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2025年高考一轮复习系列（新高考新题型）3.3利用导数研究函数的极值与最值含解析答案
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这是一份2025年高考一轮复习系列（新高考新题型）3.3利用导数研究函数的极值与最值含解析答案，共41页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．函数的极大值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数的图象与轴相切于点，则的（ ）
A．极小值0，极大值B．极小值，极大值0
C．极小值0，极大值D．极小值，极大值0
3．函数的极大值为（ ）
A．B．0C．eD．1
4．已知函数的导函数的图像如图所示，若在处有极值，则的值为（ ）
A．-3B．3C．0D．4
5．设等比数列中，，使函数在时取得极值，则的值是（ ）
A．或B．或
C．D．
6．已知0是函数的极大值点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数在区间上恰有两个极值点，则的值为（ ）
A．1B．C．D．2
8．若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．若函数既有极大值也有极小值，则错误的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数有极值，则（ ）
A．1B．2C．D．3
11．在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则t的值为（ ）
A．B．C．4D．5
12．若函数有极值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
13．函数在区间上的最小值是（ ）
A．4B．5C．3D．1
14．已知（a为常数）在上有最大值3，则此函数在上的最小值是（ ）
A．B．C．D．
15．若函数的最小值是，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
16．已知函数的导函数为，为奇函数且图象如图所示，则的解析式可以是（ ）
A．B．
C．D．
17．如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ）
A．当时，取得极大值B．在上是增函数
C．当时，取得极大值D．在上是增函数，在上是减函数
18．函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
19．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．2为的极大值点B．在区间上单调递增
C．为的极小值点D．在区间上单调递增
20．函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．为函数的零点B．为函数的极大值点
C．函数在上单调递减D．是函数的最小值
21．如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（ ）
A．在上是增函数B．当时，取得最小值
C．当时，取得极大值D．在上是增函数，在上是减函数
22．函数在处取得极值0，则（ ）
A．0B．C．1D．2
23．已知等差数列中，是函数的一个极大值点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
24．已知函数（，且），，若函数在区间上恰有3个极大值点，则的取值范围为（ ）
A．B．．C．D．
25．已知函数的极值点为，则（ ）
A．B．2C．D．1
26．若函数在处取得极大值，则的极小值为（ ）
A．B．C．D．
27．已知函数在处有极值，则等于（ ）
A．B．16C．或16D．16或18
28．已知函数在上恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
29．如图，已知直线与函数的图象相切于两点，则函数有（ ）．
A．2个极大值点，1个极小值点B．3个极大值点，2个极小值点
C．2个极大值点，无极小值点D．3个极大值点，无极小值点
二、多选题
30．已知a为常数，函数有两个极值点，（），则（ ）
A．B．C．D．
31．已知函数，则（ ）
A．是上的增函数B．函数有且仅有一个零点
C．函数的最小值为D．存在唯一个极值点
32．设函数，则（ ）
A．是的极小值点B．当时，
C．当时，D．当时，
33．已知函数的定义域为，，则（ ）．
A．B．
C．是偶函数D．为的极小值点
34．设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
三、填空题
35．若函数无极值点，则实数a的取值范围是 .
36．函数在上的最大值为 .
37．函数的最大值为 ．
38．若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 .
39．已知在区间上的最大值就是函数的极大值，则m的取值范围是 ．
40．若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 ．
41．已知函数，在上的最小值为，则实数的值为 ．
42．若直线是函数的图象的切线，则的最小值为 ．
43．已知数列满足，函数在处取得最大值，若，则
44．已知函数，若函数的最小值恰好为0，则实数的最小值是 .
45．已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是 .
46．若函数在上无极值点，则的取值范围为 .
四、解答题
47．已知函数，的图象在处的切线交轴于点.
(1)求实数的值；
(2)求函数的极值.
48．已知.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在上的最大值与最小值.
49．设
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若函数的极大值为，求函数在上的最小值．
50．已知函数
(1)当时，求的极值；
(2)讨论的单调性；
(3)若，求在区间的最小值.
51．已知函数的图象在点处的切线过点．
(1)求实数的值；
(2)求的单调区间和极值．
52．已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若函数有且仅有三个零点，求的取值范围．
53．已知函数，.
(1)求函数单调区间；
(2)若函数在有两个极值点，求实数的取值范围.
54．柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f(x)，g(x)满足:
①图象在上是一条连续不断的曲线；
②在内可导;
③对，，则，使得.
特别的，取，则有：，使得，此情形称之为拉格朗日中值定理.
(1)设函数满足，其导函数在上单调递增，证明：函数在上为增函数.
(2)若且，不等式恒成立，求实数的取值范围.
参考答案：
1．D
【分析】求出函数的单调性，即可求出函数的极大值.
【详解】函数的定义域为，
又，
令，则或，所以当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为．
故选：D．
2．C
【分析】求得，由题意列出方程组求得解得的值，得到且，结合导数求得函数的单调性，进而求得函数的极值.
【详解】由函数，可得，
因为函数的图形与轴相切与点，可得，
解得，即且，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当，函数取得极大值，极大值为，
当，函数取得极小值，极小值为.
故选：C.
3．D
【分析】求导，令，，可求得极大值.
【详解】因为，令，得时；令，得，
所以当时，函数取得极大值．
故选：D.
4．C
【分析】根据导函数的图象判断导数的正负，判断函数单调性，即可判断出答案.
【详解】由函数的导函数的图像可知当时，，
当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，
故为函数的极大值点，即，
故选：C
5．D
【分析】根据在时取得极值，可求得，，代回验证可得，，再根据等比数列的性质即可求解.
【详解】由题意，
因为在时取得极值，
所以，
解得或，
当，时，
，
所以在上单调递增，不合题意，
当，时，
，
所以时，，
时，，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以当时取得极小值，满足题意，
所以，
又，，同号，
所以.
故选：.
6．A
【分析】分类讨论、与三种情况，结合导数与极值点的定义即可得解.
