沪教版九年级上册数学专题训练专题24相似三角形压轴题(50题)解答题专练(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级上册数学专题训练专题24相似三角形压轴题(50题)解答题专练(原卷版+解析)，共137页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

一、解答题
1．已知：如图，在四边形中，E是边的中点，连接．将沿直线折叠，将沿直线折叠，点同时落在边上点F处．延长相交于点G，连接．
（1）填空：直线与直线的位置关系是_______；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，若与相似，求的长．
2．如图1，正方形的边长为5，点E、F分别是边、上一点，且四边形为边长为2的正方形，连接．
（1）在图1中，求的值；
（2）将图1中的正方形绕点B旋转一周，探究的值是否变化？若不变，请利用图2求出该值；若变化请说明理由；
（3）当正方形旋转至D，G，E三点共线时，求的长．
3．如图①，在矩形ABCD中，AB=，AD=3，点E是边AD靠近A的三等分点，点P是BC延长线上一点，且EP⊥EB，点G是BE上任意一点，过G作GH∥BP，交EP于点H．将△EGH绕点E逆时针旋转α（0＜α＜90°），得到△EMN（M、N分别是G、H的对应点）．
（1）求BP的长；
（2）求的值；
（3）如图②当α=60°时，点M恰好落在GH上，延长BM交NP于点Q，取EP的中点K，连接QK．若点G在线段EB上运动，问QK是否有最小值？若有最小值，请求出点G运动到EB的什么位置时，QK有最小值及最小值是多少，若没有最小值，请说明理由．
4．如图，在中，，，，为底边上一动点，连接，以为斜边向左上方作等腰直角，连接．
观察猜想：
（1）当点落在线段上时，直接写出，的数量关系：_______．
类比探究：
（2）如图2，当点在线段上运动时，请问（1）中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；拓展延伸：
（3）在点运动过程中，当时，请直接写出线段的长．
5．如图，已知抛物线＝与轴交于、两点，与轴交于点，且＝．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点是线段上的一个动点（不与、重合），分别以、为一边，在直线的同侧作等边三角形和，求的最大面积，并写出此时点的坐标；
（3）如图，若抛物线的对称轴与轴交于点，是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，直线与轴交于点．是否存在点，使与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．正方形中，是中点，点从点出发沿的路线匀速运动，到点停止，点从点出发，沿路线匀速运动，、两点同时出发，点的速度是点速度的倍，当点停止时，点也同时停止运动，设秒时，正方形与重叠部分的面积为，关于的函数关系如图2所示，则
（1）求正方形边长；
（2）求的值；
（3）求图2中线段所在直线的解析式.
7．如图，，点为内的一个动点，过点作与，使得，分别交、于点、.
（1）求证：；
（2）连接，若，试求的值；
（3）记，，，若，，且、、为整数，求、、的值.
8．如图，已知AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，且AE＝2DE，连接BE并延长交AC于点F.
(1)求证：AF＝FC；
(2)求的值．
9．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90， AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，
（1）求证：△ACD∽△BAC；
（2）求DC的长；
10．（1）如图①，P为△ABC的边AB上一点（P不与点A、点B重合），连接PC，如果△CBP∽△ABC，那么就称P为△ABC的边AB上的相似点．
画法初探
①如图②，在△ABC中，∠ACB＞90°，画出△ABC的边AB上的相似点P（画图工具不限，保留画图痕迹或有必要的说明）；
辩证思考
②是不是所有的三角形都存在它的边上的相似点？如果是，请说明理由；如果不是，请找出一个不存在边上相似点的三角形；
特例分析
③已知P为△ABC的边AB上的相似点，连接PC，若△ACP∽△ABC，则△ABC的形状是 ；
④如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，P是边AB上的相似点，求的值．
（2）在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b（a≥b）．P是AB上的点（P不与点A、点B重合），作PQ⊥CD，垂足为Q．如果矩形ADQP∽矩形ABCD，那么就称PQ为矩形ABCD的边AB、CD上的相似线．
①类比（1）中的“画法初探”，可以提出问题：对于如图④的矩形ABCD，在不限制画图工具的前提下，如何画出它的边AB、CD上的相似线PQ呢？
你的解答是： （只需描述PQ的画法，不需在图上画出PQ）．
②请继续类比（1）中的“辩证思考”、“特例分析”两个栏目对矩形的相似线进行研究，要求每个栏目提出一个问题并解决．
11．如图，四边形ABCD为正方形，E为对角线BD上的动点，过点E作FG⊥AE，FG交射线CD于F，交射线CB于G．
（1）求证：EF=EG
（2）求证：
（3）若AB=4，当∠GEB=22.5°，直接写出CF的长．
12．已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴交于点．抛物线经过点和点，并与轴相交于另一点，对称轴与轴相交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：；
（3）如果点在线段上，且，求点的坐标．
13．已知△ABC和△A′B′C′的顶点坐标如下表：
（1）将下表补充完整，并在下面的坐标系中，画出△A′B′C′；
（2）观察△ABC与△A′B′C′，写出有关这两个三角形关系的一个正确结论．
14．已知抛物线y=ax2+bx+2与x轴交点分别是A(-4,0)和点B(1,0),与y轴相交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式.
(2)如图1，将直线AC沿y轴向下平移，得直线BD，BD与抛物线交于另一点于D，连结CD，CD与x轴相交于E点,试判断△ADE与△ABD是否相似，并说明理由.
(3)如图2，在(2)条件下，设点M是△ABD的外心，点Q是线段AE上的动点(不与点A，E重合).
①直接写出M点的坐标:_________.
②设直线MQ的函数表达式为y=kx+b，在射线MQ绕点M从MA旋转到ME的过程中，是否存在点Q，使得k为整数.若存在，求Q点的坐标;若不存在，请说明理由.
