2025年高考一轮复习系列（新高考新题型）4.2诱导公式与恒等变换含解析答案

这是一份2025年高考一轮复习系列（新高考新题型）4.2诱导公式与恒等变换含解析答案，共40页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．若，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知，则（ ）
A．B．C．D．
9．已知，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
11．已知为钝角，且，，则（ ）
A．B．C．D．
12．已知，，且，，则（ ）
A．或B．或C．D．
13．已知，，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
14．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
15．已知，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
16．式子化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
17．（ ）
A．B．1C．D．
18．已知，则（ ）
A．B．C．D．
19．（ ）
A．B．C．D．
20．已知点在角的终边上，则（ ）
A．B．C．D．
21．已知，则（ ）
A．B．C．D．
22．已知，则（ ）
A．B．C．D．
23．已知，则（ ）
A．B．C．D．
24．求值：（ ）
A．B．C．1D．
25．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
26．下列三角式中，值为的是（ ）
A．B．
C．D．
27．下列选项中，值为的是（ ）
A．B．
C．D．
28．下列代数式的值为的是（ ）
A．B．
C．D．
29．下列等式成立的有（ ）
A．B．
C．D．
30．下列等式成立的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
31．
32．
33．
34．已知，，，则 ．
35．已知，则 ， .
36． ．
37．求 .
38． ．
39．已知为锐角，满足，则 ， ．
40．已知，，则 ．
41．已知，则 ．
42．已知为三角形的两个内角，，则＝ ．
四、解答题
43．已知
(1)化简
(2)若，且，求的值.
(3)若是第三象限角，且，求的值.
44．已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
45．已知．
(1)求的值．
(2)求的值；
46．利用特殊角的三角函数值计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
47．求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
48．把下列各式化成的形式.
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
(5)
(6)
(7)
49．将下列函数化简成或的形式.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
50．化简并求值．
(1)；
(2)；
(3)．
51．已知，且．
(1)求和的值；
(2)若，且，求的值．
52．在条件：①；②；③中任选一个，补充在下面的题目中，并求解.
已知，且满足条件______.
(1)求的值；
(2)若，且，求的值.
53．化简求值：
(1)；
(2)；
(3)已知，，求的值．
(4)
(5)
54．已知斜三角形.
(1)借助正切和角公式证明：.
并充分利用你所证结论，在①②中选择一个求值：
①，
②；
(2)若，求的最小值.
55．由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有
可见也可以表示成的三次多项式．
(1)利用上述结论，求的值；
(2)化简；并利用此结果求的值；
(3)已知方程在上有三个根，记为，求证：.
参考答案：
1．B
【分析】先根据诱导公式进行化简，然后对原式进行齐次化，转化为只含有的代数式，代入计算可知结果为选项B.
【详解】利用诱导公式化简：
已知角的终边经过点，可得，且.
分子分母同时除以：
.
故选：B
2．C
【分析】利用角的变换，再结合诱导公式，即可求解.
【详解】.
故选：C
3．A
【分析】先根据平方关系求出，再根据结合两角差的正弦公式即可得解.
【详解】因为，所以，有，
所以
.
故选；A.
4．D
【分析】根据诱导公式及二倍角的余弦公式求解即可.
【详解】因为，
所以.
故选：D.
5．A
【分析】解法1：令，，利用两角和与差的正弦公式化简即可求得，再利用二倍角公式即可求解；解法2：利用两角和的正弦公式将展开，可得，再利用辅助角公式求得，最后利用二倍角公式即可求解.
【详解】解法1：由，得，
得，
得，所以，
所以．
解法2：将
展开得，
整理得，
即，
所以．
故选：A
6．B
【分析】根据给定条件，利用诱导公式计算即得.
【详解】由，得.
故选：B
7．D
【分析】先由辅助角公式得，再利用诱导公式和余弦二倍角公式即可求解.
【详解】由得，即，
所以，
故选：D
8．A
【分析】使用诱导公式和二倍角公式，结合已知条件即可求解.
【详解】
.
故选：A.
9．B
【分析】先利用两角差的余弦公式处理条件，结合两角差的正弦公式，可得，再利用二倍角公式可得，再结合诱导公式，可求.
【详解】由，
所以，
所以.
故选：B
10．C
【分析】利用正切和角公式得到，并得到，得到答案.
【详解】，
又，，
故，故，
故.
