苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题11相似三角形的性质压轴题五种模型全攻略特训(原卷版+解析)

这是一份苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题11相似三角形的性质压轴题五种模型全攻略特训(原卷版+解析)，共44页。试卷主要包含了利用相似三角形的性质求解，利用相似求坐标，相似三角形的综合问题，相似三角形实际应用等内容，欢迎下载使用。
考点一 利用相似三角形的性质求解 考点二 相似三角形实际应用
考点三 利用相似求坐标 考点四 在网格中画已知三角形相似的三角形
考点五 相似三角形的综合问题
典型例题

考点一 利用相似三角形的性质求解
例题：（2022·河北·泊头市教师发展中心九年级期中）若，且周长比为4：9，则其对应边上的高的比为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2021·湖南·永州柳子中学九年级期中）已知△ABC~△DEF，若∠A=50°，∠E=70°，则∠F的度数为（ ）
A．30°B．60°C．70°D．80°
2．（2022·全国·九年级专题练习）两个相似三角形的面积之比为3：4，则这两个三角形的周长之比为_______．
3．（2021·广西·北师大平果附属学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE//BC，AD=CE，DB=1cm，AE=4cm．
(1)求CE的长；
(2)若△ABC的面积为，求△ADE的面积．
考点二 相似三角形实际应用
例题：（2021·湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习）如图，已知零件的外径为，现用个交叉卡钳（两条尺长和相等，）测量零件的内孔直径．若，且量得，则零件的厚度（ ）
A．3B．3.5C．4D．4.5
【变式训练】
1．（2022·山东青岛·九年级期末）如图，路灯A与地面的距离米，身高1.6米小明与路灯底部的距离米，则小明影子长_______米．
2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，为了测量一栋楼的高度，小王在他的脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到楼的顶部．如果小王身高1.55m，他的眼睛距地面1.50m，同时量得BC＝0.3m，CE＝2m，则楼高DE为______m．
考点三 利用相似求坐标
例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为___________．
【变式训练】
1．（2020·江苏·景山中学九年级阶段练习）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是_________．
2．（2020·江苏泰州·九年级阶段练习）已知点A(2，0)，点B(b，0)(b＞2)，点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的点P坐标为_________．
考点四 在网格中画已知三角形相似的三角形
例题：（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）如图，在8×8的正方形网格中，△ABC是格点三角形，请按以下要求作图．
(1)在图1中画出格点△EDP，使得△EDP∽△ABC，且面积比为；
(2)在图2中将△ABC绕着某格点逆向时针旋转90°得到格点△PFG，其中C与P对应．
【变式训练】
1．（2022·河南洛阳·九年级期末）如图，在5×5的边长为1小的正方形的网格中，如图1△ABC和△DEF都是格点三角形（即三角形的各顶点都在小正方形的顶点上）．
(1)判断：△ABC与△DEF是否相似？并说明理由；
(2)在如图2的正方形网格中，画出与△DEF相似且面积最大的格点三角形，并直接写出其面积．
2．（2022·山东淄博·八年级期末）如图，在方格纸中，点A，B，C都在格点上（△ABC称为格点三角形，即格点△ABC），用无刻度直尺作图．
(1)在图1中的线段AC上找一个点D，使；
(2)在图2中作一个格点△CEF，使△CEF与△ABC相似．
考点五 相似三角形的综合问题
例题：（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，点F分别在线段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF．
（1）求证：△AFE∽△ADC．
（2）若，，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之间的数量关系．
【变式训练】
1．（2021·安徽·九年级专题练习）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）求证EG2＝GF•AF；
（3）若AG＝3，EG＝，求BE的长．
2．（2021·福建省诏安第一中学九年级期中）如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，，交BD于点F．
(1)如图1，直按写出的值_______；
(2)将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，当BE=BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为，当为何值时EA=ED?请在图3或备用图中画出图形并求出的值．
课后训练
一、选择题
