中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题17解答题压轴题新定义题型(原卷版+解析)

这是一份中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题17解答题压轴题新定义题型(原卷版+解析)，共86页。试卷主要包含了2022中考真题集训，几何图形中的新定义问题等内容，欢迎下载使用。

类型一 函数中的新定义问题
1．(2023•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（13，13）是函数y＝x图象的“12阶方点”；点（2，1）是函数y=2x图象的“2阶方点”．
（1）在①（﹣2，−12）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y=1x图象的“1阶方点”的有 （填序号）；
（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
2．(2023•湘西州）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．
（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．
（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．
（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
3．(2023•兰州）在平面直角坐标系中，P（a，b）是第一象限内一点，给出如下定义：k1=ab和k2=ba两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．
（1）求点P（6，2）的“倾斜系数”k的值；
（2）①若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；
②若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，且a+b＝3，求OP的长；
（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动，P（a，b）是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数”k＜3，请直接写出a的取值范围．
4．(2023•遵义）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．
（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；
（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．
①当MN＝6a时，求点P的坐标；
②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．
5．(2023•赤峰）阅读下列材料
定义运算：min|a，b|，当a≥b时，min|a，b|＝b；当a＜b时，min|a，b|＝a．
例如：min|﹣1，3|＝﹣1；min|﹣1，﹣2|＝﹣2．
完成下列任务
（1）①min|（﹣3）0，2|＝ ；
②min|−14，﹣4|＝ ．
（2）如图，已知反比例函数y1=kx和一次函数y2＝﹣2x+b的图象交于A、B两点．当﹣2＜x＜0时，min|kx，﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x2，求这两个函数的解析式．
6．(2023•泰州）定义：对于一次函数y1＝ax+b、y2＝cx+d，我们称函数y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc≠0）为函数y1、y2的“组合函数”．
（1）若m＝3，n＝1，试判断函数y＝5x+2是否为函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”，并说明理由；
（2）设函数y1＝x﹣p﹣2与y2＝﹣x+3p的图象相交于点P．
①若m+n＞1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围；
②若p≠1，函数y1、y2的“组合函数”图象经过点P．是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变？若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
类型二 几何图形中的新定义问题
7．(2023•青岛）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、
例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，
则S△ABC=12BC•AD，S△A'B'C′=12B′C′•A′D′，
∵AD＝A′D′
∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．
【性质应用】
（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝ ；
（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝ ，S△CDE＝ ；
（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝ ．
8．(2023•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．
对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．
（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P的“对应点”．
①在图中画出点Q；
②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT=12OM；
（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（12＜t＜1），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．
模块二 2023中考押题预测
9．（2023•义乌市校级模拟）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线x＝m，对于任意一个函数，作该函数自变量大于m的部分关于直线x＝m的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x＝m的“镜面函数”．例如：图①是函数y＝x+1的图象，则它关于直线x＝0的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为y=x+1(x≥0)−x+1(x＜0)，也可以写成y＝|x|+1．
（1）在图③中画出函数y＝﹣2x+1关于直线x＝1的“镜面函数”的图象．
（2）函数y＝x2﹣2x+2关于直线x＝﹣1的“镜面函数”与直线y＝﹣x+m有三个公共点，求m的值．
（3）已知A（﹣1，0），B（3，0），C（3，﹣2），D（﹣1，﹣2），函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）关于直线x＝0的“镜面函数”图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，求n的取值范围．
10．（2023•秦皇岛一模）定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1，（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函致互为“旋转函数”．例如：求函数y＝2x2﹣3x+1的“旋转函数”，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝3，c1＝1．根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0求出a2、b2、c2就能确定这个函数的“旋转函数”．
请思考并解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”；
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）2023的值；
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
11．(2023•滨海县校级三模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“好点”，例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“好点”．
（1）在函数①y＝﹣x+5，②y=6x，③y＝x2+2x+1的图象上，存在“好点”的函数是 （填序号）．
（2）设函数y=4x(x＜0)与y＝kx﹣1的图象的“好点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．当△ABC为等腰三角形时，求k的值；
（3）若将函数y＝2x2+4x的图象在直线y＝m下方的部分沿直线y＝m翻折，翻折后的部分与图象的其余部分组成了一个新的图象．当该图象上恰有3个“好点”时，求m的值．
12．(2023•婺城区模拟）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，作该函数y轴右侧部分关于y轴的轴对称图形，与原函数y轴的交点及y轴右侧部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数的“新生函数“例如：图①是函数y＝x+l的图象，则它的“新生函数“的图象如图②所示，且它的“新生函数“的解析式为y=x+1(x≥0)−x+1(x＜0)，也可以写成y＝|x|+1．
（1）在图③中画出函数y＝﹣2x+l的“新生函数“的图象．
（2）函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有三个公共点，求m的值．
（3）已知A（﹣1，0），B（3，0），C（3，﹣2），D（﹣1，﹣2），函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，求n的取值范围．
13．(2023•宁南县模拟）新定义：在平面直角坐标系xOy中，若一条直线与二次函数图象抛物线有且仅有一个公共点，且抛物线位于这条直线同侧，则称该直线与此抛物线相切，公共点为切点．现有一次函数y＝﹣4x﹣1与二次函数y＝x2+mx图象相切于第二象限的点A．
（1）求二次函数的解析式及切点A的坐标；
（2）当0＜x＜3时，求二次函数函数值的取值范围；
（3）记二次函数图象与x轴正半轴交于点B，问在抛物线上是否存在点C（异于A）使∠OBC＝∠OBA，若有则求出C坐标，若无则说明理由．
14．(2023•天宁区校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（t，0）与（t+6，0）．对于坐标平面内的一动点P，给出如下定义：若∠APB＝45°，则称点P为线段AB的“等角点”．
（1）当t＝1时，
①若点P为线段AB在第一象限的“等角点”，且在直线x＝4上，则点P的坐标为 ；
②若点P为线段AB的“等角点”，并且在y轴上，则点P的坐标为 ；
（2）已知直线y＝﹣0.5x+4上总存在线段AB的“等角点”，则t的范围是 ．
15．(2023•零陵区模拟）九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的“旋转函数”．
小组同学是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参照小组同学的方法解决下面问题：
（1）函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”是 ；
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）2022的值；
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试求证：经过点A1，B1，C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
16．(2023•甘井子区校级模拟）定义：将函数C1的图象绕点P（m，0）旋转180，得到新的函数C2的图象，我们称函数C2是函数C1关于点P的相关函数．
例如：当m＝1时，函数y＝（x﹣3）2+9关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x+1）2﹣9．
（1）当m＝0时，
①一次函数y＝﹣x+7关于点P的相关函数为 ．
②点A（5，﹣6）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值．
（2）函数y＝（x﹣2）2+6关于点P的相关函数是y＝﹣（x﹣10）2﹣6，则m＝ ．
（3）当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣6mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数的最大值为8，求m的值．
17．(2023•庐阳区校级三模）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为关联函数．例如：一次函数y＝x﹣1，它的关联函数为y=−x+1(x＜0)x−1(x≥0)．已知二次函数y＝﹣x2+4x−12．
（1）当第二象限点B（m，32）在这个函数的关联函数的图象上时，求m的值；
（2）当﹣3≤x≤﹣1时求函数y＝﹣x2+4x−12的关联函数的最大值和最小值．
18．(2023•江都区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梅岭点”．
（1）若点P（3，p）是一次函数y＝mx+6的图象上的“梅岭点”，则m＝ ；
若点P（m，m）是函数y=3x−2的图象上的“梅岭点”，则m＝ ；
（2）若点P（p，﹣2）是二次函数y＝x2+bx+c的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次函数的表达式；
（3）若二次函数y＝ax2+bx+c（a，b是常数，a＞0）的图象过点（0，2），且图象上存在两个不同的“梅岭点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣1＜x1＜1，|x1﹣x2|＝2，如果k＝﹣b2+2b+2，请直接写出k的取值范围．
19．(2023•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于线段AB，给出如下定义：若将线段AB沿着某条直线l对称可以得到⊙O的弦A′B′（A′，B′分别为A，B的对应点），则称线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的对称的“反射线段”，直线l称为“反射轴”．
（1）如图1，线段CD、EF、GH中是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”有 ；
（2）已知A点的坐标为（0，2），B点坐标为（1，1）．
①如图2，若线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，画出图形，反射轴l与y轴的交点M的坐标是 ．
②若将“反射线段”AB沿直线y＝x的方向向上平移一段距离S，其反射轴l与y轴的交点的纵坐标yM的取值范围为12≤yM≤136，求S的取值范围．