故选：C
11．D
【分析】首先根据同角三角函数基本关系式求出，再由两角和的余弦公式，结合角的范围，即可求解.
【详解】由于为钝角，且，
所以，
且，
所以，
所以，
故选：D.
12．D
【分析】根据三角恒等变换的知识先求得对应的三角函数值，进而求得.
【详解】因为，，所以，
所以，.
因为，所以，所以.
因为，所以.
因为，所以，
则，
故（）.
因为，所以.
因为，所以.
因为，所以，
所以，所以.
故选：D.
13．D
【分析】利用同角三角函数关系可得，利用两角和与差的正弦公式化简，可得，根据角的范围，即可得到答案.
【详解】因为，所以，
因为，所以，，所以．
由，得，
即，
所以，所以．
又，所以．
故选：D
14．A
【分析】利用两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系得到方程组，即可求出、，再求出即可.
【详解】因为，，
所以，
解得，
所以，
又，所以，所以.
故选：A
15．D
【分析】根据求出，从而可得的范围，即可得出的范围，再求和的值，即可得结果.
【详解】因为，，，
则，
可知，，则，
又因为，
可得，
所以.
故选：D.
16．B
【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可化简所求代数式.
【详解】原式
.
故选：B.
17．B
【分析】将切化弦，再由利用两角差的余弦公式化简，即可得解.
【详解】
.
故选：B
18．D
【分析】根据给定条件，求出，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.
【详解】由，得，则，
所以.
故选：D
19．D
【分析】利用切化弦的思想，结合诱导公式及二倍角的正余弦公式计算得解.
【详解】
.
故选：D
20．B
【分析】根据诱导公式、二倍角公式，同角三角函数的基本关系求解即可.
【详解】由题意，，
所以.
故选：B.
21．C
【分析】由，再结合诱导公式和余弦倍角公式即可求解.
【详解】
，
故选：C
22．D
【分析】设，则，根据诱导公式及二倍角公式可得，根据诱导公式和弦切互化得，代入并利用同角三角函数关系求解即可.
【详解】设，则，，
所以，，
所以.
故选：D
23．C
【分析】利用两角和差的正余弦公式展开，两边同除，得到.再利用两角差的正切公式展开，将换成，化简即可得到答案.
【详解】，所以，
两边同除，得到，即.
，.
故选：C.
24．A
【分析】利用积化和差和和差化积公式，结合半角公式，诱导公式化简得到结果.
【详解】由积化和差公式可得
，
故
，
由和差化积公式可得
，
故
所以.
故选：A
【点睛】和差化积公式：，
，
，
积化和差公式：，
，
，
.
25．D
【分析】直接利用三角函数恒等变换进行凑角化简，再根据，的范围即可求出结果.
【详解】由已知可将，，
则，
，
，即或．
又，所以，
所以，所以选项A，B错误，
即，则，所以．则C错，D对，
故选：D
26．ABD
【分析】利用二倍角公式可判断ABD选项；计算出的值，可判断C选项.
【详解】对于A选项，，A满足条件；
对于B选项，，B满足条件；
对于C选项，，C不满足条件；
对于D选项，，D满足条件.
故选：ABD.
27．BCD
【分析】选项A利用二倍角余弦公式结合同角三角函数关系式求解判断；选项B利用两角和的正弦公式求解判断； 选项C利用诱导公式和二倍角的正弦公式求解判断； 选项D利用二倍角的正切公式求解判断.
【详解】选项A：，故选项A不符合题意；
选项B：，故选项B符合题意；
选项C：，故选项C符合题意；
选项D：，故选项C符合题意.
故选：BCD.
28．BCD
【分析】利用二倍角的余弦公式可判断A选项；利用切化弦以及二倍角的正弦公式可判断B选项；利用二倍角的正弦公式可判断CD选项.
【详解】对于A选项，；
对于B选项，；
对于C选项，；
对于D选项，
.
故选：BCD.
29．BD
【分析】利用二倍角的余弦公式可判断A选项；利用两角差的正切公式可判断B选项；利用二倍角的正弦公式结合诱导公式可判断C选项；利用两角差的余弦公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，，A错；
对于B选项，因为，
所以，，B对；
对于C选项，
，C错；
对于D选项，
，D对.
故选：BD.
30．AC
【分析】对于A，逆用倍角余弦公式即可判断；对于B，利用辅助角公式即可判断；对于C，利用辅助角公式即可判断；对于D，逆用倍角正切公式可得，再用和角正切公式即可判断.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，
，D错误.
