沪教版九年级上册数学专题训练九年级数学期中模拟卷(一)(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级上册数学专题训练九年级数学期中模拟卷(一)(原卷版+解析)，共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题(共18分)
1．如图，在中，，，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知、、都是非零向量，如果，，那么下列说法中，错误的是（ ）
A．B．C．D．与方向相反
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，过D作DF⊥AB交边BC于点E，交AC的延长线于点F，联结AE，如果tan∠EAC＝，S△CEF＝1，那么S△ABC的值是（ ）
A．3B．6C．9D．12
4．设正的边长为1，为任意的实数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，，为边的中点，点是延长线上一点，把沿翻折，点落在处，与交于点，连接．当时，的长为（ ）
A．B．C．D．
6．因为，，所以；因为，，所以，由此猜想，推理知：一般地当为锐角时有，由此可知：（ ）．
A．B．C．D．
二、填空题(共36分)
7．已知一组数据24、27、19、13、23、12，那么这组数据中的中位数是________．
8．已知点在抛物线上，那么________（填“>”，“=”或“<”）．
9．若等腰三角形的两边长分别是4和6，则这个三角形的周长是_____．
10．一张比例尺为200：1的设计图纸上，有一个零件的底面积是400，则这个零件的实际底面积是________．
11．如图在中，为上的一点，，，交于，则=________．
12．点G是△ABC的重心，GD∥AB，交BC于点D，向量，向量，那么向量用向量、表示为____．
13．已知抛物线，它的图像在对称轴__________（填“左侧”或“右侧”）的部分是下降的．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，如果抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后恰好能同时经过O、A、B三点，那么a+b+c＝_____．
15．函数的图象与轴的公共点坐标是________．
16．如图，在中，，，，垂足是，，，，把四边形沿直线翻折，那么重叠部分的面积为___________．
17．如图，在中，是边上的中线，，．将沿直线翻折，点落在平面上的处，联结交于点，那么的值为______．
18．如图，正方形ABCD中，AB=4，E为边BC的中点，点F在AE上，过点F作MN⊥AE，分别交边AB、DC于点M、N，联结FC，如果△FNC是以CN为底边的等腰三角形，那么FC=_____．=
三、解答题(共66分)
19．(本题6分)计算：．
20．(本题8分)如图，已知点E在行四边形ABCD的边CD上，设，，．图中的线段都成有向线段．
（1）用、、的式子表示：＝ ，＝ ．
（2）在图中求作（不写作法，保留作图痕迹）．
21．(本题10分)如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．
（1）请完成如下操作：
①以点O为原点、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；
②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD．
（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：
①写出点的坐标：C 、D ；
②⊙D的半径＝ ；
（3）求∠ACO的正弦值．
22．(本题10分)已知如图，，它们依次交直线a，b于点A、B、C和点D、E、F.
（1）如果，，，求DE的长.
（2）如果，，，求BE的长.