图1 图2 图3
15．如图，P为⊙O外一点，过P的两条直线交⊙O分别于A、B，C、D．
求证：PA• PB＝PC• PD．
16．如图，在△ABC中, 点D,E分别是AB,AC边上的两点，且AB=8,AC=6,AD=3,AE=4,DE=6,求BC的长.
17．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，.
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M（m，0）为x轴上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N，
①点在线段上运动，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
②点在轴上自由运动，若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称，，三点为“共谐点”.请直接写出使得，，三点成为“共谐点”的的值.
18．为了测量图①②中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作：
图①：测得竹竿CD的长为0.8米，其影长CE为1米，树影AE长为2.4米．
图②：测得落在地面上的树的影长为2.8米，落在墙上的树影高1.2米．
请问图①和图②中的树高各是多少？
19．如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．
(1)求证：AC=AD+CE；
(2)若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；
(i)当点P与A，B两点不重合时，求的值；
(ii)当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径(线段)长．(直接写出结果，不必写出解答过程)

20．如图所示,,,,点是以为直径的半圆上一动点,交直线于点,设.
（1）.当时,求的长；
（2）.当时,求线段的长；
（3）.若要使点在线段的延长线上,则的取值范围是_______.(直接写出答案)
21．如图，Rt△ABC的两条直角边AB=4cm，AC=3cm，点D沿AB从A向B运动，速度是1cm/秒，同时，点E沿BC从B向C运动，速度为2cm/秒. 动点E到达点C时运动终止.连结DE、CD、AE.（1）填空:当动点运动_______ 秒时，△BDE与△ABC相似？
（2）设动点运动t秒时△ADE的面积为s，求s与t的函数解析式；
（3）在运动过程中是否存在某一时刻t，使CD⊥DE？若存在，求出时刻t；若不存在，请说明理由.
22．如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=11，BC=13，AB=12．动点P、Q分别在边AD和BC上，且BQ=2DP．线段PQ与BD相交于点E，过点E作EF∥BC，交CD于点F，射线PF交BC的延长线于点G，设DP=x．
A
B
Q
C
G
F
E
P
D
（1）求的值．
（2）当点P运动时，试探究四边形EFGQ的面积是否会发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示四边形EFGQ的面积S；如果不发生变化，请求出这个四边形的面积S．
（3）当△PQG是以线段PQ为腰的等腰三角形时，求x的值．
23．如图，△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形网格中，每个小正方形的边长均是1个单位长度）．
（1）△A1B1C1与△ABC关于x轴成轴对称，请画出△A1B1C1，并写出C1点的坐标；
（2）以点B1为位似中心，将△A1B1C1放大得到△A2B1C2，放大前后的面积之比为1：4，画出△A2B1C2，使它与△A1B1C1在位似中心同侧，并写出C2点的坐标；
（3）连接AC2、CC2，判断△ACC2的形状并直接写出结论．
24．如图，在矩形中，以边为直径的半圆恰与对边相切于，与对角线交于，于，，求的长．
25．如图所示，已知点是线段上的点，与都是等边三角形，、、、分别是线段、、、的中点，求证：．
26．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点Q在BC上，BQ＝2，点P是AB上的一个动点，连接PQ，将△PBQ沿PQ翻折，点B落在点B′．
（1）当AP＝ 时，四边形PBQB′的面积是矩形面积的；
（2）当AP为何值时，四边形PBQB′是正方形？为什么？
（3）在翻折过程中是否存在AP的值，使得点B′与矩形对称中心点O重合，如果存在，请求出AP的值；如果不存在，请说明理由．
27．如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根.
（1）求线段BC的长度；
（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；
（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标．
28．将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图1摆放，点D为AB边的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，且BC=2.
（1）求证：△ADC∽△APD；
（2）求△APD的面积；
（3）如图2，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断PMCN的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出PMCN的值；反之，请说明理由．
29．（本小题满分8分）（1）阅读理解
已知：如图1，△ABC中，AD是中线，点P在AD上，BP、CP的延长线分别交AC、AB于E、F．求证：EF∥BC．
证明：如图2，EF交AD于G,过P作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，
在△ABD中，由PM∥BD，得到，同理，
因为BD=CD,所以PM=PN．
在△FBC中，由PM∥BC,所以同理，
，所以△EPF∽△CPB，所以∠FEP=∠PBC，所以EF∥BC．
（2）逆向思考
在△ABC中，D在BC上，点P在AD上，BP、CP的延长线分别交AC、AB于E、F，如果EF∥BC．那么D是BC中点．请你给出证明．
（3）知识应用
①如图3直线a、b、c、d、e、f、g、h是等距的一组平行线，AB在直线g上，请你用无刻度的直尺利用现有平行线作出线段AB的中点．并作简要的画图说明．
②如图4直线a、b、c、d、e、f、g、h是等距的一组平行线，点P不在这些直线上，点A在直线g上，点B在直线c上，请你用无刻度的直尺利用现有平行线作出过点P的直线PQ平行于AB．并作简要的画图说明．
30．如图，在中，，，D、E是边上的两点，，，，则的面积是多少？
31．已知在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一个动点，连结的延长线交反比例函数的图象于点，过点作轴于点．
（1）如图1，过点作轴于点，连结．
①若，求证：四边形是平行四边形；
②连结，若，求的面积．
（2）如图2，过点作，交反比例函数的图象于点，连结．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积是否会发生变化？请说明理由．
32．定义：若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“近似菱形”．
（1）如图1，近似菱形中，，，，与的夹角所对的对角线平分，求的长;
（2）如图2，在四边形中，，，．求证：四边形是“近似菱形”
（3）在（2）的条件下，若，，求的长．
33．如图，已知正方形中，相交于点，过点作射线，点是射线上一动点，连接交于点，以为一边，作正方形，且点在正方形的内部，连接．
（1）求证：；
（2）设，正方形的边长为，求关于的函数关系式，并写出定义域；
（3）连接，当是等腰三角形时，求的长．
34．△ABC中，∠BAC=60°，点D在AB上，点E，F在BC上，∠ADE=60°，∠BAF=2∠BED．
（1）如图1，求证：AF=AC；
（2）如图2，当E为BC的中点时，求证:AD-BD=AF；
（3）如图3，在（2）的条件下，在AB上取点G，使∠ACG=∠BED，连接CG交AF于点M，若BD=3，FM=8，求AD的长.