（3）已知点M、N是在以（2，0）为圆心，半径为13的圆上的两个动点，且满足MN=2，若MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，反射轴l与y轴的交点的纵坐标的取值范围是 ．
20．(2023•亭湖区校级三模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．
求证：四边形ABEF是邻余四边形．
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．
（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝4BE，QB＝6，求邻余线AB的长．
21．(2023•寻乌县二模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图①，∠B＝∠C，则四边形ABCD为“等邻角四边形”．
（1）定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形得是 ．
①平行四边形②矩形③菱形④等腰梯形
（2）深入探究：
①已知四边形ABCD为“等邻角四边形”，且∠A＝120°，∠B＝100°，则∠D＝ °．
②如图②，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC，求证：四边形ABDE为等邻角四边形．
（3）拓展应用：
如图③，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠C，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，PM+PN的值是否会发生变化？请说明理由．
22．(2023•东胜区二模）【概念理解】定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形如图①．
我们学习过的四边形中是垂美四边形的是 ；（写出一种即可）
【性质探究】
利用图①，垂美四边形ABCD两组对边AB，CD的平方和与BC，AD的平方和之间的数量关系是 ；
【性质应用】
（1）如图②，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，D，E分别是AB，BC的中点，连接AE，CD，若AE⊥CD，则AB的长为 ；
（2）如图③，等腰Rt△BCE和等腰Rt△ADE中，∠BEC＝∠AED＝90°，AC与BD交于O点，BD与CE交于点F，AC与DE交于点G．若BE＝6，AE＝8，AB＝12，求CD的长；
【拓展应用】如图④，在▱ABCD中，点E、F、G分别是AD、AB、CD的中点，EF⊥CF，AD＝6，AB＝8，求BG的长．
23．(2023•修水县一模）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”．例如：在四边形ABCD中，若∠A+∠C＝180°或∠B+∠D＝180°，则四边形ABCD是“对补四边形”．
概念理解．
（1）如图1，已知四边形ABCD是“对补四边形”．
①若∠A：∠B：∠C＝3：2：1，则∠D的度数为 ；
②若∠B＝90°，且AB＝3，AD＝2，则CD2﹣CB2＝ ．
拓展延伸．
（2）如图2，已知四边形ABCD是“对补四边形”．当AB＝CB，且∠EBF=12∠ABC时，试猜想AE，CF，EF之间的数量关系，并证明．
24．(2023•盐城一模）对于平面内的两点K、L，作出如下定义：若点Q是点L绕点K旋转所得到的点，则称点Q是点L关于点K的旋转点；若旋转角小于90°，则称点Q是点L关于点K的锐角旋转点．如图1，点Q是点L关于点K的锐角旋转点．
（1）已知点A（4，0），在点Q1（0，4），Q2（2，23），Q3（﹣2，23），Q4（22，﹣22）中，是点A关于点O的锐角旋转点的是 ．
（2）已知点B（5，0），点C在直线y＝2x+b上，若点C是点B关于点O的锐角旋转点，求实数b的取值范围．
（3）点D是x轴上的动点，D（t，0），E（t﹣3，0），点F（m，n）是以D为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足n≥0．若直线y＝2x+6上存在点F关于点E的锐角旋转点，请直接写出t的取值范围．
25．(2023•寿阳县模拟）所谓“新定义”试题指给出一个从未接触过的新规定，源于中学数学内容但又是学生没有遇到过的新信息，它可以是新的概念、新的运算、新的符号、新的图形、新的定理或新的操作规则与程序等．在解决它们的过程中又可产生了许多新方法、新观念，增强了学生创新意识．主要包括以下类型：①概念的“新定义”；②运算的“新定义”；③新规则的“新定义”；④实验操作的“新定义”；⑤几何图形的新定义．如果我们新定义一种四边形：有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．
（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B=12∠D，∠C=12∠A，请你利用所学知识求出∠B与∠C的度数之和；
（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO．∠OBA的平分线交OA于点E，连接DE并延长交AC于点F，若∠AFE＝2∠EAF．请你判断四边形DBCF是不是半对角四边形？并说明理由．
26．(2023•泗洪三模）定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形．
（1）选择：下列四边形中，一定是圆美四边形的是
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
（2）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，经过点A，B的⊙O交AC边于点D，交BC于点E，连接DE，若四边形ABED为圆美四边形，求DE的长；
（3）如图2，AD是△ABC外接圆⊙O的直径，交BC于点E，点P在AD上，延长BP交⊙O于点F，已知PB2＝PE•PA．问四边形ABFC是圆美四边形吗？为什么？
27．(2023•淮阴区校级一模）定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做和谐四边形，其中这条对角线叫做和谐对角线，这条边叫做和谐边．
【概念理解】
（1）如图1，四边形ABCD是和谐四边形，对角线AC与BD交于点G，BD是和谐对角线，AD是和谐边．
①△ADG与△BCG的形状是 三角形．
②若AD＝4，则BD＝ ．
【问题探究】
（2）如图2，四边形ABCD是矩形，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE交BC于点F，AD＝4，AB＝k．
①当k＝2时，请说明四边形ABEC是和谐四边形；
②是否存在值k，使得四边形ABCD是和谐四边形，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
【应用拓展】
（3）如图3，四边形ABCD与四边形ABEC都是和谐四边形，其中BD与AE分别是和谐对角线，AD与AC分别是和谐边，AB＝4，AD＝k，请直接写出k的值 ．
28．(2023•亭湖区校级模拟）问题：A4纸给我们矩形的印象，这个矩形是特殊矩形吗？
思考：通过度量、上网查阅资料，小丽同学发现A4纸的长与宽的比是一个特殊值“2”定义：如图1，点C把线段AB分成两部分，如果ACBC=2，那么点C为线段AB的“白银分割点”如图2，矩形ABCD中，BCAB=2，那么矩形ABCD叫做白银矩形．
应用：（1）如图3，矩形ABCD是白银矩形，AD＞AB，将矩形沿着EF对折，求证：矩形ABFE也是白银矩形．
（2）如图4，矩形ABCD中，AB＝1，BC=2，E为CD上一点，将矩形ABCD沿BE折叠，使得点C落在AD边上的点F处，延长BF交CD的延长线于点G，说明点E为线段GC的”白银分制点”．
（3）已知线段AB（如图5），作线段AB的一个“白银分割点”．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
29．(2023•盐田区二模）定义：将图形M绕点P顺时针旋转90°得到图形N，则图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．
例如：在图中，点D为点C关于点P的“垂直图形”．
（1）点A关于原点O的“垂直图形”为点B．
①若点A的坐标为（0，2），直接写出点B的坐标；
②若点B的坐标为（2，1），直接写出点A的坐标；
（2）已知E（﹣3，3），F（﹣2，3），G（a，0）．线段EF关于点G的“垂直图形”记为E'F'，点E的对应点为E'，点F的对应点为F'．
①求点E'的坐标；
②当点G运动时，求FF'的最小值．
30．(2023•高新区校级二模）在数学课上，当老师讲到直线与圆的位置关系时，张明同学突发奇想，特殊线与圆在不同的位置情况下会有怎样的数量关系呢？于是在课下他查阅了老师推荐他的《几何原本》，这本书是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作．它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．其中第三卷命题36﹣2圆幂定理（切割线定理）内容如下：
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
（比例中项的定义：如果a、b、c三个量成连比例即a：b＝b：c，则b叫做a和c的比例中项）
（1）为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程．
已知：如图，A是圆O外一点，AB是圆O的切线，直线ACD为圆O的割线．
求证：
证明：
（2）如图，已知AC＝2，CD＝4，则AB的长度是 ．
31．(2023•江北区模拟）定义：若连结三角形一个顶点及其对边上一点的线段将该三角形分割成的两个小三角形中，有一个与原三角形相似，则称该线段为三角形的相似分割线；若分割成的两个小三角形都与原三角形相似，则称该线段为全相似分割线．
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC为钝角，相似分割线AD是BC边上的中线，求证：BC=2AB．
（2）如图2，在△ABC中，AD是△ABC的全相似分割线，求证：1AD2=1AB2+1AC2；
（3）在△ABC中，AD是△ABC的全相似分割线，将△BAD绕B点顺时针旋转，D点旋转到E点，A点旋转到F点，当旋转到如图3的位置时，E，F，C三点共线，BF恰好是△BEC的相似分割线，求CDBD值．
32．(2023•巢湖市二模）定义：如果一个三角形中有一个角是另一个角的2倍，那么我们称这样的三角形为倍角三角形．根据上述定义可知倍角三角形中有一个角是另一个角的2倍，所以我们就可以通过作出其中的2倍角的角平分线，得出一对相似三角形，再利用我们学过的相似三角形的性质解决相关问题．请通过这种方法解答下列问题：
（1）如图1，△ABC中，AD是角平分线，且AB2＝BD•BC，求证：△ABC是倍角三角形；
（2）如图2，已知△ABC是倍角三角形，且∠A＝2∠C，AB＝8，BC＝10，求AC的长；
（3）如图3，已知△ABC中，∠A＝3∠C，AB＝8，BC＝10，求AC的长．
专题17 解答题压轴题新定义题型（解析版）
模块一 2022中考真题集训
类型一 函数中的新定义问题
1．(2023•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（13，13）是函数y＝x图象的“12阶方点”；点（2，1）是函数y=2x图象的“2阶方点”．
（1）在①（﹣2，−12）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y=1x图象的“1阶方点”的有 ②③ （填序号）；
（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
思路引领：（1）根据定义进行判断即可；
（2）在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，结合图象求a的值即可；
（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可．
解：（1）①（﹣2，−12）到两坐标轴的距离分别是2，12，
∵2＞1，12＜1，
∴（﹣2，−12）不是反比例函数y=1x图象的“1阶方点”；
②（﹣1，﹣1）到两坐标轴的距离分别是1，1，
∵≤1，1≤1，
∴（﹣1，﹣1）是反比例函数y=1x图象的“1阶方点”；
③（1，1）到两坐标轴的距离分别是1，1
∵1≤1，1≤1，
∴（1，1）是反比例函数y=1x图象的“1阶方点”；
故答案为：②③；
（2）∵当x＝3时，y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1＝1，
∴函数经过点（3，1），
如图1，在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，
由图可知，C（2，﹣2），D（2，2），
∵一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点D时，a＝﹣1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点C时，a＝3，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
综上所述：a的值为3或﹣1；
（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，
如图2，当n＞0时，A（n，n），C（﹣n，﹣n），B（n，﹣n），D（﹣n，n），
当抛物线经过点B时，n＝1；
当抛物线经过点D时，n＝﹣1（舍）或n=14；
∴14≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象有“n阶方点”；
综上所述：当14≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在．
总结提升：本题属于二次函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，将所求问题转化为正方形与函数图象的交点问题是解题的关键．
2．(2023•湘西州）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．
（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．
（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．
（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
思路引领：（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，即可求函数的解析式；
（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，13t2+23t﹣1），N（t，0），分别求出MN，DM，再求比值即可；
（3）先求出E（﹣2，﹣1），设F（x，0），分两种情况讨论：①当EG＝EF时，22=(x+2)2+1，可得F（7−2，0）或（−7−2，0）；②当EG＝FG时，22=9+x2，F点不存在．
解：（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，
∴9a−6a+c=0c=−1，
解得a=13c=−1，
∴y=13x2+23x﹣1，
在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，
∴G（0，﹣3）；