23．(本题8分)已知：如图，在中，，垂足为点，，点为边上一点，且，联结并延长，交边于点．
（1）求证：；
（2）过点作的平行线交的延长线于点，联结．如果，求证：四边形是矩形．
24．(本题12分)已知抛物线过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角．
①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C落在抛物线上，求C的坐标．
25．(本题12分)已知点P为线段AB上的一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；点M是AD的中点，联结BM、CM．
（1）如图1，如果点P在线段CM上，求证：；
（2）如图1，如果点P在线段CM上，求证：；
（3）如果点P不在线段CM上（如图12），当点P在线段AB上运动时，的正切值是否发生变化？如果发生变化，简述理由；如果不发生变化，请求出的正切值．
2021-2022学年第一学期沪教版九年级期中模拟卷一
（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(共18分)
1．如图，在中，，，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：
根据平行线分线段成比例的性质，即可解答．
【详解】
，

，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，解题关键是熟练运用这个性质得到线段的比例关系．
2．已知、、都是非零向量，如果，，那么下列说法中，错误的是（ ）
A．B．C．D．与方向相反
答案:C
分析：
根据平面相等向量的定义、共线向量的定义以及向量的模的计算方法解答．
【详解】
解：A、因为，，所以，故本选项说法正确；
B、因为，，所以，故选项说法正确；
C、因为，，所以，故本选项说法错误；
D、因为，，所以与方向相反，故本选项说法正确；
故选C．
【点睛】
本题主要考查的相等向量与相反向量，熟练掌握定义是解题的关键；就本题而言，就是正确运用相等向量与相反向量的定义判断A、B、D三项结论正确．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，过D作DF⊥AB交边BC于点E，交AC的延长线于点F，联结AE，如果tan∠EAC＝，S△CEF＝1，那么S△ABC的值是（ ）
A．3B．6C．9D．12
答案:C
分析：
根据，可得，由∽，可得相似比为，从而得到面积比为，进而求出答案．
【详解】
∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
又∵DF⊥AB，
∴∠ADF＝90°，
∴∠BAC+∠F＝90°，
∴∠B＝∠F，
又∵∠ECF＝∠ACB＝90°，
∴△ECF∽△ACB，
∴＝tan∠EAC＝，
∴，
又∵S△ECF＝1，
∴S△ABC＝9，
故选：C．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的意义，相似三角形的性质和判断，掌握相似三角形的性质是解决问题的关键．
4．设正的边长为1，为任意的实数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：
由题意，可根据向量运算法则先求出的最小值，然后再求的最小值．
【详解】
解：∵正△ABC的边长为1，t为任意的实数，
∴
＝1＋t2＋2t×1×1×cs60°＝t2＋t＋1，
当t＝−时，t2＋t＋1取到最小值，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查两向量和与差的模的最值，二次函数最值的求法，有一定的综合性，考查了转化化归的数学思想，有一定的技巧．
5．如图，在中，，为边的中点，点是延长线上一点，把沿翻折，点落在处，与交于点，连接．当时，的长为（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：
如图，连接CC′，过点C′作C′H⊥EC于H．设AB交DE于N，过点N作NT⊥EF于N，过点D作DM⊥EC于M．证明∠CC′B=90°，求出CC′，BC即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接CC′，过点C′作C′H⊥EC于H．设AB交DE于N，过点N作NT⊥EF于N，过点D作DM⊥EC于M．
∵∠FAE=∠CAB=90°，，
∴EF：AF：AE=5：4：3，
∵C′H∥AF，
∴△EAF∽△EHC′，
∴EC′：C′H：EH=EF：AF：AE=5：4：3，
设EH=3k，C′H=4k，EC′=EC=5k，则CH=EC=EH=2k，
由翻折可知，∠AEN=∠TEN，
∵NA⊥EA，NT⊥ET，
∴∠NAE=∠NTE，
∵NE=NE，
∴△NEA≌△NET（AAS），
∴AN=NT，EA=ET，
设AE=3m，AF=4m，EF=5m，AN=NT=x，则AE=ET=3m，TF=2m，
在Rt△FNT中，∵FN2=NT2+FT2，
∴（4m-x）2=x2+（2m）2，
解得x=m，
∵AC=AB=6，∠CAB=90°，
∴BC=AC=12，
∴CD=BD=6，
∵DM⊥CM，∠DCM=45°，
∴CM=DM=3，
∵AN∥DM，
∴，
∴，
∴EM=6，
∴EC=9=5k，
∴，
∴，
∴，
∵DC=DC′=DB，
∴∠CC′B=90°，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查翻折变换，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
6．因为，，所以；因为，，所以，由此猜想，推理知：一般地当为锐角时有，由此可知：（ ）．
A．B．C．D．
答案:C
【详解】
本题考查的阅读理解能力．由上述公式可得sin(180°+60°)=-sin60°=．故选择C．
二、填空题(共36分)
7．已知一组数据24、27、19、13、23、12，那么这组数据中的中位数是________．
答案:21
分析：
求中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【详解】
解：将这组数据从小到大的顺序排列：12、13、19、23、24、27，处于中间位置的两个数是19，23，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（19+23）÷2=21．
故答案为：21．
【点睛】
本题为统计题，考查中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
8．已知点在抛物线上，那么________（填“>”，“=”或“<”）．
答案:＞
分析：
分别计算自变量为2、5时的函数值，然后比较函数值的大小即可．
【详解】
解：当x=2时，y1=-x2+1=-3；
当x=5时，y2=-x2+1=-24；
∵-3＞-24，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
9．若等腰三角形的两边长分别是4和6，则这个三角形的周长是_____．
答案:14或16．
分析：
要讨论两边长哪个为腰，哪个为底边，然后判断是否满足构成三角形的条件，最后从得出周长．
【详解】
解：①若4为腰，满足构成三角形的条件，周长为4+4+6＝14；
②若6为腰，满足构成三角形的条件，则周长为6+6+4＝16．
故答案为14或16．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是根据题意分情况讨论.