35．如图①，在锐角△ABC中，AB=5，tanC=3，BD⊥AC于点D，BD=3，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向终点B运动，过点P作PE∥AC交边BC于点E，以PE为边作Rt△PEF，使∠EPF=90°，点F在点P的下方，且EF∥AB．设△PEF与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位）（S＞0），点P的运动时间为t（秒）（t＞0）．
（1）求线段AC的长．
（2）当△PEF与△ABD重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式．
（3）若边EF与边AC交于点Q，连结PQ，如图②．
①当PQ将△PEF的面积分成1：2两部分时，求AP的长．
②直接写出PQ的垂直平分线经过△ABC的顶点时t的值．
36．如图,AB为⊙O的直径,D为⊙O上一点,DE是⊙O的切线,DE⊥AC交AC的延长线于点E,FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F.
（1）求证:AD平分∠BAC;
（2）若DE＝3,⊙O的半径为5,求BF的长.
37．已知，如图1，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，矩形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2，连接CF．
（1）如图2，当四边形EFGH为正方形时，求CF的长和△FCG的面积；
（2）如图1，设AE=x，△FCG的面积=y，求y与x之间的函数关系式与y的最大值．
（3）当△CG是直角三角形时，求x和y值．
38．如图，⊙的半径为6，线段与⊙相交于点、，，，与⊙相交于点，设，．
（1）求长；
（2）求关于 的函数解析式，并写出定义域；
（3）当⊥时，求的长．
39．如图1，点P从菱形ABCD的顶点B出发，沿B→D→A匀速运动到点A，BD的长是；图2是点P运动时，△PBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的函数图像．
(1)点P的运动速度是 cm/s；
(2)求a的值；
(3)如图3，在矩形EFGH中，EF＝2a，FG－EF＝1，若点P、M、N分别从点E、F、G三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，当点M到达点G(即点M与点G重合)时，三个点随之停止运动；若点P不改变运动速度，且点P、M、N的运动速度的比为2:6:3，在运动过程中，△PFM关于直线PM的对称图形是△PF'M，设点P、M、N的运动时间为t(单位：s)．
①当t＝ s时，四边形PFMF'为正方形；
②是否存在t，使△PFM与△MGN相似，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
40．如图所示，已知抛物线经过点三点，点与点关于轴对称，点是线段上的一个动点，设点的坐标为过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）在点运动过程中，是否存在点，使得是直角三角形?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接，将绕平面内某点顺时针旋转，得到，点的对应点分别是点．若的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为"和谐点"，请直接写出"和谐点"的个数和点的横坐标．
41．如图1，抛物线()与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求抛物线解析式和点坐标；
（2）在轴上有一动点，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点.当点位于第一象限图象上，连接，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）如图2，点关于轴的对称点为，连接．
①点是线段上一点(不与点重合)，点是线段上一点(不与点重合)，则两条线段之和的最小值为 ；
②将绕点逆时针旋转()，当点的对应点落在的边所在直线上时，则此时点的对应点的坐标为 ．
42．在如图平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），OA、OC分别落在x轴和y轴上，OB是矩形的对角线．将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△ODE，OD与CB相交于点F，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点F，交AB于点G．
（1）求k的值和点G的坐标；
（2）连接FG，则图中是否存在与△BFG相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行证明；若不存在，请说明理由；
（3）在线段OA上存在这样的点P，使得△PFG是等腰三角形．请直接写出点P的坐标．
43．如图1，A（﹣4，0）．正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．
（1）如图2，若α＝60°，OE＝OA，求直线EF的函数表达式．
（2）若α为锐角，tanα＝，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积．
（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边之比能否为：1？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由．
44．一块直角三角形木板，一直角边是米，另一直角边长是米，要把它加工成面积最大的正方形桌面，甲、乙二人的加式方法分别如图所示，请运用所有知识说明谁的加工方法符合要求．
45．如图，是上的5等分点，连接，得到一个五角星图形和五边形．
（1）计算的度数；
（2）连接，证明：；
（3）求证：．
46．如图①，一个Rt△DEF直角边DE落在AB上，点D与点B重合，过A点作二射线AC与斜边EF平行，己知AB=12，DE=4，DF=3，点P从A点出发，沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动，Q为AP中点，设运动时间为t秒（t＞0）•
（1）当t=5时，连接QE，PF，判断四边形PQEF的形状；
（2）如图②，若在点P运动时，Rt△DEF同时沿着BA方向以每秒1个单位的速度运动，当D点到A点时，两个运动都停止，M为EF中点，解答下列问题：
①当D、M、Q三点在同一直线上时，求运动时间t；
②运动中，是否存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切？若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，说明理由．
47．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交 y轴与A点，交x轴与B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，－5）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线与点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C的位置关系，并给出证明．
（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
48．如图1，□ABCD中,对角线BD⊥AB,AB=5，AD边上的高为.等腰直角△EFG中，EF=4， ∠EGF=45°,且△EFG与□ABCD位于直线AD的同侧，点F与点D重合，GF与AD在同一直线上．△EFG从点D出发以每秒1个单位的速度沿射线DA方向平移，当点G到点A时停止运动；同时点P也从点A出发，以每秒3个单位的速度沿折线AD→DC方向运动，到达点C时停止运动，设运动的时间为t.