（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，13t2+23t﹣1），N（t，0），
∴NM＝﹣t2﹣2t+3，DM=13t2+23t﹣1﹣（t2+2t﹣3）=−23t2−43t+2，
∴MNDM=−(t2+2t−3)−23(t2+2t−3)=32；
（3）存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形，理由如下：
由（1）可得y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，
∵E点与H点关于对称轴x＝﹣1对称，
∴E（﹣2，﹣1），
设F（x，0），
①当EG＝EF时，
∵G（0，﹣3），
∴EG＝22，
∴22=(x+2)2+1，
解得x=7−2或x=−7−2，
∴F（7−2，0）或（−7−2，0）；
②当EG＝FG时，22=9+x2，
此时x无实数根；
综上所述：F点坐标为（7−2，0）或（−7−2，0）．
总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
3．(2023•兰州）在平面直角坐标系中，P（a，b）是第一象限内一点，给出如下定义：k1=ab和k2=ba两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．
（1）求点P（6，2）的“倾斜系数”k的值；
（2）①若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；
②若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，且a+b＝3，求OP的长；
（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动，P（a，b）是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数”k＜3，请直接写出a的取值范围．
思路引领：（1）根据“倾斜系数”k的定义直接计算即可；
（2）①根据“倾斜系数”k的定义分情况得出结论即可；
②根据“倾斜系数”k的定义求出P点坐标，进而求出OP的值即可；
（3）根据k的取值，分情况求出a的取值范围即可．
解：（1）由题意知，k=62=3，
即点P（6，2）的“倾斜系数”k的值为3；
（2）①∵点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，
∴ab=2或ba=2，
即a＝2b或b＝2a，
∴a和b的数量关系为a＝2b或b＝2a；
②由①知，a＝2b或b＝2a
∵a+b＝3，
∴a=1b=2或a=2b=1，
∴OP=12+22=5；
（3）由题意知，满足条件的P点在直线y=3x和直线y=33x之间，
①当P点与D点重合时，且k=3时，P点在直线y=3x上，a有最小临界值，
如图：此时a＜b，
连接OD，延长DA交x轴于E，
此时ba=3，
则a+2a=3，
解得a=3+1，
此时B点的坐标为（3+3，3+1），
且k=3+33+1=3
∴a＞3+1；
②当P点与B点重合时，且k=3时，P点在直线y=33x上，a有最小临界值，
如图：此时a＞b，
连接OB，延长CB交x轴于F，
此时ab=3，
则aa−2=3，
解得a＝3+3，
此时D（3+1，3+3），
且k=3+33+1=3，
∴a＞3+3；
综上所述，若点P的“倾斜系数”k＜3，则a＞3+3．
总结提升：本题主要考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的性质，正确理解“倾斜系数”的定义是解题的关键．
4．(2023•遵义）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．
（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；
（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．
①当MN＝6a时，求点P的坐标；
②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．
思路引领：（1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出C2的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出C2的顶点坐标；
（2）①设点P的横坐标为m，则可表达点M和点N的坐标，根据两点间距离公式可表达MN的长，列出方程，可求出点P的坐标；
②分情况讨论，当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时，当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时，当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时，分别得出C2的最大值和最小值，进而列出方程，可求出a的值．
解：（1）根据“关联抛物线”的定义可得C2的解析式为：y＝ax2+4ax+4a﹣3，
∵y＝ax2+4ax+4a﹣3＝a（x+2）2﹣3，
∴C2的顶点坐标为（﹣2，﹣3）；
（2）①设点P的横坐标为m，
∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N，
∴M（m，4am2+am+4a﹣3），N（m，am2+4am+4a﹣3），
∴MN＝|4am2+am+4a﹣3﹣（am2+4am+4a﹣3）|＝|3am2﹣3am|，
∵MN＝6a，
∴|3am2﹣3am|＝6a，
解得m＝﹣1或m＝2，
∴P（﹣1，0）或（2，0）．
②∵C2的解析式为：y＝a（x+2）2﹣3，
∴当x＝﹣2时，y＝﹣3，
当x＝a﹣4时，y＝a（a﹣4+2）2﹣3＝a（a﹣2）2﹣3，
当x＝a﹣2时，y＝a（a﹣2+2）2﹣3＝a3﹣3，
根据题意可知，需要分三种情况讨论，
Ⅰ、当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时，0＜a≤2，
且当0＜a≤1时，函数的最大值为a（a﹣2）2﹣3；函数的最小值为﹣3，
∴a（a﹣2）2﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a＝2−2或a＝2+2（舍）；
当1≤a≤2时，函数的最大值为a3﹣3；函数的最小值为﹣3，
∴a3﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a=2或a=−2（舍）；
Ⅱ、当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时，a≥2，
函数的最大值为a3﹣3，函数的最小值为a（a﹣2）2﹣3；
∴a3﹣3﹣[a（a﹣2）2﹣3]＝2a，
解得a=32（舍）；
Ⅲ、当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时，a≤0，不符合题意，舍去；
综上，a的值为2−2或2．
总结提升：本题属于二次函数背景下新定义类问题，涉及两点间距离公式，二次函数的图象及性质，由“关联抛物线”的定义得出C2的解析式，掌握二次函数图象的性质是解题关键．
5．(2023•赤峰）阅读下列材料
定义运算：min|a，b|，当a≥b时，min|a，b|＝b；当a＜b时，min|a，b|＝a．
例如：min|﹣1，3|＝﹣1；min|﹣1，﹣2|＝﹣2．
完成下列任务
（1）①min|（﹣3）0，2|＝ 1 ；
②min|−14，﹣4|＝ ﹣4 ．
（2）如图，已知反比例函数y1=kx和一次函数y2＝﹣2x+b的图象交于A、B两点．当﹣2＜x＜0时，min|kx，﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x2，求这两个函数的解析式．
思路引领：（1）根据定义运算的法则解答即可；
（2）根据反比例函数和一次函数图象的性质解答即可．
解：（1）由题意可知：①min|（﹣3）0，2|＝1，
②min|−14，﹣4|＝﹣4；
故答案为：1，﹣4．
（2）当﹣2＜x＜0时，min|kx，﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x2＝﹣2x﹣3，
∵一次函数y2＝﹣2x+b，
∴b＝﹣3，
∴y2＝﹣2x﹣3，
当x＝﹣2时，y＝1，
∴A（﹣2，1）
将A点代入y1=kx中，得k＝﹣2，
∴y1=−2x．
总结提升：本题主要考查了新定义运算和反比例函数图像的性质，熟练掌握新定义运算的法则和反比例函数的性质是解答本题的关键．
6．(2023•泰州）定义：对于一次函数y1＝ax+b、y2＝cx+d，我们称函数y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc≠0）为函数y1、y2的“组合函数”．
（1）若m＝3，n＝1，试判断函数y＝5x+2是否为函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”，并说明理由；
（2）设函数y1＝x﹣p﹣2与y2＝﹣x+3p的图象相交于点P．
①若m+n＞1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围；
②若p≠1，函数y1、y2的“组合函数”图象经过点P．是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变？若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
思路引领：（1）由y＝5x+2＝3（x+1）+（2x﹣1），可知函数y＝5x+2是函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”；
（2）①由y=x−p−2y=−x+3p得P（2p+1，p﹣1），当x＝2p+1时，y＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p）＝（p﹣1）（m+n），根据点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，有p﹣1＞（p﹣1）（m+n），而m+n＞1，可得p＜1；
②由函数y1、y2的“组合函数”y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）图象经过点P，知p﹣1＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p），即（p﹣1）（1﹣m﹣n）＝0，而p≠1，即得n＝1﹣m，可得y＝（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m，令y＝0得（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m＝0，即（3﹣4m）p+（2m﹣1）x﹣2m＝0，即可得m=34时，“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变，Q（3，0）．
解：（1）函数y＝5x+2是函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”，理由如下：
∵3（x+1）+（2x﹣1）＝3x+3+2x﹣1＝5x+2，
∴y＝5x+2＝3（x+1）+（2x﹣1），
∴函数y＝5x+2是函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”；
（2）①由y=x−p−2y=−x+3p得x=2p+1y=p−1，
∴P（2p+1，p﹣1），
∵y1、y2的“组合函数”为y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p），
∴x＝2p+1时，y＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p）＝（p﹣1）（m+n），
∵点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，
∴p﹣1＞（p﹣1）（m+n），
∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＞0，
∵m+n＞1，
∴1﹣m﹣n＜0，
∴p﹣1＜0，
∴p＜1；
②存在m=34时，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变，Q（3，0），理由如下：
由①知，P（2p+1，p﹣1），
∵函数y1、y2的“组合函数”y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）图象经过点P，
∴p﹣1＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p），
∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＝0，
∵p≠1，
∴1﹣m﹣n＝0，有n＝1﹣m，
∴y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）＝m（x﹣p﹣2）+（1﹣m）（﹣x+3p）＝（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m，
令y＝0得（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m＝0，
变形整理得：（3﹣4m）p+（2m﹣1）x﹣2m＝0，
∴当3﹣4m＝0，即m=34时，12x−32=0，
∴x＝3，
∴m=34时，“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变，Q（3，0）．
总结提升：本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，函数图象上点坐标的特征，一次函数与一次方程的关系等，解题的关键是读懂“组合函数“的定义．
类型二 几何图形中的新定义问题
7．(2023•青岛）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、
例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，
则S△ABC=12BC•AD，S△A'B'C′=12B′C′•A′D′，
∵AD＝A′D′
∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．
【性质应用】
（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝ 3：4 ；
（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝ 12 ，S△CDE＝ 16 ；
（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝ amn ．
思路引领：（1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案；
（2）同（1）的方法即可求出答案；
（3）同（1）的方法即可求出答案．
解：（1）∵BD＝3，DC＝4，
∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝3：4，
故答案为：3：4；
（2）∵BE：AB＝1：2，
∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2，
∵S△ABC＝1，
∴S△BEC=12；
∵CD：BC＝1：3，
∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3，
∴S△CDE=13S△BEC=13×12=16；