10．一张比例尺为200：1的设计图纸上，有一个零件的底面积是400，则这个零件的实际底面积是________．
答案:1
分析：
由相似图形的面积比等于相似比的平方，得出面积比，即可得出零件的实际底面积．
【详解】
因为比例尺为200：1，所以面积比为40000：1，
又因为图纸上的底面积为400，
则实际底面积为：．
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查相似图形面积比等于相似比的平方，熟记相似图形的性质是解题关键．
11．如图在中，为上的一点，，，交于，则=________．
答案:．
分析：
过点E作EG∥AD交BC于G，然后判断出DF是△BEG的中位线，从而求出BD＝DG，再求出AE：AC，然后根据平行线分线段成比例定理，即可求解．
【详解】
解：如图，过点E作EG∥AD交BC于G，
∵，
∴DF是△BEG的中位线，
∴BD＝DG，
∵，
∴AE：AC＝1：3，
∵EG∥AD，
∴DG：DC＝AE：AC＝1：3，
∴BD：DC＝．
故答案是：．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定理，过点E作平行线是解题的关键，也是本题的难点．
12．点G是△ABC的重心，GD∥AB，交BC于点D，向量，向量，那么向量用向量、表示为____．
答案:．
分析：
利用平面向量的线性运算法则结合图形计算即可．
【详解】
如图，连接AG交BC于T．
∵G是△ABC的重心，
∴BT＝CT，AG＝2GT，
∴，
∴，
∵GD∥AB，
∴，
∴BD＝BT，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算．三角形的中线是三角形三条边上的中线的交点，这是解题的关键．
13．已知抛物线，它的图像在对称轴__________（填“左侧”或“右侧”）的部分是下降的．
答案:左侧
解析：
分析：
根据二次函数的性质解题．
【详解】
∵a=1＞0，
∴抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，
故答案为：左侧
【点睛】
此题考查二次函数的性质，解题关键在于判断图象的开口方向
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，如果抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后恰好能同时经过O、A、B三点，那么a+b+c＝_____．
答案:
分析：
根据等腰直角三角形的性质求得A（4，0），B（2，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后得到y＝ax2+bx+c﹣4，然后把O、A、B的坐标代入，根据待定系数法即可求得a、b、c的值，进而即可求得a+b+c的值．
【详解】
解：∵等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，
∴A（4，0），B（2，﹣2），
抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后得到y＝ax2+bx+c﹣4，
∵平移后恰好能同时经过O、A、B三点，
∴，
解得，
∴a+b+c2+4，
故答案为．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，二次函数的图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式，求得点的坐标是解题的关键．
15．函数的图象与轴的公共点坐标是________．
答案:
分析：
令x=0，可直接求出抛物线与y轴的交点坐标．
【详解】
∵抛物线与y轴交点的横坐标为0，即x=0，
∴此时x=0，y=3，
∴函数y=-x 2 +2x+3的图像与y轴的公共点坐标是（0，3）．
故答案为.