【详解】因为，所以，
令，可得或，
当，即时，
令，得或；令，得；
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极大值点，满足题意；
当，即时，恒成立，
则在上单调递增，没有极值点，不满足题意；
当，即时，
令，得或；令，得；
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极小值点，不满足题意；
综上，，即的取值范围为.
故选：A.
7．C
【分析】先利用辅助角公式化一，再根据是在区间上的两个极值点，求出，即可得解.
【详解】，
因为，所以，
因为是在区间上的两个极值点，不妨设，
则，所以，
所以.
故选：C.
8．C
【分析】结合函数极值点与导数零点的关系，结合零点存在定理列出不等式组即可求解.
【详解】已知，由题意知在内有变号零点，
显然在单调递增，
故原条件等价于，解得，
故实数a的取值范围是.
故选：C.
9．A
【分析】求出函数的导数，由已知，可得函数在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答即可．
【详解】函数的定义域为，
由，得，
因为函数既有极大值也有极小值，
所以函数在上有两个变号零点，而，
所以方程有两个不等的正根，
所以，所以，
所以，即．
故BCD正确，A错误．
故选：A．
10．B
【分析】先求出函数的导函数；再求出极值点，代入函数解方程即可.
【详解】由题目条件可得：函数的定义域为，.
令，得；
令，得.
所以函数在区间上单调递减，在上单调递增.
则是函数的极小值点，
故，解得.
故选：B
11．C
【分析】首先求函数的导数，利用韦达定理求得，并根据等比数列的性质，代入条件等式，即可求解.
【详解】，
所以是方程的两个实数根，则，，，
根据等比数列的性质，，且
所以，即，得.
故选：C
12．C
【分析】求出函数的定义域与导函数，依题意可得在上有变号零点，结合二次函数的性质得到，解得即可.
【详解】函数的定义域为，且，
因为函数有极值，所以在上有变号零点，
即在上有解（若有两个解，则两个解不能相等），
因为二次函数的对称轴为，开口向上，
所以只需，解得，即实数的取值范围是.
故选：C
13．A
【分析】利用导数判断函数的单调性，根据单调性可求出最小值.
【详解】,
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在区间上的最小值是.
故选：A
14．A
【分析】求函数的导数，利用导数结合函数的最大值求出a，即可求出函数的最小值．
【详解】由题意可知：，
令，解得；令，解得；
可知在上单调递增，则上单调递减，
则函数的最大值为，
此时，且，，
可知当时，函数取得最小值为.
故选：A.
15．A
【分析】利用导数求出函数在上的极小值，然后对实数的取值进行分类讨论，结合可求得实数的取值范围.
【详解】当时，，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，函数的极小值为，
因为函数的最小值为，当时，函数在上单调递减，
此时，函数在上无最小值，不合乎题意；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时，函数在上的极小值为，且，则，
综上所述，.
故选：A.
16．D
【分析】根据原函数与导函数的奇偶性关系，结合导函数与极值点的关系判断即可.
【详解】由为奇函数，可知为偶函数，故可排除B、C；
对于A，当时，，排除A；
对于D，由，有，设，令，即有无数解，即说明有无数的极值点，与题意相符.
故选：D
17．D
【分析】由导函数的图象，确定导函数的正负，由此得到函数的单调性，由极值的定义判断函数的极值，由此判断四个选项即可.
【详解】根据导函数的图象可知，
当时，，当时，，
可知在内单调递减，在单调递增，
所以当时，取得极小值，当时，取得极大值，当时，取得极小值，
故ABC错误，D正确.
故选：D.
18．C
【分析】由可排除A，再求导分析单调性可得C正确，BD错误.
【详解】当时，，可排除A，
，
令，解得或，
所以在和上单调递增；在上单调递减；
结合图象可得C正确；
故选：C.
19．A
【分析】根据导函数图象分析的取值情况，即可得到函数的单调区间与极值点.
【详解】由导函数图象可得当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
且在的左边，在的右边，
所以的极大值点为、，极小值点为.
故选：A
20．C
【分析】根据导函数图象，导函数与原函数的关系对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由的图象可得，当时，，当时，，
当时，，当时，
所以在和上单调递增，在和上单调递减，
所以为的极小值点，所以B选项错误，C选项正确；
是的零点，但不一定是的零点，所以A错误；
是函数的极小值，但不一定是最小值，所以D错误.
故选：C
21．D
【分析】根据导函数的图象判断出函数的单调区间、极值、最值，由此确定正确选项.
【详解】根据图象知：
当，时，函数单调递减；
当，时，函数单调递增.
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故选项A不正确，选项D正确；
故当时，取得极小值，选项C不正确；
当时，不是取得最小值，选项B不正确；
故选：D.
22．A
【分析】根据极值点的意义，列式求解即可.
【详解】，
所以，解得，
经检验，满足题意，
所以.
故选：A
23．D
【分析】求出函数的极大值点得，然后由等差数列性质结合诱导公式可得.
【详解】由正弦函数性质知，当，即时，函数取得极大值，
则，由等差数列性质，得，
所以.
故选：D
24．D
【分析】利用三角恒等变换化简得到，从而得到，根据函数极大值点的个数得到方程，求出答案.
【详解】，
，，
函数在区间上恰有3个极大值点，
故，解得.
故选：D
25．D
【分析】对函数求导，然后结合导数与单调性的关系、零点存在定理，求出函数的极大值点，然后利用指对互化求解即可.
【详解】由得，，
设，则，所以在单调递减，
又，，由零点存在定理知，存在，使得，
所以当时，，，函数单调递增；
当时，，，函数单调递减，，
所以是函数的极大值点，则，即.
所以.
故选：D
26．C
【分析】由题意求出的值，进而求出，再解出极小值即可.
【详解】因为函数在处取得极大值，
则，且，
即，所以；
所以，，
令，则或，
由，，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以函数在处取得极大值，.
故选：C.
27．A
【分析】求导，即可由且求解，进而代入验证是否满足极值点即可.