故答案为：12，16；
（3）∵BE：AB＝1：m，
∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m，
∵S△ABC＝a，
∴S△BEC=1mS△ABC=am；
∵CD：BC＝1：n，
∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n，
∴S△CDE=1nS△BEC=1n•am=amn，
故答案为：amn．
总结提升：此题主要考查了三角形的面积公式，理解等高的两三角形的面积比等于底的比是解本题的关键．
8．(2023•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．
对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．
（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P的“对应点”．
①在图中画出点Q；
②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT=12OM；
（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（12＜t＜1），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．
思路引领：（1）①根据定义，先求出P'的坐标，从而得出Q的位置；
②连接PP'，利用三角形中位线定理得NT=12PP'，从而证明结论；
（2）连接PO，并延长至S，使OP＝OS，延长SQ到T，使ST＝OM，由题意知，PP1∥OM，PP1＝OM，P1N＝NQ，利用三角形中位线定理得QT的长，从而求出SQ的长，在△PQS中，PS﹣QS＜PS+QS，则PQ的最小值为PS﹣QS，PQ的最大值为PS+QS，从而解决问题．
解：（1）①由题意知，P'（﹣2+1，0+1），
∴P'（﹣1，1），
如图，点Q即为所求；
②连接PP'，
∵∠P'PO＝∠MOx＝45°，
∴PP'∥ON，
∵P'N＝QN，
∴PT＝QT，
∴NT=12PP'，
∵PP'＝OM，
∴NT=12OM；
（2）如图，连接PO，并延长至S，使OP＝OS，延长SQ到T，使ST＝OM，
由题意知，PP'∥OM，PP'＝OM，P'N＝NQ，
∴TQ＝2MN，
∵MN＝OM﹣ON＝1﹣t，
∴TQ＝2﹣2t，
∴SQ＝ST﹣TQ＝1﹣（2﹣2t）＝2t﹣1，
∵PS﹣QS≤PQ≤PS+QS，
∴PQ的最小值为PS﹣QS，PQ的最大值为PS+QS，
∴PQ长的最大值与最小值的差为（PS+QS）﹣（PS﹣QS）＝2QS＝4t﹣2．
总结提升：本题是圆的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形中位线定理，三角形三边关系，平移的性质等知识，解题的关键是理解定义，画出图形，利用三角形中位线定理求出QT的长是解题的关键．
模块二 2023中考押题预测
9．（2023•义乌市校级模拟）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线x＝m，对于任意一个函数，作该函数自变量大于m的部分关于直线x＝m的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x＝m的“镜面函数”．例如：图①是函数y＝x+1的图象，则它关于直线x＝0的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为y=x+1(x≥0)−x+1(x＜0)，也可以写成y＝|x|+1．
（1）在图③中画出函数y＝﹣2x+1关于直线x＝1的“镜面函数”的图象．
（2）函数y＝x2﹣2x+2关于直线x＝﹣1的“镜面函数”与直线y＝﹣x+m有三个公共点，求m的值．
（3）已知A（﹣1，0），B（3，0），C（3，﹣2），D（﹣1，﹣2），函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）关于直线x＝0的“镜面函数”图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，求n的取值范围．
思路引领：（1）根据“镜面函数”的定义画出函数y＝﹣2x+1的“镜面函数”的图象即可；
（2）分直线y＝﹣x+m过“镜面函数”图象与直线x＝﹣1的交点和与原抛物线相切两种情况求解即可；
（3）先求出y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“镜面函数”解析式，再分x＝﹣1以及顶点在y＝﹣2上的情况和x＝3时，列出不等式求解即可．
解：（1）如图，即为函数函数y＝﹣2x+1关于直线x＝1的“镜面函数”的图象，
（2）如图，
对于y＝x2﹣2x+2，当x＝0时，y＝2，∴函数y＝x2﹣2x+2与y轴的交点坐标为（0，2），
当直线y＝﹣x+m经过点（﹣1，5）时，m＝4；
此时y＝x2﹣2x+2关于直线x＝﹣1的“镜面函数”与直线y＝﹣x+m有三个公共点，
当直线y＝﹣x+m与原抛物线只有一个交点时，则有：﹣x+m＝x2﹣2x+2，
整理得，x2﹣x+2﹣m＝0，
此时，Δ＝（﹣1）2﹣4（2﹣m）＝0，
解得，m=74，
综上，m的值为4或74；
（3）函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“镜面函数”解析式为y＝x2+2nx+2（n＞0），
当x＝﹣1时，y＜0，
∴1﹣2n+2＜0，
解得，n＞32；
当y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的顶点在CD上时，8−4n24=−2，
解得n＝2或n＝﹣2（舍），
此时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）关于直线x＝0的“镜面函数”图象与矩形ABCD的边有5个交点，不合题意，
∴32＜n＜2，
当x＝3时，y＜﹣2，
∴9﹣6n+2＜﹣2，
解得，n＞136；
综上，n的取值范围为32＜n＜2或n＞136．
总结提升：本题考查二次函数的综合应用；理解并运用新定义“镜面函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键．
10．（2023•秦皇岛一模）定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1，（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函致互为“旋转函数”．例如：求函数y＝2x2﹣3x+1的“旋转函数”，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝3，c1＝1．根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0求出a2、b2、c2就能确定这个函数的“旋转函数”．
请思考并解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”；
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）2023的值；
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
思路引领：（1）根据“旋转函数”的定义求出另一个函数的a、b、c的值，从而得出函数解析式；
（2）根据定义得出m和n的二元一次方程组，从而得出答案；
（3）首先求出A、B、C三点的坐标，然后得出对称点的坐标，从而求出函数解析式，然后根据新定义进行判定．
解：（1）根据题意得1+a=0b=−43+c=0，
解得a=−1b=−4c=−3，
故解析式为：y＝﹣x2﹣4x﹣3．
（2）根据题意得m−1=−nn−3=0，
∴m=−2n=3，
∴（m+n）2023＝（﹣2+3）2023＝12023＝1．
（3）根据题意得A（1，0），B（3，0），C（0，﹣6），
∴A1（﹣1，0），B1（﹣3，0），C1（0，6），
又y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，
且经过点A1，B1，C1的二次函数为y＝﹣2（x+1）（x﹣3）＝﹣2x2+4x+6，
∵a1+a2=2+(−2)=0b1=b2=4c1+c2=−6+6=0，
∴两个函数互为“旋转函数”．
总结提升：本题考查了抛物线与x轴的交点，涉及了待定系数法，关于原点对称的点的坐标等知识，正确理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键．
11．(2023•滨海县校级三模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“好点”，例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“好点”．
（1）在函数①y＝﹣x+5，②y=6x，③y＝x2+2x+1的图象上，存在“好点”的函数是 ③ （填序号）．
（2）设函数y=4x(x＜0)与y＝kx﹣1的图象的“好点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．当△ABC为等腰三角形时，求k的值；
（3）若将函数y＝2x2+4x的图象在直线y＝m下方的部分沿直线y＝m翻折，翻折后的部分与图象的其余部分组成了一个新的图象．当该图象上恰有3个“好点”时，求m的值．
思路引领：（1）判断y＝﹣x与各个函数图像是否有公共点即可；
（2）先得出y=−4x的“好点”，从而得出AC的长，在y＝﹣x上的点B，使得AB＝AC，从而求得点B坐标，将B点坐标代入y＝kx+3求得k的值；
（3）折叠前的抛物线上有两个“好点”，所以折叠后的抛物线上有一个“好点”即可，即y＝﹣x与折叠后抛物线只有一个公共点，从而求得折叠后的抛物线解析式，进一步求得结果．
解：（1）∵y＝﹣x+5，
∴y+x＝5，
∴①不是“好点”的函数，
∵y=3x，x＞0，
∴xy＝3＞0
∴x+y≠0，
∴②不是“好点”的函数，
∵y=x2+2x+1x+y=0，
∴x2+3x+1＝0，
∴Δ＝32﹣4×1×1＞0，
∴方程组有解，
∴③是“好点”的函数，
故答案为：③；
（2）∵y=−4xx+y=0，x＜0，
∴x=−2y=2，
∴A（﹣2，2），
如图，
当△ABC为等腰三角形时，AB＝AC＝2或BA＝BC，
当AB＝AC时，
∵y＝﹣x，
∴B（x，﹣x），
∴（x+2）2+（﹣x﹣2）2＝22，
∴x1=2−2，x2=−2−2，
当x=2−2时，y=−2+2，
∴（2−2）k+3=−2+2，
∴k=32−42，
当x=−2−2时，y=2+2，
∴（−2−2）k+3=2+2，
∴k=−32−42，
当AB＝BC时，点B（﹣1，1），
∴﹣k﹣1＝1，
∴k＝﹣2，
综上所述：k=±32−42或k＝﹣2；
（3）设翻折后的抛物线解析式为y＝﹣2x2﹣4x+k，
∵y＝2x2+4x的图像上有两个“好点”：（0，0）和（﹣3，3），
当y＝﹣2x2﹣4x+k上有一个“好点”时，
把y＝﹣x代入得，
﹣x＝﹣2x2﹣4x+k，
化简整理得，
x2+32x−12k＝0，
∵Δ=94+2k＝0，
∴k=−98，
∴y＝﹣2x2﹣4x−98，
由y=2x2+4xy=−2x2−4x−98得，
2y=−98，
∴y=−916，
∴m=−18．
当（0，0）在y＝﹣2x2﹣4x+k上时，
此时﹣x2﹣2x＝﹣x，
x＝0或x＝﹣1，
这时也有三个“好点”：（﹣3，3），（0，0），（﹣1﹣1），
∴m=−18或0．
总结提升：本题考查了结合一次函数，反比例函数及二次函数知识，考查了对“好点”的理解，等腰三角形知识，坐标系中线段的长，两个图像的交点与方程组之间的关系等知识，解决问题的关键是根据题意，转化为学过的知识．
12．(2023•婺城区模拟）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，作该函数y轴右侧部分关于y轴的轴对称图形，与原函数y轴的交点及y轴右侧部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数的“新生函数“例如：图①是函数y＝x+l的图象，则它的“新生函数“的图象如图②所示，且它的“新生函数“的解析式为y=x+1(x≥0)−x+1(x＜0)，也可以写成y＝|x|+1．
（1）在图③中画出函数y＝﹣2x+l的“新生函数“的图象．
（2）函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有三个公共点，求m的值．
（3）已知A（﹣1，0），B（3，0），C（3，﹣2），D（﹣1，﹣2），函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，求n的取值范围．
思路引领：（1）根据定义画出函数图象即可；
（2）画出函数图象，结合图象可知，当直线y＝﹣x+m经过（0，2）时，有3个公共点；函数y＝x2﹣2x+2（x＞0）与直线y＝﹣x+m有一个交点时，即m=74时有3个公共点；根据临界情况可知，m＝2或m=74时，函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有三个公共点；
（3）画出函数图象，结合图象可知，当y＝x2+2nx+2经个点A时，n=32，此时有3个交点；当y＝x2﹣2nx+2的顶点在CD上时，n＝2，此时有5个交点；根据临界情况可得32＜n＜2时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有4个交点；当y＝x2﹣2nx+2经过点C时，n=136，此时有5个交点，根据临界情况可得n＞136时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有4个交点．
解：（1）如图：
（2）如图：y＝x2﹣2x+2与y轴的交点为（0，2），
当直线y＝﹣x+m经过（0，2）时，m＝2，此时函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有3个公共点；
当x2﹣2x+2＝﹣x+m时，x2﹣x+2﹣m＝0有两个相等的实数根时，Δ＝1﹣8+4m＝0，
解得m=74，
此时函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有3个公共点；
∴m=74或m＝2时，函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有三个公共点；
（3）如图3，当y＝x2+2nx+2经个点A时，1﹣2n+2＝0，
解得n=32，
当n=32时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有3个交点；
当y＝x2﹣2nx+2的顶点在CD上时，8−4n24=−2，
解得n＝2或n＝﹣2（舍），
当n＝2时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有5个交点；
∴32＜n＜2时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有4个交点；
如图4，当y＝x2﹣2nx+2经过点C时，9﹣6n+2＝﹣2，
解得n=136，
当n=136时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有5个交点，
∴n＞136时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有4个交点；
综上所述：32＜n＜2或n＞136时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有4个交点．
总结提升：本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，根据定义，能够画出正确的函数图象，根据函数图象能能够找到临界情况是解题的关键．