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数图像与y轴的交点坐标特点，解题关键是熟记二次函数的图像特征．
16．如图，在中，，，，垂足是，，，，把四边形沿直线翻折，那么重叠部分的面积为___________．
答案:
分析：
将四边形ABCD沿CE翻折得到△ECF，重叠部分就是四边形AECH．作HN⊥BF于N，根据S四边形AECH＝S△ECF−S△AHF即可解决问题．
【详解】
解：将四边形ABCD沿CE翻折得到△ECF，重叠部分就是四边形AECH．作HN⊥BF于N，
在RT△BCE中，∵∠BEC＝90°，BC＝4，∠B＝60°，
∴∠BCE＝30°，BE＝BC＝2，EC＝2，
∴BE＝EF＝2，AF＝AE＝1，
∵CD∥AF，
∴，
∴FH：HC＝AF：CD＝1：3，
∵NH∥CE，
∴
∴，
∴NH＝×2=，
∴S四边形AECH＝S△ECF−S△AHF＝•2•2−•1•＝．
故答案为．
【点睛】
本题考查翻折变换、平行四边形性质，直角三角形30度角性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会分割法求面积，属于中考常考题型．
17．如图，在中，是边上的中线，，．将沿直线翻折，点落在平面上的处，联结交于点，那么的值为______．
答案:
分析：
过A作AF⊥BC于F，过B'作B'G⊥BC于G，设AD＝m，根据翻折及∠ADC＝60°，用m的代数式表示CE、BE即可得出答案．
【详解】
解：过A作AF⊥BC于F，过B′作B′G⊥BC于G，如图：
∵∠ADC＝60°，
∴∠ADB＝120°，
∵△ABD沿直线AD翻折，点B落在平面上的B′处，
∴∠ADB′＝120°，∠CDB′＝60°，B′D＝BD，
∵BC＝3AD，AD是BC边上的中线，
∴设AD＝m，则BC＝3m，BD＝B′Dm，
Rt△ADF中，DF＝AD•cs60°m，AF＝AD•sin60°m，
∴BF＝BD+DF＝2m，CF＝BC﹣BF＝m
Rt△B′DG中，DG＝B′D•cs60°m，B′G＝B′D•sin60°m，
∴FG＝DG﹣DFm，
∵AF⊥BC，B′G⊥BC，
∴AF∥B′G，
∴，
∵FE+GE＝FGm，
∴FEm，
∴BE＝BF+EFm，CE＝CF﹣EFm，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查翻折、特殊角的三角函数及相似三角形性质等综合知识，解题的关键是做垂线把60°角放入直角三角形．
18．如图，正方形ABCD中，AB=4，E为边BC的中点，点F在AE上，过点F作MN⊥AE，分别交边AB、DC于点M、N，联结FC，如果△FNC是以CN为底边的等腰三角形，那么FC=_____．=
答案:
分析：
延长AE，DC交于点A′，过点F作FH⊥CD于H，易证△ABE≌△A′CE，得出AB=A′C=4；利用勾股定理求出AE的长，进而得出sin∠A′．利用互余角的三角函数的关系，得出cs∠2，在Rt△FHN和Rt△A′FN中利用cs∠2的值列出方程，即可求得结论．
【详解】
解：延长AE，DC交于点A′，过点F作FH⊥CD于H，
∵ABCD是正方形，
∴AB=BC=4，AB∥CD，
∴∠1=∠A′．
在△ABE和△A′CE中，
．
∴△ABE≌△A′CE（AAS）．
∴AB=A′C=4．
∵E为边BC的中点，
∴BE=EC=BC=2．
∴AE=．
∴sin∠1=．
∴sin∠A′=．
∵AE⊥MN，
∴∠A′FN=90°．
∴∠A′+∠2=90°．
∴cs∠2=sin∠A′=．
∵FN=FC，FH⊥CN，
∴NH=CH=CN．
设NH=x，则NC=2x．
∴A′N=A′C+NC=4+2x．
在Rt△FHN中，，
∴FN=x．
在Rt△A′FN中，cs∠2=，
∴．
∴x=．
∴FC=FN=x=．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，利用已知条件通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19．(本题6分)计算：．