【详解】，
若函数在处有极值8，
则 且，即 ，
解得：或 ，
当时，，此时不是极值点，故舍去，
当时，，
当或时，，当，故是极值点，
故符合题意，
故，
故，
故选：A
28．D
【分析】根据函数有两个极值点的个数，转化为导数在上有两个变号零点，再进行参数的讨论即可.
【详解】由题意得．
因为函数在上恰有两个极值点，则在上有两个变号零点．
当时，在上恒成立，不符合题意．
当时，令，则，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
又，，
所以，则，即实数的取值范围是.
故选：D．
【点睛】方法点睛：本题考查已知函数极值点个数求参数范围.对于函数零点个数的相关问题，常常利用导数和数形结合思想来求解．求解这类问题的步骤：
（1）构造函数，并求其定义域，这是解决此类题的关键点和难点；
（2）求导，得函数的单调区间和极值点；
（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与轴的交点情况，进而求解．
29．B
【分析】作出与直线平行的函数的所有的切线，即可观察得到与的大小关系的不同区间，进而得出的正负区间，得出的单调性，进而得到的极值情况，从而判定各个选项的正确与否.
【详解】，
作出与直线平行的函数的所有切线，各切线与函数的切点的横坐标依次为，
在处的导数都等于，
在上，,单调递增，
在上，单调递减，
因此函数有三个极大值点，有两个极小值点.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解决问题的关键所在是作出与直线平行的函数的所有的切线，由此观察图象即可顺利得解.
30．ACD
【分析】令，则，作出，的大致图象，可判断AB；
由函数的单调性可判断CD
【详解】，，令，则，
令，则，
在上单调递增，在上单调递减．
作出，的大致图象，
当时，有两个根，，且，故A正确；
当时，，故B错误；
又函数在区间上递减，在区间上递增，在区间上递减，
，，故CD正确；
故选：ACD．
31．BD
【分析】对于A：求导，代特值检验即可；对于B：分、和三种情况，结合函数值的符号分析判断零点；对于C：分、和三种情况，可得，即可判断；对于D：根据的单调性，结合零点存在性定理分析可知，使，进而判断的单调性和极值.
【详解】对于选项A：因为，则，
当时，则， 可得，
即，所以不是上的增函数，故A错误；
对于选项B：因为，
当时，，可知是的零点；
当时，，可知在内无零点；
当时，，则，
可得，可知在内无零点；
综上所述：函数有且仅有一个零点，故B正确；
对于选项C：当时，；
当时，；
当时，则，，可得，
综上所述：，所以不是函数的最小值，故C错误；
对于选项D：因为，，
所以的符号决定于，
显然是上的增函数，
又因为当时，；
当时，，
所以，使，
所以在上为减函数，在上为增函数.
所以有唯一极小值点. 故D正确.
故选 ：BD.
32．ACD
【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D.
【详解】对A，因为函数的定义域为R，而，
易知当时，，当或时，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确；
对B，当时，，所以，
而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误；
对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，
所以，即，正确；
对D，当时，，
所以，正确；
故选：ACD.
33．ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.
【详解】方法一：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，
显然，此时是的极大值，故D错误.
故选：.
34．AD
【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.
【详解】A选项，，由于，
故时，故在上单调递增，
时，，单调递减，
则在处取到极大值，在处取到极小值，
由，，则，
根据零点存在定理在上有一个零点，
又，，则，
则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；
B选项，，时，，单调递减，
时，单调递增，
此时在处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，
即存在这样的使得，
即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的，使得为的对称中心，
则，事实上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，，，
由，于是该三次函数的对称中心为，
由题意也是对称中心，故，
即存在使得是的对称中心，D选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心
35．
【分析】若函数无极值点，则导数无变号零点，令，根据的正负得出其单调性，即可根据导数无变号零点列不等式求解，即可得出答案.
【详解】，则，
若函数无极值点，
则无变号零点，
令，
则，
当时，，，，则，则，
当时，，，，则，则，
则在上单调递减，上单调递增，
即在上单调递减，上单调递增，在处取得最小值，
若无变号零点，则，解得：，
故答案为：.
36．9
【分析】求得，得到函数的单调性，即可求解.
【详解】由函数，可得，
所以在单调递增，所以.
故答案为：9.
37．/
【分析】首先求得，设，，得出的单调区间，即可得出最大值．
【详解】，
设，，
令，得或，
所以当时，，
即在和上单调递减，
当时，，
即在上，单调递增，
又因为，，
所以的最大值为，
故答案为：．
38．
【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点，从而得到关于的不等式组，解得即可.
【详解】函数的定义域为，
，
令可得或（舍），
当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值，
又因为函数在内有最小值，故，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
39．
【分析】先对函数求导，然后令导函数等于零，则解在区间内，从而得解.
【详解】因为，所以，
令，得.
由题意得，
故．
故答案为：.
40．
【分析】根据题意，函数的极小值点在内，再结合即可求出实数的取值范围.
【详解】因为，所以，
令得，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，有极小值，
因为函数在上存在最小值，
又，
所以，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
41．
【分析】由题有，根据条件得到有两根为，且有， ，从而转化成求解方程，令，将问题转化成求方程的解，构造函数，再利用函数的单调性及，即可解决问题.
【详解】易知函数的定义域为，
因为，所以，
令，因为在开区间上有最小值，
则在上必有两根，即有，
又在上的两根为，且，
由的图象可知，
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又在开区间上有最小值，则必有，且，
令，得到，所以，
整理得到，令，
则，易知在区间上单调递减，
又，所以，当时，，当时，，
即在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，所以在上有且只有一根，
由，解得，
故答案为：.
42．
【分析】求导，设切点为，根据导数的几何意义分析可知，构建函数，利用导数判断其单调性和最值，即可得结果.
【详解】因为，则，
设切点为，则，
则切线方程为，即，
可得，，所以，
令，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
可得，所以的最小值为．
故答案为：.
