沪教版九年级上册数学专题训练专题08二次函数综合压轴题专练(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级上册数学专题训练专题08二次函数综合压轴题专练(原卷版+解析)，共121页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

一、解答题
1．(2023·上海）已知抛物线经过点，与轴交于点，点是该抛物线上一点，且在第四象限内，连接．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出对称轴；
（2）当时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果点E是x轴上一点，点F是抛物线上一点，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点E的坐标．
2．(2023·上海）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋1与y轴交于点A，顶点B的坐标为(2，－1)．
（1）直接写出点A的坐标，并求抛物线的表达式；
（2）设点C在x轴上，且∠CAB＝90°，直线AC与抛物线的另一个交点为D．
①求点C、D的坐标；
②将抛物线y＝ax2＋bx＋1沿着射线BD的方向平移，平移后的抛物线顶点仍在线段BD上，点A的对应点为P．设线段AB与x轴的交点为Q，如果ADP与CBQ相似，求点P的坐标．
3．(2023·上海）在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2＋bx＋2 的图象与 x 轴交于 A（﹣3，0），B（1，0）两点，与 y 轴交于点C．
（1）求这个二次函数的关系解析式 ，x 满足什么值时 y﹤0 ?
（2）点 p 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点 P，使△ACP 面积最大？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由
（3）点 M 为抛物线上一动点，在 x 轴上是否存在点 Q，使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由．
4．(2023·上海中考模拟）在平面直角坐标系中，直线 与轴、轴分别交于点A、B如图所示，点在线段的延长线上，且．
（1）用含字母的代数式表示点的坐标；
（2）抛物线y经过点、，求此抛物线的表达式；
（3）在第（2）题的条件下，位于第四象限的抛物线上，是否存在这样的点：使，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，试说明理由．
5．(2023·上海）在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线的对称轴是直线．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）当x满足时，函数值y满足，试求a的值；
（3）将抛物线与x轴所围成的区域（不包含边界）记为G，将横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”，如果区域G内恰好只有5个“整点”，结合函数的图像，求a的取值范围．
6．(2023·上海九年级三模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）如果将抛物线向下平移个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在线段上，求的值；
（3）如果点是抛物线位于第一象限上的点，联结，交线段于点，当时，求点的坐标．
7．(2023·上海九年级二模）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，0）（如图），经过点A的抛物线y＝x2+bx+5与y轴相交于点B，顶点为点C．
（1）求此抛物线表达式与顶点C的坐标；
（2）求∠ABC的正弦值；
（3）将此抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D，且△DCA与△ABC相似，求平移后的新抛物线的表达式．
8．(2023·上海九年级专题练习）如果抛物线C1：与抛物线C2：的开口方向相反，顶点相同，我们称抛物线C2是C1的“对顶”抛物线．
（1）求抛物线的“对顶”抛物线的表达式；
（2）将抛物线的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物线与原抛物线形成两个交点M、N，记平移前后两抛物线的顶点分别为A、B，当四边形AMBN是正方形时，求正方形AMBN的面积．
（3）某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线C1与C2的顶点位于x轴上，那么系数b与d，c与e之间的关系是确定的，请写出它们之间的关系．
9．(2023·上海）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点为直线下方抛物线上一点，点为轴上一点，当的面积最大时，求的最小值．
10．(2023·上海）如图，对称轴为直线的二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，B点的坐标为(1，0)．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在直线上找一点P，使PBC的周长最小，并求出点P的坐标；
（3）若第二象限的且横坐标为t的点Q在此二次函数的图象上，则当t为何值时，四边形AQCB的面积最大？最大面积是多少？
11．(2023·上海九年级专题练习）如图，抛物线与轴交于点和B，与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求抛物线的表达式、点B和点D的坐标；
（2）将抛物线向右平移后所得新抛物线经过原点O，点B、D的对应点分别是点，联结，求的面积．
12．(2023·上海九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，对称轴是直线，顶点为点，抛物线与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式和点的坐标；
（2）将上述抛物线向下平移1个单位，平移后的抛物线与轴正半轴交于点，求的面积；
（3）如果点在原抛物线上，且在对称轴的右侧，联结交线段于点，，求点的坐标．
13．(2023·上海九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点（-1，0）、（3，0）、（0，3），抛物线经过、两点．
（1）当该抛物线经过点时，求该抛物线的表达式；
（2）在（1）题的条件下，点为该抛物线上一点，且位于第三象限，当时，求点的坐标；
（3）如果抛物线的顶点位于内，求的取值范围．
14．(2023·上海九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中，将点定义为点的“关联点”．已知点在函数的图像上，将点A的“关联点”记为点．
（1）请在如图基础上画出函数的图像，简要说明画图方法；
（2）如果点在函数的图像上，求点的坐标；
（3）将点称为点的“待定关联点”（其中），如果点的“待定关联点”在函数的图像上，试用含的代数式表示点的坐标．
15．(2023·上海九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，抛物线经过、两点．
（1）当该抛物线经过点时，求该抛物线的表达式；
（2）在（1）题的条件下，点为该抛物线上一点，且位于第三象限，当时，求点的坐标；
（3）如果抛物线的顶点位于内，求的取值范围．
16．(2023·上海九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中，如果抛物线上存在一点A，使点A关于坐标原点O的对称点也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点A叫做这条抛物线的回归点．
（1）已知点M在抛物线上，且点M的横坐标为2，试判断抛物线是否为回归抛物线，并说明理由；
（2）已知点C为回归抛物线的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与x轴交于点D．连接CO并延长，交该抛物线于点E．点F是射线CD上一点，如果，求点F的坐标．
17．(2023·上海九年级专题练习）在平面直角坐标系中（如图）．已知点，点，点．如果抛物线恰好经过这三个点之中的两个点．
（1）试推断抛物线经过点A、B、C之中的哪两个点？简述理由；
（2）求常数a与b的值：
（3）将抛物线先沿与y轴平行的方向向下平移2个单位长度，再与沿x轴平行的方向向右平移个单位长度，如果所得到的新抛物线经过点．设这个新抛物线的顶点是D．试探究的形状．
18．(2023·上海普陀区·九年级月考）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于点，顶点的坐标为．
（1）直接写出点的坐标，并求抛物线的表达式；
（2）设点在轴上，且，直线与抛物线的另一个交点为点．
①求点、的坐标；
②将抛物线沿着射线的方向平移；平移后的抛物线顶点仍在线段上；点的对应点为点．设线段与轴的交点为点，如果与相似，求点的坐标．
19．(2023·上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点和与y轴交于点C．
（1）求这个抛物线的表达式；
（2）如果点P是抛物线位于第二象限上一点，PC交x轴于点D，．
①求P点坐标；
②点Q在x轴上，如果，求点Q的坐标．
20．(2023·上海九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，若点D是抛物线上第一象限内的一动点，设点D的横坐标为m，连接CD，BD，BC，AC，当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求m的值；
（3）如图2，若点N为抛物线对称轴上一点，探究抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
21．(2023·上海市曹杨二中附属江桥实验中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点和点，点C在x轴上（不与点A重合），
（1）当与相似时，请直接写出点C的坐标（用m表示）；
（2）当与全等时，二次函数的图像经过A、B、C三点，求m的值，并求出点C的坐标；
（3）P是（2）的二次函数的图像上一点，，求点P的坐标及的度数．
22．(2023·上海市回民中学九年级月考）如图，点A（2，6）和点B（点B在点A的右侧）在反比例函数的图象上，点C在y轴上，纵坐标为2，BCx轴，BC＝3OC，二次函数的图象经过A、B、C三点．
（1）求反比例函数和二次函数的解析式；
（2）如果点D在x轴的正半轴上，点E在反比例函数的图象上，四边形ACDE是平行四边形，求边CD的长．
23．(2023·上海民办兰生复旦中学九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，有一条抛物线，和轴交于和两点．直线，分别和抛物线交于除了原点以外的和两点．已知：和相似．
（1）试求抛物线的解析式．
（2）在轴上是否存在点，使得和相似．如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请证明你的结论．
24．(2023·上海九年级三模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于点A（−3,0）和点B，与y轴相交于点C（0,3），抛物线的顶点为点D．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）联结AD、AC、CD，求∠DAC的正切值；
（3）如果点P是原抛物线上的一点，且∠PAB=∠DAC，将原抛物线向右平移m个单位（m>0），使平移后新抛物线经过点P，求平移距离．
25．(2023·上海九年级二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）经过点A，其顶点为C，直线y＝1与y轴交于点B，与抛物线交于点D（在其对称轴右侧），联结BC、CD．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）点P是y轴的负半轴上的一点，如果△PBC与△BCD相似，且相似比不为1，求点P的坐标；
（3）将∠CBD绕着点B逆时针方向旋转，使射线BC经过点A，另一边与抛物线交于点E（点E在对称轴的右侧），求点E的坐标．
26．(2023·上海九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A(﹣1，0)和点B(3，0)，该抛物线对称轴上的点P在x轴上方，线段PB绕着点P逆时针旋转90°至PC（点B对应点C），点C恰好落在抛物线上．
（1）求抛物线的表达式并写出抛物线的对称轴；
（2）求点P的坐标；
（3）点Q在抛物线上，联结AC，如果∠QAC＝∠ABC，求点Q的坐标．
27．(2023·上海九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣4ax+3的图象与x轴正半轴交于点A、B，与y轴相交于点C，顶点为D，且tan∠CAO＝3．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点P是对称轴右侧抛物线上的点，联结CP，交对称轴于点F，当S△CDF：S△FDP＝2：3时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将△PCD沿直线MN翻折，当点P恰好与点O重合时，折痕MN交x轴于点M，交y轴于点N，求的值．
28．(2023·上海九年级其他模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点，且OA＝OB，抛物线的顶点为M，联结AB、AM．
（1）求这条抛物线的表达式和点M的坐标；
（2）求sin∠BAM的值；
（3）如果Q是线段OB上一点，满足∠MAQ＝45°，求点Q的坐标．
29．(2023·上海九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线y＝﹣+bx+c(其中b、c是常数)经过点A(﹣2，﹣2)与点B(0，4)，顶点为M．
（1）求该抛物线的表达式与点M的坐标；
（2）平移这条抛物线，得到的新抛物线与y轴交于点C(点C在点B的下方)，且△BCM的面积为3．新抛物线的对称轴l经过点A，直线l与x轴交于点D．
①求点A随抛物线平移后的对应点坐标；
②点E、G在新抛物线上，且关于直线l对称，如果正方形DEFG的顶点F在第二象限内，求点F的坐标．
30．(2023·上海九年级二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点，且与轴相交于点，点的横坐标为6，抛物线顶点为点．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；
（2）过点作，在直线上点取一点，使得，求点的坐标；
（3）将该抛物线向左平移个单位，所得新抛物线与轴负半轴相交于点且顶点仍然在第四象限，此时点移动到点的位置，，求的值．
31．(2023·上海九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线经过点和，其顶点为C．
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）我们把坐标为（n，m）的点叫做坐标为（m，n）的点的反射点，已知点M在这条抛物线上，它的反射点在抛物线的对称轴上，求点M的坐标；
（3）点P是抛物线在第一象限部分上的一点，如果∠POA=∠ACB，求点P的坐标．
32．(2023·上海九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）．
（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D，点P的对应点为点Q，当OD⊥DQ时，求抛物线平移的距离．
33．(2023·上海九年级专题练习）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与x轴交于点A(－1,0)和点B，与y轴交于点C(0,－2)．
（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴
（2）点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，四边形ACEF为梯形，求点F的坐标
（3）点D为该抛物线的顶点，设点P(t, 0)，且t＞3，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值．
34．(2023·上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+mx+n经过点B（6，1），C（5，0），且与y轴交于点A．
（1）求抛物线的表达式及点A的坐标；
（2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作PQ⊥OA，交线段OA的延长线于点Q，如果∠PAB＝45°．求证：△PQA∽△ACB；
（3）若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点F′恰好在上述抛物线上，求FF′的长．
35．(2023·上海）如图，已知抛物线的对称轴为直线，与x轴负半轴交于点，顶点为B，点在抛物线上，连接、、，交x轴于点E.