答案:3
分析：
根据零指数幂，化解绝对值，分数指数幂，二次根式分母有理化等运算法则计算即可．
【详解】
解：原式＝，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查零指数幂，化解绝对值，分数指数幂，二次根式分母有理化等知识点，掌握以上知识点的运算法则是解题关键．
20．(本题8分)如图，已知点E在行四边形ABCD的边CD上，设，，．图中的线段都成有向线段．
（1）用、、的式子表示：＝ ，＝ ．
（2）在图中求作（不写作法，保留作图痕迹）．
答案:（1），；（2）见解析
分析：
（1）利用三角形法则求解即可．
（2）在射线CE上截取EF=BA,由，推出即为所求．
【详解】
解：（1），，
故答案为：，．
（2）在射线CE上截取EF=BA,
，
即为所求．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则解决问题，属于中考常考题型．
21．(本题10分)如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．
（1）请完成如下操作：
①以点O为原点、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；
②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD．
（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：
①写出点的坐标：C 、D ；
②⊙D的半径＝ ；
（3）求∠ACO的正弦值．
答案:（1）答案见解析；（2）①，，②；（3）．
分析：
（1）根据点的坐标表示，C的坐标即可得到，首先作出弦AB与BC的中垂线，中垂线的交点就是D，即可确定点D的坐标；
（2）①根据（1）中的平面直角坐标系直接填空；
②在直角中，利用勾股定理即可求解；
（3）连接AC、OC．过C作CH⊥AO于点H，过点A作AM⊥CO于点M，利用的面积等积转换求得AM的长度，然后在中利用正弦函数的定义求得的正弦值．
【详解】
解：（1）作弦AB与BC的中垂线，中垂线的交点就是D，
在直角坐标系中，点D的在该坐标系中的位置如图所示：
（2）解：①根据图示知，C（6，2），D（2，0），
故答案为：（6，2），（2，0）；
②解：在直角△AOD中，根据勾股定理知⊙D的半径AD＝，
故答案为：；
（3）解：连接AC、OC．过C作CH⊥AO于点H，过点A作AM⊥CO于点M．
则OA•CH＝OC•AM，即×4×6＝וAM，
解得，AM＝；
在Rt△AMC中，sin∠ACO＝．
【点睛】
本题考查了圆的综合题，涉及的知识点有：坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，三角函数；利用了数形结合的思想，根据题意画出相应的图形是解本题的关键．
22．(本题10分)已知如图，，它们依次交直线a，b于点A、B、C和点D、E、F.
（1）如果，，，求DE的长.
（2）如果，，，求BE的长.
答案:（1）DE的长为9；（2）BE的长为11；
分析：
（1）由果，，可得AC=14，然后根据平行线等分线段定理得到，然后将已知条件代入即可求解；
（2）过D作DH∥AC，分别交BE,CF于H，说明四边形ABGD和四边形BCHG是平行四边形，然后根据平行四边形的性质得CH=BG=AD=9；进一步说明FH=CF-DH=5，然后再按照平行线等分线段定理得到，最后代入已知条件求解即可．
【详解】
（1）∵，，
∴AC=AB+BC=14
∵
∴
∴
(2)过D作DH∥AC，分别交BE,CF于H.
∵
∴四边形ABGD和四边形BCHG是平行四边形，
∴CH=BG=AD=9
∴FH=CF-DH=5
∵
∴
∴
∴BE=BG+GE=9+2=11.