43．
【分析】先对函数求导，结合导数分析函数的单调性，再由极值存在的条件及零点存在性定理即可求解.
【详解】因为，令，
则在上单减，
且，
由零点存在定理知，存在唯一的，使得，
即①，
且当时，，则；
当时，，则；
所以在上单调递增，上单调递减，
由，
而②，
由①②知，，
所以，
从而.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于先对求导，求出的单调性和最值可得，再结合可求出，所以，即可求出的值.
44．
【分析】换元构造新函数，再利用导数求得函数单调性与最值，从而求得的最值.
【详解】令，则，所以，
令，则，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
故当时，取得最小值，
故当，即时，函数的最小值恰好为0，
令，则，
令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解参数范围问题.关键点是通过换元，将转化为，并利用导数研究的单调性与最值，得到，再利用导数求解的单调性，即可求得的最值.
45．
【分析】利用函数的导数判断函数单调性，确定函数的极小值点，结合题意列出不等式组，即可求得答案.
【详解】由函数，可得，
当或时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
即为函数的极小值点；
要使得函数在区间上有最小值，
则满足，即，
因为，可得，即，解得，
所以，即实数的取值为.
故答案为：
46．
【分析】由题意可得在内单调，而当时，，所以在上恒成立，然后构造函数，利用导数求出其最小值即可.
【详解】由，得，
因为在上无极值点，
所以在内单调，
因为当时，，
所以在恒成立，
即，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，
所以，
即的取值范围为，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的最值，考查利用导数解决极值点问题，解题的关键是根据题意将问题转化为在恒成立，然后分离参数，构造函数，利用导数求函数的最值，考查数学转化思想，属于较难题.
47．(1)6
(2)的极大值为；极小值为
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，以及切点，然后写出切线方程，再将点代入可求；
（2）由（1）得到函数解析式，求极值步骤：①求导，②求导函数零点，③列表，④下结论即可求得极值.
【详解】（1），所以，即切线斜率为2，
又，所以切点坐标为
的图象在处的切线方程为：，
代入点，得；
（2）由（1）得，
，
令，得或
当变化时，变化情况如下表：
因此，时，取得极大值，极大值为；
时，取得极小值，极小值为.
48．(1)
(2)
【分析】（1）只需分别求得即可得解.
（2）利用导数分析函数在给定区间上的单调性，比较极值与端点函数值的大小即可得解.
【详解】（1），故所求为.
（2）因为，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
而，
所以，
所以函数在上的最大值与最小值分别为.
49．(1)单调递增区间为和；
(2).
【分析】（1）求导研究函数单调性；（2）由（1）知函数的单调区间，找到在处取得极大值，可求出，求得最小值.
【详解】（1），
由得或，
所以的单调递增区间为和；
（2）由Ⅰ知函数在处取得极大值，
即，得 ，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，所以在上的最小值为．
50．(1)，
(2)当时的单调增区间为，，单调减区间为；
当时在R上单调递增；
当时的单调递增区间为，，单调递减区间为；
(3)
【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可得到函数的单调区间与极值；
（2）求导函数，分，，讨论可得结果；
（3）结合（2）的结论，分、两种情况讨论，分别求出函数的最小值.
【详解】（1）当时定义域为R，
且，
所以当或时，当时，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
即，；
（2）函数定义域为R，则，
令，解得或，
①当时，则当或时，，
当时，，
所以的单调增区间为，，单调减区间为；
②当时，恒成立，所以在R上单调递增；
③当时，当或时，，当时，，
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，
综上可得当时的单调增区间为，，单调减区间为；
当时在R上单调递增；
当时的单调递增区间为，，单调递减区间为；
（3）因为，由（2）可得的单调增区间为，，单调减区间为，
若，即时在上单调递减，
所以在上的最小值为，
若，即时，在单调递减，在单调递增，
所以在的最小值为，
所以.
51．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，将点代入求解；
（2）利用导数研究函数单调性和极值.
【详解】（1）由已知得，
则，又，
所以图象在点处的切线方程为，
将点代入得，解得.
（2）所以，定义域为,
所以，
令，则，
易得在上恒成立，所以在上单调递增，
又，所以当时，，即，在上单调递减，
当时，，即，在上单调递增，
所以在处取得极小值，极小值为.
52．(1)
(2)
【分析】（1）利用求导，导数值大于0来求单调递增区间即可；
（2）利用函数的单调性和取值情况，分析可得的取值范围.
【详解】（1）由，得，
令，得，解得．
所以的单调递增区间为
（2）令，解得或．
当变化时，，的变化情况如下表所示：
由函数有且仅有三个零点，
得方程有且仅有三个不等的实数根，
所以函数的图象与直线有且仅有三个交点．
显然，当时，；当时，．
所以由上表可知，的极小值为，的极大值为，
故．
53．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）通过求函数的导数，将分类，讨论函数的单调性；
（2）通过导数将函数极值问题转化为方程在上有两个根即可.
【详解】（1）由题意可知，函数定义域为，
导数
时，恒成立
时，当；当
时，当；当
综上可知：时为常函数，无单调区间
时，单调增区间为：，单调减区间为：
时，单调增区间为：，单调减区间为：.
（2）因为，
所以，
因为在上有两个极值点，
则，即在上有两个根，
令，
当时，，单调递减
当时，，单调递增
又因为时 ，，，
所以在上有2个极值点需满足.
综上所述，当时，函数在上有两个极值点.
54．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由柯西中值定理可得对，，，结合的单调性即可求解；
（2）取，，由柯西中值定理，成立，设，利用导函数求解的最大值即可得.
【详解】（1）由题，
由柯西中值定理知：对，，
使得，，
又在上单调递增，则，
则，即，
所以，
故在上为增函数；
（2），
取，，
因为，所以由柯西中值定理，，
使得，
由题则有：，
设，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
故，所以实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查柯西中值定理的应用，解题关键在于充分理解和把握柯西中值定理的内涵，构造与之匹配的结构，运用定理进行解析式的简化，达到透过现象抓住本质的目的.