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接，求的值；
（3）点G为线段上一点，过点G作的垂线交x轴于点M（点M位于点E右侧），当与相似时，求点M的坐标.
36．(2023·上海九年级一模）如图，将抛物线平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点，新抛物线与轴正半轴交于点，联结，，设新抛物线与轴的另一交点是，新抛物线的顶点是.
（1）求点的坐标；
（2）设点在新抛物线上，联结，如果平分，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿轴左右平移，点的对应点为，当和相似时，请直接写出平移后得到抛物线的表达式.
37．(2023·上海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为，，与轴相交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）联结、，求的正切值；
（3）点在抛物线上，且，求点的坐标．
38．(2023·上海黄浦区·九年级期末）在平面直角坐标系中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”．
（1）已知原抛物线表达式是，求它的“影子抛物线”的表达式；
（2）已知原抛物线经过点（1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是，求原抛物线的表达式；
（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．
39．(2023·上海九年级专题练习）已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A、B（点A在点B的左侧），且AB=6.
（1）求这条抛物线的对称轴及表达式；
（2）在y轴上取点E（0,2），点F为第一象限内抛物线上一点，联结BF、EF，如果，求点F的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，点F在抛物线对称轴右侧，点P在轴上且在点B左侧，如果直线PF与y轴的夹角等于∠EBF，求点P的坐标.

40．(2023·上海九年级专题练习）已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图像与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为12．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点D的坐标为，点P在二次函数的图像上，∠ADP为锐角，且，请直接写出点P的横坐标；
（3）点E在x轴的正半轴上，，点O与点关于EC所在直线对称，过点O作的垂线，垂足为点N，ON与EC交于点M．若，求点E的坐标．
专题08二次函数综合压轴题专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．已知抛物线经过点，与轴交于点，点是该抛物线上一点，且在第四象限内，连接．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出对称轴；
（2）当时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果点E是x轴上一点，点F是抛物线上一点，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点E的坐标．
【来源】专题19 二次函数（二）（考点专练）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
答案:（1），对称轴为直线； （2）；（3）点的坐标为或或或．
分析：
（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式，即可写出对称轴；
（2）连接OD，求出C点坐标，根据A、B、C点坐标求出，设 ，根据，列出关于x的方程，解方程即可求出D点坐标；
（3）分两种情形：如图2中，当AE为平行四边形的边时，根据DF＝AE＝1，求解即可．如图3中，当AE，DF是平行四边形的对角线时，根据点F的纵坐标为6，求出点F的坐标，再根据中点坐标公式求解即可．
【详解】
（1）∵经过点，，
，
，
∴抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线．
（2）连接，
∵抛物线经过点，
，
，
，
又，
，，
，
，
设，
∵点在第四象限，
，


，
，
，
，
．
（3）如图2中，当AE为平行四边形的边时，

∵DF∥AE，D(2,-6)，
∴F(1,-6)，
∴DF=1，
∴AE=1，
∴E(0,0)，或E′(-2,0)．
如图3中，当AE，DF是平行四边形的对角线时，

∵点D与点F到x轴的距离相等，
∴点F的纵坐标为6，
当y=6时，6=x2-3x-4，
解得x=-2或5，
∴F(-2,6)或(5,6)，
设E(n,0)，则有 或，
解得n=1或8，
∴E(1,0)或(8,0)，
综上所述，满足条件的点E的坐标为(0,0)或(1,0)或(8,0)或(-2,0)．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，平行四边形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋1与y轴交于点A，顶点B的坐标为(2，－1)．
（1）直接写出点A的坐标，并求抛物线的表达式；
（2）设点C在x轴上，且∠CAB＝90°，直线AC与抛物线的另一个交点为D．
①求点C、D的坐标；
②将抛物线y＝ax2＋bx＋1沿着射线BD的方向平移，平移后的抛物线顶点仍在线段BD上，点A的对应点为P．设线段AB与x轴的交点为Q，如果ADP与CBQ相似，求点P的坐标．
【来源】专题19 二次函数（二）（考点专练）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
答案:（1）(0，1)，；（2）①C(－1，0)，D(6，7)，②
分析：
（1）将顶点B和点A代入解析式计算出系数即可．
（2）①利用二次函数写出点D的坐标，利用DH=CH列方程计算点D的坐标．
②分类讨论，利用锐角三角函数找到边的关系，找出相似三角形，利用比例关系，计算出AP的长度，再写出点P的坐标．
【详解】
解：（1）由y＝ax2＋bx＋1，得A(0, 1)．
设抛物线的顶点式为y＝a(x－2)2－1，代入点A(0, 1)，得1＝4a－1．
解得a＝．所以抛物线的表达式为．
（2）①如图2，由A(0, 1)、B(2,－1)，可知A、B两点间的水平距离、竖直距离都是2，所以∠OAB＝45°．
如果点C在x轴上，且∠CAB＝90°，那么∠CAO＝45°．所以C(－1, 0)．
设D．作DH⊥x轴于H．
由DH＝CH，得．
解得x＝6，或x＝0（与点A重合，舍去）．所以D(6, 7)．
②如图2，在Rt△ABC中，tan∠ABC＝＝，AB与x轴交于点Q(1, 0)．
由A(0, 1)、D(6, 7)，可知∠EAD＝45°，AD＝．
如图3，作PE⊥y轴于E．
过点B作x轴的平行线，过点D作y轴的平行线，两条直线交于点F．
由B(2,－1)、D(6, 7)，得tan∠BDF＝＝．所以∠ABC＝∠BDF．
由AP//BD，可得∠EAP＝∠BDF．
所以∠EAP＝∠ABC．
又因为∠EAP＋∠PAD＝45°，∠ABC＋∠BCQ＝45°，所以∠PAD＝∠BCQ．
因为△ADP与△CBQ相似．
①当时，．解得．
此时PE＝，AE＝2PE＝．所以P．
②当时，．解得．
此时PE＝6，AE＝2PE＝12．所以P(6, 13)．但此时平移后的抛物线的顶点已经不在线段BD上了．
综上所述，点P的坐标为．
【点睛】
本题考查相似三角形、锐角三角函数、二次函数．灵活使用相似三角形的判定是难点．
3．在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2＋bx＋2 的图象与 x 轴交于 A（﹣3，0），B（1，0）两点，与 y 轴交于点C．
（1）求这个二次函数的关系解析式 ，x 满足什么值时 y﹤0 ?
（2）点 p 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点 P，使△ACP 面积最大？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由
（3）点 M 为抛物线上一动点，在 x 轴上是否存在点 Q，使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由．
【来源】专题19 二次函数（二）（考点专练）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
答案:（1）， 或；（2）P；（3）
分析：
（1）将点A（﹣3，0），B（1，0）带入y＝ax2＋bx＋2得到二元一次方程组，解得即可得出函数解析式；又从图像可以看出x 满足什么值时 y﹤0；
（2）设出P点坐标，利用割补法将△ACP 面积转化为，带入各个三角形面积算法可得出与m之间的函数关系，分析即可得出面积的最大值；
（3）分两种情况讨论，一种是CM平行于x轴，另一种是CM不平行于x轴，画出点Q大概位置，利用平行四边形性质即可得出关于点Q坐标的方程，解出即可得到Q点坐标.
【详解】
解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）两点带入y＝ax2＋bx＋2可得：
解得：
∴二次函数解析式为.
由图像可知，当或时y﹤0；
综上：二次函数解析式为，当或时y﹤0；
（2）设点P坐标为，如图连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N.
PM=，PN=，AO=3.
当时，，所以OC=2
，
∵
∴函数有最大值，
当时，有最大值，
此时；
所以存在点，使△ACP 面积最大.
（3）存在，
假设存在点Q使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形
①若CM平行于x轴，如下图，有符合要求的两个点此时=
∵CM∥x轴，
∴点M、点C（0,2）关于对称轴对称，
∴M（﹣2,2），
∴CM=2.
由=；
②若CM不平行于x轴，如下图，过点M作MG⊥x轴于点G，
易证△MGQ≌△COA，得QG=OA=3，MG=OC=2，即.
设M（x，﹣2），则有，解得：.
又QG=3,∴，
∴
综上所述，存在点P使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形，
Q点坐标为：
.
【点睛】
本题考查二次函数与几何综合题目，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，通过函数图像得出关于二次函数不等式的解集，平面直角坐标系中三角形面积的计算通常利用割补法，并且将所要求得点的坐标设出来，得出相关方程；在解答（3）的时候注意先画出大概图像再利用平行四边形性质进行计算和分析.
4．在平面直角坐标系中，直线 与轴、轴分别交于点A、B如图所示，点在线段的延长线上，且．
（1）用含字母的代数式表示点的坐标；
（2）抛物线y经过点、，求此抛物线的表达式；
（3）在第（2）题的条件下，位于第四象限的抛物线上，是否存在这样的点：使，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，试说明理由．
【来源】【区级联考】上海市普陀区2019届九年级下学期二模考数学试题
答案:(1) C; (2) ; (3)见解析.
分析：
（1）求出点A、B的坐标分别为，利用
，即可求解；
（2）将点A、C坐标代入函数表达式,联立方程组，解得m、b的值，即可求解；
（3） 即可求解．
【详解】
解：
（1） 过点作⊥，垂足为点．
∵直线与轴、轴分别相交于点、，
∴点的坐标是，点的坐标是.
∴，.
∵⊥，∴//．
∴．
∵，
∴，.
∴点的坐标是.
（2） ∵抛物线经过点、点，可得
∵，解得 .
∴抛物线的表达式是.
（3）过点分别作⊥、垂足为点．
设点的坐标为．可得，．
∵，．
∴△与△等高，∴//.
∴.∴.
∴.
解得 ，（舍去）．
∴点的坐标是.