1．（2022·北京·人大附中通州校区九年级阶段练习）如图，在中，DEBC，，，，则BC的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
2．（2022·山东·济南外国语学校九年级阶段练习）如图，在平行四边形中．为CD上一点．．连接AE，BD交于点，则等于( )
A．2：5B．2：25C．4：5D．4：25
3．（2021·福建·宁德市博雅培文学校九年级阶段练习）如图，在边长为4的等边△ABC中，点D是AB边上一个动点，沿过点D的直线折叠∠A，使点A落在BC边上的点F处，折痕交AC于点E，当时，则AD的长是（ ）
A．B．C．2D．
4．（2021·河北·石家庄市第四十四中学九年级阶段练习）如图，在中，，高，正方形一边在上，点E，F分别在上，交于点N，则的长为（ ）
A．15B．20C．25D．30
5．（2022·山东·济南世纪英华实验学校九年级阶段练习）如图所示，一电线杆AB的影子落在地面和墙壁上，同一时刻，小明在地面上竖立一根1米高的标杆（PQ），量得其影长（QR）为0.5米，此时他又量得电线杆AB落在地面上的影子BD长为3米，墙壁上的影子CD高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高为（ ）
A．5米B．6米C．7米D．8米
二、填空题
6．（2022·上海市康健外国语实验中学九年级阶段练习）与中，若，则的周长是___________．
7．（2022·江苏·宜兴市桃溪中学九年级阶段练习）的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的，其最长边为12，则的周长是______．
8．（2022·上海市康健外国语实验中学九年级阶段练习）如图，在直角坐标系中有两点，如果点在轴上（C与不重合），当点的坐标为___________或___________时，使得由点组成的三角形与相似（至少写出两个满足条件的点的坐标）．
9．（2022·上海奉贤·九年级阶段练习）如图，矩形中，，将矩形绕点D逆时针旋转，点B落在射线上的点F处，点A落在点E处，与交于点P，且，那么的长为 _____．
10．（2022·辽宁·鞍山市第二中学九年级阶段练习）如图，已知正方形的边长为4，E是BC边上的一个动点，，交于点F，设，，则当E从点B运动到点C时（点E不与点B、C重合），有如下结论：①；②；③当时，＝；④当时，；其中正确的结论为 _____．
三、解答题
11．（2022·甘肃·金塔县第四中学九年级期中）如图，矩形内接于，于点D，交于点M，，，，求矩形的面积．
12．（2022·江苏·南京市第一中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，过点D作DE⊥AB，垂足为E
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若=，AF=10，求⊙O的半径.
13．（2022·辽宁·灯塔市第一初级中学九年级期中）如图，正方形中，E，F分别是边，上的点，，，连接并延长交的延长线于点G．
(1)求证：；
(2)若正方形的边长为6，求的长．
14．（2022·河北·北师大石家庄长安实验学校九年级阶段练习）如图，在中，平分，E为上一点，．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
15．（2022·广东·佛山市顺德区华南师范大学附属北滘学校九年级阶段练习）如图甲，在△ABC中，，，，如果点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s，连接．设运动时间为，解答下列问题：
(1)设的面积为S，求出S的表达式（用含t的式子表示）；
(2)如图乙，连接，将沿翻折，得到四边形．当四边形为菱形时，求t的值；
(3)当t为何值时，是等腰三角形？
专题11 相似三角形的性质压轴题五种模型全攻略
考点一 利用相似三角形的性质求解 考点二 相似三角形实际应用
考点三 利用相似求坐标 考点四 在网格中画已知三角形相似的三角形
考点五 相似三角形的综合问题
典型例题

考点一 利用相似三角形的性质求解
例题：（2022·河北·泊头市教师发展中心九年级期中）若，且周长比为4：9，则其对应边上的高的比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，周长比为4：9，
∴两个三角形的相似比为4：9，
∵对应边上的高的比等于相似比，
∴对应边上的高的比为4：9．
故选B．
【点睛】本题考查相似三角形的性质．熟记相似三角形的周长比，对应边上的三线比都等于相似比是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·湖南·永州柳子中学九年级期中）已知△ABC~△DEF，若∠A=50°，∠E=70°，则∠F的度数为（ ）
A．30°B．60°C．70°D．80°
【答案】B
【分析】根据相似三角形的对应角相等求出∠A＝∠D＝50°，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵△ABC~△DEF，
∴∠A＝∠D＝50°，
∴∠F＝180°－∠D－∠E＝180°－50°－70°＝60°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形对应角相等，对应边成比例．
2．（2022·全国·九年级专题练习）两个相似三角形的面积之比为3：4，则这两个三角形的周长之比为_______．
【答案】：2
【分析】相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．直接根据相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为3：4，