2
3
0
0
单调递增
单调递减
单调递增
0
2
0
0
单调递减
1
单调递增
单调递减
一、单选题
1．函数的极大值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数的图象与轴相切于点，则的（ ）
A．极小值0，极大值B．极小值，极大值0
C．极小值0，极大值D．极小值，极大值0
3．函数的极大值为（ ）
A．B．0C．eD．1
4．已知函数的导函数的图像如图所示，若在处有极值，则的值为（ ）
A．-3B．3C．0D．4
5．设等比数列中，，使函数在时取得极值，则的值是（ ）
A．或B．或
C．D．
6．已知0是函数的极大值点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数在区间上恰有两个极值点，则的值为（ ）
A．1B．C．D．2
8．若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．若函数既有极大值也有极小值，则错误的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数有极值，则（ ）
A．1B．2C．D．3
11．在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则t的值为（ ）
A．B．C．4D．5
12．若函数有极值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
13．函数在区间上的最小值是（ ）
A．4B．5C．3D．1
14．已知（a为常数）在上有最大值3，则此函数在上的最小值是（ ）
A．B．C．D．
15．若函数的最小值是，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
16．已知函数的导函数为，为奇函数且图象如图所示，则的解析式可以是（ ）
A．B．
C．D．
17．如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ）
A．当时，取得极大值B．在上是增函数
C．当时，取得极大值D．在上是增函数，在上是减函数
18．函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
19．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．2为的极大值点B．在区间上单调递增
C．为的极小值点D．在区间上单调递增
20．函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．为函数的零点B．为函数的极大值点
C．函数在上单调递减D．是函数的最小值
21．如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（ ）
A．在上是增函数B．当时，取得最小值
C．当时，取得极大值D．在上是增函数，在上是减函数
22．函数在处取得极值0，则（ ）
A．0B．C．1D．2
23．已知等差数列中，是函数的一个极大值点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
24．已知函数（，且），，若函数在区间上恰有3个极大值点，则的取值范围为（ ）
A．B．．C．D．
25．已知函数的极值点为，则（ ）
A．B．2C．D．1
26．若函数在处取得极大值，则的极小值为（ ）
A．B．C．D．
27．已知函数在处有极值，则等于（ ）
A．B．16C．或16D．16或18
28．已知函数在上恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
29．如图，已知直线与函数的图象相切于两点，则函数有（ ）．
A．2个极大值点，1个极小值点B．3个极大值点，2个极小值点
C．2个极大值点，无极小值点D．3个极大值点，无极小值点
二、多选题
30．已知a为常数，函数有两个极值点，（），则（ ）
A．B．C．D．
31．已知函数，则（ ）
A．是上的增函数B．函数有且仅有一个零点
C．函数的最小值为D．存在唯一个极值点
32．设函数，则（ ）
A．是的极小值点B．当时，
C．当时，D．当时，
33．已知函数的定义域为，，则（ ）．
A．B．
C．是偶函数D．为的极小值点
34．设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
三、填空题
35．若函数无极值点，则实数a的取值范围是 .
36．函数在上的最大值为 .
37．函数的最大值为 ．
38．若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 .
39．已知在区间上的最大值就是函数的极大值，则m的取值范围是 ．
40．若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 ．
41．已知函数，在上的最小值为，则实数的值为 ．
42．若直线是函数的图象的切线，则的最小值为 ．
43．已知数列满足，函数在处取得最大值，若，则
44．已知函数，若函数的最小值恰好为0，则实数的最小值是 .
45．已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是 .
46．若函数在上无极值点，则的取值范围为 .
四、解答题
47．已知函数，的图象在处的切线交轴于点.
(1)求实数的值；
(2)求函数的极值.
48．已知.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在上的最大值与最小值.
49．设
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若函数的极大值为，求函数在上的最小值．
50．已知函数
(1)当时，求的极值；
(2)讨论的单调性；
(3)若，求在区间的最小值.
51．已知函数的图象在点处的切线过点．
(1)求实数的值；
(2)求的单调区间和极值．
52．已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若函数有且仅有三个零点，求的取值范围．
53．已知函数，.
(1)求函数单调区间；
(2)若函数在有两个极值点，求实数的取值范围.
54．柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f(x)，g(x)满足:
①图象在上是一条连续不断的曲线；
②在内可导;
③对，，则，使得.
特别的，取，则有：，使得，此情形称之为拉格朗日中值定理.
(1)设函数满足，其导函数在上单调递增，证明：函数在上为增函数.
(2)若且，不等式恒成立，求实数的取值范围.
参考答案：
1．D
【分析】求出函数的单调性，即可求出函数的极大值.
【详解】函数的定义域为，
又，
令，则或，所以当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为．
故选：D．
2．C
【分析】求得，由题意列出方程组求得解得的值，得到且，结合导数求得函数的单调性，进而求得函数的极值.
【详解】由函数，可得，
因为函数的图形与轴相切与点，可得，
解得，即且，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当，函数取得极大值，极大值为，
当，函数取得极小值，极小值为.
故选：C.
3．D
【分析】求导，令，，可求得极大值.
【详解】因为，令，得时；令，得，
所以当时，函数取得极大值．
故选：D.
4．C
【分析】根据导函数的图象判断导数的正负，判断函数单调性，即可判断出答案.
【详解】由函数的导函数的图像可知当时，，
当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，
故为函数的极大值点，即，
故选：C
5．D
【分析】根据在时取得极值，可求得，，代回验证可得，，再根据等比数列的性质即可求解.
【详解】由题意，
因为在时取得极值，
所以，
解得或，
当，时，
，
所以在上单调递增，不合题意，
当，时，
，
所以时，，
时，，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以当时取得极小值，满足题意，
所以，
又，，同号，
所以.
故选：.
6．A
【分析】分类讨论、与三种情况，结合导数与极值点的定义即可得解.