13．(2023•宁南县模拟）新定义：在平面直角坐标系xOy中，若一条直线与二次函数图象抛物线有且仅有一个公共点，且抛物线位于这条直线同侧，则称该直线与此抛物线相切，公共点为切点．现有一次函数y＝﹣4x﹣1与二次函数y＝x2+mx图象相切于第二象限的点A．
（1）求二次函数的解析式及切点A的坐标；
（2）当0＜x＜3时，求二次函数函数值的取值范围；
（3）记二次函数图象与x轴正半轴交于点B，问在抛物线上是否存在点C（异于A）使∠OBC＝∠OBA，若有则求出C坐标，若无则说明理由．
思路引领：（1）联立一次函数y＝﹣4x﹣1与二次函数y＝x2+mx表达式并整理得：x2+（m+4）x+1＝0，由Δ＝0，即可求解；
（2）由抛物线的表达式知，其顶点为（1，﹣1），当x＝0时，y＝0，当x＝3时，y＝x2﹣2x＝3，进而求解；
（3）求出直线AB的表达式为：y＝﹣x+2，而∠OBC＝∠OBA，则直线BC的表达式中的k值为1，进而求解．
解：（1）联立一次函数y＝﹣4x﹣1与二次函数y＝x2+mx表达式并整理得：x2+（m+4）x+1＝0，
∵称该直线与此抛物线相切于点A，
则Δ＝（m+4）2﹣4＝0，解得：m＝﹣2或﹣6，
当m＝﹣2时，由y=−4x−1y=x2−2x，解得：x=−1y=3；
当m＝﹣6时，由y=−4x−1y=x2−6x，解得：x=1y=−5（舍去），
故点A（﹣1，3），二次函数表达式为：y＝x2﹣2x；
（2）由抛物线的表达式知，其顶点为（1，﹣1），
当x＝0时，y＝0，当x＝3时，y＝x2﹣2x＝3，
故函数值的取值范围是：﹣1≤y＜3；
（3）设直线AB的表达式为：y＝kx+b，
则3=−k+bb=2，解得k=−1b=2，
即直线AB的表达式为：y＝﹣x+2，
∵∠OBC＝∠OBA，
则直线BC的表达式中的k值为1，
故直线BC的表达式为：y＝x﹣2，
则y=x2−2xy=x−2，则x2﹣2x＝x﹣2，
解得：x＝2（舍去）或1，
故点C（1，﹣1）．
总结提升：本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，理解“切点”的定义，并利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
14．(2023•天宁区校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（t，0）与（t+6，0）．对于坐标平面内的一动点P，给出如下定义：若∠APB＝45°，则称点P为线段AB的“等角点”．
（1）当t＝1时，
①若点P为线段AB在第一象限的“等角点”，且在直线x＝4上，则点P的坐标为 （4，32+3） ；
②若点P为线段AB的“等角点”，并且在y轴上，则点P的坐标为 （0，3±2） ；
（2）已知直线y＝﹣0.5x+4上总存在线段AB的“等角点”，则t的范围是 ﹣310−1≤t≤310−1 ．
思路引领：（1）①根据P在直线x＝4上画图1，作△APB的外接圆C，连接AC，BC，可知AB＝6，OC的半径为3 2，最后计算PD的长可得点P的坐标；
②同理根据作辅助线，计算OP和OP1的长，可得点P的坐标，注意不要丢解；
（2）当△ABP的外接圆与直线y＝﹣0.5x+4相切时，直线上开始存在线段AB的“等角点”，再根据圆与切线的关系求出t的临界值，即可求t的取值范围．
解：（1）①如图1，作△APB的外接圆，设圆心为C，连接AC，BC，
∵点A与点B的坐标分别是（1，0）与（7，0），
∴AB＝7﹣1＝6，
∵∠APB＝45°，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC＝32，
∴PC＝32，
∵点P在直线x＝4上，
∴AD＝4﹣1＝3，
∴AD＝BD，
∵CD⊥AB，
∴CD＝AD＝3，
∴P（4，32+3），
故答案为：（4，32+3）；
②如图2所示，同理作△APB的外接圆，设圆心为C，过C作CD⊥x轴于D，作CE⊥OP于E，连接PC，P1C，
在y轴上存在∠APB＝∠AP1B＝45°，
则①知：CD＝OE＝3，OD＝CE＝4，PC＝32，
由勾股定理得：PE=(32)2−42=2，
∴PO＝3+2，
同理得：OP1＝3−2，
∴P（0，3±2），
综上分析，点P的坐标为（0，3±2）．
故答案为：（0，3±2）；
（2）作△APB的外接圆C，
∵A（t，0），B（6+t，0），
∴AB＝6，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴C（t+3，3），
∴AC＝32，
设直线y=−12x+4与x轴、y轴的交点分别为M、N，
∴M（8，0），N（0，4），
∴MN＝45，
∴cs∠NMO=25，
过C点作DF⊥x轴于直线MN交于点E，
∴E（t+3，−12t+52），
∴CE＝|−12t+52−3|＝|−12t−12|，
当CP⊥MN时，CP＝32，
∵∠PCE+∠PEC＝90°，∠CEP+∠NMO＝90°，
∴∠PCE＝∠NMO，
∴25=32|−12t−12|，
解得t＝310−1或t＝﹣310−1，
∴﹣310−1≤t≤310−1时，直线y＝﹣0.5x+4上总存在线段AB的“等角点”．
总结提升：本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，圆周角与圆心角的性质，切线与圆的性质，直角三角函数值的定义是解题的关键．
15．(2023•零陵区模拟）九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的“旋转函数”．
小组同学是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参照小组同学的方法解决下面问题：
（1）函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”是 y＝﹣x2﹣4x﹣3 ；
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）2022的值；
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试求证：经过点A1，B1，C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
思路引领：（1）由二次函数的解析式可得出a1，b1，c1的值，结合“旋转函数”的定义可求出a2，b2，c2的值，此问得解；
（2）由函数y＝5x2+（m+1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，可求出m，n的值，将其代入（m+n）2021即可求出结论；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C的坐标，结合对称的性质可求出点A1，B1，C1的坐标，由点A1，B1，C1的坐标，利用交点式可求出过点A1，B1，C1的二次函数解析式，由两函数的解析式可找出a1，b1，c1，a2，b2，c2的值，再由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0可证出经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
（1）解：由函数y＝x2﹣4x+3知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，
∴y＝﹣x2﹣4x﹣3，
故答案为：y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）解：根据题意得：m−1=−nn−3=0，解得m=−2n=3，
∴（m+n）2022＝（3﹣2）2022＝1；
（3）证明：化简y＝2（x﹣1）（x+3）得y＝2x2+4x﹣6，
则A、B、C三点的坐标分别为A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣6），
∴A、B、C三点关于原点对称的点坐标分别为A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6），
∴经过A1、B1、C1三点的函数解析式为y＝﹣2x2+4x+6，
∴y＝﹣2x2+4x+6与原函数y＝2（x﹣1）（x+3）是旋转函数．
总结提升：本题考查了二次函数综合运用，涉及到函数与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、对称的性质以及二次函数图象与几何变换，解题的关键是：（1）利用“旋转函数”的定义求出a2，b2，c2的值；（2）利用“旋转函数”的定义求出m，n的值；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出过点A1，B1，C1的二次函数解析式．
16．(2023•甘井子区校级模拟）定义：将函数C1的图象绕点P（m，0）旋转180，得到新的函数C2的图象，我们称函数C2是函数C1关于点P的相关函数．
例如：当m＝1时，函数y＝（x﹣3）2+9关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x+1）2﹣9．
（1）当m＝0时，
①一次函数y＝﹣x+7关于点P的相关函数为 y＝﹣x﹣7 ．
②点A（5，﹣6）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值．
（2）函数y＝（x﹣2）2+6关于点P的相关函数是y＝﹣（x﹣10）2﹣6，则m＝ 6 ．
（3）当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣6mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数的最大值为8，求m的值．
思路引领：（1）①由相关函数的定义，将y＝﹣x+7旋转变换可得相关函数为y＝﹣x﹣7；②先求出二次函数的相关函数，然后求出相关函数，再把点A代入，即可得到答案；
（2）两函数顶点关于点P中心对称，可用中点坐标公式获得点P坐标，从而获得m的值；
（3）先确定相关函数，然后根据m的取值范围，对m进行分类讨论，以对称轴在给定区间的左侧，中部，右侧，三种情况分类讨论，获得对应的m的值．
解：（1）①根据相关函数的定义，
y＝﹣x+7关于点P（0，0）旋转变换可得相关函数为y＝﹣x﹣7，
故答案为：y＝﹣x﹣7；
②y＝ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2，
∴y＝ax2﹣2ax+a关于点P（0，0）的相关函数为y＝﹣a（x+1）2，
∵点A（5，﹣6）在二次函数y＝﹣a（x+1）2的图象上，
∴﹣6＝﹣a（5+1）2，
解得：a=16；
（2）y＝（x﹣2）2+6的顶点为（2，6），
y＝﹣（x﹣10）2﹣66的顶点坐标为（10，﹣6）；
∵两个二次函数的顶点关于点P （m，0）成中心对称，
∴m=2+102=6，
故答案为：6；
（3）y＝x2﹣6mx+4m2＝（x﹣3m）2﹣5m2，
∴y＝x2﹣6mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数为y＝﹣（x+m）2+5m2．
①当﹣m≤m﹣1，即m≥12时，当x＝m﹣1时，y有最大值为8，
∴﹣（m﹣1+m）2+5m2＝8，
解得m1＝﹣2−13（不符合题意，舍去），m2＝﹣2+13；
②当m﹣1＜﹣m≤m十2，即﹣1≤m＜12时，当x＝﹣m时，y有最大值为8，
∴5m2＝8，
解得：m＝±2105（不合题意，舍去）；
③当﹣m＞m+2，即m＜﹣1时，当x＝m+2，y有最大值为8，
∴﹣（m+2+m）2+5m2＝8，
解得：m＝4﹣27或，m＝4+27（不符合题意，舍去），
综上，m的值为﹣2+13或4﹣27．
总结提升：本题考查了二次函数的性质问题以及中心对称，以及相关函数的定义，旋转的性质，中心对称图形的性质，（3）是本题的难点，需要分三类进行讨论，研究函数的变化轨迹，是很好的一道压轴问题．
17．(2023•庐阳区校级三模）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为关联函数．例如：一次函数y＝x﹣1，它的关联函数为y=−x+1(x＜0)x−1(x≥0)．已知二次函数y＝﹣x2+4x−12．
（1）当第二象限点B（m，32）在这个函数的关联函数的图象上时，求m的值；
（2）当﹣3≤x≤﹣1时求函数y＝﹣x2+4x−12的关联函数的最大值和最小值．
思路引领：（1）由题干定义可得二次函数的关联函数解析式，将点B坐标代入对应解析式，并由m＜0求解．
（2）由（1）可得二次函数在x＜0时的关联函数解析式，分别将x＝﹣1，x＝﹣3代入解析式求解．
解：（1）由题意得二次函数y＝﹣x2+4x−12的关联函数为y=−x2+4x−12(x≥0)x2−4x+12(x＜0)，
当m≥0时，将（m，32）代入y＝﹣x2+4x−12得32=−m2+4m−12，
解得m＝2+2或m＝2−2，
当m＜0时，将（m，32）代入y＝x2﹣4x+12得32=m2﹣4m+12，
解得m＝2−5或m＝2+5（舍）．
∵点B在第二象限，
∴m＜0，
∴m＝2−5．
（2）当x＜0时，y＝﹣x2+4x−12的关联函数为y＝x2﹣4x+12，
∵y＝x2﹣4x+12=（x﹣2）2−72，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，
∴x＜0时，y随x增大而减小，
将x＝﹣3代入y＝x2﹣4x+12得y＝9+12+12=21.5，
将x＝﹣1代入x2﹣4x+12得y＝1+4+12=5.5，
∴当﹣3≤x≤﹣1时求函数y＝﹣x2+4x−12的关联函数的最大值和最小值分别为21.5，5.5．
总结提升：本题考查二次函数的新定义问题，解题关键是理解题意，通过分类讨论求解．
18．(2023•江都区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梅岭点”．
（1）若点P（3，p）是一次函数y＝mx+6的图象上的“梅岭点”，则m＝ ﹣1 ；
若点P（m，m）是函数y=3x−2的图象上的“梅岭点”，则m＝ 3或﹣1 ；
（2）若点P（p，﹣2）是二次函数y＝x2+bx+c的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次函数的表达式；
（3）若二次函数y＝ax2+bx+c（a，b是常数，a＞0）的图象过点（0，2），且图象上存在两个不同的“梅岭点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣1＜x1＜1，|x1﹣x2|＝2，如果k＝﹣b2+2b+2，请直接写出k的取值范围．
思路引领：（1）根据“梅岭点”的定义，P（3．p）的横纵坐标相等，即p＝3m+6＝3；P（m，m）的横纵坐标相等，即m=3m−2，分别求解即得答案；
（2）由题意得：抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x的唯一交点为P（﹣2，﹣2），方程x2+bx+c＝x的根为：x1＝x2＝﹣2，即方程x2+（b﹣1）x+c＝0可写为（x+2）2＝0，对比两个方程的系数，即可求出b，c，进而得出答案：y＝x2+5x+4；
（3）先由“梅岭点”的定义证明x1、x2是方程ax2+（b﹣1）x+2＝0的两个实数根，利用根与系数的关系得出x1+x2=1−ba，x1•x2=2a，进而利用|x1﹣x2|＝2，推出k＝﹣b2+2b+2＝﹣4a2﹣8a+3＝﹣4（a+1）2+7，再由﹣1＜x1＜1计算出a的取值范
围，即可求出k的取值范围．
解：（1）∵点P（3，p）是一次函数y＝mx+6的图象上的梅岭点，
∴p＝3m+6＝3，
解得：m＝﹣1，
∵点P（m，m）是函数y=3x−2的图象上的“梅岭点”，
∴m=3m−2，
整理得：m2﹣2m﹣3＝0，
解得：m1＝3，m2＝﹣1，
经检验，m1＝3，m2＝﹣1都是m=3m−2的根，
∴m＝3或﹣1；
故答案为：﹣1；3或﹣1；
（2）点P（p，﹣2）是二次函数y＝x2+bx+c的图象上唯一的“梅岭点”，
即抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x的唯一交点为P（﹣2，﹣2），
∴方程x2+bx+c＝x的根为：x1＝x2＝﹣2，
即方程x2+（b﹣1）x+c＝0可写为（x+2）2＝0，
∴x2+（b﹣l）x+c＝x2+4x+4．
∴b﹣1＝4，c＝4，
∴b＝5，
∴二次函数的表达式为y＝x2+5x+4；
（3）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b是常数，a＞0）的图象过点（0，2），
∴c＝2，
∴y＝ax2+bx+2，
∵y＝ax2+bx+2图象上存在两个不同的“梅岭点”A（x1，x1），B（x2，x2），
∴x1＝ax12+bx1+2，x2＝ax22+bx2+2，
∴ax12+（b﹣1）x1+2＝0，ax22+（b﹣1）x2+2＝0，
∴x1、x2是方程ax2+（b﹣1）x+2＝0的两个实数根，
∴x1+x2=1−ba，x1•x2=2a，
∵|x1﹣x2|＝2，
∴（x1﹣x2）2＝4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝（1−ba）2﹣4×2a=4，
∴b2﹣2b+1﹣8a＝4a2，
∴k＝﹣b2+2b+2＝﹣4a2﹣8a+3＝﹣4（a+1）2+7，
∵|x1﹣x2|＝2，
∴x1﹣x2＝﹣2或x2﹣x1＝2，
∵﹣1＜x1＜1，
∴﹣3＜x2＜﹣1或1＜x2＜3
∴﹣3＜x1•x2＜3，
∴﹣3＜2a＜3，
∵a＞0，
∴a＞23，
∴﹣4（a+1）2+7＜﹣4×（23+1）2+7=−379，
∴k＜−379．
总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，不等式性质等知识点，熟练掌握根与系数关系，理解应用新定义“梅岭点”是解题的关键．
19．(2023•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于线段AB，给出如下定义：若将线段AB沿着某条直线l对称可以得到⊙O的弦A′B′（A′，B′分别为A，B的对应点），则称线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的对称的“反射线段”，直线l称为“反射轴”．
（1）如图1，线段CD、EF、GH中是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”有 CD、EF ；
（2）已知A点的坐标为（0，2），B点坐标为（1，1）．
①如图2，若线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，画出图形，反射轴l与y轴的交点M的坐标是 （0，12） ．
②若将“反射线段”AB沿直线y＝x的方向向上平移一段距离S，其反射轴l与y轴的交点的纵坐标yM的取值范围为12≤yM≤136，求S的取值范围．
（3）已知点M、N是在以（2，0）为圆心，半径为13的圆上的两个动点，且满足MN=2，若MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，反射轴l与y轴的交点的纵坐标的取值范围是 y＞1或y＜﹣1 ．
思路引领：（1）在圆中找出对应的弦，其中GH大于圆的直径，故否定；
（2）①画出AB的反射弦，找出对应点的垂直平分线；
②以AB为斜边作等腰直角三角形AO′B，连接OO′，交⊙O于A′，作BB′∥AA′，交⊙O于B′，则A′B′是AB的反射弦，对称轴是OO′的中垂线l，然后根据垂直平分线上点到线段两端距离相等，求得S=136时的值，从而确定S的范围；
（3）根据（2）的方法找到MN所在的圆心O3，当M点在圆上运动一周时，如图，取OO3的中点A1，OT的中点S，即OO3的中点A1在以S为圆心，半径为2的圆上运动，进而即可求得反射轴l与y轴交点的纵坐标y的取值范围．
解：（1）∵E′F′是EF关于直线CC′的对称的弦，
∴EF是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，
∵C′E′是CD关于直线x＝1的对称的弦，
∴线段CD是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，
∵GH=5，⊙O的直径C′E′＝2，EF＞C′E′，
∴线段GH不是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，
故答案是：CD、EF；
（2）①如图2，
AB关于直线l的对称弦是A′B′，
直线l与y轴交点M（0，12），
故答案为：（0，12）；
②如图3，
以AB为斜边作等腰直角三角形AO′B，连接OO′，交⊙O于A′，作BB′∥AA′，交⊙O于B′，
则A′B′是AB的反射弦，对称轴是OO′的中垂线l，
∵A（22S，2+22S），B（1+22S，1+22S），
∴O′（22S，1+22S），
设l交y轴于C（0，a），
由CO＝CO′得，（22S）2+（1+22S﹣a）2＝a2，
当a=136时，S1=−22（舍去），S2=523，
∴0≤S≤523；
（3）如图，根据（2）的方法找到MN所在的圆心O3，
设T（2，0），
则TM=13，
∵MN=2，△O3MN是等腰直角三角形，
∴O3L=22=ML，
∴TL=TM2−ML2=13−12=522，
∴TO3＝22，
当点在圆上运动一周时，如图，取OO3的中点A1，OT的中点S，
∴SA1是△OO3T的中位线，
∴SA1=12O3T=2，SA1∥TO3，
即OO3的中点A1．在以S为圆心，半径为2的圆上运动，
∴若MN是⊙O的以直线l为对称轴的反射线段，
则l为⊙S的切线．
设⊙S与y轴交于点C，D，
∵OS=12OT＝1，SC＝SA1＝SD=2，
∴OC＝1，OD＝1，
∴反射轴l与y轴交点的纵坐标y的取值范围为y＞1或y＜﹣1．
总结提升：本题考查了圆的综合应用，掌握中心对称与轴对称，切线的性质，三角形中位线定理，余弦的定义是解题的关键．
20．(2023•亭湖区校级三模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．
求证：四边形ABEF是邻余四边形．
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．
（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝4BE，QB＝6，求邻余线AB的长．
思路引领：（1）由等腰三角形的“三线合一“性质可得AD⊥BC，则可得∠DAB与∠DBA互余，即∠FAB与∠EBA互余，从而可得答案；
（2）画出图形即可．
（3）先由等腰三角形的“三线合一“性质可得BD＝CD、DM＝ME，再判定△DBQ∽△ECN，从而列出比例式，将已知线段的长代入即可得解．
解：（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∴∠FAB与∠EBA互余，
∴四边形ABEF是邻余四边形；
（2）如图所示（答案不唯一），
四边形AFEB为所求；
（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴BD＝CD，
∵DE＝4BE，
∴BD＝CD＝5BE，
∴CE＝CD+DE＝9BE，
∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，
∴DM＝ME，
∴∠MDE＝∠MED，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴△DBQ∽△ECN，
∴QBNC=BDCE=59，
∵QB＝6，
∴NC=545，
∵AN＝CN，
∴AC＝2CN=1085，
∴AB＝AC=1085．
总结提升：本题考查了四边形的新定义，综合考查了等腰三角形的“三线合一“性质、相似三角形的判定与性质等知识点，读懂定义并明确相关性质及定理是解题的关键．
21．(2023•寻乌县二模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图①，∠B＝∠C，则四边形ABCD为“等邻角四边形”．
（1）定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形得是 ②④ ．
①平行四边形
②矩形
③菱形
④等腰梯形
（2）深入探究：
①已知四边形ABCD为“等邻角四边形”，且∠A＝120°，∠B＝100°，则∠D＝ 70 °．
②如图②，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC，求证：四边形ABDE为等邻角四边形．
（3）拓展应用：
如图③，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠C，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，PM+PN的值是否会发生变化？请说明理由．
思路引领：（1）根据“等邻角四边形”的定义判断即可；
（2）①由∠A＝130°，∠B＝120°知：不可能还有内角与∠A、∠B相等（否则内角和大于360°），则∠C＝∠D，即得∠D＝55°；
②由ED∥BC得∠EDB＝∠DBC，根据对角线BD平分∠ABC，得∠ABD＝∠DBC，故∠ABD＝∠EDB，即证得四边形ABDE为等邻角四边形；
（3）过C作CH⊥AB于H，过P作PG⊥CH于G，由PM⊥AB，CH⊥AB，PG⊥CH，得四边形PMHG是矩形，得PM＝HG，可证明△PGC≌△CNP，得CG＝PN，即有PM+PN＝HG+CG＝CH，从而说明在点P的运动过程中，PM+PN的值总等于C到AB的距离，不会变化．
（1）解：根据“等邻角四边形”的定义可知矩形，等腰梯形是“等邻角四边形”．
故答案为：②④；
（2）①解：∵∠A＝120°，∠B＝100°，根据“等邻角四边形”定义可知：∠C＝∠D，
∴∠D＝（360°﹣120°﹣100°）÷2＝70°，
故答案为：70；
②证明：∵ED∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴四边形ABDE为等邻角四边形；
（3）解：在点P的运动过程中，PM+PN的值不会发生变化，理由如下：
过C作CH⊥AB于H，过P作PG⊥CH于G，如图：
∵PM⊥AB，CH⊥AB，PG⊥CH，
∴∠PMH＝∠MHG＝∠HGP＝90°，
∴四边形PMHG是矩形，
∴PM＝HG，MH∥PG，即AB∥PG，
∴∠B＝∠GPC，
∵∠B＝∠NCP，
∴∠GPC＝∠NCP，
∵PN⊥CD，
∴∠PGC＝∠CNP＝90°，
在△PGC和△CNP中，
∠PGC=∠CNP∠GPC=∠NCPCP=CP，
∴△PGC≌△CNP（AAS），
∴CG＝PN，
∴PM+PN＝HG+CG＝CH，
即在点P的运动过程中，PM+PN的值总等于C到AB的距离，是定值．
总结提升：本题是四边形综合题，考查多边形综合应用，涉及新定义、多边形内角和、三角形全等的判定及性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
22．(2023•东胜区二模）【概念理解】定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形如图①．
我们学习过的四边形中是垂美四边形的是 菱形、正方形 ；（写出一种即可）
【性质探究】
利用图①，垂美四边形ABCD两组对边AB，CD的平方和与BC，AD的平方和之间的数量关系是 AD2+BC2＝AB2+CD2 ；
【性质应用】
（1）如图②，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，D，E分别是AB，BC的中点，连接AE，CD，若AE⊥CD，则AB的长为 271 ；
（2）如图③，等腰Rt△BCE和等腰Rt△ADE中，∠BEC＝∠AED＝90°，AC与BD交于O点，BD与CE交于点F，AC与DE交于点G．若BE＝6，AE＝8，AB＝12，求CD的长；
【拓展应用】如图④，在▱ABCD中，点E、F、G分别是AD、AB、CD的中点，EF⊥CF，AD＝6，AB＝8，求BG的长．
思路引领：【概念理解】根据菱形和正方形的对角线互相垂直、垂美四边形的概念判断即可；
【性质探究】根据垂美四边形的概念、勾股定理计算，得到答案；
【性质应用】（1）根据垂美四边形的概念计算，得到答案；
（2）先△BED≌△CEA（SAS），得∠BDE＝∠CAE，根据三角形内角和定理可得∠AOD＝∠AEG＝90°，最后根据垂美四边形的定义可得结论；
【拓展应用】如图④，连接AG，BD，交于点O，证明△BED≌△CEA（SAS），可得∠BDE＝∠CAE，然后证明AC⊥BD于点O，可得四边形ABCD是垂美四边形，最后根据垂美四边形的定义可得结论．
解：【概念理解】∵学习过的四边形有平行四边形，矩形，菱形，正方形，
而两条对角线互相垂直的四边形是菱形，正方形，
∴菱形、正方形一定是垂美四边形，
故答案为：菱形、正方形；
【性质探究】
垂美四边形ABCD两组对边AB，CD的平方和与BC，AD的平方和之间的数量关系是：AD2+BC2＝AB2+CD2，
证明如下：如图①，设AC与BD交于点O，
∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
故答案为：AD2+BC2＝AB2+CD2；
【性质应用】
（1）如图②，连接DE，
∵AE⊥CD，
∴四边形ADEC是垂美四边形，
∴AD2+EC2＝AC2+ED2，
∵BC＝6，AC＝8，D，E分别是AB，BC的中点，
∴EC=12BC＝3，AB＝2AD，DE=12AC＝4，
∴AD2+32＝82+42，
∴AD=71（负值舍去），
∴AB＝2AD＝271，
故答案为：271；
（2）如图③，∵△BCE和△AED是等腰直角三角形，
∵∠BEC＝∠AED＝90°，
∴∠BEC+∠CED＝∠CED+∠AED，
即∠BED＝∠CEA，
∵BE＝EC，AE＝ED，
∴△BED≌△CEA（SAS），
∴∠BDE＝∠CAE，
∵∠AGE＝∠DGO，
∴∠AOD＝∠AEG＝90°，
∴AC⊥BD于点O，
∴四边形ABCD是垂美四边形，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2，
∵BE＝6，AE＝8，
∴BC＝62，AD＝82，
∵AB＝12，
∴（82）2+（62）2＝122+CD2，
∴CD＝214；
【拓展应用】如图④，连接AG，BD，交于点O，
在▱ABCD中，
∵AD＝6，AB＝8，
∴BC＝6，CD＝8，
∵点E、F、G分别是AD、AB、CD的中点，
∴EF∥BD，DG=12CD＝4，AF=12AB，
∴CG∥AF，CG＝AF，
∴四边形AFCG是平行四边形，
∴AG∥CF，
∵EF⊥CF，
∴BD⊥AG，
∴四边形ABGD是垂美四边形，
∴AD2+BG2＝AB2+GD2，
∴62+BG2＝82+42，
∴BG＝211．
总结提升：本题是四边形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
23．(2023•修水县一模）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”．例如：在四边形ABCD中，若∠A+∠C＝180°或∠B+∠D＝180°，则四边形ABCD是“对补四边形”．
概念理解．
（1）如图1，已知四边形ABCD是“对补四边形”．
①若∠A：∠B：∠C＝3：2：1，则∠D的度数为 90° ；
②若∠B＝90°，且AB＝3，AD＝2，则CD2﹣CB2＝ 5 ．
拓展延伸．
（2）如图2，已知四边形ABCD是“对补四边形”．当AB＝CB，且∠EBF=12∠ABC时，试猜想AE，CF，EF之间的数量关系，并证明．
思路引领：（1）①设∠C＝n°，则∠A＝3n°，∠B＝2n°，由四边形ABCD是“对补四边形”得3n+n＝180，则n＝45，即可求得∠B＝2n°＝90°，则∠D＝180°﹣∠B＝90°；
②由∠B＝90°，得∠D＝90°，根据勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2，CB2＝AC2﹣AB2，则CD2﹣CB2＝AB2﹣AD2＝32﹣22＝5．