【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
5．在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线的对称轴是直线．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）当x满足时，函数值y满足，试求a的值；
（3）将抛物线与x轴所围成的区域（不包含边界）记为G，将横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”，如果区域G内恰好只有5个“整点”，结合函数的图像，求a的取值范围．
【来源】2021年上海市嘉定区九年级数二模试题
答案:（1）（1，-4）；（2）a=1；（3）
分析：
（1）利用求得和的关系，再将其代入原解析式即可；
（2）分两种情况讨论，利用抛物线的对称性即可求解；
（3）根据整点的定义，结合图象中取，0，1，2，3时对应的值即可判断．
【详解】
解：（1）将代入抛物线得，
，
对称轴是直线．
，
，
，
抛物线的顶点坐标为；
（2）①时，抛物线开口向下，的最大值是，
当时，数值满足，
不合题意；
②时，抛物线开口向上，
对称轴是直线到的距离大于1到3的距离，
时，的值最大5，时，的值最小，
，
将代入得，，
；
（3）如图：
根据（1）、（2）及抛物线对称性可知：
这5个整点分别为，0，1，2，3时，
只需保证时，，
时，，
时，，
且且，
，
同理，时，，
时，，
时，，
解得：，
综上，．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等．
6．如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）如果将抛物线向下平移个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在线段上，求的值；
（3）如果点是抛物线位于第一象限上的点，联结，交线段于点，当时，求点的坐标．
【来源】2021年上海市奉贤区中考数学三模试题
答案:（1）抛物线解析式为；（2）；（3）点
分析：
（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）求出平移前后的顶点坐标，即可求解；
（3）通过证明，可证，即可求解．
【详解】
解：（1）与轴交于点，与轴交于点．
，
解得：，
抛物线解析式为；
（2），
顶点坐标为，，
与轴交于点，点，
，
，，
点，
设直线解析式为，
，
解得：，
直线解析式为，
当时，，
；
（3）如图，过点作于，过点作于，
，
，
，
，
，
，，
，，
点，，点，，
，，
，
，
点．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，平移的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
7．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，0）（如图），经过点A的抛物线y＝x2+bx+5与y轴相交于点B，顶点为点C．
（1）求此抛物线表达式与顶点C的坐标；
（2）求∠ABC的正弦值；
（3）将此抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D，且△DCA与△ABC相似，求平移后的新抛物线的表达式．
【来源】2021年上海市静安区中考数学二模试题
答案:（1）y＝x2﹣6x+5，顶点C的坐标为（3，﹣4）；（2）；（3）y＝x2﹣6x+或y＝x2﹣6x+11．
分析：
（1）将代入可得表达式，配方即得顶点坐标；
（2）设BC与x轴交于F，过F作FE⊥AB于E，求出EF、BF即可得出答案；
（3）设D坐标，用三边对应成比例列方程，求出D的坐标即可得出答案．
【详解】
解：（1）将代入得：
，解得，
∴抛物线表达式为：，
∵，
∴顶点C的坐标为；
（2）设BC与x轴交于F，过F作FE⊥AB于E，如图所示：
抛物线与y轴交于，
设BC解析式为，
将，代入得：
，解得，
∴BC解析式为，
令，得，
∴F，
∴，
∵，，
∴，，∠BAO＝45°，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D，设，
则平移后的新抛物线的表达式为，
且，
，，
，，
若△DCA与△ABC相似，只需三边对应成比例，但AC对应边不能是AC，
故分三种情况：
①若△ABC∽△DCA，如图所示：
，即，
解得：，
∴，
∴平移后的新抛物线的表达式为：，
②若△ABC∽△DAC，
则，即，无解，
③若△ABC∽△ACD，如图所示：
，即，
解得，
∴，
∴平移后的新抛物线的表达式；
综上所述，△DCA与△ABC相似，平移后的新抛物线的表达式为或．
【点睛】
本题考查二次函数、三角函数及相似三角形的综合知识，解题的关键是求出平移后抛物线的顶点坐标．
8．如果抛物线C1：与抛物线C2：的开口方向相反，顶点相同，我们称抛物线C2是C1的“对顶”抛物线．
（1）求抛物线的“对顶”抛物线的表达式；
（2）将抛物线的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物线与原抛物线形成两个交点M、N，记平移前后两抛物线的顶点分别为A、B，当四边形AMBN是正方形时，求正方形AMBN的面积．
（3）某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线C1与C2的顶点位于x轴上，那么系数b与d，c与e之间的关系是确定的，请写出它们之间的关系．
【来源】专题19 二次函数（二）（考点）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
答案:（1）；（2）2；（3）
分析：
（1）先求出抛物线C1的顶点坐标，进而得出抛物线C2的顶点坐标，即可得出结论；
（2）设正方形AMBN的对角线长为2k，得出B（2，3＋2k），M（2＋k，3＋k），N（2−k，3＋k），再用点M（2＋k，3＋k）在抛物线y＝（x−2）2＋3上，建立方程求出k的值，即可得出结论；
（3）先根据抛物线C1，C2的顶点相同，得出b，d的关系式，再由两抛物线的顶点在x轴，求出c，e的关系，即可得出结论．
【详解】
解：（1）解：（1）∵y＝x2−4x＋7＝（x−2）2＋3，
∴顶点为（2，3），
∴其“对顶”抛物线的解析式为y＝−（x−2）2＋3，
即y＝−x2＋4x−1；
（2）如图，
由（1）知，A（2，3），
设正方形AMBN的对角线长为2k，
则点B（2，3＋2k），M（2＋k，3＋k），N（2−k，3＋k），
∵M（2＋k，3＋k）在抛物线y＝（x−2）2＋3上，
∴3＋k＝（2＋k−2）2＋3，
解得k＝1或k＝0（舍）；
∴正方形AMBN的面积为×(2k)2＝2；
（3）根据抛物线的顶点坐标公式得，抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c的顶点为（，），
抛物线C2：y＝−ax2＋dx＋e的顶点为（，），
∵抛物线C2是C1的“对顶”抛物线，
∴，
∴，
∵抛物线C1与C2的顶点位于x轴上，
∴，
∴，
即．
【点睛】
此题主要考查了抛物线的顶点坐标公式，正方形的性质，理解新定义式解本题的关键．
9．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点为直线下方抛物线上一点，点为轴上一点，当的面积最大时，求的最小值．
【来源】专题19 二次函数（二）（考点专练）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
答案:（1）；（2）存在，，，，；（3）
分析：
（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）利用平行线的性质，通过等面积变形的方法求解即可；
（3）首先利用函数法求出的面积最大时的M点的坐标，然后构造∠OCH=30°，再作NK⊥CH于K点，当M，N，K三点共线时，即MK⊥CH时，取得最小值，从而利用含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】
（1）将两点代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）存在，理由如下：
由（1）得：，
设直线BC的解析式为：，
将，代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为：，
①如图，过A点作BC的平行线，交抛物线于P1点，
此时，根据平行线间距离处处相等，可得，
∵直线AP1与直线BC平行，
∴设直线AP1的解析式为：，
将代入得：，
∴直线AP1的解析式为：，
此时，联立，
得：，
解得：，，
代入分别求得：，，
∴，；
②由①可知，将直线BC向下平移至AP1时，即向下平移2个单位，满足条件，
同理，将直线BC向上平移2个单位，与抛物线的交点也满足条件，如图所示，
此时，直线P1P2的解析式为：，
联立，
得：，
解得：，，
代入直线分别求得：，，
∴，；
综上，存在这样的P点，分别为，，，；
（3）如图所示，作MQ∥y轴，交直线BC于Q点，
设，则，
∴，
∵，
∴，
根据二次函数的性质，，抛物线开口向下，
∴当时，取得最大值，此时，，
此时，作直线CH，交x轴于H点，使得∠OCH=30°，再作NK⊥CH于K点，
则在Rt△CNK中，∠NCK=30°，
∴NK=CN，
即：求得最小值，等价于求的最小值，
显然，当M，N，K三点共线时，即MK⊥CH时，取得最小值，如图所示，
此时，延长MQ交CH于点R，则∠MRK=30°，
∵，∠OCH=30°，
∴OH=，即：，
设直线CH的解析式为：，
将，代入得：
，解得：，
∴直线CH的解析式为：，
∵直线MR∥y轴，
∴M，R的横坐标相同，
∴将代入，得：，
即：，
∴，
在Rt△MRK中，∠MRK=30°，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】
本题考查二次函数的综合问题，熟练运用平行线的性质进行等面积变形，并且结合含有特殊角的直角三角形进行辅助线构造是解题关键．
10．如图，对称轴为直线的二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，B点的坐标为(1，0)．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在直线上找一点P，使PBC的周长最小，并求出点P的坐标；
（3）若第二象限的且横坐标为t的点Q在此二次函数的图象上，则当t为何值时，四边形AQCB的面积最大？最大面积是多少？
【来源】专题19 二次函数（二）（考点专练）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
答案:（1）；（2）见解析，P(-1，2)；（3），
分析：
（1）先求点C的坐标，再将点B、点C的坐标分别代入二次函数的解析式，求出待定系数b、c的值，问题即解决；
（2）根据轴对称的性质，先画出点P的位置，求出直线AC的函数关系式，则直线AC与抛物线的对称轴的交点即为P的坐标；
（3）四边形AQCB的面积由△ABC和△AQC的面积组成，其中△ABC的面积为定值，可知需要把△AQC的面积用含t的代数式表示出来，再求四边形AQCB的最大值．
【详解】
（1）∵二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线，
∴．
∴=-2．
∵点B（1，0）在二次函数的图象上，
∴．
∴．
∴二次函数的解析式为．
（2）由（1）知二次函数的解析式为．令，得．
∴点C的坐标为（0，3）．
由题意，可得点B（1，0）与点A（-3，0）关于直线对称．
∴要在直线上找一点P使△PBC的周长最小的问题，也就是要在直线上找一点P使PC与PA的和最小的问题．
∵在连接AC的线中，线段AC最短．
∴直线AC与直线的交点就是所要找的点P（如图1）
设经过A、C两点的直线为直线，
则有
∴
∴．
由 得点Ｐ的坐标为（-1，2）．
（3）如图2．
过点Q作轴，垂足为，
直线AC与直线QF交于点E．
则．
∵，
．
又∵点Q的横坐标为t．
∴ 点Q和点E的纵坐标分别为和．
∴．
∴．
由题意知: ．
∴当时，有最大值，此时的最大值为．
【点睛】
此题考查了二次函数的图象与性质，根据轴对称找到特殊点及作与坐标轴垂直的直线来表示四边形的面积，是解决本题的关键．
11．如图，抛物线与轴交于点和B，与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求抛物线的表达式、点B和点D的坐标；
（2）将抛物线向右平移后所得新抛物线经过原点O，点B、D的对应点分别是点，联结，求的面积．
【来源】热点06 二次函数综合题-2021年《三步冲刺中考�数学》（上海专用）之第2步大题夺高分
答案:（1）y＝﹣x2+2x+3，B的坐标为（3，0）、点D的坐标为（1，4）；
（2）5
分析：
（1）将点A的坐标代入抛物线表达式，求出a＝﹣1，进而求解；
（2）根据新抛物线经过原点O，求出其表达式，利用△CB'D'的面积＝S△D′HC+S△D′HB′，进而求解．
【详解】
解：（1）将代入抛物线表达式得：
0＝a+2a+3，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
抛物线的对称轴为：x＝1，点D的坐标为：（1，4），
令y＝0，y＝﹣x2+2x+3＝0，解得：x＝3或﹣1，令x＝0，则y＝3，
故点B的坐标为：（3，0）、点C（0，3）；
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，B的坐标为（3，0）、点D的坐标为（1，4）；