（1）求的长度；
（2）在平移的过程中，记与相互重叠的面积为,请直接写出面积与运动时间的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）如图2，在运动的过程中，若线段与线段交于点，连接.是否存在这样的时间，使得为等腰三角形？若存在，求出对应的值；若不存在，请说明理由.
图1
(F)
E
G
D
C
B
A
图2
F
E
G
D
C
B
A
Q
（ ， ）
（ ， ）
专题24 相似三角形压轴题（50题）解答题专练
一、解答题
1．已知：如图，在四边形中，E是边的中点，连接．将沿直线折叠，将沿直线折叠，点同时落在边上点F处．延长相交于点G，连接．
（1）填空：直线与直线的位置关系是_______；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，若与相似，求的长．
2．如图1，正方形的边长为5，点E、F分别是边、上一点，且四边形为边长为2的正方形，连接．
（1）在图1中，求的值；
（2）将图1中的正方形绕点B旋转一周，探究的值是否变化？若不变，请利用图2求出该值；若变化请说明理由；
（3）当正方形旋转至D，G，E三点共线时，求的长．
3．如图①，在矩形ABCD中，AB=，AD=3，点E是边AD靠近A的三等分点，点P是BC延长线上一点，且EP⊥EB，点G是BE上任意一点，过G作GH∥BP，交EP于点H．将△EGH绕点E逆时针旋转α（0＜α＜90°），得到△EMN（M、N分别是G、H的对应点）．
（1）求BP的长；
（2）求的值；
（3）如图②当α=60°时，点M恰好落在GH上，延长BM交NP于点Q，取EP的中点K，连接QK．若点G在线段EB上运动，问QK是否有最小值？若有最小值，请求出点G运动到EB的什么位置时，QK有最小值及最小值是多少，若没有最小值，请说明理由．
4．如图，在中，，，，为底边上一动点，连接，以为斜边向左上方作等腰直角，连接．
观察猜想：
（1）当点落在线段上时，直接写出，的数量关系：_______．
类比探究：
（2）如图2，当点在线段上运动时，请问（1）中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；拓展延伸：
（3）在点运动过程中，当时，请直接写出线段的长．
5．如图，已知抛物线＝与轴交于、两点，与轴交于点，且＝．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点是线段上的一个动点（不与、重合），分别以、为一边，在直线的同侧作等边三角形和，求的最大面积，并写出此时点的坐标；
（3）如图，若抛物线的对称轴与轴交于点，是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，直线与轴交于点．是否存在点，使与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．正方形中，是中点，点从点出发沿的路线匀速运动，到点停止，点从点出发，沿路线匀速运动，、两点同时出发，点的速度是点速度的倍，当点停止时，点也同时停止运动，设秒时，正方形与重叠部分的面积为，关于的函数关系如图2所示，则
（1）求正方形边长；
（2）求的值；
（3）求图2中线段所在直线的解析式.
7．如图，，点为内的一个动点，过点作与，使得，分别交、于点、.
（1）求证：；
（2）连接，若，试求的值；
（3）记，，，若，，且、、为整数，求、、的值.
8．如图，已知AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，且AE＝2DE，连接BE并延长交AC于点F.
(1)求证：AF＝FC；
(2)求的值．
9．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90， AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，
（1）求证：△ACD∽△BAC；
（2）求DC的长；
10．（1）如图①，P为△ABC的边AB上一点（P不与点A、点B重合），连接PC，如果△CBP∽△ABC，那么就称P为△ABC的边AB上的相似点．
画法初探
①如图②，在△ABC中，∠ACB＞90°，画出△ABC的边AB上的相似点P（画图工具不限，保留画图痕迹或有必要的说明）；
辩证思考
②是不是所有的三角形都存在它的边上的相似点？如果是，请说明理由；如果不是，请找出一个不存在边上相似点的三角形；
特例分析
③已知P为△ABC的边AB上的相似点，连接PC，若△ACP∽△ABC，则△ABC的形状是 ；
④如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，P是边AB上的相似点，求的值．
（2）在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b（a≥b）．P是AB上的点（P不与点A、点B重合），作PQ⊥CD，垂足为Q．如果矩形ADQP∽矩形ABCD，那么就称PQ为矩形ABCD的边AB、CD上的相似线．
①类比（1）中的“画法初探”，可以提出问题：对于如图④的矩形ABCD，在不限制画图工具的前提下，如何画出它的边AB、CD上的相似线PQ呢？
你的解答是： （只需描述PQ的画法，不需在图上画出PQ）．
②请继续类比（1）中的“辩证思考”、“特例分析”两个栏目对矩形的相似线进行研究，要求每个栏目提出一个问题并解决．
11．如图，四边形ABCD为正方形，E为对角线BD上的动点，过点E作FG⊥AE，FG交射线CD于F，交射线CB于G．
（1）求证：EF=EG
（2）求证：
（3）若AB=4，当∠GEB=22.5°，直接写出CF的长．
12．已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴交于点．抛物线经过点和点，并与轴相交于另一点，对称轴与轴相交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：；
（3）如果点在线段上，且，求点的坐标．
13．已知△ABC和△A′B′C′的顶点坐标如下表：
（1）将下表补充完整，并在下面的坐标系中，画出△A′B′C′；
（2）观察△ABC与△A′B′C′，写出有关这两个三角形关系的一个正确结论．
14．已知抛物线y=ax2+bx+2与x轴交点分别是A(-4,0)和点B(1,0),与y轴相交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式.
(2)如图1，将直线AC沿y轴向下平移，得直线BD，BD与抛物线交于另一点于D，连结CD，CD与x轴相交于E点,试判断△ADE与△ABD是否相似，并说明理由.