（2）延长DF到点G，使AE＝CG，根据“同角的补角相等”证明∠A＝∠BCG，即可证明△ABE≌△CBG，得BE＝BG，∠ABE＝∠CBG，则∠EBF＝∠GBF=12∠ABC，即可证明△EBF≌△GBF，得EF＝GF，则AE+CF＝CG+CF＝GF＝EF．
解：（1）①设∠C＝n°，
∵∠A：∠B：∠C＝3：2：1，
∴∠A＝3n°，∠B＝2n°，
∵四边形ABCD是“对补四边形”，
∴∠A+∠C＝180°，∠B+∠D＝180°，
∴3n+n＝180，
解得n＝45，
∴∠B＝2n°＝90°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝90°，
故答案为：90°．
②如图1，连接AC，
∵∠B＝90°，
∴∠D＝90°，
∴CD2＝AC2﹣AD2，CB2＝AC2﹣AB2，
∴CD2﹣CB2＝AC2﹣AD2﹣（AC2﹣AB2）＝AB2﹣AD2，
∵AB＝3，AD＝2，
∴CD2﹣CB2＝32﹣22＝5，
故答案为：5．
（2）AE+CF＝BF，
证明：如图2，延长DF到点G，使AE＝CG，则∠BCG+∠BCD＝180°，
∵四边形ABCD是“对补四边形”，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠A＝∠BCG，
∵AB＝CB，
∴△ABE≌△CBG（SAS），
∴BE＝BG，∠ABE＝∠CBG，
∵∠EBF=12∠ABC，
∴∠GBF＝∠CBF+∠CBG＝∠CBF+∠ABE=12∠ABC，
∴∠EBF＝∠GBF，
∵BF＝BF，
∴△EBF≌△GBF（SAS），
∴EF＝GF，
∵AE+CF＝CG+CF＝GF，
∴AE+CF＝EF．
总结提升：此题重点考查四边形的内角和等于360°、勾股定理的应用、同角的补角相等、全等三角形的判定与性质、新定义问题的求解等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
24．(2023•盐城一模）对于平面内的两点K、L，作出如下定义：若点Q是点L绕点K旋转所得到的点，则称点Q是点L关于点K的旋转点；若旋转角小于90°，则称点Q是点L关于点K的锐角旋转点．如图1，点Q是点L关于点K的锐角旋转点．
（1）已知点A（4，0），在点Q1（0，4），Q2（2，23），Q3（﹣2，23），Q4（22，﹣22）中，是点A关于点O的锐角旋转点的是 Q2，Q4 ．
（2）已知点B（5，0），点C在直线y＝2x+b上，若点C是点B关于点O的锐角旋转点，求实数b的取值范围．
（3）点D是x轴上的动点，D（t，0），E（t﹣3，0），点F（m，n）是以D为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足n≥0．若直线y＝2x+6上存在点F关于点E的锐角旋转点，请直接写出t的取值范围．
思路引领：（1）如图中，满足条件的点在半圆上（不包括点A以及y轴上的点），点Q2，Q4满足条件．
（2）如图中，以O为圆心，3为半径作半圆，交y轴于P（0，3），P′（0，﹣3）当直线y＝2x+b与半圆有交点（不包括P，B）时，满足条件．
（3）根据题意，点F关于点E的锐角旋转点在半圆E上，设点P在半圆S上，点Q在半圆T上（将半圆D绕点E旋转），如图3（1），半圆扫过的区域为图3（1）中阴影部分，求出图3（2），图3（3）中，t的值，可得结论．
解：（1）如图，∵A（4，0），Q1（0，4），
∴OA＝OQ1＝4，∠AOQ1＝90°，
∴点Q1不是点A关于点O的锐角旋转点；
∵Q2（2，23），作Q2F⊥x轴于点F，
∴OQ2=OF2+Q2F2=22+(23)2=4＝OA，
∵tan∠Q2OF=232=3，
∴∠Q2OF＝60°，
∴点Q2是点A关于点O的锐角旋转点；
∵Q3（﹣2，23），作Q3G⊥x轴于点G，
则tan∠Q3OG=Q3GOG=232=3，
∴∠Q3OG＝60°，
∴OQ3=OGcs∠Q3OG=2cs60°=4＝OA，
∵∠AOQ3＝180°﹣60°＝120°，
∴Q3不是点A关于点O的锐角旋转点；
∵Q4（22，﹣22），作Q4H⊥x轴于点H，
则tan∠Q4OH=Q4HOH=2222=1，
∴∠Q4OH＝45°，
∵OQ4=OHcs∠Q4OH=22cs45°=4＝OA，
∴Q4是点A关于点O的锐角旋转点；
综上所述，在点Q1，Q2，Q3，Q4中，是点A关于点O的锐角旋转点的是Q2，Q4，
故答案为：Q2，Q4．
（2）在y轴上取点P（0，5），当直线y＝2x+b经过点P时，可得b＝5，
当直线y＝2x+b经过点B时，则2×5+b＝0，
解得：b＝﹣10，
∴当﹣10＜b＜5时，OB绕点O逆时针旋转锐角时，点C一定可以落在某条直线y＝2x+b上，
过点O作OG⊥直线y＝2x+b，垂足G在第四象限时，如图，
则OT＝﹣b，OS=−12b，
∴ST=OS2+OT2=(−12b)2+(−b)2=−52b，
当OG＝5时，b取得最小值，
∵5×（−52b）＝﹣b×（−12b），
∴b＝﹣55，
∴﹣55≤b＜5．
（3）根据题意，点F关于点E的锐角旋转点在半圆E上，设点P在半圆S上，点Q在半圆T上（将半圆D绕点E旋转），如图3（1），半圆扫过的区域为图3（1）中阴影部分，
如图3（2）中，阴影部分与直线y＝2x+6相切于点G，tan∠EMG＝2，SG＝3，过点G作GI⊥x轴于点I，过点S作SJ⊥GI于点J，
∴∠SGJ＝∠EMG，
∴tan∠SGJ＝tan∠EMG＝2，
∴GJ=355，SJ=655，
∴GI＝GJ+JI＝3+355，
∴MI=12GI=32+3510，
∴OE＝IE+MI﹣OM=352−32，即xE＝t﹣3=352−32，
解得t=352+32，
如图3（3）中，阴影部分与HK相切于点G，tan∠OMK＝tan∠EMH＝2，EH＝6，则MH＝3，EM＝35，
∴xE＝t﹣3＝﹣3﹣35，
解得t＝﹣35，
观察图象可知，﹣35≤t＜3+352+32．
总结提升：本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，点P是点M关于点N的锐角旋转点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题，属于压轴题．
25．(2023•寿阳县模拟）所谓“新定义”试题指给出一个从未接触过的新规定，源于中学数学内容但又是学生没有遇到过的新信息，它可以是新的概念、新的运算、新的符号、新的图形、新的定理或新的操作规则与程序等．在解决它们的过程中又可产生了许多新方法、新观念，增强了学生创新意识．主要包括以下类型：①概念的“新定义”；②运算的“新定义”；③新规则的“新定义”；④实验操作的“新定义”；⑤几何图形的新定义．如果我们新定义一种四边形：有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．
（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B=12∠D，∠C=12∠A，请你利用所学知识求出∠B与∠C的度数之和；
（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO．∠OBA的平分线交OA于点E，连接DE并延长交AC于点F，若∠AFE＝2∠EAF．请你判断四边形DBCF是不是半对角四边形？并说明理由．
思路引领：（1）根据四边形内角和以及新定义进行计算即可求解；
（2）证明△BED≌△BEO（SAS），可得∠BCF=12∠BDE，连接OC，设∠EAF＝α．则∠AFE＝2∠EAF＝2α，根据三角形内角和以及等边对等角可得∠ABC=12∠AOC=12∠EFC，根据定义即可得证．
（1）解：在半对角四边形ABCD中，∠B=12∠D，∠C=12∠A．
∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
∴3∠B+3∠C＝360°．
∴∠B+∠C＝120°．
即∠B与∠C的度数之和120°．
（2）证明：在△BED和△BEO中，
BD=BO∠EBD=∠EBOBE=BB．
∴△BED≌△BEO（SAS）．
∴∠BDE＝∠BOE．
又∵∠BCF=12∠BOE．
∴∠BCF=12∠BDE．
如图2，连接OC，
设∠EAF＝α，则∠AFE＝2∠EAF＝2α．
∴∠EFC＝180°﹣∠AFE＝180°﹣2α．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝α．
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝180°﹣2α，
则∠AOC＝∠EFC，
又∵∠ABC=12∠AOC，
∴∠ABC=12∠AOC=12∠EFC．
∴四边形DBCF是半对角四边形．
总结提升：本题考查了几何图形的新定义，四边形内角和，圆内接三角形，圆的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，理解新定义是解题的关键．
26．(2023•泗洪县三模）定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形．
（1）选择：下列四边形中，一定是圆美四边形的是 D
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
（2）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，经过点A，B的⊙O交AC边于点D，交BC于点E，连接DE，若四边形ABED为圆美四边形，求DE的长；
（3）如图2，AD是△ABC外接圆⊙O的直径，交BC于点E，点P在AD上，延长BP交⊙O于点F，已知PB2＝PE•PA．问四边形ABFC是圆美四边形吗？为什么？
思路引领：（1）根据圆美四边形的定义直接得出结论；
（2）先判断出∠BED＝∠CED＝90°，得出△DEC是等腰直角三角形，可得DE＝CE＝BC﹣B，从而得结论；
（3）作辅助线，先判断出△BPE∽△APB，得出∠CBP＝∠BAP，根据圆周角定理和三角形内角和定理可得结论．
解：（1）根据圆美四边形的定义知，正方形是圆美四边形，
故答案为：D；
（2）如图1，连接BD，AE，
等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，
∴BC=2，∠C＝45°，
∵∠BAC＝90°，
∴BD为⊙O的直径，
∴∠BED＝∠CED＝90°，
∴△DEC是等腰直角三角形，
∴DE＝CE，
∵四边形ABED为圆美四边形，
∴BD⊥AE，
∴AB=BE，
∴AB＝BE＝1，
∴DE＝CE=2−1；
（3）四边形ABFC是圆美四边形，理由如下：
如图2，连接AF，BD，
∴∠D＝∠AFB，
∵PB2＝PE•PA，
∴PBPA=PEPB，
∵∠BPE＝∠APB，
∴△BPE∽△APB，
∴∠BAP＝∠CBF，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠D+∠BAP＝90°，
∴∠AFB+∠CBF＝90°，
∴∠BGF＝90°，
∴BC⊥AF，
∵A，B，F，C都在⊙O上，
∴四边形ABFC是圆美四边形．
总结提升：此题是圆的综合题，主要考查了圆美四边形的定义的理解和应用，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆美四边形的定义、相似三角形的判定和性质是解本题的关键．
27．(2023•淮阴区校级一模）定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做和谐四边形，其中这条对角线叫做和谐对角线，这条边叫做和谐边．
【概念理解】
（1）如图1，四边形ABCD是和谐四边形，对角线AC与BD交于点G，BD是和谐对角线，AD是和谐边．
①△ADG与△BCG的形状是 等腰 三角形．
②若AD＝4，则BD＝ 8 ．
【问题探究】
（2）如图2，四边形ABCD是矩形，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE交BC于点F，AD＝4，AB＝k．
①当k＝2时，请说明四边形ABEC是和谐四边形；
②是否存在值k，使得四边形ABCD是和谐四边形，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
【应用拓展】
（3）如图3，四边形ABCD与四边形ABEC都是和谐四边形，其中BD与AE分别是和谐对角线，AD与AC分别是和谐边，AB＝4，AD＝k，请直接写出k的值 463 ．
思路引领：（1）①根据和谐四边形定义可得BG＝DG＝AD＝BC，进而可以解决问题；
②根据和谐四边形定义可得BD＝2AD＝8，进而可以解决问题；
（2）①由平行四边形的性质得出AB∥DE，证出四边形ABEC是平行四边形，求出BC＝2AB，即可得出四边形ABEC是和谐四边形；
②当AC＝2CD时，四边形ABCD是和谐四边形，此时AC＝2k，然后根据勾股定理求出k的值；当AC＝2AD时，四边形ABCD是和谐四边形，此时AC＝8，由勾股定理即可求出k的值；
（3）由和谐四边形的定义得出AD＝DG，得出∠DAG＝∠AGD，同理AC＝AF，得出∠ACF＝∠AFC，证出∠ADG＝∠CAF，ADBD=ACAE，得出△ADB∽△ACE，由AB＝CE，得出△ADB≌△ACE，得出AC＝AD，作DM⊥AC于M，设AM＝x，则AC＝AD＝4x，由勾股定理得：DM=15x，CD＝26x，由CD＝AB＝4得出方程，解方程即可．
解：（1）①∵四边形ABCD是和谐四边形，BD是和谐对角线，AD是和谐边，
∴BG＝DG＝AD＝BC，
∴△ADG与△BCG的形状是等腰三角形；
②∵AD＝4，
∴BD＝2AD＝8，
故答案为：等腰；8；
（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DE，
∵BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∵BC＝AD＝4，AB＝k＝2，
∴BC＝2AB，
∴四边形ABEC是和谐四边形；
②存在，理由如下：
当AC＝2CD时，四边形ABCD是和谐四边形，
∵AD＝4，CD＝AB＝k，
∴AC＝2k，
∴AC2﹣DC2＝AD2，
∴4k2﹣k2＝16，
解得k＝±433（负值舍去），
∴k=433；
当AC＝2AD时，四边形ABCD是和谐四边形，
∵AD＝4，CD＝AB＝k，
∴AC＝8，
∴k2＝82﹣42，
解得：k＝±43（负值舍去），
∴k＝43；
∴k的值为433或43时，四边形ABCD是和谐四边形；
（3）∵四边形ABCD是和谐四边形，BD为和谐对角线，AD为和谐边，
∴AD＝DG，
∴∠DAG＝∠AGD，
∵四边形ABEC是和谐四边形，AE为和谐对角线，AC为和谐边，
∴AC＝AF，
∴∠ACF＝∠AFC，
∵AD∥BC，
∴∠DAG＝∠ACF，
∴∠DAG＝∠AGD＝∠ACF＝∠AFC，
∴∠ADG＝∠CAF，
∵ADBD=12，ACAE=12，
∴ADBD=ACAE，
∴△ADB∽△ACE，
∵AB＝CE，
∴相似比为1，
∴△ADB≌△ACE，
∴AC＝AD，
作DM⊥AC于M，如图3所示：
∵AD＝DG，
∴AM＝GM，
设AM＝x，则AG＝2x，
∴AC＝2AG＝AD＝4x，
∴CM＝3x，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：
DM=AD2−AM2=15x，
在Rt△DMC中，由勾股定理得：
CD=DM2+CM2=15x2+9x2=26x，
∵CD＝AB＝4，
∴26x＝4，
∴x=63，
∴AD＝4x=463，
∴AD＝k=463．
故答案为：463．
总结提升：本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、和谐四边形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．解决本题的关键是理解和谐四边形定义．
28．(2023•亭湖区校级模拟）问题：A4纸给我们矩形的印象，这个矩形是特殊矩形吗？
思考：通过度量、上网查阅资料，小丽同学发现A4纸的长与宽的比是一个特殊值“2”定义：如图1，点C把线段AB分成两部分，如果ACBC=2，那么点C为线段AB的“白银分割点”如图2，矩形ABCD中，BCAB=2，那么矩形ABCD叫做白银矩形．