（2）设抛物线向右平移了m个单位，
则B'、D'的坐标分别为：（m+3，0）、（m+1，4），
平移后抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m﹣1）2+4，
∵新抛物线经过原点O，
∴当x＝0时，y＝﹣（0﹣m﹣1）2+4＝0，
解得：m＝1或﹣3（舍去﹣3），
故点B'、D'的坐标分别为：（4，0）、（2，4），
如下图，过点D′作D′H∥y轴交B′C于点H，

设直线B′C的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，
故直线B′C的表达式为：，
当x＝2时，，故；
△CB'D'的面积＝S△D′HC+S△D′HB′＝×D′H×OB′＝××4＝5．
【点睛】
本题考查二次函数的相关性质，掌握二次函数图象的性质以及相关点的求算、割补法求面积等是解题关键．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，对称轴是直线，顶点为点，抛物线与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式和点的坐标；
（2）将上述抛物线向下平移1个单位，平移后的抛物线与轴正半轴交于点，求的面积；
（3）如果点在原抛物线上，且在对称轴的右侧，联结交线段于点，，求点的坐标．
【来源】专题19 二次函数（二）（考点）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
答案:（1）抛物线的表达式为，；（2）（3）
分析：
（1）由题意知二次函数对称轴x=-，点，对称轴是直线，抛物线的表达式为，代入顶点公式即可求出 ；
（2）根据题意分别找到B，C，D三点求三角形面积即可；
（3）根据平行线分线段成比例，组图利用平行线来求P点坐标．
【详解】
（1）根据二次函数，对称轴x=-，系数a=1，b=m，c=n，
又∵点，对称轴是直线，
代入得：x=-==1，，
则，，
∴函数解析式为；
顶点坐标为，代入
得：顶点；
（2）由平移知识知平移后解析式为：，
则与x正半轴交点为y=0，
代入函数式求得x=3，即D（3，0），
根据求得坐标作图1，作轴，则，
∴
代入数值解得：；
（3），设OA交对称轴于F点，则
作交于F，
设，则，
，
，
，
解得（舍），
【点睛】
本题属于二次函数类综合题，考查了待定系数法、不规则摆放三角形面积的求法、平移变换、平行线分线段成比例（相似），难度较大，关键在于熟练掌握相关知识，利用数形结合推导求解．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知点（-1，0）、（3，0）、（0，3），抛物线经过、两点．
（1）当该抛物线经过点时，求该抛物线的表达式；
（2）在（1）题的条件下，点为该抛物线上一点，且位于第三象限，当时，求点的坐标；
（3）如果抛物线的顶点位于内，求的取值范围．
【来源】热点06 二次函数综合题-2021年《三步冲刺中考�数学》（上海专用）之第2步大题夺高分
答案:（1）；（2）；（3）．
分析：
（1）将点（-1，0）、（3，0）、（0，3）代入抛物线，利用待定系数法即可求解；
（2）利用ASA可证明△AOC≌△EOB，得出E(0，-1)，利用待定系数法求出直线PB的解析式，根据P是直线与抛物线的交点，联立解析式即可求出P点的坐标；
（3）根据抛物线y=ax2+bx+c经过（-1，0）、（3，0），可得抛物线的对称轴为x=1，从而可表示出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式，当x=1时，y=2，根据点D位于△BOC内部，列出关于a的不等式即可求解．
【详解】
（1）将点A(−1，0)、B(3，0)、C(0，3)代入抛物线y=ax2+bx+c得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3．
（2）如图：
∵B(3，0)、C(0，3)，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
当∠PBC=∠ACB时，则∠PBC-∠OBC=∠ACB-∠OCB，即∠PBO=∠ACO，
设PB交y轴于点E，
在△AOC和△EOB中，
∴△AOC≌△EOB（ASA），
∴OE=OA=1，
∴E(0，-1)，设PB的解析式为y=mx+n，
将B(3，0)，E(0，-1)代入得，解得，
∴直线PB的解析式为y=x-1，联立解析式，
解得：，，
∴P(−，)．
（3）如图，∵y=ax2+bx+c经过A(−1，0)、B(3，0)，
∴抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3，
∴对称轴为直线x=−=1，顶点D的坐标为（1，-4a），
∵B(3，0)、C(0，3)，
∴BC解析式为y=-x+3，
当x=1时，y=2，
∴当D位于△BOC内时0＜-4a＜2，
解得：＜a＜0，即a的取值范围是＜a＜0．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、全等三角形的性质和判定，证得△AOC≌△EOB，从而得到E的坐标是解题的关键．
14．在平面直角坐标系xOy中，将点定义为点的“关联点”．已知点在函数的图像上，将点A的“关联点”记为点．
（1）请在如图基础上画出函数的图像，简要说明画图方法；
（2）如果点在函数的图像上，求点的坐标；
（3）将点称为点的“待定关联点”（其中），如果点的“待定关联点”在函数的图像上，试用含的代数式表示点的坐标．
【来源】专题19 二次函数（二）（考点）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
答案:（1）见解析，将图中的抛物线向下平移2个单位长，可得抛物线；（2）（2，2）；（3）
分析：
（1）利用图像的平移规律，将向下平移2个单位长度即可得到-2．
（2）先根据题意求出 ，再代入到中，将A点坐标代入到即可求出答案．
（3）将代入解出x的值，点的坐标即可用含n的代数式表示．
【详解】
如图
将图中的抛物线向下平移2个单位长，可得抛物线，
画法：①列表；②描点（五点画图法）；③用光滑的曲线连接这五个点．
（2）由题意，得点的“关联点”为，
由点在抛物线上，可得，，
又∵在抛物线上，∴，
解得x=2．将x=2代入，得（2，2），
（3）点的“待定关联点”为 ，
∵在抛物线的图像上，
∴．
∴n-nx=0，n（1-x）=0．又∵n≠0，∴x=1．
当x=1时，，故可得（1，1-n）．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象和性质，读懂题意，理解关联点的意义是解题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，抛物线经过、两点．
（1）当该抛物线经过点时，求该抛物线的表达式；
（2）在（1）题的条件下，点为该抛物线上一点，且位于第三象限，当时，求点的坐标；
（3）如果抛物线的顶点位于内，求的取值范围．
【来源】专题19 二次函数（二）（考点）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
答案:（1）；（2）；（3）．
分析：
（1）将点、、代入抛物线，利用待定系数法即可求解；
（2）先证明△AOC≌△EOB(ASA)得出E(0，-1)，利用待定系数法求出直线PB的解析式，根据P是直线与抛物线的交点，联立解析式即可求出P点的坐标；
（3）根据抛物线经过、，求得抛物线解析式， 从而表示出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式，当x=1时，y=2，根据D位于内部，列出关于a的不等式即可求解．
【详解】
（1）将点A(−1，0)、B(3，0)、C(0，3)代入抛物线y=ax2+bx+c
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3．
（2）如图：
∵B(3，0)、C(0，3)，
∴OB=OC
∴∠OBC=∠OCB
当∠PBC=∠ACB时，则∠PBC-∠OBC=∠ACB-∠OCB
即∠PBO=∠ACO
设PB交y轴于点E，
在△AOC和△EOB中
，
∴△AOC≌△EOB(ASA)
∴OE=OA=1
∴E(0，-1)
设PB的解析式为y=mx+n
将B(3，0)，E(0，-1)代入
得，
解得，
∴直线PB的解析式为y=x-1，
联立解析式，
解得，，
∴P(− ， ) ．
（3）如图，
∵y=ax2+bx+c经过A(−1，0)、B(3，0)
∴y=a(x+1)(x-3)=ax2−2ax−3a
∴对称轴为直线x=−=1 ，顶点D的坐标为（1，-4a）
由B(3，0)、C(0，3)易得BC解析式为y=-x+3
当x=1时，y=2
因此当D位于△BOC内时
0＜-4a＜2
解得＜a＜0
即a的取值范围是 ＜a＜0．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、全等三角形的性质和判定，证得△AOC≌△EOB，从而得到E的坐标是解题的关键．
16．在平面直角坐标系xOy中，如果抛物线上存在一点A，使点A关于坐标原点O的对称点也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点A叫做这条抛物线的回归点．
（1）已知点M在抛物线上，且点M的横坐标为2，试判断抛物线是否为回归抛物线，并说明理由；
（2）已知点C为回归抛物线的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与x轴交于点D．连接CO并延长，交该抛物线于点E．点F是射线CD上一点，如果，求点F的坐标．
【来源】专题19 二次函数（二）（考点）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
答案:（1）抛物线是回归抛物线；理由见解析；（2）；（3）
分析：
（1）先求出点M的坐标，再求出点M关于原点对称的点的坐标，最后代入二次函数，根据回归抛物线的定义即可得出答案；
（2）先求出点C关于原点对称的点的坐标，再将的坐标代入二次函数解析式，即可求出的值，从而得出抛物线的表达式；
（3）先求出抛物线的对称轴，再根据题意求出点C和点D的坐标；根据直线OC与抛物线的交点为E求出点E的坐标；从而求出CD、CE的值；然后根据相似三角形的判定和性质求出CF的值，即可求出点F的坐标．
【详解】
解：（1）M横坐标为2，
M纵坐标为4，
则．
关于原点O的对称点为；
当时，．
所以在抛物线上；
因此抛物线是回归抛物线；
（2）关于原点O的对称点为，
又因为点C是这条抛物线的回归点，
因此在抛物线上；
∴，解得
∴
（3）由（2）可知，对称轴为，
抛物线的对称轴与x轴交于点D，
点D的坐标为（-1,0），
由（2）知，，
点C的坐标为（-1,2），
设OC所在直线解析式为：，
将，代入得
，
解得：，
OC所在直线解析式为，
，
解得或，
点E的坐标为（1，-2），
即，，，
在和中：
，
，
．
，
，
，
∴．
【点睛】
本题考查了新定义函数、求一次函数解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定及性质，将新定义的函数与一次函数及二次函数相结合是解题的关键．
17．在平面直角坐标系中（如图）．已知点，点，点．如果抛物线恰好经过这三个点之中的两个点．
（1）试推断抛物线经过点A、B、C之中的哪两个点？简述理由；
（2）求常数a与b的值：
（3）将抛物线先沿与y轴平行的方向向下平移2个单位长度，再与沿x轴平行的方向向右平移个单位长度，如果所得到的新抛物线经过点．设这个新抛物线的顶点是D．试探究的形状．
【来源】专题19 二次函数（二）（考点）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
答案:（1）点A、B在抛物线上，理由见解析；（2），；（3）等腰直角三角形
分析：
（1）轴，故B、C中只有一个点在抛物线上，算出AC的解析式，交y轴于点，抛物线与y轴也交于点，故C不符要求，由此解答即可；
（2）把A、B点的坐标代入解析式，由此解答即可；
（3）由平移可得新的解析式，代入得出D点的坐标，再判断三角形的形状．
【详解】
（1）∵轴，故B、C中只有一个点在抛物线上，
∵，交y轴于点．
且抛物线与y轴也交于点，故C不符要求．
∴点A、B在抛物线上
（2）代入A、B到．
，
∴
（3）
∴
代入到，（舍），，
∴
∴，，
∴，，
∴．
∴是等腰直角三角形
【点睛】
本题考查了与待定系数法求二次函数解析式及判断点是否在图像上，平移变换勾股定理等知识，求解析式是解题的关键．
18．在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于点，顶点的坐标为．
（1）直接写出点的坐标，并求抛物线的表达式；
（2）设点在轴上，且，直线与抛物线的另一个交点为点．
①求点、的坐标；
②将抛物线沿着射线的方向平移；平移后的抛物线顶点仍在线段上；点的对应点为点．设线段与轴的交点为点，如果与相似，求点的坐标．
【来源】上海市普陀区2020-2021学年九年级上学期质量调研数学试题
答案:（1），；（2）①，；②坐标为
分析：
（1）根据抛物线与轴的交点是当x=0时，求y的值即可，根据顶点坐标设顶点式：，再将点代入即可求解；
（2）①根据，先求出C的坐标，根据待定系数法求出直线AC的解析式，联立直线与抛物线即可得D点坐标；②先根据待定系数法求出直线BD的解析式，根据相似的性质即可求解．
【详解】
解：（1）当x=0时，y=1
∴．
∵顶点
，
将代入得：1=4a-1
解得：a=
（2）如图：
设直线AB的解析为:y=kx+1，
将B(2,-1)代入得:-1=2k+1
解得：k=-1