∴相似比是：2，
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴这两个三角形的周长之比为：：2，
故答案为：：2．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
3．（2021·广西·北师大平果附属学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE//BC，AD=CE，DB=1cm，AE=4cm．
(1)求CE的长；
(2)若△ABC的面积为，求△ADE的面积．
【答案】(1)CE=2cm
(2)△ADE的面积为．
【分析】（1）设CE=xcm，根据平行线分线段成比例定理得代入可得结论；
（2）根据平行得相似，则面积比等于相似比的平方，可得结论．
（1）
解：设cm，则cm，
∵，
∴，
∵cm，cm，
∴，
∴，
∴，
∴cm，
（2）
解：∵，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴的面积为．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定及平行线分线段成比例定理，在三角形相似的判定中常用平行相似的判定方法；还要熟练掌握相似三角形的性质：相似三角形面积比等于相似比的平方．
考点二 相似三角形实际应用
例题：（2021·湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习）如图，已知零件的外径为，现用个交叉卡钳（两条尺长和相等，）测量零件的内孔直径．若，且量得，则零件的厚度（ ）
A．3B．3.5C．4D．4.5
【答案】A
【分析】先根据题意证明△AOB∽△COD，再根据相似三角形对应边成比例求出AB，问题得解．
【详解】解：∵两条尺长AC和BD相等，OC＝OD，
∴OA＝OB，
∵OC：OA＝1：2，
∴OD：OB＝OC：OA＝1：2，
∵∠COD＝∠AOB，
∴△AOB∽△COD，
∴CD：AB＝OC：OA＝1：2，
∵CD＝12mm，
∴AB＝24mm，
∴零件的厚度为mm．
故选：A．
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，求出零件的内孔直径AB是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东青岛·九年级期末）如图，路灯A与地面的距离米，身高1.6米小明与路灯底部的距离米，则小明影子长_______米．
【答案】5
【分析】根据题意可得CDAB，利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】解：根据题意得CDAB，
∴∆EDC~∆EBA，
∴，
∴，
∴DE=5米，
故答案为：5．
【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用相似三角形的判定和性质是解题关键．
2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，为了测量一栋楼的高度，小王在他的脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到楼的顶部．如果小王身高1.55m，他的眼睛距地面1.50m，同时量得BC＝0.3m，CE＝2m，则楼高DE为______m．
【答案】10
【分析】如图，根据镜面反射的性质，△ABC∽△DEC，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【详解】解：根据题意，
∵∠ABC＝∠DEC＝90°，∠ACB＝∠DCE（反射角等于入射角，它们的余角相等），
∴△ABC∽△DEC，
∴＝，即＝，
∴DE＝10（m）
故答案为：10．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．
考点三 利用相似求坐标
例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为___________．
【答案】
【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得，进而可得△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解．
【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示：
∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA，
∴△BOC∽△AOB，
∵点，
∴OA=10，
∵，
∴，
∴AB=2OB，
∴BC=2OC，
∴在Rt△BOC中，
，即，
∴，
∴BC=4，
∴点B的坐标为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
【变式训练】
1．（2020·江苏·景山中学九年级阶段练习）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是_________．
【答案】或
【分析】要求△ABC与△OAB相似，因为相似比不为1，由三边对应相等的两三角形全等，知△OAB的边AB不能与△ABC的边AB对应，则AB与AC对应或者AB与BC对应并且此时AC或者BC是斜边，分两种情况分析即可．
【详解】根据题意： OA=2，OB=1，AB=，
△ABC和△OAB相似应分两种情况讨论，
当∠BAC=90°时，如图，△ABC即为所作
∵△ABC∽△OBA，
AB∶OB=BC∶BA，即：∶1=BC∶，
解得BC=5，