【详解】因为，所以，
令，可得或，
当，即时，
令，得或；令，得；
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极大值点，满足题意；
当，即时，恒成立，
则在上单调递增，没有极值点，不满足题意；
当，即时，
令，得或；令，得；
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极小值点，不满足题意；
综上，，即的取值范围为.
故选：A.
7．C
【分析】先利用辅助角公式化一，再根据是在区间上的两个极值点，求出，即可得解.
【详解】，
因为，所以，
因为是在区间上的两个极值点，不妨设，
则，所以，
所以.
故选：C.
8．C
【分析】结合函数极值点与导数零点的关系，结合零点存在定理列出不等式组即可求解.
【详解】已知，由题意知在内有变号零点，
显然在单调递增，
故原条件等价于，解得，
故实数a的取值范围是.
故选：C.
9．A
【分析】求出函数的导数，由已知，可得函数在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答即可．
【详解】函数的定义域为，
由，得，
因为函数既有极大值也有极小值，
所以函数在上有两个变号零点，而，
所以方程有两个不等的正根，
所以，所以，
所以，即．
故BCD正确，A错误．
故选：A．
10．B
【分析】先求出函数的导函数；再求出极值点，代入函数解方程即可.
【详解】由题目条件可得：函数的定义域为，.
令，得；
令，得.
所以函数在区间上单调递减，在上单调递增.
则是函数的极小值点，
故，解得.
故选：B
11．C
【分析】首先求函数的导数，利用韦达定理求得，并根据等比数列的性质，代入条件等式，即可求解.
【详解】，
所以是方程的两个实数根，则，，，
根据等比数列的性质，，且
所以，即，得.
故选：C
12．C
【分析】求出函数的定义域与导函数，依题意可得在上有变号零点，结合二次函数的性质得到，解得即可.
【详解】函数的定义域为，且，
因为函数有极值，所以在上有变号零点，
即在上有解（若有两个解，则两个解不能相等），
因为二次函数的对称轴为，开口向上，
所以只需，解得，即实数的取值范围是.
故选：C
13．A
【分析】利用导数判断函数的单调性，根据单调性可求出最小值.
【详解】,
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在区间上的最小值是.
故选：A
14．A
【分析】求函数的导数，利用导数结合函数的最大值求出a，即可求出函数的最小值．
【详解】由题意可知：，
令，解得；令，解得；
可知在上单调递增，则上单调递减，
则函数的最大值为，
此时，且，，
可知当时，函数取得最小值为.
故选：A.
15．A
【分析】利用导数求出函数在上的极小值，然后对实数的取值进行分类讨论，结合可求得实数的取值范围.
【详解】当时，，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，函数的极小值为，
因为函数的最小值为，当时，函数在上单调递减，
此时，函数在上无最小值，不合乎题意；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时，函数在上的极小值为，且，则，
综上所述，.
故选：A.
16．D
【分析】根据原函数与导函数的奇偶性关系，结合导函数与极值点的关系判断即可.
【详解】由为奇函数，可知为偶函数，故可排除B、C；
对于A，当时，，排除A；
对于D，由，有，设，令，即有无数解，即说明有无数的极值点，与题意相符.
故选：D
17．D
【分析】由导函数的图象，确定导函数的正负，由此得到函数的单调性，由极值的定义判断函数的极值，由此判断四个选项即可.
【详解】根据导函数的图象可知，
当时，，当时，，
可知在内单调递减，在单调递增，
所以当时，取得极小值，当时，取得极大值，当时，取得极小值，
故ABC错误，D正确.
故选：D.
18．C
【分析】由可排除A，再求导分析单调性可得C正确，BD错误.
【详解】当时，，可排除A，
，
令，解得或，
所以在和上单调递增；在上单调递减；
结合图象可得C正确；
故选：C.
19．A
【分析】根据导函数图象分析的取值情况，即可得到函数的单调区间与极值点.
【详解】由导函数图象可得当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
且在的左边，在的右边，
所以的极大值点为、，极小值点为.
故选：A
20．C
【分析】根据导函数图象，导函数与原函数的关系对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由的图象可得，当时，，当时，，
当时，，当时，
所以在和上单调递增，在和上单调递减，
所以为的极小值点，所以B选项错误，C选项正确；
是的零点，但不一定是的零点，所以A错误；
是函数的极小值，但不一定是最小值，所以D错误.
故选：C
21．D
【分析】根据导函数的图象判断出函数的单调区间、极值、最值，由此确定正确选项.
【详解】根据图象知：
当，时，函数单调递减；
当，时，函数单调递增.
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故选项A不正确，选项D正确；
故当时，取得极小值，选项C不正确；
当时，不是取得最小值，选项B不正确；
故选：D.
22．A
【分析】根据极值点的意义，列式求解即可.
【详解】，
所以，解得，
经检验，满足题意，
所以.
故选：A
23．D
【分析】求出函数的极大值点得，然后由等差数列性质结合诱导公式可得.
【详解】由正弦函数性质知，当，即时，函数取得极大值，
则，由等差数列性质，得，
所以.
故选：D
24．D
【分析】利用三角恒等变换化简得到，从而得到，根据函数极大值点的个数得到方程，求出答案.
【详解】，
，，
函数在区间上恰有3个极大值点，
故，解得.
故选：D
25．D
【分析】对函数求导，然后结合导数与单调性的关系、零点存在定理，求出函数的极大值点，然后利用指对互化求解即可.
【详解】由得，，
设，则，所以在单调递减，
又，，由零点存在定理知，存在，使得，
所以当时，，，函数单调递增；
当时，，，函数单调递减，，
所以是函数的极大值点，则，即.
所以.
故选：D
26．C
【分析】由题意求出的值，进而求出，再解出极小值即可.
【详解】因为函数在处取得极大值，
则，且，
即，所以；
所以，，
令，则或，
由，，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以函数在处取得极大值，.
故选：C.
27．A
【分析】求导，即可由且求解，进而代入验证是否满足极值点即可.