∴y=-x+1
当y=0时，x=1
∴Q(1,0)
故△AOQ是等腰直角三角形
∴∠BAO=45°
①
或（舍），
②
，
设，，，，
1）若
，
2）若
．
此时点横向移动距离大于点最大横向移动距离（舍）
综上，点坐标为．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象及性质，以及相似三角形的性质，熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点和与y轴交于点C．
（1）求这个抛物线的表达式；
（2）如果点P是抛物线位于第二象限上一点，PC交x轴于点D，．
①求P点坐标；
②点Q在x轴上，如果，求点Q的坐标．
【来源】上海卷06-2021年《三步冲刺中考�数学》（上海专用）之第3步中考热身卷
答案:（1）；（2）①， ②，
分析：
（1）把A、B两点的坐标代入解析式，解二元一次方程组即可；
（2）①根据，求出P点纵坐标，代入解析式即可；
②延长CB交x轴于的E，连接EP，则E点坐标为（-2,0），PE⊥x轴，当Q点在点A右侧时，△CEP≌△CAQ，AQ=PE，可求Q点坐标，当Q点在点A左侧时，过A作AM⊥x轴，交AQ于点M，△CEP≌△CAM，AM=PE,可求Q点坐标．
【详解】
解：（1）把、代入得
解得,
∴抛物线的解析式为
（2）①过点P作PF⊥x轴，垂足为F，易知△PFD∽△COD，
∵OC=2，
∴，
把代入得，
，
解得，
∵点P在第二象限，
∴，
∴P点坐标为，
②如图，当点Q在点A右侧，延长CB交x轴于的E，连接EP，
∵C（0，-2） ，B（-1，-1）
∴直线BC的解析式为y=-x-2，∴E点坐标为（-2,0），
∴△ACE是等腰直角三角形，
AC=CE，∠CAE=∠CEA=45°，
∵，∴PE⊥x轴，
∴∠CEP=∠CAQ=135°
又∵∠PCB=∠ACQ
∴△CEP≌CAQ
∴AQ=PE=
∴Q点坐标为
如图，当点Q在点A右侧，延长CB交x轴于的E，连接EP，过点A作AM垂直于x轴，直线CQ于点M，同理可证，△CEP≌△CAM，
∴AM=PE=，
∵， C（0，-2）
∴直线CM的解析式为y=x-2，
∴Q点坐标为
故Q点坐标为或
【点睛】
本题考查了用待定系数法求抛物线解析式和一次函数解析式、相似三角形的性质、全等三角形的形的性质，注意图形与坐标之间的联系，巧妙的依据已知条件构建全等三角形是解题关键
20．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，若点D是抛物线上第一象限内的一动点，设点D的横坐标为m，连接CD，BD，BC，AC，当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求m的值；
（3）如图2，若点N为抛物线对称轴上一点，探究抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【来源】考点13 代数几何综合问题（一）（二次函数与其他知识综合）-2021年《三步冲刺中考�数学》（上海专用）之第1步小题夯基础
答案:（1）；（2）1或2；（3）存在，点M的坐标为或或
分析：
（1）把点A、B的坐标代入二次函数解析式进行求解即可；
（2）过点D作y轴平行线交BC于点E，由题意易得C点坐标是（0，2），然后可得直线BC的解析式，然后可表示点E坐标，进而可根据铅垂法进行表示△BCD的面积，最后问题可进行求解；
（3）设点M的坐标为：（x，y），点N（1，s），点B（3，0）、C（0，2），根据题意易得当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，可分①当BC是平行四边形的边时，②当BC为对角线时，然后根据平行四边形的性质及中点坐标公式可求解．
【详解】
解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2中，得：，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）过点D作y轴平行线交BC于点E，
把x＝0代入中，得：y＝2，
∴C点坐标是（0，2），
又∵B（3，0），
∴直线BC的解析式为y＝x+2，
∵点D（m，），
∴E（m，m+2），
∴DE＝（）﹣（m+2）＝m2+2m，
由S△BCD＝2S△AOC得：×DE×OB＝2××OA×OC，
∴（m2+2m）×3＝2××1×2，
整理得：m2﹣3m+2＝0
解得：m1＝1，m2＝2
∵0＜m＜3
∴m的值为1或2；
（3）存在，理由：
设点M的坐标为：（x，y），y＝，则有点N（1，s），点B（3，0）、C（0，2），
①当BC是平行四边形的边时，
当点C向右平移3个单位，向下平移2个单位得到B，
同样点M（N）向右平移3个单位，向下平移2个单位N（M），
故：x+3＝1，y﹣2＝s或x﹣3＝1，y+2＝s，
解得：x＝﹣2或4，
故点M坐标为：（﹣2，）或（4，）；
②当BC为对角线时，
由中点公式得：x+1＝3，y+s＝2，
解得：x＝2，故点M（2，2）；
综上，M的坐标为：（2，2）或（﹣2，）或（4，）．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合，关键是根据题意得到函数解析式，然后利用平行四边形的存在性问题可进行分析．
21．如图，在平面直角坐标系中，点和点，点C在x轴上（不与点A重合），
（1）当与相似时，请直接写出点C的坐标（用m表示）；
（2）当与全等时，二次函数的图像经过A、B、C三点，求m的值，并求出点C的坐标；
（3）P是（2）的二次函数的图像上一点，，求点P的坐标及的度数．
【来源】上海市曹杨二中附属江桥实验中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题
答案:（1）（m，0）或（4m，0）或（-4m，0）；（2）m=2，C（2，0）；（3）P（，1）∠ACP=75°或P（，1），∠ACP=15°
分析：
（1）分类讨论：△BOC∽△BOA，△BOC∽△AOB，根据相似三角形的性质，可得答案；
（2）根据全等三角形的性质，可得C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（3）根据相似三角形的性质，可得关于a的方程，根据解方程，可得a的值可得p点坐标，分类讨论：当点P的坐标为（，1）时，根据正弦函数据，可得∠COP的度数，根据等腰三角形得到性质，可得答案； 当点P的坐标为（-，1）时，根据正弦函数据，可得∠AOP的度数，根据三角形外角的性质，可得答案．
【详解】
解：（1）若△BOC∽△BOA，
则，则，
∴OC=m，即点C的坐标为（m，0）；
若△BOC∽△AOB，
则，则，
∴OC=4m，即点C的坐标为（±4m，0）；
∴点C的坐标为（m，0）或（4m，0）或（-4m，0）；
（2）当△BOC与△AOB全等时，点C的坐标为（m，0），
二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A、B、C三点，
，解得，
∴二次函数解析式为y=-x2+4，点C的坐标为（2，0）；
（3）作PH⊥AC于H，设点P的坐标为（a，-a2+4），
∵∠AHP=∠PHC=90°，∠APH=∠PCH=90°-∠CPH，
∴△APH∽△PCH，
∴，
即PH2=AH•CH，
（-a2+4）2=（a+2）（2-a）．
解得a=或a=，即P（，1）或（，1），
如图，
当点的坐标为，时，，，
，
；
当点的坐标为，时，，．
由三角形外角的性质，得，即．
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，（1）利用了相似三角形的性质，分类讨论是解题关键；（2）利用全等三角形的性质，解三元一次方程组；（3）利用了相似三角形的性质，分类讨论是解题关键，正弦函数及等腰三角形的性质，三角形外角的性质．
22．如图，点A（2，6）和点B（点B在点A的右侧）在反比例函数的图象上，点C在y轴上，纵坐标为2，BCx轴，BC＝3OC，二次函数的图象经过A、B、C三点．
（1）求反比例函数和二次函数的解析式；
（2）如果点D在x轴的正半轴上，点E在反比例函数的图象上，四边形ACDE是平行四边形，求边CD的长．
【来源】上海市静安区回民中学2020-2021学年九年级上学期第一次月考数学试题
答案:（1）；（2）或
分析：
（1）设反比例函数的解析式为y＝，由A的坐标可求出k的值，再设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+2，把A和B的坐标代入求出a和b的值即可求出二次函数的解析式；
（2）当AC为边时，延长AC交x轴于G，作EH⊥x轴，垂足为H，利用已知条件可证明△ACM≌△EDH，由全等三角形的性质可得：EH＝AM＝4，DH＝CM＝2，进而求出点E（3，4），所以OH＝3，OD＝OE﹣DH＝1，利用勾股定理即可求出CD的长；当AC为对角线时，可设D（t，0），由A、C坐标可求得线段AC的中点，则可用t表示出E点坐标，代入反比例函数解析式可求得t的值，则可求得点D的坐标，利用勾股定理可求得CD的长．
【详解】
解：（1）设反比例函数的解析式为y＝，
∵点A（2，6）在反比例函数的图象上，
∴6＝，
∴k＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝，
根据题意得点C的坐标（0，2）．
∵BC∥x轴，BC＝3OC，
∴点B的坐标（6，2）
设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+2，
则，解得，
故二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+2．
（2）①当AC为边时，延长AC交x轴于G，作EH⊥x轴，垂足为H，作AM⊥BC，垂足为M，交x轴于N，
如图所示：
∵在平行四边形ACDE中，AC∥DE，
∴∠AGO＝∠EDH，
∵BC∥x轴，
∴∠ACM＝∠AGO，
∴∠ACM＝∠EDH．
在△ACM和△EDH中，
，
∴△ACM≌△EDH（AAS），
∴EH＝AM＝4，DH＝CM＝2．
∵E点纵坐标为4，点E在反比例函数y＝图象上，
∴x＝3，
∴点E（3，4），
∴OH＝3，OD＝OH﹣DH＝1，
∴CD2＝OC2+OD2＝22+12＝5，
∴CD＝．
②当AC为对角线时，设点，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AC与DE互相平分，
由（1）得：，
由中点坐标公式可得：点，
∴把点代入反比例函数解析式得：，
解得：，
∴，
∴在Rt△COD中，，
综上所述：或．
【点睛】
本题主要考查二次函数与反比例函数的综合及平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的性质、反比例函数及平行四边形的性质是解题的关键．
23．如图，在平面直角坐标系中，有一条抛物线，和轴交于和两点．直线，分别和抛物线交于除了原点以外的和两点．已知：和相似．
（1）试求抛物线的解析式．
（2）在轴上是否存在点，使得和相似．如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请证明你的结论．
【来源】上海市兰生复旦2018-2019学年九年级上学期 9月月考数学试题
答案:（1）；（2）存在，或．
分析：
（1）先分别联立两条直线与抛物线的解析式求出点B、C的坐标，再根据抛物线的解析式可得点A的坐标，然后根据两点之间的距离公式可得OA、OB、OC的值，最后根据相似三角形的性质可求出m的值，由此即可得出答案；
（2）设点P的坐标为，先根据相似三角形的性质、角的和差可得，从而可得出点P必在x轴的负半轴上，再根据两点之间的距离公式可得OB、AB、AC的值，然后根据相似三角形的定义分两种情况，分别根据相似三角形的性质求解即可得．
【详解】
（1）∵点B为与除了原点以外的交点，
∴联立，
解得或，
，
同理可得：，
对于，
当时，，解得或，
，
，，，
由直线和的解析式得：，
又∵和相似，
∴或，
即或（无解，舍去），
解得或（舍去），
则抛物线的解析式为；
（2）存在，求解过程如下：
设点P的坐标为，
由（1）可知，，
，
，
，
，即，
要使和相似，只能是，
点P必在x轴的负半轴上，
，
由（1）可知，，
，
，
，
根据相似三角形的定义，分以下两种情况：
①当时，
则，即，
解得，
此时点P的坐标为；
②当时，
则，即，
解得，
此时点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质、一次函数与二次函数的综合、两点之间的距离公式等知识点，较难的是题（2），正确分两种情况讨论是解题关键．
24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于点A（−3,0）和点B，与y轴相交于点C（0,3），抛物线的顶点为点D．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）联结AD、AC、CD，求∠DAC的正切值；
（3）如果点P是原抛物线上的一点，且∠PAB=∠DAC，将原抛物线向右平移m个单位（m>0），使平移后新抛物线经过点P，求平移距离．
【来源】2020年上海市浦东新区九年级中考三模数学试题
答案:(1)，（-1，4）； (2) ；(3) 平移距离为或
分析：
（1）利用待定系数法构建方程组即可解决问题．
（2）利用勾股定理求出AD，CD，AC，证明∠ACD=90°即可解决问题．
（3）过点P作x轴的垂线，垂足为H．设P（a，-a2-2a+3），可得PH=|-a2-2a+3|，AH=a+3，由∠PAB=∠DAC，推出tan∠PAB=tan∠DAC=．接下来分两种情形，构建方程求解即可．
【详解】
解：（1）抛物线交轴于点，交轴于点，
根据题意，得：
解得,.
