．

Y

1．已知直线l1∥l2，直线l2的斜率k2＝3，则直线l1的斜率k1等于(　B　)

A．可能不存在　　　　　 B．3

C．  D．－

[解析]　∵直线l1∥l2，且l1，l2的斜率存在，∴k1＝k2＝3．

2．已知直线l1的斜率k1＝2，直线l2的斜率k2＝－，则l1与l2(　B　)

A．平行　　 B．垂直　　

C．重合　　 D．异面

[解析]　∵k1＝2，k2＝－，∴k1·k2＝－1，∴l1⊥l2．

H

命题方向1　⇨两直线平行关系的判断与应用

典例1 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行.

(1)l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过C(3，－3)，D(8，－7)；

(2)l1的倾斜角为60°，l2经过M(1，)，N(－2，－2)；

(3)l1平行于y轴，l2经过P(0，－2)，Q(0，5)；

(4)l1经过E(0，1)，F(－2，－1)，l2经过G(3，4)，H(2，3)．

[思路分析]　根据所给条件求出两直线的斜率，根据斜率是否相等进行判断，要注意斜率不存在及两直线重合的情况．

[解析]　(1)由题意知，k1＝＝－，k2＝＝－，所以l1与l2重合或平行．

需进一步研究A，B，C，D四点是否共线．

k BC＝＝－≠－，

∴A，B，C，D四点不共线．∴l1∥l2．

(2)由题意知，k1＝tan60°＝，k2＝＝，

因为k1＝k2，所以，l1∥l2或l1与l2重合．

(3)由题意知，l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2．

(4)由题意知，k1＝＝1，k2＝＝1，所以l1与l2重合或平行，需进一步研究E，F，G，H四点是否共线．

k FG＝＝1，∴E，F，G，H四点共线．

故l1与l2不平行．

『规律方法』　判断两直线是否平行，应首先看两直线的斜率是否存在，即看两点的横坐标是否相等，若存在再看斜率是否相等．

〔跟踪练习1〕 

已知直线l1过点A(－1，1)和B(－2，－1)，直线l2过点C(1，0)和D(0，－2)，试判断直线l1与l2的位置关系．

[解析]　直线l1的斜率k1＝＝2，直线l2的斜率k2＝＝2，k1＝k2，而

k BC，所以A，B，C，D四点不共线，即l1∥l2.

命题方向2　⇨两条直线垂直关系的判断与应用

典例2 判断下列各题中的直线l1，l2是否垂直：

(1)l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)，l2经过点P(－2，－1)，Q(2，1)；

(2)l2经过点A(3，4)，B(3，6)，l2经过点P(－5，20)，Q(5，20)；

(3)l1经过点A(2，－3)，B(－1，1)，l2经过点C(0，－1)，D(4，2)．

[解析]　(1)直线l1的斜率k1＝＝2，直线l2的斜率k2＝＝，因为k1·k2＝1，所以l1与l2不垂直．

(2)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率k2＝＝0，所以l1⊥l2．

(3)直线l1的斜率k1＝＝－，直线l2的斜率k2＝＝，因为k1·k2＝－1，所以l1⊥l2．

『规律方法』　两条直线垂直的判定条件：

(1)如果两条直线的斜率都存在且它们的积为－1，则两条直线一定垂直；

(2)两条直线中，如果一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率为0，那么这两条直线也垂直．

〔跟踪练习2〕 

已知四点A(－4，2)，B(6，－4)，C(12，6)，D(2，12)，则下面四个结论：①AB∥CD；②AB⊥CD；③AC∥BD；④AC⊥BD，其中正确结论的序号为(　B　)

A．①③　　　 B．①④

C．②③  D．②④

[解析]　直线AB，CD，BD，AC的斜率都存在，因为k AB＝＝－，k CD＝＝－，k AC＝＝，k BD＝＝－4，所以k AB＝k CD，k AC· k BD＝－1，即AB∥CD，AC⊥BD．

Y 　考虑问题不周到，忽略特殊情形致误

典例3 已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，3)，直线l2经过点C(2，3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值.