【详解】，
若函数在处有极值8，
则 且，即 ，
解得：或 ，
当时，，此时不是极值点，故舍去，
当时，，
当或时，，当，故是极值点，
故符合题意，
故，
故，
故选：A
28．D
【分析】根据函数有两个极值点的个数，转化为导数在上有两个变号零点，再进行参数的讨论即可.
【详解】由题意得．
因为函数在上恰有两个极值点，则在上有两个变号零点．
当时，在上恒成立，不符合题意．
当时，令，则，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
又，，
所以，则，即实数的取值范围是.
故选：D．
【点睛】方法点睛：本题考查已知函数极值点个数求参数范围.对于函数零点个数的相关问题，常常利用导数和数形结合思想来求解．求解这类问题的步骤：
（1）构造函数，并求其定义域，这是解决此类题的关键点和难点；
（2）求导，得函数的单调区间和极值点；
（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与轴的交点情况，进而求解．
29．B
【分析】作出与直线平行的函数的所有的切线，即可观察得到与的大小关系的不同区间，进而得出的正负区间，得出的单调性，进而得到的极值情况，从而判定各个选项的正确与否.
【详解】，
作出与直线平行的函数的所有切线，各切线与函数的切点的横坐标依次为，
在处的导数都等于，
在上，,单调递增，
在上，单调递减，
因此函数有三个极大值点，有两个极小值点.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解决问题的关键所在是作出与直线平行的函数的所有的切线，由此观察图象即可顺利得解.
30．ACD
【分析】令，则，作出，的大致图象，可判断AB；
由函数的单调性可判断CD
【详解】，，令，则，
令，则，
在上单调递增，在上单调递减．
作出，的大致图象，
当时，有两个根，，且，故A正确；
当时，，故B错误；
又函数在区间上递减，在区间上递增，在区间上递减，
，，故CD正确；
故选：ACD．
31．BD
【分析】对于A：求导，代特值检验即可；对于B：分、和三种情况，结合函数值的符号分析判断零点；对于C：分、和三种情况，可得，即可判断；对于D：根据的单调性，结合零点存在性定理分析可知，使，进而判断的单调性和极值.
【详解】对于选项A：因为，则，
当时，则， 可得，
即，所以不是上的增函数，故A错误；
对于选项B：因为，
当时，，可知是的零点；
当时，，可知在内无零点；
当时，，则，
可得，可知在内无零点；
综上所述：函数有且仅有一个零点，故B正确；
对于选项C：当时，；
当时，；
当时，则，，可得，
综上所述：，所以不是函数的最小值，故C错误；
对于选项D：因为，，
所以的符号决定于，
显然是上的增函数，
又因为当时，；
当时，，
所以，使，
所以在上为减函数，在上为增函数.
所以有唯一极小值点. 故D正确.
故选 ：BD.
32．ACD
【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D.
【详解】对A，因为函数的定义域为R，而，
易知当时，，当或时，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确；
对B，当时，，所以，
而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误；
对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，
所以，即，正确；
对D，当时，，
所以，正确；
故选：ACD.
33．ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.
【详解】方法一：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，
显然，此时是的极大值，故D错误.
故选：.
34．AD
【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.
【详解】A选项，，由于，
故时，故在上单调递增，
时，，单调递减，
则在处取到极大值，在处取到极小值，
由，，则，
根据零点存在定理在上有一个零点，
又，，则，
则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；
B选项，，时，，单调递减，
时，单调递增，
此时在处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，
即存在这样的使得，
即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的，使得为的对称中心，
则，事实上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，，，
由，于是该三次函数的对称中心为，
由题意也是对称中心，故，
即存在使得是的对称中心，D选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心
35．
【分析】若函数无极值点，则导数无变号零点，令，根据的正负得出其单调性，即可根据导数无变号零点列不等式求解，即可得出答案.
【详解】，则，
若函数无极值点，
则无变号零点，
令，
则，
当时，，，，则，则，
当时，，，，则，则，
则在上单调递减，上单调递增，
即在上单调递减，上单调递增，在处取得最小值，
若无变号零点，则，解得：，
故答案为：.
36．9
【分析】求得，得到函数的单调性，即可求解.
【详解】由函数，可得，
所以在单调递增，所以.
故答案为：9.
37．/
【分析】首先求得，设，，得出的单调区间，即可得出最大值．
【详解】，
设，，
令，得或，
所以当时，，
即在和上单调递减，
当时，，
即在上，单调递增，
又因为，，
所以的最大值为，
故答案为：．
38．
【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点，从而得到关于的不等式组，解得即可.
【详解】函数的定义域为，
，
令可得或（舍），
当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值，
又因为函数在内有最小值，故，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
39．
【分析】先对函数求导，然后令导函数等于零，则解在区间内，从而得解.
【详解】因为，所以，
令，得.
由题意得，
故．
故答案为：.
40．
【分析】根据题意，函数的极小值点在内，再结合即可求出实数的取值范围.
【详解】因为，所以，
令得，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，有极小值，
因为函数在上存在最小值，
又，
所以，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
41．
【分析】由题有，根据条件得到有两根为，且有， ，从而转化成求解方程，令，将问题转化成求方程的解，构造函数，再利用函数的单调性及，即可解决问题.
【详解】易知函数的定义域为，
因为，所以，
令，因为在开区间上有最小值，
则在上必有两根，即有，
又在上的两根为，且，
由的图象可知，
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又在开区间上有最小值，则必有，且，
令，得到，所以，
整理得到，令，
则，易知在区间上单调递减，
又，所以，当时，，当时，，
即在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，所以在上有且只有一根，
由，解得，
故答案为：.
42．
【分析】求导，设切点为，根据导数的几何意义分析可知，构建函数，利用导数判断其单调性和最值，即可得结果.
【详解】因为，则，
设切点为，则，
则切线方程为，即，
可得，，所以，
令，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
可得，所以的最小值为．
故答案为：.
43．
【分析】先对函数求导，结合导数分析函数的单调性，再由极值存在的条件及零点存在性定理即可求解.