(3)如图2，在(2)条件下，设点M是△ABD的外心，点Q是线段AE上的动点(不与点A，E重合).
①直接写出M点的坐标:_________.
②设直线MQ的函数表达式为y=kx+b，在射线MQ绕点M从MA旋转到ME的过程中，是否存在点Q，使得k为整数.若存在，求Q点的坐标;若不存在，请说明理由.
图1 图2 图3
15．如图，P为⊙O外一点，过P的两条直线交⊙O分别于A、B，C、D．
求证：PA• PB＝PC• PD．
16．如图，在△ABC中, 点D,E分别是AB,AC边上的两点，且AB=8,AC=6,AD=3,AE=4,DE=6,求BC的长.
17．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，.
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M（m，0）为x轴上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N，
①点在线段上运动，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
②点在轴上自由运动，若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称，，三点为“共谐点”.请直接写出使得，，三点成为“共谐点”的的值.
18．为了测量图①②中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作：
图①：测得竹竿CD的长为0.8米，其影长CE为1米，树影AE长为2.4米．
图②：测得落在地面上的树的影长为2.8米，落在墙上的树影高1.2米．
请问图①和图②中的树高各是多少？
19．如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．
(1)求证：AC=AD+CE；
(2)若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；
(i)当点P与A，B两点不重合时，求的值；
(ii)当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径(线段)长．(直接写出结果，不必写出解答过程)

20．如图所示,,,,点是以为直径的半圆上一动点,交直线于点,设.
（1）.当时,求的长；
（2）.当时,求线段的长；
（3）.若要使点在线段的延长线上,则的取值范围是_______.(直接写出答案)
21．如图，Rt△ABC的两条直角边AB=4cm，AC=3cm，点D沿AB从A向B运动，速度是1cm/秒，同时，点E沿BC从B向C运动，速度为2cm/秒. 动点E到达点C时运动终止.连结DE、CD、AE.（1）填空:当动点运动_______ 秒时，△BDE与△ABC相似？
（2）设动点运动t秒时△ADE的面积为s，求s与t的函数解析式；
（3）在运动过程中是否存在某一时刻t，使CD⊥DE？若存在，求出时刻t；若不存在，请说明理由.
22．如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=11，BC=13，AB=12．动点P、Q分别在边AD和BC上，且BQ=2DP．线段PQ与BD相交于点E，过点E作EF∥BC，交CD于点F，射线PF交BC的延长线于点G，设DP=x．
A
B
Q
C
G
F
E
P
D
（1）求的值．
（2）当点P运动时，试探究四边形EFGQ的面积是否会发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示四边形EFGQ的面积S；如果不发生变化，请求出这个四边形的面积S．
（3）当△PQG是以线段PQ为腰的等腰三角形时，求x的值．
23．如图，△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形网格中，每个小正方形的边长均是1个单位长度）．
（1）△A1B1C1与△ABC关于x轴成轴对称，请画出△A1B1C1，并写出C1点的坐标；
（2）以点B1为位似中心，将△A1B1C1放大得到△A2B1C2，放大前后的面积之比为1：4，画出△A2B1C2，使它与△A1B1C1在位似中心同侧，并写出C2点的坐标；
（3）连接AC2、CC2，判断△ACC2的形状并直接写出结论．
24．如图，在矩形中，以边为直径的半圆恰与对边相切于，与对角线交于，于，，求的长．
25．如图所示，已知点是线段上的点，与都是等边三角形，、、、分别是线段、、、的中点，求证：．
26．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点Q在BC上，BQ＝2，点P是AB上的一个动点，连接PQ，将△PBQ沿PQ翻折，点B落在点B′．
（1）当AP＝ 时，四边形PBQB′的面积是矩形面积的；
（2）当AP为何值时，四边形PBQB′是正方形？为什么？
（3）在翻折过程中是否存在AP的值，使得点B′与矩形对称中心点O重合，如果存在，请求出AP的值；如果不存在，请说明理由．
27．如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根.
（1）求线段BC的长度；
（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；
（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标．
28．将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图1摆放，点D为AB边的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，且BC=2.
（1）求证：△ADC∽△APD；
（2）求△APD的面积；
（3）如图2，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断PMCN的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出PMCN的值；反之，请说明理由．
29．（本小题满分8分）（1）阅读理解
已知：如图1，△ABC中，AD是中线，点P在AD上，BP、CP的延长线分别交AC、AB于E、F．求证：EF∥BC．
证明：如图2，EF交AD于G,过P作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，
在△ABD中，由PM∥BD，得到，同理，
因为BD=CD,所以PM=PN．
在△FBC中，由PM∥BC,所以同理，
，所以△EPF∽△CPB，所以∠FEP=∠PBC，所以EF∥BC．
（2）逆向思考
在△ABC中，D在BC上，点P在AD上，BP、CP的延长线分别交AC、AB于E、F，如果EF∥BC．那么D是BC中点．请你给出证明．
（3）知识应用
①如图3直线a、b、c、d、e、f、g、h是等距的一组平行线，AB在直线g上，请你用无刻度的直尺利用现有平行线作出线段AB的中点．并作简要的画图说明．
②如图4直线a、b、c、d、e、f、g、h是等距的一组平行线，点P不在这些直线上，点A在直线g上，点B在直线c上，请你用无刻度的直尺利用现有平行线作出过点P的直线PQ平行于AB．并作简要的画图说明．
30．如图，在中，，，D、E是边上的两点，，，，则的面积是多少？
31．已知在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一个动点，连结的延长线交反比例函数的图象于点，过点作轴于点．
（1）如图1，过点作轴于点，连结．
①若，求证：四边形是平行四边形；
②连结，若，求的面积．
（2）如图2，过点作，交反比例函数的图象于点，连结．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积是否会发生变化？请说明理由．
32．定义：若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“近似菱形”．
（1）如图1，近似菱形中，，，，与的夹角所对的对角线平分，求的长;
（2）如图2，在四边形中，，，．求证：四边形是“近似菱形”
（3）在（2）的条件下，若，，求的长．
33．如图，已知正方形中，相交于点，过点作射线，点是射线上一动点，连接交于点，以为一边，作正方形，且点在正方形的内部，连接．
（1）求证：；
（2）设，正方形的边长为，求关于的函数关系式，并写出定义域；
（3）连接，当是等腰三角形时，求的长．
34．△ABC中，∠BAC=60°，点D在AB上，点E，F在BC上，∠ADE=60°，∠BAF=2∠BED．
（1）如图1，求证：AF=AC；
（2）如图2，当E为BC的中点时，求证:AD-BD=AF；
（3）如图3，在（2）的条件下，在AB上取点G，使∠ACG=∠BED，连接CG交AF于点M，若BD=3，FM=8，求AD的长.