应用：（1）如图3，矩形ABCD是白银矩形，AD＞AB，将矩形沿着EF对折，求证：矩形ABFE也是白银矩形．
（2）如图4，矩形ABCD中，AB＝1，BC=2，E为CD上一点，将矩形ABCD沿BE折叠，使得点C落在AD边上的点F处，延长BF交CD的延长线于点G，说明点E为线段GC的”白银分制点”．
（3）已知线段AB（如图5），作线段AB的一个“白银分割点”．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
思路引领：（1）设AB＝m，则AD=2m，根据将矩形沿着EF对折，可得AE＝DE=12AD=22m，即知ABAE=m22m=2，故矩形ABFE也是白银矩形；
（2）根据四边形ABCD是矩形，矩形ABCD沿BE折叠，使得点C落在AD边上的点F处，可得AF=BF2−AB2=1，从而有△ABF是等腰直角三角形，即可证△GFE的等腰直角三角形，故GE=2EF，即得GE=2CE，从而E是线段GC的”白银分制点”；
（3）过B作BH⊥AB，在BH上取BE＝AB，连接AE，作∠AEB的角平分线交AB于K，则点K即为线段AB的“白银分割点”．
（1）证明：∵矩形ABCD是白银矩形，AD＞AB，
∴设AB＝m，则AD=2m，
∵将矩形沿着EF对折，
∴∠AEF＝∠DEF＝90°，AE＝DE=12AD=22m，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∵ABAE=m22m=2，
∴矩形ABFE也是白银矩形；
（2）证明：如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°＝∠C，
∵矩形ABCD沿BE折叠，使得点C落在AD边上的点F处，
∴BF＝BC=2，∠BFE＝∠C＝90°＝∠GFE，EF＝CE，
∵AB＝1，
∴AF=BF2−AB2=(2)2−12=1，
∴AB＝AF，
∴△ABF是等腰直角三角形，∠AFB＝45°＝∠GFD，
∵∠ADC＝90°＝∠ADG，
∴∠G＝45°，
∴△GFE的等腰直角三角形，
∴GE=2EF，
∴GE=2CE，
∴E是线段GC的”白银分制点”；
（3）如图：
过B作BH⊥AB，在BH上取BE＝AB，连接AE，作∠AEB的角平分线交AB于K，
点K即为线段AB的“白银分割点”．
总结提升：本题考查几何变换综合应用，涉及新定义，矩形的性质及应用，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是读懂“白银三角形”，“白银分割点”的定义．
29．(2023•盐田区二模）定义：将图形M绕点P顺时针旋转90°得到图形N，则图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．
例如：在图中，点D为点C关于点P的“垂直图形”．
（1）点A关于原点O的“垂直图形”为点B．
①若点A的坐标为（0，2），直接写出点B的坐标；
②若点B的坐标为（2，1），直接写出点A的坐标；
（2）已知E（﹣3，3），F（﹣2，3），G（a，0）．线段EF关于点G的“垂直图形”记为E'F'，点E的对应点为E'，点F的对应点为F'．
①求点E'的坐标；
②当点G运动时，求FF'的最小值．
思路引领：（1）①直接根据两坐标轴互相垂直得出答案；
②过点A作AP⊥x轴于P，过点B作BQ⊥x轴于Q，判断出△AOP≌△OBQ（AAS），得出OP＝BQ，即可求出答案；2）；
（2）①Ⅰ、当a≥﹣3时，过点E作EM⊥x轴于M，过点E'作E'N⊥x轴于N，同（1）②的方法得，△EGM≌△GE'N（AAS），进而得出EM＝GN，MG＝NE'，求出点E'的坐标；
Ⅱ、当a＜﹣3时，同Ⅰ的方法求出点E'的坐标，即可得出答案；
②同①的方法得出点F'（a+3，a+2），进而得出点F'在直线y＝x﹣1上，进而得出FF'⊥直线y＝x﹣1时，FF'最小，即可求出答案．
解：（1）①∵点A关于原点O的“垂直图形”为点B，且点A（0，2），
∴点B（2，0）；
②如图1，
过点A作AP⊥x轴于P，过点B作BQ⊥x轴于Q，
∴∠APO＝∠OQB＝90°，
∴∠A+∠AOP＝90°，
∵点A关于原点O的“垂直图形”为点B，
∴OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠AOP+∠BOQ＝90°，
∴∠A＝∠BOQ，
∴△AOP≌△OBQ（AAS），
∴OP＝BQ，AP＝OQ，
∵B（2，1），
∴OQ＝2，BQ＝1，
∴OP＝1，AP＝2，
∴A（﹣1，2）；
（2）①Ⅰ、当a≥﹣3时，如图2，
过点E作EM⊥x轴于M，过点E'作E'N⊥x轴于N，
同（1）②的方法得，△EGM≌△GE'N（AAS），
∴EM＝GN，MG＝NE'，
∵E（﹣3，3），G（a，0），
∴EM＝3，MG＝a﹣（﹣3）＝a+3，
∴GN＝3，NE'＝a+3，
∴ON＝a+3，
∴E'（a+3，a+3）；
Ⅱ、当a＜﹣3时，如图3，
过点E作EK⊥x轴于K，过点E'作E'L⊥x轴于L，
同（1）②的方法得，△EGK≌△GE'L（AAS），
∴EK＝GL，KG＝LE'，
∵E（﹣3，3），G（a，0），
∴EK＝3，KG＝﹣3﹣a＝﹣（a+3），
∴GL＝3，LE'＝﹣（a+3），
∴OL＝a+3，
∴E'（a+3，a+3）；
即点E的坐标为（a+3，a+3）；
②Ⅰ、当a≥﹣2时，同①的方法得，点F'（a+3，a+2），
Ⅱ、当a＜﹣2时，同①的方法得，点F'（a+3，a+2），
∴点F'（a+3，a+2），
∴点F'在直线y＝x﹣1上，
∴FF'⊥直线y＝x﹣1时，FF'最小，
如图4，记直线y＝x﹣1与x，y轴相交于V，W，
∴V（1，0），
则∠OVW＝45°，连接FV，过点F作FT⊥x轴于T，
∵F（﹣2，3），
∴FT＝VT＝3，
∴∠FVT＝45°，
∴⊥FVW＝90°，
即点F'和点V重合时，FF'最小值为FV，
FV=(1+2)2+32=32，
即FF'最小值为32．
总结提升：此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
30．(2023•高新区校级二模）在数学课上，当老师讲到直线与圆的位置关系时，张明同学突发奇想，特殊线与圆在不同的位置情况下会有怎样的数量关系呢？于是在课下他查阅了老师推荐他的《几何原本》，这本书是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作．它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．其中第三卷命题36﹣2圆幂定理（切割线定理）内容如下：
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
（比例中项的定义：如果a、b、c三个量成连比例即a：b＝b：c，则b叫做a和c的比例中项）
（1）为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程．
已知：如图，A是圆O外一点，AB是圆O的切线，直线ACD为圆O的割线．
求证：
证明：
（2）如图，已知AC＝2，CD＝4，则AB的长度是 23 ．
思路引领：（1）按照题设要求，写出“求证”，作辅助线，构建相似三角形，然后证明△ABC∽△ADB，即可求解；
（2）将数值代入（1）中的结论计算可得答案．
（1）求证：AB2＝AC•AD；
证明：如图，连接BD，连接BO并延长交⊙O于点E，连接CE，BC，
∵AB是⊙O的切线，
∴∠ABE＝90°，
∴∠CBE+∠ABC＝90°，
∵BE是圆的直径，
∴∠BCE＝∠CBE+∠BEC＝90°，
∴∠ABC＝∠BEC，
∵∠BEC＝∠ADB，
∴∠ABC＝∠ADB，
∵∠BAC＝∠DAB，
∴△ABC∽△ADB，
∴ABAD=ACAB，
∴AB2＝AD•AC；
（2）由（1）可知：AB2＝AD•AC，
∵AC＝2，CD＝4，
∴AB2＝2×（2+4）＝12，
∴AB＝23（负值舍）．
故答案为：23．
总结提升：本题是新定义问题，主要考查了切线的性质、新定义和三角形相似、命题的知识等，正确理解题意是本题解题的关键．
31．(2023•江北区模拟）定义：若连结三角形一个顶点及其对边上一点的线段将该三角形分割成的两个小三角形中，有一个与原三角形相似，则称该线段为三角形的相似分割线；若分割成的两个小三角形都与原三角形相似，则称该线段为全相似分割线．
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC为钝角，相似分割线AD是BC边上的中线，求证：BC=2AB．
（2）如图2，在△ABC中，AD是△ABC的全相似分割线，求证：1AD2=1AB2+1AC2；
（3）在△ABC中，AD是△ABC的全相似分割线，将△BAD绕B点顺时针旋转，D点旋转到E点，A点旋转到F点，当旋转到如图3的位置时，E，F，C三点共线，BF恰好是△BEC的相似分割线，求CDBD值．
思路引领：（1）通过讨论可知△ABC∽△DBA，得DBAB=ABCB，由AD是BC边上的中线，可得CB=2AB；
（2）利用全相似分割线的定义可得∠BAC＝∠BDA＝∠ADC＝90°，则BC2＝AB2+AC2，利用△ABC∽△DAC，得BAAD=BCAC，通过变形可得结论；
（3）由（2）知∠BAC＝∠BDA＝∠ADC＝90°，再根据BF是△BEC的相似分割线，可得△ABC∽△ECB，则∠ABC＝∠ECB，∠ACB＝∠EBC，从而证明四边形ABEC是矩形，设CD＝a，BD＝b，则AC＝DB＝b，利用勾股定理表示出AD，BD的长，根据两种方法表示AB的长，得（a+b）2=b2+(2b2−a2)，从而解决问题．
（1）证明：在△ABC中，AD为相似分割线，
∵∠ADC是比∠ABC大，
∴△ADC与△ABC不相似，
∴△ABC与△ABD相似，
∴△ABC与△ABD的三个角分别对应相等，
∵△ABC与△ABD的一个角B重合，∠BAD＜∠BAC，∠ADB＞∠ACB，
∴∠BAD＝∠BCA，∠ADB＝∠CAB，
∴△ABC∽△DBA，
∴DBAB=ABCB，
∵AD是BC边上的中线，
∴DB=12BC，
∴12BCAB=ABCB，
∴12CB2=AB2，
∴CB2＝2AB2，
∴CB=2AB；
（2）证明：在△ABC中，AD为△ABC的全相似分割线，
∴△ABC与△ADC与△ABD都相似，
∵△ABC与△ABD的一个角B重合，∠BAD＜∠BAC，∠ADB＞∠ACB，
∴△ABC∽△DBA，
∴∠BAC＝∠BDA，
∵△ABC与△ADC的一个角C重合，∠BAC＞∠DAC，∠ABC＜∠ADC，
∴△ABC∽△DAC，
∴△ABC∽△DBA∽△DAC，
∠BAC＝∠ADC，
∴∠BDA＝∠ADC，
∵点B，D，C共线，
∴∠BDA+∠ADC＝180°，
∴∠BDA＝∠ADC＝90°，
∴∠BAC＝∠BDA＝∠ADC＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴BC2＝AB2+AC2，
∵△ABC∽△DAC，
∴BAAD=BCAC，
∴1AD=BCAB⋅AC，
∴1AD2=BC2AB2⋅AC2，
∴1AD2=AB2AB2⋅AC2+AC2AB2⋅AC2，
∴1AD2=1AC2+1AB2，
∴1AD2=1AB2+1AC2；
（3）解：在△ABC中，AD为△ABC的全相似分割线，
由（2）知∠BAC＝∠BDA＝∠ADC＝90°，
∵△BEF是△ADB绕点B旋转得到的，
∴△EBF≌△DBA，△EBF∽△DBA，
∴DB＝EB，
∵BF是△BEC的相似分割线，
由（1）知，△EBF∽△ECB，
∴△ABC∽△DBA∽△DAC∽△EBF∽△ECB，
∴△ABC∽△ECB，
∴∠ABC＝∠ECB，∠ACB＝∠EBC，
∴AB∥CE，AC∥BE，
∴四边形ABEC为平行四边形，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形ABEC为矩形，
∴AC＝EB，
设CD＝a，BD＝b，
∵AC＝EB，DB＝EB，
∴AC＝DB＝b，
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，
AD=AC2−CD2=b2−a2，
在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，
∴AB=AD2+BD2=(b2−a2)+b2=2b2−a2，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
BC2＝AC2+AB2，
∵BC＝BD+DC，CD＝a，BD＝b，
∴BC＝a+b，
∵AC＝b，AB=2b2−a2，
∴（a+b）2=b2+(2b2−a2)，
整理得2a2+2ab﹣2b2＝0，
两边同时除以2b2得：（ab）2+ab−1=0，
设ab=m，
则m2+m﹣1＝0，
∴m=−b±b2−4ac2a
=−1±12−4×(−1)2
=−1±52，
∵m=ab＞0，
∴ab=−1+52，
∵CD＝A，BD＝b，
∴CDBD=−1+52．
总结提升：本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程的解法，旋转的性质，理解新定义，运用分类讨论思想判断出相似三角形的对应关系是解题的关键，综合性较强，属于中考压轴题．
32．(2023•巢湖市二模）定义：如果一个三角形中有一个角是另一个角的2倍，那么我们称这样的三角形为倍角三角形．根据上述定义可知倍角三角形中有一个角是另一个角的2倍，所以我们就可以通过作出其中的2倍角的角平分线，得出一对相似三角形，再利用我们学过的相似三角形的性质解决相关问题．请通过这种方法解答下列问题：
（1）如图1，△ABC中，AD是角平分线，且AB2＝BD•BC，求证：△ABC是倍角三角形；
（2）如图2，已知△ABC是倍角三角形，且∠A＝2∠C，AB＝8，BC＝10，求AC的长；
（3）如图3，已知△ABC中，∠A＝3∠C，AB＝8，BC＝10，求AC的长．
思路引领：（1）根据相似三角形的判定和性质得出∠BAD＝∠C，进而解答即可；
（2）作△ABC的角平分线AD，根据相似三角形的判定和性质得出AB2＝BD•BC，进而解答即可；
（3）过点A作∠BAC的三等分角，AD，AE，分别交BC于点D，E，根据相似三角形的判定和性质得出AD2＝DE•CD，进而解答即可．
（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∵AB2＝BD•BC，
∴ABBC=BDAB，
∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBA，
∴∠BAD＝∠C，
∴∠BAC＝2∠C，
∴△ABC是倍角三角形；
（2）解：如图2，作△ABC的角平分线AD，则∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD，
∵∠BAC＝2∠C，
∴∠BAD＝∠C，
∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBA，
∴AB2＝BD•BC，
∴BD＝6.4，CD＝3.6，
∵∠CAD＝∠C，
∴AD＝CD＝3.6，
∵ADAC=BDAB，
∴3.6AC=6.48，
∴AC＝4.5；
（3）解：如图3，过点A作∠BAC的三等分角，AD，AE，分别交BC于点D，E，
则∠BAC＝3∠BAD＝3∠DAE＝3∠CAE，
∵∠BAC＝3∠C，
∴∠BAD＝∠C，
∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBA，
∴AB2＝BD•BC，
∴BD＝6.4，
∴CD＝3.6，
∵∠BAE＝∠BEA＝2∠C，
∴BE＝AB＝8，
∴CE＝2，DE＝1.6，
∵∠CHE＝∠C，
∴AE＝CE＝2，
∵∠DAE＝∠C，∠ADC＝∠EDA，
∴△ADE∽△CDA，
∴AD2＝DE•CD＝1.6×3.6，
∴AD＝2.4，
∵AEAC=DEAD，
∴2AC=1.62.4，
∴AC＝3．
总结提升：本题考查相似三角形的综合问题，考查了“倍角三角形”的定义、相似三角形的判定与性质等知识点，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用