【详解】因为，令，
则在上单减，
且，
由零点存在定理知，存在唯一的，使得，
即①，
且当时，，则；
当时，，则；
所以在上单调递增，上单调递减，
由，
而②，
由①②知，，
所以，
从而.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于先对求导，求出的单调性和最值可得，再结合可求出，所以，即可求出的值.
44．
【分析】换元构造新函数，再利用导数求得函数单调性与最值，从而求得的最值.
【详解】令，则，所以，
令，则，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
故当时，取得最小值，
故当，即时，函数的最小值恰好为0，
令，则，
令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解参数范围问题.关键点是通过换元，将转化为，并利用导数研究的单调性与最值，得到，再利用导数求解的单调性，即可求得的最值.
45．
【分析】利用函数的导数判断函数单调性，确定函数的极小值点，结合题意列出不等式组，即可求得答案.
【详解】由函数，可得，
当或时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
即为函数的极小值点；
要使得函数在区间上有最小值，
则满足，即，
因为，可得，即，解得，
所以，即实数的取值为.
故答案为：
46．
【分析】由题意可得在内单调，而当时，，所以在上恒成立，然后构造函数，利用导数求出其最小值即可.
【详解】由，得，
因为在上无极值点，
所以在内单调，
因为当时，，
所以在恒成立，
即，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，
所以，
即的取值范围为，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的最值，考查利用导数解决极值点问题，解题的关键是根据题意将问题转化为在恒成立，然后分离参数，构造函数，利用导数求函数的最值，考查数学转化思想，属于较难题.
47．(1)6
(2)的极大值为；极小值为
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，以及切点，然后写出切线方程，再将点代入可求；
（2）由（1）得到函数解析式，求极值步骤：①求导，②求导函数零点，③列表，④下结论即可求得极值.
【详解】（1），所以，即切线斜率为2，
又，所以切点坐标为
的图象在处的切线方程为：，
代入点，得；
（2）由（1）得，
，
令，得或
当变化时，变化情况如下表：
因此，时，取得极大值，极大值为；
时，取得极小值，极小值为.
48．(1)
(2)
【分析】（1）只需分别求得即可得解.
（2）利用导数分析函数在给定区间上的单调性，比较极值与端点函数值的大小即可得解.
【详解】（1），故所求为.
（2）因为，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
而，
所以，
所以函数在上的最大值与最小值分别为.
49．(1)单调递增区间为和；
(2).
【分析】（1）求导研究函数单调性；（2）由（1）知函数的单调区间，找到在处取得极大值，可求出，求得最小值.
【详解】（1），
由得或，
所以的单调递增区间为和；
（2）由Ⅰ知函数在处取得极大值，
即，得 ，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，所以在上的最小值为．
50．(1)，
(2)当时的单调增区间为，，单调减区间为；
当时在R上单调递增；
当时的单调递增区间为，，单调递减区间为；
(3)
【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可得到函数的单调区间与极值；
（2）求导函数，分，，讨论可得结果；
（3）结合（2）的结论，分、两种情况讨论，分别求出函数的最小值.
【详解】（1）当时定义域为R，
且，
所以当或时，当时，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
即，；
（2）函数定义域为R，则，
令，解得或，
①当时，则当或时，，
当时，，
所以的单调增区间为，，单调减区间为；
②当时，恒成立，所以在R上单调递增；
③当时，当或时，，当时，，
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，
综上可得当时的单调增区间为，，单调减区间为；
当时在R上单调递增；
当时的单调递增区间为，，单调递减区间为；
（3）因为，由（2）可得的单调增区间为，，单调减区间为，
若，即时在上单调递减，
所以在上的最小值为，
若，即时，在单调递减，在单调递增，
所以在的最小值为，
所以.
51．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，将点代入求解；
（2）利用导数研究函数单调性和极值.
【详解】（1）由已知得，
则，又，
所以图象在点处的切线方程为，
将点代入得，解得.
（2）所以，定义域为,
所以，
令，则，
易得在上恒成立，所以在上单调递增，
又，所以当时，，即，在上单调递减，
当时，，即，在上单调递增，
所以在处取得极小值，极小值为.
52．(1)
(2)
【分析】（1）利用求导，导数值大于0来求单调递增区间即可；
（2）利用函数的单调性和取值情况，分析可得的取值范围.
【详解】（1）由，得，
令，得，解得．
所以的单调递增区间为
（2）令，解得或．
当变化时，，的变化情况如下表所示：
由函数有且仅有三个零点，
得方程有且仅有三个不等的实数根，
所以函数的图象与直线有且仅有三个交点．
显然，当时，；当时，．
所以由上表可知，的极小值为，的极大值为，
故．
53．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）通过求函数的导数，将分类，讨论函数的单调性；
（2）通过导数将函数极值问题转化为方程在上有两个根即可.
【详解】（1）由题意可知，函数定义域为，
导数
时，恒成立
时，当；当
时，当；当
综上可知：时为常函数，无单调区间
时，单调增区间为：，单调减区间为：
时，单调增区间为：，单调减区间为：.
（2）因为，
所以，
因为在上有两个极值点，
则，即在上有两个根，
令，
当时，，单调递减
当时，，单调递增
又因为时 ，，，
所以在上有2个极值点需满足.
综上所述，当时，函数在上有两个极值点.
54．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由柯西中值定理可得对，，，结合的单调性即可求解；
（2）取，，由柯西中值定理，成立，设，利用导函数求解的最大值即可得.
【详解】（1）由题，
由柯西中值定理知：对，，
使得，，
又在上单调递增，则，
则，即，
所以，
故在上为增函数；
（2），
取，，
因为，所以由柯西中值定理，，
使得，
由题则有：，
设，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
故，所以实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查柯西中值定理的应用，解题关键在于充分理解和把握柯西中值定理的内涵，构造与之匹配的结构，运用定理进行解析式的简化，达到透过现象抓住本质的目的.
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