35．如图①，在锐角△ABC中，AB=5，tanC=3，BD⊥AC于点D，BD=3，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向终点B运动，过点P作PE∥AC交边BC于点E，以PE为边作Rt△PEF，使∠EPF=90°，点F在点P的下方，且EF∥AB．设△PEF与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位）（S＞0），点P的运动时间为t（秒）（t＞0）．
（1）求线段AC的长．
（2）当△PEF与△ABD重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式．
（3）若边EF与边AC交于点Q，连结PQ，如图②．
①当PQ将△PEF的面积分成1：2两部分时，求AP的长．
②直接写出PQ的垂直平分线经过△ABC的顶点时t的值．
36．如图,AB为⊙O的直径,D为⊙O上一点,DE是⊙O的切线,DE⊥AC交AC的延长线于点E,FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F.
（1）求证:AD平分∠BAC;
（2）若DE＝3,⊙O的半径为5,求BF的长.
37．已知，如图1，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，矩形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2，连接CF．
（1）如图2，当四边形EFGH为正方形时，求CF的长和△FCG的面积；
（2）如图1，设AE=x，△FCG的面积=y，求y与x之间的函数关系式与y的最大值．
（3）当△CG是直角三角形时，求x和y值．
38．如图，⊙的半径为6，线段与⊙相交于点、，，，与⊙相交于点，设，．
（1）求长；
（2）求关于 的函数解析式，并写出定义域；
（3）当⊥时，求的长．
39．如图1，点P从菱形ABCD的顶点B出发，沿B→D→A匀速运动到点A，BD的长是；图2是点P运动时，△PBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的函数图像．
(1)点P的运动速度是 cm/s；
(2)求a的值；
(3)如图3，在矩形EFGH中，EF＝2a，FG－EF＝1，若点P、M、N分别从点E、F、G三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，当点M到达点G(即点M与点G重合)时，三个点随之停止运动；若点P不改变运动速度，且点P、M、N的运动速度的比为2:6:3，在运动过程中，△PFM关于直线PM的对称图形是△PF'M，设点P、M、N的运动时间为t(单位：s)．
①当t＝ s时，四边形PFMF'为正方形；
②是否存在t，使△PFM与△MGN相似，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
40．如图所示，已知抛物线经过点三点，点与点关于轴对称，点是线段上的一个动点，设点的坐标为过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）在点运动过程中，是否存在点，使得是直角三角形?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接，将绕平面内某点顺时针旋转，得到，点的对应点分别是点．若的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为"和谐点"，请直接写出"和谐点"的个数和点的横坐标．
41．如图1，抛物线()与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求抛物线解析式和点坐标；
（2）在轴上有一动点，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点.当点位于第一象限图象上，连接，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）如图2，点关于轴的对称点为，连接．
①点是线段上一点(不与点重合)，点是线段上一点(不与点重合)，则两条线段之和的最小值为 ；
②将绕点逆时针旋转()，当点的对应点落在的边所在直线上时，则此时点的对应点的坐标为 ．
42．在如图平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），OA、OC分别落在x轴和y轴上，OB是矩形的对角线．将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△ODE，OD与CB相交于点F，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点F，交AB于点G．
（1）求k的值和点G的坐标；
（2）连接FG，则图中是否存在与△BFG相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行证明；若不存在，请说明理由；
（3）在线段OA上存在这样的点P，使得△PFG是等腰三角形．请直接写出点P的坐标．
43．如图1，A（﹣4，0）．正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．
（1）如图2，若α＝60°，OE＝OA，求直线EF的函数表达式．
（2）若α为锐角，tanα＝，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积．
（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边之比能否为：1？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由．
44．一块直角三角形木板，一直角边是米，另一直角边长是米，要把它加工成面积最大的正方形桌面，甲、乙二人的加式方法分别如图所示，请运用所有知识说明谁的加工方法符合要求．
45．如图，是上的5等分点，连接，得到一个五角星图形和五边形．
（1）计算的度数；
（2）连接，证明：；
（3）求证：．
46．如图①，一个Rt△DEF直角边DE落在AB上，点D与点B重合，过A点作二射线AC与斜边EF平行，己知AB=12，DE=4，DF=3，点P从A点出发，沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动，Q为AP中点，设运动时间为t秒（t＞0）•
（1）当t=5时，连接QE，PF，判断四边形PQEF的形状；
（2）如图②，若在点P运动时，Rt△DEF同时沿着BA方向以每秒1个单位的速度运动，当D点到A点时，两个运动都停止，M为EF中点，解答下列问题：
①当D、M、Q三点在同一直线上时，求运动时间t；
②运动中，是否存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切？若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，说明理由．
47．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交 y轴与A点，交x轴与B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，－5）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线与点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C的位置关系，并给出证明．
（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
48．如图1，□ABCD中,对角线BD⊥AB,AB=5，AD边上的高为.等腰直角△EFG中，EF=4， ∠EGF=45°,且△EFG与□ABCD位于直线AD的同侧，点F与点D重合，GF与AD在同一直线上．△EFG从点D出发以每秒1个单位的速度沿射线DA方向平移，当点G到点A时停止运动；同时点P也从点A出发，以每秒3个单位的速度沿折线AD→DC方向运动，到达点C时停止运动，设运动的时间为t.