故选：AC
31．
【分析】利用诱导公式和两角差的余弦公式进行计算得出结果；
【详解】
，
故答案为：.
32．/0,5
【分析】利用诱导公式、两角差的正弦公式和特殊角的三角函数值解出结果；
【详解】
故答案为：.
33．
【分析】利用，两角和的正切公式，进行变形，化为所求式子的值．
【详解】因为
所以，
所以
故答案为：.
34．
【分析】结合所给角的象限与余弦值，可得其 正弦值，再利用两角差的正弦公式计算即可得.
【详解】由，，，则，
则，，
.
故答案为：.
35．
【分析】第一空，将已知条件两边同时平方两式相加，结合同角三角函数基本关系与余弦函数的和差公式即可求解；第二空，利用三角函数的和差公式得到，再利用倍角公式化简转化即可得解.
【详解】由可得，即，
由可得，即，
两式相加可得，
即，解得；
因为，
，
所以，
所以．
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握三角函数半角公式的转化，从而得解.
36．
【分析】先根据切化弦以及二倍角的余弦公式化简原式，然后利用辅助角公式以及二倍角的正弦公式进行化简，由此可求结果.
【详解】原式，
故答案为：.
37．/0.5
【分析】首先切化弦，然后辅助角公式、诱导公式及二倍角公式化简求值即可.
【详解】
故答案为：.
38．
【分析】利用二倍角公式及和差角公式计算可得.
【详解】
.
故答案为：
39． / /
【分析】由，利用两角和与差的正弦公式和余弦的二倍角公式，求出；再用余弦的二倍角公式求出.
【详解】因为，所以
，
又，所以，
因为为锐角，所以为锐角，
又，所以，
又，所以，
所以．
故答案为：；.
40．
【分析】根据结合两角差的余弦公式即可得解.
【详解】因为，所以，
又，所以，
所以.
故答案为：.
41．
【分析】先将条件式化简可得，再利用诱导公式和二倍角余弦公式将所求式子变形得解.
【详解】由，得，
即，所以，
所以
.
故答案为：.
42．
【分析】由已知数据可得和的值，而，代入值计算可得．
【详解】∵为三角形的两个内角，且，
∴，，
∵，，
，
，
，，∴．
故答案为：．
43．(1)；
(2)或；
(3).
【分析】（1）利用诱导公式化简即得.
（2）利用（1）的结论，结合给定范围求出的值.
（3）由平方关系求出，再结合（1）利用诱导公式计算即得.
【详解】（1）依题意，.
（2）由（1）知，，而，所以或.
（3）由，得，
由是第三象限角，得，
所以.
44．(1)
(2)
【分析】（1）根据正切函数定义得到，从而得到正弦和余弦；
（2）弦化切代入计算即可.
【详解】（1），，
，，则．
（2）原式．
45．(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式化简式子，再上下同时除以，再代入正切值，即可求解；
（2）利用“1”的变换，将原式变形为，再上下同时除以，转化为正切，即可求解.
【详解】（1）原式；
（2）原式．
46．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）（5）直接使用和差公式化简求值即可；（2）（3）（6）先使用和差公式或二倍角公式化简，再结合诱导公式即可求解；（4）先用诱导公式转化成和差公式形式，再有和差公式求解即可.
【详解】（1）.
（2）
.
（3）.
（4）原式.
.
（5）.
（6）.
47．(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)1；
(6)；
(7)
(8)．
【分析】（1）由正弦的二倍角公式计算；
（2）由余弦的二倍角公式计算；
（3）由余弦的二倍角公式计算；
（4）由余弦的二倍角公式计算；
（5）由正切的二倍角公式计算；
（6）由正弦弦的二倍角公式计算；
（7）由余弦的二倍角公式计算；
（8）由正切的二倍角公式计算．
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
48．(1)
(2)
(3)且
(4)且
(5)
(6)
(7)
【分析】（1）（2）（3）（4）均可根据辅助角公式（其中）直接转化即可；
（5）先利用倍角公式将解析式进行降幂处理，再结合辅助角公式即可转化的形式；
（6）先利用两角和与差的正弦公式将解析式转化成形式再利用辅助角公式进行转化即可；
（7）先利用两角和的正弦公式将解析式中的转化成形式，再利用利用倍角公式将得到的解析式中的二次项进行降幂处理得到一次项，再将得到的一次项部分根据辅助角公式进行转化即可得解.