∴抛物线的表达式是，顶点的坐标为（-1，4）；
（2）∵A（-3，0），C（0，3），D（-1，4），
∴，
，
，
∵
∴，
∴，
∴；
（3）过点作轴垂线，垂足为点，
∵点是抛物线上一点，
∴设，可得，，
∵，
∴；
（ⅰ）， 解得（舍去），，
∴点的坐标为，
过点作轴平行线与抛物线交于点，则点与点关于直线对称，
由抛物线的对称性可得，
∴平移距离为；
（ⅱ），解得（舍去），，
∴点的坐标为，
过点作轴平行线与抛物线交于点，则点与点关于直线对称，
由抛物线的对称性可得，
∴平移距离为，
综上所述，平移距离为或．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，勾股定理的逆定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
25．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）经过点A，其顶点为C，直线y＝1与y轴交于点B，与抛物线交于点D（在其对称轴右侧），联结BC、CD．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）点P是y轴的负半轴上的一点，如果△PBC与△BCD相似，且相似比不为1，求点P的坐标；
（3）将∠CBD绕着点B逆时针方向旋转，使射线BC经过点A，另一边与抛物线交于点E（点E在对称轴的右侧），求点E的坐标．
【来源】2020年上海市普陀区中考数学二模试题
答案:（1）y＝x2﹣4x+3，C（2，﹣1）；（2）P（0，4﹣7）；（3）E（4，3）
分析：
（1）把点A的坐标代入抛物线的解析式中可得：a的值，从而得抛物线的解析式，配方得顶点C的坐标；
（2）根据∠DBC＝∠PBC＝45°，且相似比不为1，所以只能△CBP∽△DBC，列比例式可得BP的长，从而得点P的坐标；
（3）连接AC，过E作EH⊥BD于H，先根据勾股定理的逆定理证明△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，由等角三角函数得tan∠ABC＝tan∠EBD＝＝ ，设EH＝m，则BH＝2m，表示E（2m，m+1），代入抛物线的解析式，可得结论．
【详解】
解：（1）∵点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，
∴A（3，0），
把A（3，0）代入抛物线y＝ax2﹣4ax+3中得：0＝9a﹣12a+3，
∴a＝1，
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，
y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴C（2，﹣1）；
（2）当y＝1时，x2﹣4x+3＝1，
解得：x1＝2﹣，x2＝2+，
由题意得：D（2+，1），
∵B（0，1），C（2，﹣1），
∴BC＝＝2，BD＝2+，
∵∠DBC＝∠PBC＝45°，且相似比不为1，
只能△CBP∽△DBC，
∴，即，
∴BP＝8﹣4，
∴P（0，4﹣7）；
（3）连接AC，过E作EH⊥BD于H，
由旋转得：∠CBD＝∠ABE，
∴∠EBD＝∠ABC，
∵AB2＝32+12＝10，BC2＝22+22＝4，AC2＝12+12＝2，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴tan∠ABC＝＝，
∴tan∠EBD＝＝，
设EH＝m，则BH＝2m，
∴E（2m，m+1），
∵点E在抛物线上，
∴（2m）2﹣4×2m+3＝m+1，
4m2﹣9m+2＝0，
解得：m1＝2，m2＝（舍），
∴E（4，3）．
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合应用，结合的相似三角形、三角函数表示等知识点，综合理解能力要求比较高。
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A(﹣1，0)和点B(3，0)，该抛物线对称轴上的点P在x轴上方，线段PB绕着点P逆时针旋转90°至PC（点B对应点C），点C恰好落在抛物线上．
（1）求抛物线的表达式并写出抛物线的对称轴；
（2）求点P的坐标；
（3）点Q在抛物线上，联结AC，如果∠QAC＝∠ABC，求点Q的坐标．
【来源】专题19 二次函数（二）（考点）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
答案:（1）y＝﹣x2+2x+3，x＝1；（2）(1，1)；（3）(，﹣)
分析：
（1）将点A、B坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）证明△PMC≌△BNP（AAS），则PM＝BN，MC＝PN，即可求解；
（3）设MH＝3x，用x表示AM、GM，利用AG＝AM+GM＝，求出x的值；在△AOH中，OH＝，求得点H的坐标，即可求解．
【详解】
（1）将点A、B坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3①；
函数的对称轴为：x＝1；
（2）设点C（m，n），则n＝﹣m2+2m+3，点P（1，s），
如图1，设抛物线对称轴交x轴于点N，过点C作CM⊥PN交抛物线对称轴于点M，
∵∠PBN+∠BPN＝90°，∠BPN+∠MPC＝90°，
∴∠MPC＝∠PBN，
∵∠PMC＝∠BNP＝90°，PB＝PC，
∴△PMC≌△BNP（AAS），
∴PM＝BN，MC＝PN，
∴ ，解得：，
故点C（2，3），点P（1，1）；
故点P的坐标为（1，1）；
（3）设直线AC交y轴于点G，直线AQ交y轴于点H，
由（2）知，点C（2，3），而点A（﹣1，0），
过点C作CK⊥x轴于点K，则CK＝AK＝3，
故直线AC的倾斜角为45°，故∠AGO＝∠GAO＝45°，
∴tan∠ABC＝＝3
∵∠QAC＝∠ABC，
∴tan∠QAC＝3；
在△AGH中，过点H作HM⊥AG于点M，设MH＝3x，
∵∠AGO＝45°，则GO＝AO＝1，
∴MG＝MH＝3x，
∵tan∠QAC＝3，则AM＝x，
AG＝AM+GM＝x+3x＝＝，
解得：x＝，
在△AHM中，AH＝＝x＝，
在△AOH中，OH＝＝，故点H（0，﹣），
由点A、H的坐标得，直线AH的表达式为：y＝﹣x﹣②，
联立①②并解得：x＝﹣1（舍去）或，
故点Q的坐标为：（，﹣）．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、三角形全等、解直角三角形等，本题的难点是用解三角形的方法求点H的坐标．
27．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣4ax+3的图象与x轴正半轴交于点A、B，与y轴相交于点C，顶点为D，且tan∠CAO＝3．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点P是对称轴右侧抛物线上的点，联结CP，交对称轴于点F，当S△CDF：S△FDP＝2：3时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将△PCD沿直线MN翻折，当点P恰好与点O重合时，折痕MN交x轴于点M，交y轴于点N，求的值．
【来源】热点06 二次函数综合题-2021年《三步冲刺中考�数学》（上海专用）之第2步大题夺高分
答案:（1）y＝x2﹣4x+3；（2）(5，8)；（3）
分析：
（1）在Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝3，求出点A的坐标，即可求解；
（2）利用，即可求解；
（3）证明∠ONM＝∠POH，则．
【详解】
解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣4ax+3的图象与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，3），
∴OC＝3，
连接AC，在Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝3，
∴OA＝1，
将点A（1，0）代入y＝ax2﹣4ax+3，得a﹣4a+3＝0，
解得：a＝1．
所以，这个二次函数的解析式为 y＝x2﹣4x+3；
（2）过点C作CG⊥DF，过点P作PQ⊥DF，垂足分别为点G、Q．
∵抛物线y＝x2﹣4x+3的对称轴为直线x＝2，
∴CG＝2，
∵，
∴PQ＝3，
∴点P的横坐标为5，
∴把x＝5代入y＝x2﹣4x+3，得 y＝8，
∴点P的坐标为（5，8）；
（3）过点P作PH⊥OM，垂足分别为点H，
∵点P的坐标为（5，8），
∴OH＝5，PH＝8，
∵将△PCD沿直线MN翻折，点P恰好与点O重合，
∴MN⊥OP，
∴∠ONM+∠NOP＝90°，
又∵∠POH+∠NOP＝90°，
∴∠ONM＝∠POH，
∴．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、图象的翻折、面积的计算等，具有一定的综合性，难度适中．
28．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点，且OA＝OB，抛物线的顶点为M，联结AB、AM．
（1）求这条抛物线的表达式和点M的坐标；
（2）求sin∠BAM的值；
（3）如果Q是线段OB上一点，满足∠MAQ＝45°，求点Q的坐标．
【来源】2021年上海市浦东新区第四教育署中考数学调研试卷（3月份）
答案:（1）y＝﹣x2+2x+3，顶点M（1，4）；（2）；（3）Q（0，1）．
分析：
（1）抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于B点，令x=0得y=3，可得B（0，3），而AO=BO可得A（3，0），然后用待定系数法解答即可；
（2）先说明∠MBA=90°，则即可；
（3）先明∠BAM=∠OAQ，然后运用正弦、正切的定义求解即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于B点，
令x＝0得y＝3，
∴B（0，3），
∵AO＝BO，
∴A（3，0），
把A（3，0）代入y＝﹣x2+bx+3，得﹣9+3b+3＝0，
解得b＝2，
∴这条抛物线的表达式y＝﹣x2+2x+3，
顶点M（1，4）；
（2）∵A（3，0），B（0，3）M（1，4），
∴BM2＝2，AB2＝18，AM2＝20，
∴∠MBA＝90°，
∴；
（3）∵OA＝OB，
∴∠OAB＝45°
∵∠MAQ＝45°，
∴∠BAM＝∠OAQ，
由（2）得，
∴，
∴，
∴，
∴OQ＝1，
∴Q（0，1）．
【点睛】
本题属于二次函数综合运用，主要考查了二次函数的图像性质、解直角三角形、勾股定理的逆定理等知识点，灵活应用所学知识是解答本题的关键．
29．在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线y＝﹣+bx+c(其中b、c是常数)经过点A(﹣2，﹣2)与点B(0，4)，顶点为M．
（1）求该抛物线的表达式与点M的坐标；
（2）平移这条抛物线，得到的新抛物线与y轴交于点C(点C在点B的下方)，且△BCM的面积为3．新抛物线的对称轴l经过点A，直线l与x轴交于点D．
①求点A随抛物线平移后的对应点坐标；
②点E、G在新抛物线上，且关于直线l对称，如果正方形DEFG的顶点F在第二象限内，求点F的坐标．
【来源】热点06 二次函数综合题-2021年《三步冲刺中考�数学》（上海专用）之第2步大题夺高分
答案:（1）；顶点M的坐标是：(2，6)；（2）①点A对应点的坐标为(﹣6，﹣5)；②F(﹣2，)．
分析：
（1）根据抛物线y＝﹣+bx+c(其中b、c是常数)经过点A(﹣2，﹣2)与点B(0，4)，从而可以求得抛物线的解析式，然后将解析式化为顶点式，即可得到顶点M的坐标；
（2）①根据新抛物线的对称轴l经过点A，可得新抛物线的顶点为(-2,k)，设平移后新抛物线的解析式为，可得C点坐标，由面积列方程求出k，从而可以得到点A随抛物线平移后的对应点坐标；
②根据题意和正方形的性质，设F(﹣2，2a)、E(﹣2+a，a)．将E代入（2）的解析式中即可求出a，继而解题．可以求得点F的坐标．
【详解】
解：（1）将A(﹣2，﹣2)、B(0，4)代入中，
解得
∴该抛物线的表达式为：；
∵y＝x2+2x+4＝(x﹣2)2+6，
∴顶点M的坐标是：(2，6)；
（2）①∵平移后抛物线的对称轴经过点A(﹣2，﹣2)，
∴可设平移后的抛物线表达式为：，
∴C(0，﹣2+k)．
∴，
解得，k＝3．
∴，
即原抛物线向左平移4个单位，向下平移3个单位可以得到新的抛物线．
∴点A对应点的坐标为(﹣6，﹣5)；
②设EG与DF的交点为H． 在正方形DEFG中，EG⊥DF，EG＝DF＝2EH＝2DH．
∵点E、G是这条抛物线上的一对对称点，
∴EG∥x轴．
∴DF⊥x轴，
设F(﹣2，2a)．
∵点F在第二象限内，
∴a＞0．
∴EG＝DF＝2EH＝2DH＝2a．
不妨设点E在点G的右侧，那么E(﹣2+a，a)．
将点E代入，得，
解得，，(不合题意，舍去)．
∴F(﹣2，)．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合，涉及待定系数法求解析式、函数图象的平移、二次函数的性质、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
30．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点，且与轴相交于点，点的横坐标为6，抛物线顶点为点．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；
（2）过点作，在直线上点取一点，使得，求点的坐标；
（3）将该抛物线向左平移个单位，所得新抛物线与轴负半轴相交于点且顶点仍然在第四象限，此时点移动到点的位置，，求的值．
【来源】2019年上海市长宁区九年级下学期二模数学试题
答案:（1）；（2）；（3）．
分析：
（1）将点O，点A坐标代入解析式可求抛物线的表达式和顶点B的坐标；
（2）由点A，点B坐标可求直线AB解析式，即可求直线OP解析式为：y=x，设点Q（3k，4k），可证四边形OQAP为等腰梯形，可得OB=QA，由两点距离公式可求k的值，即可求点Q坐标；
（3）过点B分别做作x、y轴垂线，垂足分别为点E、F，由题意可证△BCF∽△BDE，可得，可得，可得，可得关于m的方程，即可求m的值．
【详解】
（1）∵点、在抛物线上
∴，解得
∴抛物线的解析式为，
∴顶点B的坐标是；
（2）如图，
∵，
∴直线AB解析式为：y=x-8，
∵
∴直线OP解析式为：y=x，
设点，
∵∠OBA=∠QAB＞∠OAB，
∴k＞0
∵OP平行于AB，QA不平行于OB
∴四边形OQAB为梯形
又∵∠QAB=∠OBA
∴四边形OQAB为等腰梯形
∴QA=OB
∴（6-3k）2+（4k）2=25
∴或（舍去）
∴
（3）由（1）知
设抛物线向左平移个单位后的新抛物线表达式为
∵新抛物线与y轴负半轴相交于点C且顶点仍然在第四象限，设点C的坐标为C（0，c）
∴0＜m＜3，-4＜c＜0，
如图，过点B分别做作x、y轴垂线，垂足分别为点E、F
∴且
∴∽
∴
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∴或者（舍去）
∴
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，等腰梯形的性质，两点距离公式，相似三角形的判定和性质，找到关于m的等式是本题的关键．
31．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线经过点和，其顶点为C．
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）我们把坐标为（n，m）的点叫做坐标为（m，n）的点的反射点，已知点M在这条抛物线上，它的反射点在抛物线的对称轴上，求点M的坐标；
（3）点P是抛物线在第一象限部分上的一点，如果∠POA=∠ACB，求点P的坐标．
【来源】上海卷02-2021年《三步冲刺中考�数学》（上海专用）之第3步中考热身卷
答案:（1），顶点C的坐标为：（1,4）；（2）点M的坐标为（，1）或（，1）；（3）点P的坐标为（，）.