（1）求的长度；
（2）在平移的过程中，记与相互重叠的面积为,请直接写出面积与运动时间的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）如图2，在运动的过程中，若线段与线段交于点，连接.是否存在这样的时间，使得为等腰三角形？若存在，求出对应的值；若不存在，请说明理由.
图1
(F)
E
G
D
C
B
A
图2
F
E
G
D
C
B
A
Q
（ ， ）
（ ， ）
参考答案
1．（1）平行；（2）36；（3）或
分析：
（1）由折叠的性质得△ADE≌△FDE，△BCE≌△FCE，根据全等三角形的性质可得∠A＝∠DFE，∠B＝∠EFC，由平角的定义可得出∠A+∠B＝180°，即可得出AD∥BC；
（2）由折叠的性质得∠AED＝∠DEF，∠BEC＝∠FEC，由平角的定义可得出∠AED+∠BEC＝90°，根据∠A＝90°可得∠AED+∠ADE＝90°，则∠ADE＝∠BEC，由AD∥BC得∠A＝∠B＝90°，可得△ADE∽△BEC，根据相似三角形的性质即可得出结论；
（3）分两种情形：①△CFG∽△EFD，由△CFG∽△EFD，△ADE≌△FDE，△BCE≌△FCE，由（2）求得的△ADE∽△BEC可得△CFG∽△CFE，根据相似三角形的性质得∠CEF＝∠CGF，∠ECF＝∠GCF，等角对等边得CE＝CG，根据等腰三角形的性质可得CD⊥EG，EF＝GF，由线段中垂线的性质得DE＝DG，则∠DGF＝∠DEF，可得∠DGF+∠CGF＝∠DEG+∠CEF＝90°，可得出四边形ABCG是矩形，则CG＝AB＝12，可得CE＝12，根据勾股定理可求出BC的值，利用（2）的结果即可求解．②△CFG∽△DFE，延长DE交CB的延长线于T．设AD＝x，BC＝y．构建方程组求解即可．
【详解】
解：（1）由折叠得：△ADE≌△FDE，△BCE≌△FCE，
∴∠A＝∠DFE，∠B＝∠EFC，
∵∠DFE+∠EFC＝180°，
∴∠A+∠B＝180°，
∴AD∥BC，
即直线AD与直线BC的位置关系是平行，
故答案为：平行；
（2）由折叠的性质得：∠AED＝∠DEF，∠BEC＝∠FEC，
∵∠AED+∠DEF+∠BEC+∠FEC＝180°，
∴∠AED+∠BEC＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠AED+∠ADE＝∠DEF+∠CEF＝90°，
∴∠ADE＝∠BEC，
由（1）得AD∥BC，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴△ADE∽△BEC，
∴，
∵E是边AB的中点，AB＝12，
∴AE＝BE＝6，
∴AD•BC＝36；
（3）①当∠CFG∽△EFD时，
∵△CFG∽△EFD，△ADE≌△FDE，
∴△CFG∽△ADE，
∵△BCE≌△FCE，△ADE∽△BEC，
∴△CFG∽△CFE，
∴∠CEF＝∠CGF，∠ECF＝∠GCF，
∴CE＝CG，
∴CD⊥EG，EF＝GF，
∴DE＝DG，
∴∠DGF＝∠DEF，
∴∠DGF+∠CGF＝∠DEG+∠CEF＝90°，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABCG是矩形，
∴CG＝AB＝12，
∴CE＝12，
在Rt△BEC中，
BC6，
∵AD•BC＝36，
∴AD＝2．
②如图2中，当△CFG∽△DFE时，延长DE交CB的延长线于T．设AD＝x，BC＝y．
∵∠A＝∠EBT＝90°，∠AED＝∠BET，AE＝EB，
∴△AED≌△BET（AAS），
∴DE＝ET，
∵△CFG∽△DFE，
∴∠FCG＝∠EDF，
∴DT∥CG，
∵DG∥CT，
∴四边形DTCG是平行四边形，
∴CG＝DT＝2DE，
∴，
∵AD＝DF，CF＝BC，
∴y＝2x，
∵xy＝36，
∴x2＝18，
∴x＝3或﹣3（舍弃），
∴AD＝3，
综上所述，满足条件的AD的值为2或3．
【点睛】
此题是相似形综合题，主要考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解本题的关键．
2．（1）；（2）不变，；（3）或
分析：
（1）延长EG交AD于H，解直角三角形求出DH，GD即可解决问题；
（2）连接BD，BG，证明△CBE∽△DBG即可求解；
（3）分两种情况：①当点G落在DE的延长线上时，利用勾股定理及（2）的结论即可解答，②当点G落在DE上时，同法可求解．
【详解】
解：（1）延长交于点H；
∵四边形ABCD，四边形BEGF为正方形，
∴AB=BC=CD=AD=5，BE=EG=GF=FB=2，AB∥EG，AD∥BC∥FG，
∴AH=BE=2，DH=CE=BC=BE=3，GH=AF=AB=BF=3，GH⊥AD，
在Rt△DGH中，；
∴；
∴
（2）连接，；
∵四边形ABCD，四边形BEGF为正方形，
∴∠DBC=∠DBA=45°，∠GBE=45°，；
∴∠DBC+∠EBD=∠GBE+∠EBD，即∠CBE=∠DBG，
∵BC=5，BE=2，
∴，；
∴；
∴
∴
∴，
∴
即的值不变，
（3）①当点G在线段延长线上时，（如图1）
由（2）知：，∴．
在中，，，
∴，
∴
②当点G在线段上时，（如图2）
由（2）知：∴，∴．
在中，，，
∴，
∴
综上：或
【点睛】
本题考查四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