∴OC=4，
∴C点坐标为(4，0)，
当∠ABC=90°时，AB∶OB=∶BA，
=，=5，
此时C点坐标为(3，2)，
综上所述，C点坐标为 (4，0)或(3，2)，
故答案为：（4，0）或（3，2）．
【点睛】本题考查了作图-相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．
2．（2020·江苏泰州·九年级阶段练习）已知点A(2，0)，点B(b，0)(b＞2)，点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的点P坐标为_________．
【答案】
【分析】如图，分类讨论：（1）；（2），根据相似三角形的相似比列式计算出b的值，写出点P的坐标即可．
【详解】由题意可得：OA=2，OB=b，AP=，
如图：（1）当时，
，
OA=AB=2，
b=4，
P(2，)；
（2）当时，
，
，
解得：b=9±，
P(2，3±)；
综上：P的坐标为：(2，)，(2，3±)．
故答案为：(2，)，(2，3±)．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，分类讨论，根据相似三角形的性质求出对应边的长度进而写出点的坐标是解题关键．
考点四 在网格中画已知三角形相似的三角形
例题：（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）如图，在8×8的正方形网格中，△ABC是格点三角形，请按以下要求作图．
(1)在图1中画出格点△EDP，使得△EDP∽△ABC，且面积比为；
(2)在图2中将△ABC绕着某格点逆向时针旋转90°得到格点△PFG，其中C与P对应．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）直接利用位似图形的性质，结合位似中心得出答案；
（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案．
（1）
如图，（案不唯一）
（2）
如图，
【点睛】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·河南洛阳·九年级期末）如图，在5×5的边长为1小的正方形的网格中，如图1△ABC和△DEF都是格点三角形（即三角形的各顶点都在小正方形的顶点上）．
(1)判断：△ABC与△DEF是否相似？并说明理由；
(2)在如图2的正方形网格中，画出与△DEF相似且面积最大的格点三角形，并直接写出其面积．
【答案】(1)相似，见解析
(2)图见解析，面积为5
【分析】（1）相似，分别求出每个三角形的三条边长，根据三边对应成比例的两个三角形相似判断即可；
（2）根据勾股定理得出三角形各边长，利用边长之比相等，作出面积最大的格点三角形即可．
(1)
△ABC∽△DEF，理由如下：
在△ABC中，AB=2，BC=，AC=，
在△DEF中，DE=，EF=2，DF=，
∴，
∴△ABC∽△DEF；
(2)
如图，△MNP即为所求，
．
【点睛】此题考查了作图—相似变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握相似变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．
2．（2022·山东淄博·八年级期末）如图，在方格纸中，点A，B，C都在格点上（△ABC称为格点三角形，即格点△ABC），用无刻度直尺作图．
(1)在图1中的线段AC上找一个点D，使；
(2)在图2中作一个格点△CEF，使△CEF与△ABC相似．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据“8字形”相似，可得CD:AD=2:3，从而得出点D的位置；
（2）根据∠ACB=90°，AC=2BC，即可画出△CEF．
（1）
解：如图1所示，点D即为所求，
（2）
如图2所示，△CEF即为所求，
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
考点五 相似三角形的综合问题
例题：（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，点F分别在线段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF．
（1）求证：△AFE∽△ADC．
（2）若，，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之间的数量关系．
【答案】（1）证明见解析；（2）EB=2FD．
【分析】（1）由角平分线的性质得出∠BAD=∠DAC，再根据∠EFD=∠BDF得出∠AFE=∠ADC，进而根据两角分别相等的三角形相似可证；
（2）由（1）中的相似及∠AFE=∠C得出∠AEF=∠AFE，进而根据等角对等边得出AE=AF，再根据及△AFE∽△ADC得出，再由，得出，即可得到结果．
【详解】解：（1）∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠DAC，
∵∠EFD=∠BDF，
∴180°-∠EFD=180°-∠BDF，
∴∠AFE=∠ADC，
又∵∠BAD=∠DAC，
∴△AFE∽△ADC；
（2）由（1）得，△AFE∽△ADC，
∴∠AEF=∠C，
∵∠AFE=∠C，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴EB=2FD．
【点睛】本题考查相似三角形的性质及判定．第（1）问能根据角的等量代换得出角相等及熟练掌握相似三角形的判定是解题关键；第（2）问根据相似得出比例式及根据比例式得出线段的关系是解的关键．