[错解]　由l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，k1＝，k2＝，得·＝－1，解得a＝0．

[错因分析]　只有在两条直线斜率都存在的情况下，才有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，还有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在的情况也要考虑．

[正解]　由题意知l2的斜率一定存在，l2的斜率则可能为0，下面对a进行讨论．

当k2＝0时，a＝5，此时k1不存在，所以两直线垂直．

当k2≠0时，由k1·k2＝－1，得a＝0．

所以a的值为0或5．

〔跟踪练习3〕 

给出下列结论：

①已知A(1，1)，B，C(4，2)，则直线AB与BC平行；

②平面直角坐标系中，两条直线l1和l2满足，l1与x轴平行，l2与y轴平行，则两直线斜率之积等于－1；

③若l1∥l2，且l1与l2的斜率分别为k1，k2，则k1＝k2；

④若两直线斜率之积等于－1，则两直线垂直．

其中正确结论的序号是________．

[错解]　①②③④

[错因分析]　①两直线平行与两直线斜率相等不等价；

②两直线垂直与两直线斜率之积等于－1，不等价；

③若k AB＝k AC，则A，B，C三点共线．

[正解]　③④

①中A ，B，C三点共线；

②中l2斜率不存在．

X 　分类讨论思想

当直线上的点的坐标中含有未知参数时，参数取值的变化会导致直线位置关系的变化，处理问题时要根据参数的取值作分类讨论，分别考虑直线斜率存在与不存在两种情况．

典例4 已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，a＋2)．若l1⊥l2，求a的值.

[分析]　由直线垂直的条件求解，注意斜率不存在的情况．

[解析]　设直线l2的斜率为k2，则k2＝＝－．

①当a＝4时，l1的斜率不存在，k2＝－，不符合题意；

②当a≠4时，l1的斜率存在，此时k1＝．

由k1·k2＝－1，得－·＝－1

解得a＝3或a＝－4．

∴当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2．

〔跟踪练习4〕 

已知A(2，1)，B(－1，m)，C(－1，3)，若△ABC为直角三角形，则m的值为__1或－__．

[解析]　画出A，C两点，由于B，C两点横坐标都是－1，所以C不可能为直角．

当∠B为直角时，由于B，C两点横坐标相同，故A，B两点纵坐标相等，可得m＝1；

当∠A为直角时，由k AC·k AB＝·＝(m－1)＝－1．

得m＝－.故答案为1或－．

K

1．下列说法正确的有(　A　)

①若两直线斜率相等，则两直线平行；

②若l1∥l2，则k1＝k2；

③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；

④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．

A．1个　　　 B．2个　　　

C．3个　　　 D．4个

[解析]　当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，故①不正确；当l1∥l2时，也可能两直线的斜率均不存在，故②不正确；两直线的倾斜角不相等，则一定相交，故③正确；两直线也可能重合，故④不正确，故选A．

2．已知直线l1的斜率为a，l2⊥l1，则l2的斜率为(　D　)

A．  B．－

C．a  D．－或不存在

[解析]　当a＝0时，l2斜率不存在

当a≠0时，l2斜率为－，故选D．

3．已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，则第四个顶点D的坐标为__(2，3)__.

[解析]　设第四个顶点D的坐标为(x，y)，

∵AD⊥CD，AD∥BC，

∴k AD·k CD＝－1，且k AD＝k BC，

∴，

解得．

∴第四个顶点D的坐标为(2，3)．

4．判断下列各对直线是平行还是垂直：

(1)l1经过点A(0，1)，B(1，0)，l2经过点M(－1，3)，N(2，0)；

(2)l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)，l2经过点M(－2，－1)，N(0，－2)；

(3)l1经过点A(1，3)，B(1，－4)，l2经过点M(2，1)，N(2，3)；

(4)l1经过点A(3，2)，B(3，－1)，l2经过点M(1，1)，N(2，1)．

[解析]　(1)k1＝＝－1，

k2＝＝－1，∴k1＝k2．

又k AM＝＝－2≠k1，∴l1∥l2．

(2)k1＝＝2，k2＝＝－，

∴k1k2＝－1.∴l1⊥l2．

(3)l1的斜率不存在，l2的斜率也不存在，画出图形，如右图所示，则l1⊥x轴，l2⊥x轴，∴l1∥l2．

(4)l1的斜率不存在，k2＝＝0，画出图形，如下图所示

则l1⊥x轴，l2⊥y轴，∴l1⊥l2．

5．已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状.

[思路分析]　先由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明．

[解析]　由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如右图

由斜率公式可得

k AB＝＝，

k CD＝＝，

k AD＝＝－3，

k BC＝＝－．

所以k AB＝k CD，由图可知AB与CD不重合，

所以AB∥CD，由k AD≠k BC，所以AD与BC不平行．

又因为k AB·k AD＝×(－3)＝－1，

所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．