【详解】（1）因为，所以.
（2）.
（3）因为，所以，
其中满足，.
（4）因为，所以，
其中满足，.
（5），即.
（6）
.
（7）
.
49．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
【分析】（1）利用正余弦的二倍角公式、两角和与差正弦公式化简即可；
（2）利用诱导公式、两角和与差正弦展开式化简即可；
（3）利用诱导公式化简即可；
（4）（6）利用余弦的二倍角公式、两角和与差正弦展开式化简即可；
（5）（7）（8）（9）（10）（11）（12）利用正余弦的二倍角公式、两角和与差余弦展开式化简即可.
【详解】（1）
；
（2）；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
；
（9）
；
（10）
；
（11）
；
（12）
.
50．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据给定条件，利用切化弦、二倍角公式、辅助角公式化简计算作答.
（2）根据给定条件，利用切化弦、诱导公式、二倍角公式、辅助角公式化简计算作答.
（3）根据给定条件，利用特殊角的三角函数值、二倍角公式、凑角的思想结合和差角的正弦化简计算作答.
【详解】（1）
.
（2）
.
（3）
.
51．(1)，
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数关系和得到，，利用诱导公式和齐次化得到方程；
（2）计算出，结合得到答案.
【详解】（1）因为，又，
解得或，
又，所以，
所以．
所以
；
（2）因为，且，所以，
所以，
由，得，所以．
52．(1)
(2)
【分析】（1）选①，则由诱导公式化简可得，然后代入化简即可；若选②，结合求出的值，然后代入计算即可；若选③，结合求出的值，然后代入计算即可；
（2）若选①，由和，求出的值，然后再求出的值，计算，从而可求出的值；若选②，求出的值，计算，从而可求出的值；若选③，求出的值，计算，从而可求出的值；
【详解】（1）若选①，则由，得，
所以，
所以，
若选②，则由，得，
因为，所以，
化简整理得，，解得或，
因为，所以，所以，
所以，
若选③，则由，得，得，
因为，所以，
，解得或，
因为，所以，所以，
所以，得，
所以，
所以；
（2）若选①，则由（1）可知，
因为，得以，即，
所以，所以，所以，
因为，且，
所以，
所以
，
因为，，
所以，所以，
若选②，则由（1）可知，，
因为，且，
所以，
所以
，
因为，，
所以，所以，
若选③，则由（1）可知，，
因为，且，
所以，
所以
，
因为，，
所以，所以.
53．(1)4
(2)1
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）先通分，然后使用两角和差公式和辅助角公式化简.
（2）先把写成，然后通分使用辅助角公式，最后用二倍角公式和诱导公式化简即可.
（3）先求出，然后求出，最后求出.
（4）先把写成，然后通分使用辅助角公式,最后用两角和差公式结合降幂公式化简.
（5）先把写成，然后使用辅助角公式结合降幂公式化简,最后使用二倍角公式化简即可.
【详解】（1）.
（2）
.
（3）已知，，，，
所以，
.
（4）
.
（5）
.
54．(1)证明见解析，①，②；
(2)
【分析】（1）由内角和及诱导公式得到，然后根据两角和的正切公式即可得证；然后根据结论即可求出①②的值；
（2）可得出，然后根据基本不等式即可得出关于的一元二次不等式，从而得出的最小值．
【详解】（1），
，
，
，
；
①
；
②；
（2），则，，且，
所以，，
，
，
解得或（舍去），
所以，当且仅当时取等号
的最小值为．
55．(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据，利用三倍角公式结合二倍角正弦公式，可得到关于的方程，即可求得答案；
（2）先利用两角和差的余弦公式化简，即可利用三倍角公式得到结果；
（3）根据方程的特征，令，利用三倍角公式可得，即可求得的值，继而可得的表达式，利用三角恒等变换公式化简，即可证明结论.
【详解】（1），所以，
因为，
因为，，
即，
因为，解得（舍）.
（2）
，
故
；
（3）证明：因为，故可令，
故由可得：．
由题意得：，因，故，
故，或，或，
即方程（*）的三个根分别为，，，
又，故，
于是，
.
【点睛】难点点睛：本题考查了三倍角余弦公式的应用问题，解答的难点是第三问，要注意根据方程的特点，设，再结合三角恒等变换，将方程的解的问题，转化为利用三倍角公式，即可求解.