【变式训练】
1．（2021·安徽·九年级专题练习）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）求证EG2＝GF•AF；
（3）若AG＝3，EG＝，求BE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；
（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；
（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD-GH求解即可．
【详解】（1）证明：∵GE∥DF，
∴∠EGF=∠DFG．
∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，
∴∠DGF=∠DFG．
∴GD=DF．
∴DG=GE=DF=EF．
∴四边形EFDG为菱形．
（2）证明：如图1所示：连接DE，交AF于点O．
∵四边形EFDG为菱形，
∴GF⊥DE，，
∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，
∴△DOF∽△ADF．
∴，即DF2=FO•AF．
∵，
∴；
（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．
∵，
∴，整理得：FG2+3FG-10=0．
解得：FG=2，FG=-5（舍去）．
∵
∴
∵GH⊥DC，AD⊥DC，
∴GH∥AD．
∴△FGH∽△FAD．
∴，即，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键．
2．（2021·福建省诏安第一中学九年级期中）如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，，交BD于点F．
(1)如图1，直按写出的值_______；
(2)将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，当BE=BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为，当为何值时EA=ED?请在图3或备用图中画出图形并求出的值．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)画图见解析，α的值为30°或150°，
【分析】由是正方形ABCD的对角线，可知∠ABD=45°，由垂直可知，，则可求出边相等，进而可知，根据边之间的等量关系可知，故可知；
由（1）知，，，，进而可知边之间的比例关系，由旋转知，，故可证明，根据相似比可证明边之间的等量关系；
（3）连接DE，CE根据边相等的条件，以及角相等的条件可知AE=DE，BE=CE，由四边形ABCD是正方形，可知，AB=BC，进而可得△BCE是等边三角形，，进而可证，即：，同理，也可证明△BCE是等边三角形，，即：．
(1)
是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABD=45°，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
(2)
，
理由：由（1）知，，，，
，
由旋转知，，
，
，
；
(3)
如图3，连接DE，CE
∵EA=ED，
∴点E在AD的中垂线上，
∴AE=DE，BE=CE，
∵四边形ABCD是正方形，
，AB=BC，
，
∴△BCE是等边三角形，
，
，即：，
如图4，同理，△BCE是等边三角形，
，即：，
故答案为：30°或150°．
【点睛】本题考查图形的旋转变换，相似三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，等边三角形的性质，能够根据题意将变换后的图像画出来并构造适合的辅助线是解决本题的关键．
课后训练
一、选择题
1．（2022·北京·人大附中通州校区九年级阶段练习）如图，在中，DEBC，，，，则BC的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】根据DEBC ，得出△ADE∽△ABC，则有，因为，，所以AB=AD+BD=12， ，又，代入即可求解．
【详解】解：∵DEBC
∴△ADE∽△ABC
∴
∵，，
∴AB=AD+BD=12，
又∵，
∴，
∴BC=8．
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．
2．（2022·山东·济南外国语学校九年级阶段练习）如图，在平行四边形中．为CD上一点．．连接AE，BD交于点，则等于( )
A．2：5B．2：25C．4：5D．4：25
【答案】D
【分析】由题意易得，然后可得，则有，进而根据相似三角形的面积比与相似比的关系可求解．
【详解】解：在平行四边形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
3．（2021·福建·宁德市博雅培文学校九年级阶段练习）如图，在边长为4的等边△ABC中，点D是AB边上一个动点，沿过点D的直线折叠∠A，使点A落在BC边上的点F处，折痕交AC于点E，当时，则AD的长是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】由等边三角形即轴对称的性质证明 可得设 而 则 代入数据求解再利用建立方程即可．
【详解】解：∵等边三角形
∴
由折叠可得：
∵
∴
∴
∴
设 而 则
∴
∴
∵

解得： 经检验符合题意，即
故选B．
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键．