【点睛】
本题主要考查平行线分线段成比例的知识，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
23．(本题8分)已知：如图，在中，，垂足为点，，点为边上一点，且，联结并延长，交边于点．
（1）求证：；
（2）过点作的平行线交的延长线于点，联结．如果，求证：四边形是矩形．
答案:（1）见解析；（2）见解析
分析：
（1）证明△ACD≌△BED，得到∠CAD=∠EBD，∠ACD=∠BED，利用余角的性质得到∠BFC=90°，即可证明；
（2）证明△AEG∽△DCA得到，再结合，DE=DC，可推出AG=DC，结合AD⊥BC，从而证明四边形ADCG为矩形．
【详解】
解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠BDE=90°，
在△ACD与△BED中，
，
∴△ACD≌△BED（SAS），
∴∠CAD=∠EBD，∠ACD=∠BED，
∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠EBD+∠ACD=90°，
在△BCF中，∠BFC=180°-（∠EBD+∠ACD）=90°，
即BF⊥AC；
（2）∵AG∥BC，
∴∠AGE=∠EBD，由（1）可知：∠EBD=∠CAD，
∴∠AGE=∠CAD，
又∵∠AEG=∠BED=∠ACD，
∴△AEG∽△DCA，
∴，
∴，
∵，又DE=DC，
∴，
∴AG=DC，又AG∥CD，
∴四边形ADCG是平行四边形，
∵AD⊥BC，
∴四边形ADCG为矩形．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，矩形的判定，解题的关键是证明相似三角形，进行等量代换得到线段的关系．
24．(本题12分)已知抛物线过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角．
①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C落在抛物线上，求C的坐标．
答案:（1）；（2）①1；②点C的坐标是
分析：
(1)将两点分别代入，得,解方程组即可;
（2）①根据AB=4,斜边上的高为2,Q的横坐标为1,计算点C的横坐标为-1,即到y轴的距离为1；②根据直线PQ的解析式，设点A（m，-2m+6）,三角形ABC是等腰直角三角形，用含有m的代数式表示点C的坐标，代入抛物线解析式求解即可.
【详解】
解：（1）将两点分别代入，得
解得．
所以抛物线的解析式是．
（2）①如图2，抛物线的对称轴是y轴，当点A与点重合时，，
作于H．
∵是等腰直角三角形，
∴和也是等腰直角三角形，
∴，
∴点C到抛物线的对称轴的距离等于1．
②如图3，设直线PQ的解析式为y=kx+b，由，得
解得
∴直线的解析式为，
设，
∴，
所以．
所以．
将点代入，
得．
整理，得．
因式分解，得．
解得，或（与点P重合，舍去）．
当时，．
所以点C的坐标是．
【点评】
本题考查了抛物线解析式的确定，一次函数解析式的确定，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，灵活用解析式表示点的坐标，熟练解一元二次方程是解题的关键．
25．(本题12分)已知点P为线段AB上的一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；点M是AD的中点，联结BM、CM．
（1）如图1，如果点P在线段CM上，求证：；
（2）如图1，如果点P在线段CM上，求证：；
（3）如果点P不在线段CM上（如图12），当点P在线段AB上运动时，的正切值是否发生变化？如果发生变化，简述理由；如果不发生变化，请求出的正切值．
答案:（1）见解析；（2）见解析；（3）
分析：
（1）由旋转可得，△APC是等边三角形，∠PBD=120°，则∠BPM+∠PBD=180°，所以PM∥BD．
（2）利用三角形的中位线定理解决问题即可．
（3）延长BM至点G，使得MG=MB，连接AG，BC，GC，PC，可证△CBG是等边三角形且点M是BG的中点，可得结论．
【详解】
解：（1）如图1中，
由题意可得，∠CAP=60°，且AP=AC，
∴△APC是等边三角形，
∴∠APC=60°，
∴∠BPM=60°，
又∵∠PBD=120°，
∴∠BPM+∠PBD=180°，
∴PM∥BD；
（2）如图1中，∵AM=MD，PM∥BD，
∴AP=PB，
∴PM= BD，
∵PA=PC=PB=BD，
∴PC=2PM；
（3）结论：tan∠BCM=．理由如下：
如图2，延长BM至点G，使得MG=MB，连接AG，BC，GC，PC，GD，
∵AM=MD，GM=BM，
∴四边形AGDB是平行四边形，
∴AG=BD，AG∥BD，
∴∠BAG=180°-∠ABD=60°，
∴∠CAG=120°，
∵△APC是等边三角形，
∴AC=CP，∠CPB=120°，
∵PB=DB=AG，
∴△CAG≌△CPB（SAS），
∴CG=CB，∠ACG=∠PCB，
∴∠GCB=60°，
∴△CBG是等边三角形，
∵GM=BM，
∴∠BCM=∠BCG=30°，
∴tan∠BCM=．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．