3．（1）PB=4；（2）=；（3）点G运动到EB的中点位置时，QK有最小值，最小值为1．
分析：
（1）由勾股定理得BE=2，易证△BAE∽△PEB，从而得=，即可求解；
（2）由tan∠ABE==，可得∠ABE=30°，结合旋转的性质得PE=EB，EN=EM，∠BEM=∠PEN，进而得出△BEM∽△PEN，即可求解；
（3）取PB的中点O，连接OQ，OK．设BQ交PE于J，易得BEJ=∠PQJ=90°，从而得到OQ =2，OK=1，由QK≥OQ-OK，可得QK的最小值为1，此时O，K，Q共线，然后根据α=60°证明∆EGM是等边三角形，求出∠EBM=30°，∠GMB=30°即可得解．
【详解】
（1）如图①中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∵AE=AD=1，AB=，
∴BE==2，
∵BE⊥PE，
∴∠PEB=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，∠CBE+∠EPB=90°，
∴∠ABE=∠EPB，
∵∠A=∠BEP=90°，
∴△BAE∽△PEB，
∴=，
∴PB==4；
（2）∵在Rt△ABE中， tan∠ABE==，
∴∠ABE=30°，
∵∠ABC=90°，
∴∠EBC=60°，
∵GH∥BC，
∴∠EGH=∠EBC=∠EMN=60°，
∵∠MEN=∠GEH=90°，
∴PE=EB，EN=EM，
∴==，
∵∠PEB=∠MEN=90°，
∴∠BEM=∠PEN，
∴△BEM∽△PEN，
∴==；
（3）如图2中，取PB的中点O，连接OQ，OK．设BQ交PE于J．
∵△BEM∽△PEN，
∴∠EBM=∠EPN，
∵∠BJE=∠PJQ，
∴∠BEJ=∠PQJ=90°，
∵BO=OP，
∴OQ=PB=2，
∵PO=OB，PK=KE，
∴OK=BE=1，
∴QK≥OQ-OK=1，
∴QK的最小值为1，此时O，K，Q共线，
∴OQ∥BE，
∴∠QOP=∠EBP=60°，
∵α=60°时，点M恰好落在GH上，
∴∠EGM=60°，
∴∆EGM是等边三角形，
又∵OQ=OB，
∴∠OBQ=×60°=30°，
∴∠EBM=∠EBP-∠OBQ=60°-30°=30°，
∴∠GMB=∠EGM-∠EBM=60°-30°=30°，
∴BG=GM=GE，
∴点G是BE的中点，
综上所述：点G运动到EB的中点位置时，QK有最小值，最小值为1．
【点睛】
本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
4．（1）=；（2）成立，证明见解析；（3）或
分析：
（1）证明是等腰直角三角形即可．
（2）结论成立．取的中点，连接，．证明，推出，再证明，可得结论．
（3）分两种情形：如图中，取的中点，连接．当点在线段上时，如图中，当点在线段上时，分别利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）如图（1）中，
，都是等腰直角三角形，
，，
，
，
故答案为：．
（2）如图（2）中，结论成立．
理由：取的中点，连接，．
，，，
，，，
，都是等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
．
（3）如图中，取的中点，连接．当点在线段上时，
，
，
，
，
，
在中，，
．
如图中，当点在线段上时，同法可得，，
，
综上所述，的长为或．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
5．（1）；（2），(1，0)；（3）存在，、、或
分析：
（1）令x=0得，y=4，求出点C（0，4），根据OB=OC=4，得到点B（4，0）代入抛物线表达式求出a的值，即可解答；
（2）过点M作MG⊥x轴于G，过点N作NH⊥x轴于H，设P（x，0），△PMN的面积为S，分别表示出，，，，根据＝，利用二次函数的性质当x=1时，S有最大值是，此时点的坐标是；
（3）存在点F，使得△DOE与△AOC相似．有两种可能情况：①△DOE∽△AOC；②△DOE∽△COA，先求出点E的坐标，再求出直线DE的解析式，利用方程组求出点F的坐标，即可解答．
【详解】
解：（1）令＝得，＝，
∴，
∴＝＝，
∴，
代入抛物线表达式得：
＝，解得，
∴抛物线的函数表达式为，
（2）如图，过点作轴于，过点作轴于，
由抛物线得：，
设，的面积为，
则，，，，
∴＝，
S，
∵，
∴当＝时，有最大值是，
∴的最大面积是，此时点的坐标是，
（3）存在点，使得与相似．有两种可能情况：①；②，
由抛物线得：，对称轴为直线＝，
∴＝，＝，＝，
①若，则，
∴，
解得＝，
∴点的坐标是或，
若点的坐标是，
则直线为：＝，
解方程组，
得：，（不合题意，舍去），
此时满足条件的点的坐标为，
若点的坐标是，
同理可求得满足条件的点的坐标为，
②若，
同理也可求得满足条件的点的坐标为，
满足条件的点的坐标为，
综上所述，存在满足条件的点，点的坐标为：
、、或．
【点睛】
本题是二次函数综合题，掌握二次函数的性质是解题的关键.
6．（1）AB=12；（2）；（3）.
分析：
（1）当t=0时，y=144-AB2，即可求解；
（2）y=S正方形AECD-S△APM-S△DQM得：y=144-3t-3mt，将点K（4，96）代入上式，即可求解；
（3）当4