4．（2021·河北·石家庄市第四十四中学九年级阶段练习）如图，在中，，高，正方形一边在上，点E，F分别在上，交于点N，则的长为（ ）
A．15B．20C．25D．30
【答案】B
【分析】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解．
【详解】解：设正方形的边长，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵是的高，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比．
5．（2022·山东·济南世纪英华实验学校九年级阶段练习）如图所示，一电线杆AB的影子落在地面和墙壁上，同一时刻，小明在地面上竖立一根1米高的标杆（PQ），量得其影长（QR）为0.5米，此时他又量得电线杆AB落在地面上的影子BD长为3米，墙壁上的影子CD高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高为（ ）
A．5米B．6米C．7米D．8米
【答案】D
【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．
【详解】解：如图：假设没有墙CD，则影子落在点E，
∵杆高与影长成正比例，
∴CD：DE=1：0.5，
∴DE=1米，
∴AB：BE=1：0.5，
∵BE=BD+DE=4，
∴，
∴AB=8米．
故选：D．
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同这个结论．
二、填空题
6．（2022·上海市康健外国语实验中学九年级阶段练习）与中，若，则的周长是___________．
【答案】
【分析】根据相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴的周长是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
7．（2022·江苏·宜兴市桃溪中学九年级阶段练习）的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的，其最长边为12，则的周长是______．
【答案】27
【分析】根据相似三角形的性质即可求得．
【详解】与相似，
，
，
故答案为：27．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质：周长的比等于相似比，掌握此性质是解题的关键．
8．（2022·上海市康健外国语实验中学九年级阶段练习）如图，在直角坐标系中有两点，如果点在轴上（C与不重合），当点的坐标为___________或___________时，使得由点组成的三角形与相似（至少写出两个满足条件的点的坐标）．
【答案】
【分析】利用当时，求点C的坐标，进而得出答案．
【详解】解：如图所示：
∵点C在x轴上，∴点C的纵坐标是0，且，
由点B、O、C组成的三角形与相似，即应该与对应，
当，
则，
故，
解得：，
故；
同理可得：也是符合题意的答案．
故答案是：；．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质、坐标与图形性质．解答此类题目时，首先判断由B、O、C三点组成的三角形形状，再利用两个三角形直角边与直角边对应关系求解．
9．（2022·上海奉贤·九年级阶段练习）如图，矩形中，，将矩形绕点D逆时针旋转，点B落在射线上的点F处，点A落在点E处，与交于点P，且，那么的长为 _____．
【答案】
【分析】如图，证明 可得 再证明 证明 可得 再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，由题意可得：
∴
∵
∴
∴
∴ 而
∴
∵
∴
∴
即
即
∴
解得：
∴
故答案为：
【点睛】本题考查的是矩形的性质，旋转的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，画出正确的图形是解本题的关键．
10．（2022·辽宁·鞍山市第二中学九年级阶段练习）如图，已知正方形的边长为4，E是BC边上的一个动点，，交于点F，设，，则当E从点B运动到点C时（点E不与点B、C重合），有如下结论：①；②；③当时，＝；④当时，；其中正确的结论为 _____．
【答案】①②④
【分析】①根据垂直的定义得到，再根据等角的余角相等得到，根据三角形相似的判定得到；
②利用相似比即可得到与之间的函数关系式．
③利用相似三角形的性质即可判断；
④首先证明，再利用勾股定理求出、、即可判断
【详解】解：的长为，则，的长为，
，，，
，
，，
，
∴，故①正确，
，即，
．故②正确，
当时，，
∴，故③错误，
如图1中，过点作于点，
∵，
，
平分，
，，
，
，
，
，
，
平分，
，，
，
；
，，
，，
，故④正确，
故答案为①②④．
【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题
11．（2022·甘肃·金塔县第四中学九年级期中）如图，矩形内接于，于点D，交于点M，，，，求矩形的面积．
【答案】
【分析】先证明，再证明四边形是矩形，得到，根据相似三角形的性质得到，求出即可求出矩形的面积．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定和矩形的性质与判定，解题关键是熟练掌握相似三角性的性质和判定．
12．（2022·江苏·南京市第一中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，过点D作DE⊥AB，垂足为E
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若=，AF=10，求⊙O的半径.