分析：
（1）将点和代入即可求出；
（2）设点M的坐标为（n，m），则其反射点的坐标为（m，n），根据点M的反射点在抛物线的对称轴上得到m=1，即M(n，1)，将点M坐标代入解析式求出n即可得到坐标；
（3）根据点和求出AB=，过点C作CM⊥y轴与M，根据C(1，4)，求出CM=BM=1，推出∠ABC=90°，，设点P的坐标为（x， ），过点P作PF⊥x轴于F，则∠OFP=∠ABC=90°，证明△POF∽△CAB，列关系式求出x即可得到点P的坐标.
【详解】
（1）将点和代入得
，解得，
∴=，
∴顶点C的坐标为：（1,4）；
（2）设点M的坐标为（n，m），则其反射点的坐标为（m，n），
∵点M的反射点在抛物线的对称轴上，
∴m=1，即M(n，1)，
代入中，得，
∴，
∴点M的坐标为（，1）或（，1）；
（3）∵点和，
∴OA=OB=3，
∴AB=，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
过点C作CM⊥y轴与M，
∵C(1，4)，
∴CM=BM=1，
∴∠CBM=∠BCM=45°，
∴∠ABC=90°，
∴，
设点P的坐标为（x， ），
过点P作PF⊥x轴于F，则∠OFP=∠ABC=90°，
∵∠POA=∠ACB，
∴△POF∽△CAB，
∴,
∴，
解得x=或x=（不合题意，舍去），
∴=，
∴点P的坐标为（，）.
【点睛】
此题考查待定系数法，求函数的顶点坐标，根据解析式求出点的坐标，相似三角形的性质及判定，勾股定理，是一道二次函数的综合题.
32．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）．
（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D，点P的对应点为点Q，当OD⊥DQ时，求抛物线平移的距离．
【来源】考点11 函数综合问题-2021年《三步冲刺中考�数学》（上海专用）之第1步小题夯基础
答案:（1）y＝x2﹣4x+3，抛物线顶点坐标是（2，﹣1）；（2）P（，）；（3）抛物线平移的距离为．
分析：
（1）由抛物线的对称性质得到点B的坐标，把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出方程组，通过解方程组求得系数的值；根据抛物线解析式求得顶点坐标；
（2）过点P作PN⊥x轴于N，过点C作CM⊥PN，交NP的延长线于点M，构造矩形COMN和直角三角形，利用锐角三角函数的定义求得 ，故设PM=a，MC=3a，PN=3-a．易得P（3a，3-a），由二次函数图象上点的坐标特征列出关于a的方程，通过解方程求得a的值，易得点P的坐标；
（3）设抛物线平移的距离为m，得y=（x-2）2-1-m．从而求得D（2，-1-m）．过点D作直线EF∥x轴，交y轴于点E，交PQ延长线于点F．易推知∠EOD=∠QDF，则tan∠EOD=tan∠QDF，根据锐角三角函数定义列出关于m的方程，通过解方程求得m的值．
【详解】
解：（1）∵对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0），
∴点B的坐标是（3，0）．
将A（1，0），B（3，0）分别代入y＝x2+bx+c，得
．
解得．
则该抛物线解析式是：y＝x2﹣4x+3．
由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1知，该抛物线顶点坐标是（2，﹣1）；
（2）如图1，过点P作PN⊥x轴于N，过点C作CM⊥PN，交NP的延长线于点M，
∵∠CON＝90°，
∴四边形CONM是矩形．
∴∠CMN＝90°，CO＝MN、
∴y＝x2﹣4x+3，
∴C（0，3）．
∵B（3，0），
∴OB＝OC＝3．
∵∠COB＝90°，
∴∠OCB＝∠BCM＝45°．
又∵∠ACB＝∠PCB，
∴∠OCB﹣∠ACB＝∠BCM﹣∠PCB，即∠OCA＝∠PCM．
∴tan∠OCA＝=tan∠PCM．
∴．
故设PM＝a，MC＝3a，PN＝3﹣a．
∴P（3a，3﹣a），
将其代入抛物线解析式y＝x2﹣4x+3，得（3a）2﹣4（3﹣a）+3＝3﹣a．
解得a1＝，a2＝0（舍去）．
∴P（，）．
（3）设抛物线平移的距离为m，得y＝（x﹣2）2﹣1﹣m．
∴D（2，﹣1﹣m）．
如图2，过点D作直线EF∥x轴，交y轴于点E，交PQ延长线于点F，
∵∠OED＝∠QFD＝∠ODQ＝90°，
∴∠EOD+∠ODE＝90°，∠ODE+∠QDP＝90°．
∴∠EOD＝∠QDF．
∴tan∠EOD＝tan∠QDF，
∴．
∴．
解得m＝．
故抛物线平移的距离为．
【点睛】
要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
33．在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与x轴交于点A(－1,0)和点B，与y轴交于点C(0,－2)．
（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴
（2）点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，四边形ACEF为梯形，求点F的坐标
（3）点D为该抛物线的顶点，设点P(t, 0)，且t＞3，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值．
【来源】考点13 代数几何综合问题（一）（二次函数与其他知识综合）-2021年《三步冲刺中考�数学》（上海专用）之第1步小题夯基础
答案:（1），对称轴为直线x＝1；（2）点F的坐标是（1，4）；（3）t的值为5
分析：
（1）根据待定系数法可求抛物线的表达式，进一步得到对称轴即可；
（2）因为AC与EF不平行，且四边形ACEF为梯形，所以有CE∥AF，得到∠FAE＝∠OEC，利用tan∠FAE=tan∠OEC，即可求出EF，得到点F的坐标；
（3）计算出抛物线的顶点坐标，以及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，根据t﹥3，得出得点P在点B的右侧，表达出S△BPD与S△CDP，列出方程即可求出t的值．
【详解】
解：（1）点A（－1，0）和点C（0，－2）在抛物线上，
∴，解得
∴该抛物线的表达式为：
该抛物线的对称轴为直线x＝1
（2）∵点E为该抛物线对称轴与x轴的交点，
∴E（1，0）
∵AC与EF不平行，四边形ACEF为梯形，AC与y轴的交点为点C，
∴AF∥CE，
∴∠FAE＝∠OEC
在Rt△AEF中，∠AEF＝90°，
在Rt△OEC中，，
∴．
∵OC＝2，OE＝1，AE＝2，
∴，
解得EF＝4
∴点F的坐标是（1，4）
（3）∵，
∴抛物线的顶点D的坐标是，
∵点A（－1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标（3，0）
由点P（t，0），且t﹥3，得点P在点B的右侧，
过点D作DM⊥x轴于点M，
则，
即
∵，
∴
∴t＝5
即符合条件的t的值为5．
【点睛】
考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的表达式，锐角三角函数以及三角形的面积，解题的关键是灵活运用二次函数及几何知识求解．
34．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+mx+n经过点B（6，1），C（5，0），且与y轴交于点A．
（1）求抛物线的表达式及点A的坐标；
（2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作PQ⊥OA，交线段OA的延长线于点Q，如果∠PAB＝45°．求证：△PQA∽△ACB；
（3）若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点F′恰好在上述抛物线上，求FF′的长．
【来源】专题19 二次函数（二）（考点专练）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
答案:（1）y＝x2﹣x+5，点A坐标为（0，5）；（2）详见解析；（3）．
分析：
（1）将点B、C代入抛物线解析式y＝x2+mx+n即可；
（2）先证△ABC为直角三角形，再证∠QAP+∠CAB＝90°，又因∠AQP＝∠ACB＝90°，即可证△PQA∽△ACB；
（3）做点B关于AC的对称点B'，求出BB'的坐标，直线AB'的解析式，即可求出点F'的坐标，接着求直线FF'的解析式，求出其与AB的交点即可．
【详解】
解：（1）将B（6，1），C（5，0）代入抛物线解析式y＝x2+mx+n，
得
解得，m＝﹣，n＝5，
则抛物线的解析式为：y＝x2﹣x+5，点A坐标为（0，5）；
（2）∵AC＝，BC＝，AB＝，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，
当∠PAB＝45°时，点P只能在点B右侧，过点P作PQ⊥y 轴于点Q，
∴∠QAB+∠OAB＝180°﹣∠PAB＝135°，
∴∠QAP+∠CAB＝135°﹣∠OAC＝90°，
∵∠QAP+∠QPA＝90°，∴∠QPA＝∠CAB，
又∵∠AQP＝∠ACB＝90°，∴△PQA∽△ACB；
（3）做点B关于AC的对称点B'，则A，F'，B'三点共线，
由于AC⊥BC，根据对称性知点B'（4，﹣1），
将B'（4，﹣1）代入直线y＝kx+5，
∴k＝﹣，∴yAB'＝﹣x+5，
联立解得，x1＝，x2＝0（舍去），
则F'（，﹣），
将B（6，1），B'（4，﹣1）代入直线y＝mx+n，
得，解得，∴yBB'＝x﹣5，
由题意知，kFF'＝KBB'，∴设yFF'＝x+b，
将点F'（，﹣）代入，得，b＝﹣，
∴yFF'＝x﹣，
联立解得，
∴F（，），
则FF'＝＝．
【点睛】
本题考查了待定系数法求解析式，轴对称的性质，相似三角形的判定，交点坐标的求法等，解题关键是牢固掌握轴对称的性质，并能够灵活运用．
35．如图，已知抛物线的对称轴为直线，与x轴负半轴交于点，顶点为B，点在抛物线上，连接、、，交x轴于点E.
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接，求的值；
（3）点G为线段上一点，过点G作的垂线交x轴于点M（点M位于点E右侧），当与相似时，求点M的坐标.
【来源】专题19 二次函数（二）（考点专练）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
答案:（1）；（2）3；（3）点M的坐标为或
分析：
（1）由对称轴公式可求a的值，再将点A的坐标代入解析式即可求出表达式；
（2）先求B、C的坐标，利用勾股定理的逆定理判定，再根据正切的定义求解；
（3）分两种情况讨论：①当时，利用求出ME得到M坐标，②当时，过点B作轴于点F，推出且即可得到M坐标.