【答案】(1)见解析
(2)13
【分析】（1）连接，进而判断出ODAB，即可得出结论；
（2）设，，进而表示出，再判断出，得出比例式，进而表示出，，再判断出，得出比例式建立方程求出，最后根据勾股定理求出，即可求出答案．
（1）
证明：如图1，
连接，则，
，
，
，
，
∴ODAB，
，
，
为的半径，
是的切线；
（2）
解：如图2，连接，
，
设，，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
为直径，
，
，
，
，
，
，，
，，
，，
连接，则，
，
，
，
，
，
，
，
，，
在中，根据勾股定理得，，
的半径为．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出相似三角形是解本题的关键．
13．（2022·辽宁·灯塔市第一初级中学九年级期中）如图，正方形中，E，F分别是边，上的点，，，连接并延长交的延长线于点G．
(1)求证：；
(2)若正方形的边长为6，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)15
【分析】（1）根据正方形的性质及相似三角形的判定定理证明即可；
（2）由正方形及平行线的性质可得，再由对顶角相等，可得，利用相似三角形的对应边成比例即可得．
（1）
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，正方形的边长为6，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键．
14．（2022·河北·北师大石家庄长安实验学校九年级阶段练习）如图，在中，平分，E为上一点，．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】（1）首先根据条件证得，可知，即可证得；
（2）由（1）可知，即，可证得；
（3）由，求得，根据勾股定理求得，可知，可得，根据，可知，代入边长即可求得结果．
（1）
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）
由（1）可知，
∴，
∵，
∴；
（3）
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，以及利用勾股定理求边长，根据所求直角三角形边长，得出其为特殊三角形是解题的关键．
15．（2022·广东·佛山市顺德区华南师范大学附属北滘学校九年级阶段练习）如图甲，在△ABC中，，，，如果点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s，连接．设运动时间为，解答下列问题：
(1)设的面积为S，求出S的表达式（用含t的式子表示）；
(2)如图乙，连接，将沿翻折，得到四边形．当四边形为菱形时，求t的值；
(3)当t为何值时，是等腰三角形？
【答案】(1)，
(2)s
(3)s或s或s
【分析】（1）过点作于，由，得出，从而求出，再根据，得出，则的面积为：；
（2）连接交于，当四边形为菱形时，得出，，求出，再根据，得出，再求即可；
（3）由（1）知，，与（2）同理得：，从而求出，在中，分三种情况讨论：①当，即，②当，即，③当，即，再分别计算即可．
（1）
解：（1）如图甲，过点作于H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为：
，．
（2）
解：如图乙，连接，交于，
当四边形为菱形时，垂直平分，即，，
∴，
∴，
∴，
，
又∵，
∴，
解得：，
∵，
∴当四边形为菱形时，的值是s；
（3）
解：如图，
由（1）知，，
与（2）同理得：，
∴=，
在中，
①当，即时，解得：；
②当，即时，解得：，；
③当，即时，解得：，；
∵，
∴，不合题意，舍去，
∴当为s或s或s时，是等腰三角形．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是正确分类并列方程．