【详解】
（1）∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，
∴，解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）当时，，
∴.
当时，，
∴.
又∵，
∴，，.
∴.
∴.
∴；
（3）∵，
∴.
∴，
∴.
∴.
∵与相似，
∴或.
∵，
∴所在直线的解析式为.
∵交x轴于点E，
∴；
①如图①，当时，易得，
∴.
∵，
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.
∵，，，，
∴，，.
∴，
∴.
∴；
图①
②如图②，当时，过点B作轴于点F，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴.
∴且.
设，
∵，
∴.
综上所述，满足条件的点M的坐标为或.
图②
【点睛】
错因分析：第（1）问，利用待定系数法求抛物线表达式时计算过程出错；第（2）问，没有掌握直角三角形边角关系和解直角三角形；第（3）问，没有掌握三角形相似的条件及解答时未进行分类讨论.
本题考查二次函数的综合问题，第（2）题判定△ABC是直角三角形是解题的关键，（3）题作出图形分类讨论是解题的关键.
36．如图，将抛物线平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点，新抛物线与轴正半轴交于点，联结，，设新抛物线与轴的另一交点是，新抛物线的顶点是.
（1）求点的坐标；
（2）设点在新抛物线上，联结，如果平分，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿轴左右平移，点的对应点为，当和相似时，请直接写出平移后得到抛物线的表达式.
【来源】上海市徐汇区2019-2020学年九年级上学期数学期末一模试题
答案:（1）；（2）；（3）或
分析：
（1）设点D坐标（a，b），可得新抛物线解析式为：y=-（x-a）2+b，先求出点C，点B坐标，代入解析式可求解；
（2）通过证明△AOC∽△CHD，可得∠ACO=∠DCH，可证EC∥AO，可得点E纵坐标为4，即可求点E坐标；
（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求点F坐标，即可求平移后得到抛物线的表达式．
【详解】
（1）∵抛物线y=-x2+4的顶点为C，
∴点C（0，4）
∴OC=4，
∵tanB=4=，
∴OB=1，
∴点B（1，0）
设点D坐标（a，b）
∴新抛物线解析式为：y=-（x-a）2+b，且过点C（0，4），点B（1，0）
∴
解得：
∴点D坐标（-1，）
（2）如图1，过点D作DH⊥OC，
∵点D坐标（-1，）
∴新抛物线解析式为：y=-（x+1）2+，
当y=0时，0=-（x+1）2+，
∴x1=-3，x2=1，
∴点A（-3，0），
∴AO=3，
∴，
∵点D坐标（-1，）
∴DH=1，HO=，
∴CH=OH-OC=，
∴，
∴，且∠AOC=∠DHC=90°，
∴△AOC∽△CHD，
∴∠ACO=∠DCH，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE，
∴∠ACO+∠ACE=∠DCH+∠DCE，且∠ACO+∠ACE+∠DCH+∠DCE=180°
∴∠ECO=∠ECH=90°=∠AOB，
∴EC∥AO，
∴点E纵坐标为4，
∴4=-（x+1）2+，
∴x1=-2，x2=0，
∴点E（-2，4），
（3）如图2，
∵点E（-2，4），点C（0，4），点A（-3，0），点B（1，0），点D坐标（-1，）
∴DE=DC=，，AB=3+1=4，
∴∠DEC=∠DCE，
∵EC∥AB，
∴∠ECA=∠CAB，
∴∠DEC=∠CAB，
∵△DEF和△ABC相似
∴或，
∴或
∴EF=或
∴点F（-，4）或（，4）
设平移后解析式为：y=-（x+1-c）2+4，
∴4=-（-+1-c）2+4或4=-（+1-c）2+4，
∴c1=，c2=
∴平移后解析式为：y=-（x+）2+4或y=-（x-）2+4，
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，待定系数法求解析式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
37．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为，，与轴相交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）联结、，求的正切值；
（3）点在抛物线上，且，求点的坐标．
【来源】专题19 二次函数（二）（考点专练）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
答案:（1）；（2）2；（3）点坐标为或
分析：
（1）根据待定系数法将，代入中，列出含b，c的方程组，求解b，c即可确定抛物线的表达式；
（2）作AD⊥BC于D，用等面积法求AD长，再用勾股定理求CD长，利用正切函数定义求解；
（3）根据题意可知P点应满足的条件为tan∠ACB=2，用P点的坐标表示线段长，根据正切函数定义列式求解.
【详解】
解：（1）将，代入中得，
，
解得， ，
∴抛物线的表达式为.
（2）如图，过点A作AD⊥BC垂足为D，
∵，，,
∴AB=4，OC=3，BC= ，AC=
∵ ,
∴,
∴AD= ，
由勾股定理得，CD=,
∴tan∠ACB= ,
即tan∠ACB=2.

（3）如图，设P在抛物线上，P(x,-x2+2x+3),过P作PE⊥x轴，垂足为E，
∵，
∴tan∠PAB= ,
∴或
解得，x= -1(舍去)或x=1，x= -1（舍去）或x=5
当x= -1时，y=4；当x=5时，y= -12
∴P点坐标为(1,4)或(5,-12).
【点睛】
本题考查抛物线解析式的求法，利用抛物线的性质解决几何图形问题，即函数与图形的综合，由图象到点坐标，由点坐标到线段长，由线段长到几何图形的转换，即数形结合的思想是解答此类问题的关键.
38．在平面直角坐标系中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”．
（1）已知原抛物线表达式是，求它的“影子抛物线”的表达式；
（2）已知原抛物线经过点（1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是，求原抛物线的表达式；
（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．
【来源】上海市黄浦区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题
答案:（1）；（2）或；（3）结论成立，理由见解析
分析：
（1）设影子抛物线表达式是，先求出原抛物线的顶点坐标，代入，可求解；
（2）设原抛物线表达式是，用待定系数法可求，，即可求解；
（3）分别求出两个抛物线的顶点坐标，即可求解．
【详解】
解：（1）原抛物线表达式是
原抛物线顶点是，
设影子抛物线表达式是，
将代入，解得，
所以“影子抛物线”的表达式是；
（2）设原抛物线表达式是，
则原抛物线顶点是，
将代入，得①，
将代入，②，
由①、②解得，．
所以，原抛物线表达式是或；
（3）结论成立．
设影子抛物线表达式是．原抛物线于轴交点坐标为
则两条原抛物线可表示为与抛物线（其中、、、是常数，且，
由题意，可知两个抛物线的顶点分别是、
将、分别代入，
得
消去得，
，
，，
、关于轴对称．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的应用，理解“影子抛物线”的定义并能运用是本题的关键．
39．已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A、B（点A在点B的左侧），且AB=6.
（1）求这条抛物线的对称轴及表达式；
（2）在y轴上取点E（0,2），点F为第一象限内抛物线上一点，联结BF、EF，如果，求点F的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，点F在抛物线对称轴右侧，点P在轴上且在点B左侧，如果直线PF与y轴的夹角等于∠EBF，求点P的坐标.

【来源】专题12 二次函数背景下的相似三角形-决胜2020年中考数学压轴题全揭秘精品（上海专用）
答案:（1），对称轴；（2）或；（3）
分析：
（1）先将抛物线表达式化为顶点式，得出对称轴x=1,再根据抛物线与x轴两交点的距离为6，可以得出A,B两点的坐标，进而可求出解析式.
（2）利用S四边形OEFB=S△OEF+S△OBF列方程求解.
（3）找出两等角所在的三角形，构造一组相似三角形求解.
【详解】
解：（1）将化为一般式得，
，
∴这条抛物线的对称轴为x=1.
又抛物线与轴交于点A、B（点A在点B的左侧），且AB=6，
∴根据对称性可得A,B两点的坐标分别为A(-2，0),B(4，0).
将A点坐标代入解析式，可解得m=,
∴所求抛物线的解析式为.
（2）设点F的坐标为（t, t2+t+4），如图1可知
S四边形OEFB=S△OEF+S△OBF
=×2×t+×4×（t2+t+4）=10，
解得，t=1或t=2,
∴点F的坐标为或.
（3）假设直线PF与y轴交于点H,抛物线与y轴交于点C,连接CF，
则根据题意得∠FHC=∠EBF,
由（2）得点F的坐标为(2,4)，又点C坐标为(0,4),
∴CF∥x轴，
过点F作FG⊥BE于点G，
有△CFH∽△GFB.
在△BEF中，根据已知点坐标可以求得BE=BF=2，EF=2，
根据面积法可求得FG=,∴BG=
设直线FP的解释式为y=kx+b,则OH=b,
∴CH=4-b,
∴
∴解得b=.
将点F的坐标（2,4）代入FP的解析式可得，k=,
即FP的解析式为y=x+,
令y=0,可得P点坐标为（-1,0）.
【点睛】
此题属于二次函数的综合题，熟练掌握二次函数图像与性质是关键与基础，另外涉及面积问题注意运用割补法；对于角度相等的存在性问题一般通过转化为相似来解决.
40．已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图像与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为12．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点D的坐标为，点P在二次函数的图像上，∠ADP为锐角，且，请直接写出点P的横坐标；
（3）点E在x轴的正半轴上，，点O与点关于EC所在直线对称，过点O作的垂线，垂足为点N，ON与EC交于点M．若，求点E的坐标．
【来源】数学-（上海卷）【试题猜想】2021年中考考前最后一卷（考试版 答题卡 全解全析 参考答案）
答案:（1）；（2）或；（3）点E的坐标为
分析：
（1）根据对称轴坐标公式可求二次函数图象的对称轴，当时,,可求点C的坐标为,根据三角形面积公式可求,进一步得到A点和B点的坐标分别为，，再用待定系数法即可求二次函数的解析式；
(2)作轴于点F.分两种情况:(ⅰ)当点P在直线AD的下方时;(ⅱ)当点P在直线AD的上方时,延长至点G使得,连接DG,作轴于点H,两种情况讨论可求点的坐标；
(3)连接,交CE于T.连接,根据三角函数的整数可得,同理,得到,从而得到点E的坐标.
【详解】
（1）当x = 0时，，∴ ,
∵ ，∴ AB = 6,
又∵ 二次函数图像的对称轴是直线，
∴ ，,
∴ ，解得,
∴ 二次函数的解析式为,
（2）如图,作轴于点F.分两种情况:
(ⅰ)当点P在直线AD的下方时,如图所示,
由(1)得点,点,
∴DF=1，AF=2，
在Rt△ADF中，,,得.
延长DF与抛物线交于点,则点即为所求.
将x=-2代入抛物线解析式，得y=-4，
∴点的坐标为.
(ⅱ)当点P在直线AD的上方时,延长至点G使得,连接DG,作轴于点H,如图所示，在与中，
∴≌（AAS）.
,
又,
∴点G的坐标是
在中, ，，
设DG与抛物线的交点为,则点为所求.
作于点K,作交DK于点S.
设点的坐标为,
则,
.
由，,,得.
整理,得
解得.
点在第二象限,横坐标为负，
点的横坐标为
综上,P点的横坐标为或.

（3）如图，联结，交EC于点T，联结．
∵ 点O与点关于EC所在直线对称，
∴ ⊥EC，，．
∴ ⊥
又∵ ON⊥，∴ ∥ON．
∴ ．
∴ OC = OM
∴ CT = MT
在Rt△ETO中，∠ETO = 90°，．
在Rt△COE中，∠COE = 90°，．
∴
∴
同理可得
∴
∵ ，∴ OE = 8
∵ 点E在x轴的正半轴上
∴ 点E的坐标为．
【点睛】
本题考查了二次函数综合题,涉及的知识点有:对称轴坐标公式,坐标轴上点的坐标特征,三角形面积公式,待定系数法可求二次函数的解析式,分类思想,三角函数.综合性较强,有一定的难度.